正弦定理和余弦定理教學設計

正弦定理和余弦定理德化三中陳堅定這是高三一輪復習,內(nèi)容是必修5第一章解三角形。本章內(nèi)容準備復習兩課時,本節(jié)課是第一課時。要求本章的中心內(nèi)容是如何解三角形,正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,最后應落實在解三角形的應用上。本章內(nèi)容與三角函數(shù)、向量聯(lián)系親密。作為復習課一方面將本章知識作一個梳理,另一方面經(jīng)過整理歸納幫助學生進一步達到相應的學習目標。學生經(jīng)過必修

5的學習

,對正弦定理、余弦定理的內(nèi)容已經(jīng)認識

,但關(guān)于如何靈巧運用定理解決實詰問題

,如何合理選擇定理進行邊角關(guān)系轉(zhuǎn)變進而解決三角形綜合問題

,學生還需經(jīng)過復習提點有待進一步理解和掌握。講課目的：知識目標(1)學生經(jīng)過對隨意三角形邊長和角度關(guān)系的研究,掌握正弦、余弦定理的內(nèi)容及其證明方法余弦定理與三角形內(nèi)角和定理,面積公式解斜三角形的兩類基本問題。(2)學生學會分析問題解決三角形綜合問題。

;會運用正、,合理采用定理能力目標培育學生提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力,培育學生在方程思想指導下辦理解三角形問題的運算能力,培育學生合情推理研究數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思想能力。感情目標經(jīng)過生活實例研究回首三角函數(shù)、正余弦定理,表現(xiàn)數(shù)學根源于生活,并應用于生活,激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,并意會數(shù)學的應用價值,在講課過程中激發(fā)學生的研究精神。重難點1、正、余弦定理的關(guān)于解解三角形的合理選擇;2、正、余弦定理與三角形的相關(guān)性質(zhì)的綜合運用。講課過程：考試綱領：掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角胸懷問題?？枷蝾A覽：1、能嫻熟利用正弦定理、余弦定理將三角形的邊角轉(zhuǎn)變；2、掌握三角形形狀的判斷，三角形內(nèi)三角函數(shù)的求值及三角恒等式的證明．考情分析年份題型觀察角度分值難度2016解答題第17題正弦定理與余弦定理解三角形12簡單2015填空題第16題正弦定理與余弦定理解三角形5簡單2014填空題第16題正弦定理、余弦定理、三角形面積公式5簡單2013解答題第17題正弦定理、余弦定理、三角函數(shù)引誘公12簡單式、給值求角問題2012解答題第17題正弦定理、余弦定理、三角形面積公式12適中2011填空題第16題正弦定理、三角函數(shù)求最值5簡單知識重現(xiàn)：1．正弦定理sinaA＝sinbB＝sincC＝2R，此中R是三角形外接圓的半徑．由正弦定理能夠變形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C.2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理能夠變形：cosA＝b2＋c2－a2，cosB＝a2＋c2－b2，cosC＝a2＋b2－c22bc2ac.2ab3．三角形中常用的面積公式1(1)S＝2ah(h表示邊a上的高)；111(2)S＝2bcsinA＝2acsinB＝2absinC；1(3)S＝2r(a＋b＋c)(r

為三角形的內(nèi)切圓半徑

)．[小題體驗]1．(2015廣·東高考)設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝2，c＝23，cosA＝3且b＜2c，則b＝()A．3B．22C．2D.3分析：選C由a2＝b2＋c2－2bccosA，得4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4.又b＜c，∴b＝2.2．在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝1，則△ABC的面積為()3A．33B．23C．43D.3答案：C3．(教材習題改編)在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，c＝20，則a＝________.答案：10(32－6)4．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，則此三角形有()A．無解B．兩解C．一解D．解的個數(shù)不確立分析：選Bab∵sinA＝sinB，b2422∴sinB＝asinA＝18sin45°，∴sinB＝3.又∵a<b，∴B有兩個解，即此三角形有兩解．歸納：1．由正弦定理解已知三角形的兩邊和此中一邊的對角求另一邊的對角時易忽略解的判斷．2．在判斷三角形形狀時，等式兩邊一般不要約去公因式，應移項提取公因式，免得漏解．3．利用正、余弦定理解三角形時，要注意三角形內(nèi)角和定理對角的范圍的限制．考點一

