《平行線分線段成比例》示范課教學設(shè)計【數(shù)學九年級上冊北師大】

第四章圖形的相似4.2平行線分線段成比例一、教學目標 1.探索并掌握基本事實“兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例”及其推論.2.會用平行線分線段成比例的事實和推論解決相關(guān)的計算和證明問題.3.進一步體會由特殊到一般的歸納推理的思想和方法.4.培養(yǎng)學生積極的思考、動手、觀察的能力，使學生感悟幾何知識在生活中的價值.二、教學重難點重點：理解并掌握基本事實“兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例”及其推論.難點：學會用平行線分線段成比例的事實和推論解決相關(guān)的計算和證明問題.三、教學用具電腦、多媒體、課件、教學用具等.四、教學過程設(shè)計教學環(huán)節(jié)教師活動學生活動設(shè)計意圖環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境【情景引入】教師活動：展示常見的梯子圖片，提出幾何問題：如圖是一架梯子的示意圖，由生活常識可以知道AD，BE，CF互相平行，若AB=BC，你能猜想出什么結(jié)果呢？預(yù)設(shè)答案：DE=EF.教師活動：進一步說明這是一個常識性問題，肯定同學們的回答正確，進一步提出問題，如何對這一問題進行幾何證明，引入本節(jié)課內(nèi)容，說明學習本節(jié)課內(nèi)容后可以解答這個問題.學生從日常生活角度思考問題，并根據(jù)經(jīng)驗作答，思考內(nèi)在原因.通過和學生一起討論生活中出現(xiàn)的問題，引發(fā)學生對平行線分線段成比例的初步思考.環(huán)節(jié)二探究新知【合作探究】教師活動：提出平行線分線段有關(guān)問題，讓學生思考并通過計算完成下面幾個題目：在下圖中，小方格的邊長均為1，直線l1∥l2∥l3，分別交直線m，n于格點A1，A2，A3，B1，B2，B3.問題（1）：計算與，與，的值，你有什么發(fā)現(xiàn)？教師活動：引導(dǎo)學生用勾股定理計算各條線段的長度再求比值.計算步驟如下：先計算線段的長：再計算比值：你發(fā)現(xiàn)了什么？問題（2）：將l2向下平移到如圖所示的位置，直線m，n與l2的交點分別為A2，B2，你在問題（1）中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論還成立嗎？如果將l2平移到其他位置呢？預(yù)設(shè)答案：同樣方法先計算各線段的長，經(jīng)計算第（1）小問結(jié)論仍然成立.問題（3）：在平面上任意作三條平行線，用它們截兩條直線，截得的線段成比例嗎？教師活動：播放平行線位置變化時，截取線段長度的變化及對應(yīng)比值變化情況的動畫.指導(dǎo)學生注意觀察對應(yīng)線段的比值是否相等.預(yù)設(shè)答案：得出結(jié)論：截得的對應(yīng)線段成比例.【歸納】教師活動：對上面三個題目內(nèi)容進行抽象總結(jié)，歸納出平行線分線段成比例定理的內(nèi)容.平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.符號語言：當l1∥l2∥l3，則有：可以對應(yīng)記憶為【拓展】教師活動：講解說明定理的內(nèi)容，強調(diào)定理涉及的圖形情況有多種，展示適用的圖形情況：定理適用的幾種基本圖形【做一做】如圖1，直線a∥b∥c，分別交直線m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.過點A1作直線n的平行線，分別交直線b，c于點C2，C3(如圖2），圖2中有哪些成比例線段？教師活動：提示兩組平行線所夾的圖形為平行四邊形，平行四邊形的對邊對應(yīng)相等.預(yù)設(shè)答案：依題意知，四邊形A1B1B2C2、A1B1B3C3、C2B2B3C3均為平行四邊形.故有：A1C2=B1B2、A1C3=B1B3、C2C3=B2B3，則：【延伸】教師活動：將圖2中的三角形標注出來并抽離，提出問題：將題目中的三角形單獨拿出來，它反映了什么樣的幾何問題？預(yù)設(shè)答案：【歸納】教師活動：對上面三角形中涉及的幾何內(nèi)容進行歸納總結(jié)，給出平行線分線段成比例定理的推論.平行線分線段成比例定理推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應(yīng)線段成比例.符號語言：△ABC中，MN∥BC，分別交AB、AC于點M、N，則有：【拓展】教師活動：提出問題：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊的延長線，所得的對應(yīng)線段成比例嗎？