2023高考真題知識總結(jié)方法總結(jié)題型突破：18 解析幾何中的雙曲線問題(學(xué)生版)

專題18解析幾何中的雙曲線問題【高考真題】1．(2022·北京)已知雙曲線的漸近線方程為，則__________．2．(2022·全國甲理)若雙曲線的漸近線與圓相切，則_________．3．(2022·全國甲文)記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點”的e的一個值______________．4．(2022·全國乙理)雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C的兩支交于M，N兩點，且，則C的離心率為()A．B．C．D．5．(2022·浙江)已知雙曲線的左焦點為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點，交雙曲線的漸近線于點且．若，則雙曲線的離心率是_________．【知識總結(jié)】1．雙曲線的定義(1)定義：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡．(2)符號表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常數(shù))(0<2a<|F1F2|)．(3)焦點：兩個定點F1，F(xiàn)2．(4)焦距：兩焦點間的距離，表示為|F1F2|．2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)焦點F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范圍x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點頂點A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸實軸：線段A1A2，長：2a；虛軸：線段B1B2，長：2b，實半軸長：a，虛半軸長：b離心率e＝eq\f(c,a)∈(1，＋∞)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)xa，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)【題型突破】題型一雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1．(2017·全國Ⅲ)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝eq\f(\r(5),2)x，且與橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1有公共焦點，則C的方程為()A．eq\f(x2,8)－eq\f(y2,10)＝1B．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1C．eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝12．(2016·天津)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距為2eq\r(5)，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0垂直，則雙曲線的方程為()A．eq\f(x2,4)－y2＝1B．x2－eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(3x2,20)－eq\f(3y2,5)＝1D．eq\f(3x2,5)－eq\f(3y2,20)＝13．(2018·天津)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點．設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為()A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1B．eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1D．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝14．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點)，則雙曲線的方程為()A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1B．eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,3)－y2＝1D．x2－eq\f(y2,3)＝15．已知雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為()A．eq\f(x2,4)－eq\f(3y2,4)＝1B．eq\f(x2,4)－eq\f(4y2,3)＝1C．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝16．已知雙曲線的中心為原點，是的焦點，過F的直線與相交于A，B兩點，且AB的中點為，則的方程式為()A．B．C．D．7．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，點B是虛軸的一個端點，線段BF與雙曲線C的右支交于點A，若eq\o(BA,\s\up8(→))＝2eq\o(AF,\s\up8(→))，且|eq\o(BF,\s\up8(→))|＝4，則雙曲線C的方程為()A．eq\f(x2,6)－eq\f(y2,5)＝1B．eq\f(x2,8)－eq\f(y2,12)＝1C．eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,6)＝18．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\f(3,2)，過右焦點F作漸近線的垂線，垂足為M．若△FOM的面積為eq\r(5)，其中O為坐標(biāo)原點，則雙曲線的方程為()A．x2－eq\f(4y2,5)＝1B．eq\f(x2,2)－eq\f(2y2,5)＝1C．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1D．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,20)＝19．已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F(eq\r(7)，0)，直線y＝x－1與其相交于M，N兩點，MN中點的橫坐標(biāo)為－eq\f(2,3)，則此雙曲線的方程是()．A．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1B．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1C．eq\f(x2,5)－eq\f(y2,2)＝1D．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,5)＝110．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a，b>0)的離心率為eq\r(3)，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線右支上一點，∠F1PF2的角平分線為l，點F1關(guān)于l的對稱點為Q，|F2Q|＝2，則雙曲線的方程為()A．eq\f(x2,2)－y2＝1B．x2－eq\f(y2,2)＝1C．x2－eq\f(y2,3)＝1D．eq\f(x2,3)－y2＝1題型二雙曲線中的求值11．(2018·全國Ⅰ)已知雙曲線C：eq\f(x2,3)－y2＝1，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N．若△OMN為直角三角形，則|MN|等于()A．eq\f(3,2)B．3C．2eq\r(3)D．412．(2019·全國Ⅲ)雙曲線C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點，若|PO|＝|PF|，則△PFO的面積為()A．eq\f(3\r(2),4)B．eq\f(3\r(2),2)C．2eq\r(2)D．3eq\r(2)13．已知雙曲線Γ：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點為A，與x軸平行的直線交Γ于B，C兩點，記∠BAC＝θ，若Γ的離心率為eq\r(2)，則()A．θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))B．θ＝eq\f(π,2)C．θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))D．θ＝eq\f(3π,4)14．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝________．15．