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文檔簡介
10.2無界函數(shù)的反常積分一、無界函數(shù)的反常積分二、無界函數(shù)斂散性判別法三、反常積分的主值10.2無界函數(shù)的反常積分一、無界函數(shù)的反常積分二、無界1一、無界函數(shù)的廣義積分定義:設(shè)函數(shù)
f(x)在區(qū)間(a,b]上連續(xù),而在點(diǎn)
a
的右鄰域內(nèi)無界,取>0.如果極限存在,則稱此極限為函數(shù)
f(x)在(a,b]上的廣義積分.
這時(shí)也稱廣義積分
收斂.如果上述極限不存在,就稱廣義積分
發(fā)散.一、無界函數(shù)的廣義積分定義:設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a2類似地,設(shè)函數(shù)
f(x)在區(qū)間[a,b)上連續(xù),而在點(diǎn)
b
的左鄰域內(nèi)無界,取>0.存在,則定義如果極限否則,就稱廣義積分
發(fā)散.類似地,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b)上連續(xù),而在3設(shè)函數(shù)
f(x)在區(qū)間[a,b]上除點(diǎn)c(a<c<b)外連續(xù),而在點(diǎn)
c
的鄰域內(nèi)無界,如果兩個(gè)廣義積分
都收斂,則定義否則,就稱廣義積分
發(fā)散.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上除點(diǎn)c(a<c4所以,x=a為被積函數(shù)的無窮間斷點(diǎn).
于是:oyxaa
圖10-2)0(
:1022>-òaxadxa計(jì)算廣義積分例所以,x=a為被積函數(shù)的無窮間斷點(diǎn).于是:oyxaa5且由于
.
:2112ò-的收斂性討論廣義積分例xdx且由于.:2112ò-的收斂性討論廣義積分例xdx6當(dāng)q<1時(shí),收斂;當(dāng)q1時(shí),發(fā)散.
證:當(dāng)q=1時(shí)
)(
:3ò-baqaxdx證明廣義積分例當(dāng)q<1時(shí),收斂;當(dāng)q1時(shí),發(fā)散.7當(dāng)q1時(shí),
因此,當(dāng)q<1時(shí),廣義積分
收斂,其值為當(dāng)q1時(shí),
廣義積分
發(fā)散.
當(dāng)q1時(shí),因此,當(dāng)q<1時(shí),廣義積分8例4計(jì)算廣義積分解故原廣義積分發(fā)散.例4計(jì)算廣義積分解故原廣義積分發(fā)散.9例5.解:
被積函數(shù)f在(0,1]上連續(xù),x=0是瑕點(diǎn).由于.例5.解:被積函數(shù)f在(0,1]上連續(xù),x=0是10解
例6計(jì)算廣義積分解例6計(jì)算廣義積分11注意
廣義積分與定積分不同,尤其是瑕積分,它與定積分采用同一種表達(dá)方式,但其含義卻不同,遇到有限區(qū)間上的積分時(shí),要仔細(xì)檢查是否有瑕點(diǎn)。
廣義積分中,N-L公式,換元積分公式、分部積分公式仍然成立,不過代入上、下限時(shí)代入的是極限值。注意廣義積分與定積分不同,尤其是瑕積分,它與定12102無界函數(shù)的反常積分課件13
例7證明證例7證明證14102無界函數(shù)的反常積分課件15二.無界函數(shù)積分收斂的判別法1、柯西準(zhǔn)則二.無界函數(shù)積分收斂的判別法1、柯西準(zhǔn)則162、柯西判別法推論2、柯西判別法推論17102無界函數(shù)的反常積分課件184、狄利克雷判別法3、阿貝爾判別法4、狄利克雷判別法3、阿貝爾判別法19三、兩類反常積分的關(guān)系三、兩類反常積分的關(guān)系20四、反常積分的主值四、反常積分的主值21102無界函數(shù)的反常積分課件2210.2無界函數(shù)的反常積分一、無界函數(shù)的反常積分二、無界函數(shù)斂散性判別法三、反常積分的主值10.2無界函數(shù)的反常積分一、無界函數(shù)的反常積分二、無界23一、無界函數(shù)的廣義積分定義:設(shè)函數(shù)
f(x)在區(qū)間(a,b]上連續(xù),而在點(diǎn)
a
的右鄰域內(nèi)無界,取>0.如果極限存在,則稱此極限為函數(shù)
f(x)在(a,b]上的廣義積分.
這時(shí)也稱廣義積分
收斂.如果上述極限不存在,就稱廣義積分
發(fā)散.一、無界函數(shù)的廣義積分定義:設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a24類似地,設(shè)函數(shù)
f(x)在區(qū)間[a,b)上連續(xù),而在點(diǎn)
b
的左鄰域內(nèi)無界,取>0.存在,則定義如果極限否則,就稱廣義積分
發(fā)散.類似地,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b)上連續(xù),而在25設(shè)函數(shù)
f(x)在區(qū)間[a,b]上除點(diǎn)c(a<c<b)外連續(xù),而在點(diǎn)
c
的鄰域內(nèi)無界,如果兩個(gè)廣義積分
都收斂,則定義否則,就稱廣義積分
發(fā)散.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上除點(diǎn)c(a<c26所以,x=a為被積函數(shù)的無窮間斷點(diǎn).
于是:oyxaa
圖10-2)0(
:1022>-òaxadxa計(jì)算廣義積分例所以,x=a為被積函數(shù)的無窮間斷點(diǎn).于是:oyxaa27且由于
.
:2112ò-的收斂性討論廣義積分例xdx且由于.:2112ò-的收斂性討論廣義積分例xdx28當(dāng)q<1時(shí),收斂;當(dāng)q1時(shí),發(fā)散.
證:當(dāng)q=1時(shí)
)(
:3ò-baqaxdx證明廣義積分例當(dāng)q<1時(shí),收斂;當(dāng)q1時(shí),發(fā)散.29當(dāng)q1時(shí),
因此,當(dāng)q<1時(shí),廣義積分
收斂,其值為當(dāng)q1時(shí),
廣義積分
發(fā)散.
當(dāng)q1時(shí),因此,當(dāng)q<1時(shí),廣義積分30例4計(jì)算廣義積分解故原廣義積分發(fā)散.例4計(jì)算廣義積分解故原廣義積分發(fā)散.31例5.解:
被積函數(shù)f在(0,1]上連續(xù),x=0是瑕點(diǎn).由于.例5.解:被積函數(shù)f在(0,1]上連續(xù),x=0是32解
例6計(jì)算廣義積分解例6計(jì)算廣義積分33注意
廣義積分與定積分不同,尤其是瑕積分,它與定積分采用同一種表達(dá)方式,但其含義卻不同,遇到有限區(qū)間上的積分時(shí),要仔細(xì)檢查是否有瑕點(diǎn)。
廣義積分中,N-L公式,換元積分公式、分部積分公式仍然成立,不過代入上、下限時(shí)代入的是極限值。注意廣義積分與定積分不同,尤其是瑕積分,它與定34102無界函數(shù)的反常積分課件35
例7證明證例7證明證36102無界函數(shù)的反常積分課件37二.無界函數(shù)積分收斂的判別法1、柯西準(zhǔn)則二.
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