將問題轉(zhuǎn)換成幾何問題展示：如圖，已知△ABC，MN∥BC，分別與△ABC的兩邊BA、CA的延長線于點M、N，求證：提示：做出輔助線，使用平行線分線段成比例定理.預(yù)設(shè)答案：證明：過A點做MN的平行線l，由平行線分線段成比例定理可得：【歸納】教師活動：對上面三角形中涉及的幾何內(nèi)容進行歸納總結(jié)，給出平行線分線段成比例定理的推論的第二種形式.平行線分線段成比例定理推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊的延長線相交，截得的對應(yīng)線段成比例.符號語言：MN∥BC，分別與△ABC的兩邊BA、CA的延長線于點M、N，則有：學生嘗試先通過勾股定理計算出各條線段的長度，再進一步計算比值.利用與問題（1）相同的計算方法解決問題（2）.嘗試通過問題（1）、（2）的結(jié)果總結(jié)歸納出相同的結(jié)論.思考問題（3），心里預(yù)設(shè)答案，認真觀察老師演示的平行線位置變化時，截取的對應(yīng)線段長度的變化情況，觀察對應(yīng)線段的比值是否相等.歸納總結(jié)，并理解記憶平行線分線段成比例定理的內(nèi)容.理解“對應(yīng)線段”的概念，通過比例式中線段的方位記憶定理.了解定理可以使用的幾種基本圖形，明確“對應(yīng)線段”的含義.通過平行四邊形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化求解對應(yīng)線段的比例關(guān)系.通過上面題目的求解，直接在三角形中找到對應(yīng)的比例關(guān)系通過圖形理解記憶平行線段分線段成比例定理推論的內(nèi)容.參考上面推論的證明方式，思考并嘗試完成這一問題的解答證明.借助圖形理解記憶平行線分線段成比例推論的另外一種形式，注意兩種不同情況下對應(yīng)線段的變化.引導(dǎo)學生借助方格紙這一工具，通過觀察、計算，由特殊到一般地逐步歸納、猜想，進而明確“平行線分線段成比例”的基本事實.問題（1）和問題（2）是兩種特殊情況：平行線與兩條直線的交點都在格點上，這樣便于通過計算得出結(jié)論.問題(3）是更一般化的設(shè)置，學生無法通過計算得出結(jié)論，但可以通過上面的特殊情況大膽歸納、猜測.教師再通過計算工具的演示佐證結(jié)果的正確性.引導(dǎo)學生進一步認識到：歸納需要更多的特殊情況作為基礎(chǔ).幫助學生通過圖形中線段的對應(yīng)位置記憶定理.理解對應(yīng)線段的含義，準確記憶定理內(nèi)容，并了解定理可使用的不同情況.通過做平行線構(gòu)造三角形，將平行線分線段成比例的基本事實特殊化，從而得到它的一個推論..這個推論是后面證明相似三角形判定定理的基礎(chǔ).對前面平行線分線段成比例定理使用情況的進一步拓展延伸，鞏固定理內(nèi)容，并培養(yǎng)學生舉一反三的能力.培養(yǎng)學生思考問題的全面性和嚴謹性.環(huán)節(jié)三應(yīng)用新知【典型例題】教師提出問題，學生先獨立思考，解答.然后再小組交流探討，如遇到有困難的學生適當點撥，最終教師展示答題過程.例：如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB和AC上的點，且EF∥BC.（1）如果AE=7，EB=5，F(xiàn)C=4.那么AF的長是多少？（2）如果AB=10，AE=6，AF=5.那么FC的長是多少？教師分析：依題意知，EF∥BC，可以使用平行線分線段成比例定理的推論:（1）已知AE、EB、FC，直接套用比例關(guān)系式可求出AF的長.（2）已知AB、AE、AF，可先求出AC的長，再由AC與AF的差求出FC.展示完整解題過程：解：（1）∵EF//BC，∴∵AE=7，EB=5，F(xiàn)C=4，∴（2）∵EF//BC，∴∵AB=10，AE=6，AF=5，∴∴明確例題的解法，嘗試獨立解答，并交流討論.通過解決例題讓學生一方面鞏固對推論的理解，另一方面也為后面證明相似三角形的判定定理做鋪墊.解題時注意引導(dǎo)學生閱讀、理解題意.環(huán)節(jié)四鞏固新知教師給出練習，隨時觀察學生完成情況并相應(yīng)指導(dǎo)，最后給出答案，根據(jù)學生完成情況適當分析講解.1.如圖，已知l1∥l2∥l3，下列比例式錯誤的是（）A.B.C.D.2.如圖，已知l1∥l2∥l3，下列比例式成立的是（）A.B.C.D.3.如圖，BC∥DE，AB=15，AC=9，BD=10，AE=______.4.如圖，DE∥BC，AB=6，AC=9，AD=2則EC=______.答案：1.D2.C3.解：因為BC∥DE，由平行線分線段成比例定理的推論，得，又AB=15，AC=9，BD=10，解得：CE=6.所以AE=AC+CE=15.4.解：因為DE∥BC，由平行線分線段成比例定理的推論，得，又AB=6，AC=9，AD=2，解得：AE=3.所以EC=AC+AE=12.自主完成練