如圖，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點O，A，C分別是雙曲線虛軸的上、下端點，B是雙曲線的左頂點，F(xiàn)為雙曲線的左焦點，直線AB與FC相交于點D．若雙曲線的離心率為2，則∠BDF的余弦值是________．16．過點P(4，2)作一直線AB與雙曲線C：eq\f(x2,2)－y2＝1相交于A，B兩點，若P為AB的中點，則|AB|＝()A．2eq\r(2)B．2eq\r(3)C．3eq\r(3)D．4eq\r(3)17．過點P(4，2)作一直線AB與雙曲線C：eq\f(x2,2)－y2＝1相交于A、B兩點，若P為AB中點，則|AB|＝()A．2eq\r(2)B．2eq\r(3)C．3eq\r(3)D．4eq\r(3)18．已知雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線上，且滿足|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(5)，則△PF1F2的面積為()A．1B．eq\r(3)C．eq\r(5)D．eq\f(1,2)19．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A在雙曲線C上，若△AF1F2的周長為10a，則△AF1F2的面積為()A．2eq\r(15)a2B．eq\r(15)a2C．30a2D．15a220．已知雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線的離心率為e，若雙曲線上存在一點P使eq\f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)＝e，則eq\o(F2P,\s\up6(→))·eq\o(F2F1,\s\up6(→))的值為()A．3B．2C．－3D．－2題型三雙曲線的離心率21．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線的夾角為60°，則雙曲線C的離心率為()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．eq\r(3)或eq\f(2\r(3),3)D．eq\f(2\r(3),3)或222．(2019·全國Ⅰ)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為()A．2sin40°B．2cos40°C.eq\f(1,sin50°)D.eq\f(1,cos50°)23．(2019·全國Ⅰ)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若eq\o(F1A,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(F1B,\s\up8(→))·eq\o(F2B,\s\up8(→))＝0，則C的離心率為________．24．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)，則E的離心率為()A．eq\r(2)B．eq\f(3,2)C．eq\r(3)D．225．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線C上第二象限內(nèi)一點，若直線y＝eq\f(b,a)x恰為線段PF2的垂直平分線，則雙曲線C的離心率為()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．eq\r(5)D．eq\r(6)26．已知O為坐標(biāo)原點，點A，B在雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，且關(guān)于坐標(biāo)原點O對稱．若雙曲線C上與點A，B橫坐標(biāo)不相同的任意一點P滿足kPA·kPB＝3，則雙曲線C的離心率為()A．2B．4C．eq\r(10)D．1027．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，過點P(3，6)的直線l與C相交于A，B兩點，且AB的中點為N(12，15)，則雙曲線C的離心率為()A．2B．eq\f(3,2)C．eq\f(3\r(5),5)D．eq\f(\r(5),2)28．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，直線l經(jīng)過點F且與雙曲線的一條漸近線垂直，直線l與雙曲線的右支交于不同兩點A，B，若eq\o(AF,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，則該雙曲線的離心率為()A．eq\f(\r(5),2)B．eq\f(\r(6),2)C．eq\f(2\r(3),3)D．eq\r(3)29．已知雙曲線Γ：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，過雙曲線Γ的右焦點F，且傾斜角為eq\f(π,2)的直線l與雙曲線Γ交于A，B兩點，O是坐標(biāo)原點，若∠AOB＝∠OAB，則雙曲線Γ的離心率為()A．eq\f(\r(3)＋\r(7),2)B．eq\f(\r(11)＋\r(33),2)C．eq\f(\r(3)＋\r(39),6)D．eq\f(1＋\r(17),4)30．過雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)左焦點F的直線l與C交于M，N兩點，且eq\o(FN,\s\up8(→))＝3eq\o(FM,\s\up8(→))，若OM⊥FN，則C的離心率為()A．2B．eq\r(7)C．3D．eq\r(10)題型四雙曲線的漸近線31．(2018·全國Ⅱ)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\r(3)，則其漸近線方程為()A．y＝±eq\r(2)xB．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)xD．y＝±eq\f(\r(3),2)x32．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點，P是雙曲線在第一象限上的點，直線PO交雙曲線C左支于點M，直線PF2交雙曲線C右支于點N，若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，則雙曲線C的漸近線方程為()A．y＝±eq\r(2)xB．y＝±eq\f(\r(2),2)xC．y＝±2xD．y＝±2eq\r(2)x33．過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點F(1，0)作x軸的垂線，與雙曲線交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若△AOB的面積為eq\f(8,3)，則雙曲線的漸近線方程為________．34．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a，b>0)的右頂點A和右焦點F到一條漸近線的距離之比為1∶eq\r(2)，則C的漸近線方程為()A．y＝±xB．y＝±eq\r(2)xC．y＝±2xD．y＝±eq\r(3)x35．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別為l1，l2，F(xiàn)為其一個焦點，若F關(guān)于l1的對稱點在l2上，則雙曲線的漸近線方程為()A．y＝±2xB．y＝±eq\r(3)xC．y＝±3xD．y＝±eq\r(2)x36．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，P是雙曲線上一點，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為eq\f(π,6)，則雙曲線的漸近線方程為()A．y＝±2xB．y＝±eq\f(1,2)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)xD．y＝±eq\r(2)x37．已知F2，F(xiàn)1是雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的上、下兩個焦點，過F1的直線與雙曲線的上下兩支分別交于點B，A，若△ABF2為等邊三角形，則雙曲線的漸近線方程為()A．y＝±eq\r(2)xB．y＝±eq\f(\r(2),2)xC．y＝±eq\r(6)xD．y＝±eq\f(\r(6),6)x38．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是C上一點，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小內(nèi)角的大小為30°，則雙曲線C的漸近線方程是()A．eq\r(2)x±y＝0B．x±eq\r(2)y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0題型五雙曲線中的最值與范圍39．P是雙曲線C：eq\f(x2,2)－y2＝1右支上一點，直線l是雙曲線C的一條漸近線，P在l上的射影為Q，F(xiàn)1是雙曲線C的左焦點，則|PF1|＋|PQ|的最小值為()A．1B．2＋eq\f(\r(15),5)C．4＋eq\f(\r(15),5)D．2eq\r(2