利用正、余弦定理解三角形例1、

(2015·安徽高考

)在△ABC

3π中，∠A＝4，AB＝6，AC＝32，點

D在

BC

邊上，

AD＝BD，求AD

的長．解：設△ABC

的內(nèi)角∠BAC，B，C所對邊的長分別是

a，b，c，由余弦定理得

a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC3π＝(32)2＋62－2×32×6×cos4＝18＋36－(－36)＝90，因此a＝310.又由正弦定理得sinB＝bsin∠BAC＝3＝10，a31010π由題設知0＜B＜4，21310因此cosB＝1－sinB＝1－10＝10.在△ABD中，由于AD＝BD，因此∠ABD＝∠BAD，因此∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得AD＝AB·sinB＝6sinB＝3＝10.sinπ－2B2sinBcosBcosB歸納：(1)解三角形時，假如式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；假如式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特點都不顯然時，則要考慮兩個定理都有可能用到．(2)三角形解的個數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確立的，其解是獨一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形擁有不獨一性，平常依據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷．考點二

利用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀例2、

設△ABC

的內(nèi)角

A，B，C所對的邊分別為

a，b，c，若

bcosC＋ccosB＝asinA，則△

ABC的形狀為(

)A．銳角三角形

B．直角三角形

C．鈍角三角形

D．不確立[分析]

由正弦定理得

sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(－πA)＝sin2A，sinA＝sin2A.π∵A∈(0，π)，∴sinA>0，∴sinA＝1，即A＝2.[答案]B[變式

1]母題的條件變成“若

2sinAcosB＝sinC”，那么△

ABC

必定是

(

)A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等腰直角三角形

D．等邊三角形分析：選B法一：由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)＝0，由于－π<A－B<π，因此A＝B.法二：由正弦定理得2acosB＝c，再由余弦定理得a2＋c2－b2＝c?a2＝b2?a＝b.2a·2ac[變式2]母題的條件變成“若a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC”，確立△ABC的形狀．解：法一：利用邊的關(guān)系來判斷：sinCc由正弦定理得sinB＝b，sinCc由2cosAsinB＝sinC，有cosA＝2sinB＝2b.222b＋c－a又由余弦定理得cosA＝2bc，222cb＋c－a∴＝，2b2bc即c2＝b2＋c2－a2，因此a2＝b2，因此a＝b.又∵a2＋b2－c2＝ab.∴2b2－c2＝b2，因此b2＝c2，∴b＝c，∴a＝b＝c.∴△ABC為等邊三角形．法二：利用角的關(guān)系來判斷：∵A＋B＋C＝180°，∴sinC＝sin(A＋B)，又∵2cosAsinB＝sinC，∴2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sin(A－B)＝0.又∵A與B均為△ABC的內(nèi)角，因此A＝B，又由a2＋b2－c2＝ab，cosC＝a2＋b2－c2ab1由余弦定理，得2ab＝2ab＝2，又0°<C<180°，因此C＝60°，∴△ABC為等邊三角形．[變式3]母題的條件變成“若△

ABC的三個內(nèi)角知足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13”，則△

ABC(

)A．必定是銳角三角形

B．必定是直角三角形C．必定是鈍角三角形

D．可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形分析：選C在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，∴a∶b∶c＝5∶11∶13，故設a＝5k，b＝11k，c＝13k(k>0)，由余弦定理可得22222223a＋b－c25k＋121k－169kcosC＝2ab＝2×5×11k2＝－110<0，π又∵C∈(0，π)，∴C∈2，π，∴△ABC為鈍角三角形．練習：高考真題（2015、全國理一、16）在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是()小結(jié)：1．由正弦定理解已知三角形的兩邊和此中一邊的對角求另一邊的對角時易忽略解的判斷．2．在判斷三角形形狀時，等式兩邊一般不要約去公因式，應移項提取公因式，免得漏解．3