高三數(shù)學(xué)第16講圓錐曲線有關(guān)性質(zhì)的探究與證明

2021屆高中總復(fù)習(xí)·第2輪湖南學(xué)海文化傳播有限責(zé)任公司本課件主要使用工具為office2003，Mathtype5.0,幾何畫板4.0,flashplayer10.0?數(shù)學(xué)〔理科·湖南〕1直線與圓錐曲線專題四圓錐曲線有關(guān)性質(zhì)的探究與證明第16講2

1.橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)有：范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、離心率、漸近線等.對(duì)不同的曲線以及焦點(diǎn)在不同坐標(biāo)軸上的同類曲線，其幾何性質(zhì)既有共同點(diǎn)也有不同點(diǎn)，應(yīng)用時(shí)要加以區(qū)分.

2.圓錐曲線與其對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做頂點(diǎn).橢圓有兩條對(duì)稱軸，兩個(gè)焦點(diǎn)和四個(gè)頂點(diǎn);雙曲線有兩條對(duì)稱軸，兩個(gè)焦點(diǎn)和兩個(gè)頂點(diǎn);拋物線只有一條對(duì)稱軸，一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn).雙曲線有兩條漸近線，橢圓和拋物線沒有漸近線.

3.圓錐曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離叫做焦半徑，它等于該點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離與曲線的離心率之積.橢圓上一點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的兩條焦半徑之和等于橢圓的長軸長，雙曲線上一點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的兩條焦半徑之差的絕對(duì)值等于雙曲線的實(shí)軸長.34.設(shè)橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c，那么橢圓上的點(diǎn)到橢圓中心的最大距離為a，最小距離為b，橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的最大距離為a＋c，最小距離為a－c.5.在圓錐曲線中，過焦點(diǎn)的弦叫做焦點(diǎn)弦，過焦點(diǎn)且垂直于焦點(diǎn)所在對(duì)稱軸的弦叫做圓錐曲線的通徑.橢圓和拋物線的通徑是最短的焦點(diǎn)弦，雙曲線的通徑是端點(diǎn)在同一支的焦點(diǎn)弦中最短的一條.設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)為拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)弦的兩個(gè)端點(diǎn)，那么y1y2＝－p2.6.實(shí)軸與虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為y＝±x，離心率為41.(2021·湖北卷)如下圖，“嫦娥一號(hào)〞探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行.假設(shè)用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，給出以下式子：①a1+c1=a2+c2；②a1-c1=a2-c2；③c1a2>a1c2；④其中正確式子的序號(hào)是()A.①③B.②③C.①④D.②④5解析對(duì)橢圓Ⅰ，有|PF|＝a1－c1;對(duì)橢圓Ⅱ，有|PF|＝a2－c2，所以a1-c1=a2-c2.顯然，b1＞b2，那么a12-c12>a22-c22，即a12+c22>a22+c12.因?yàn)閍1-c1=a2-c2，即a1+c2=a2+c1，所以(a1+c2)2=(a2+c1)2，即a12+c22+2a1c2=a22+c12+2a2c1，于是a1c2<a2c1.所以②③正確，應(yīng)選B.長半軸長a，短半軸長b和半焦距c是橢圓的三個(gè)特征數(shù)，通過數(shù)形結(jié)合找出三者的內(nèi)在聯(lián)系，再轉(zhuǎn)化為目標(biāo)問題，是此題的解題策略.感悟62.(2021·安微卷)點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓上,x0=acosβ,y0=bsinβ,直線l2與直線l1:垂直,O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OP的傾斜角為α,直線l2的傾斜角為γ.證明：(1)點(diǎn)P是橢圓與直線l1的惟一交點(diǎn)；(2)tanα,tanβ,tanγ構(gòu)成等比數(shù)列.解析

(1)證法1：由得代入橢圓方程得7將代入上式，得x2-2acosβ·x+a2cos2β=0，從而x=acosβ.因此，方程組有惟一解即l1與橢圓有惟一交點(diǎn)P.證法2：顯然P是橢圓與l1的交點(diǎn)，假設(shè)是橢圓與l1的交點(diǎn)，代入l1的方程得cosβcosβ1+sinβsinβ1=1,即cos(β-β1)=1,β=β1，故P與Q重合.8證法3：在第一象限內(nèi)，由可得橢圓在點(diǎn)P處切線的斜率切線方程為即因此，l1就是橢圓在點(diǎn)P處的切線.根據(jù)橢圓切線的性質(zhì)，P是橢圓與直線l1的惟一交點(diǎn).9

(2)由題設(shè)l1的斜率為l2的斜率為由此得tanαtanγ=tan2β≠0,所以tanα,tanβ,tanγ構(gòu)成等比數(shù)列.此題反映了橢圓的兩個(gè)一般性質(zhì)，其中第一個(gè)結(jié)論的本質(zhì)是直線l1與橢圓相切，因而可以證明直線l1的方程與橢圓方程所組成的方程組有且只有一組解.題設(shè)中將點(diǎn)P的坐標(biāo)用參數(shù)形式表示，其意圖是引領(lǐng)解題過程進(jìn)行三角運(yùn)算，使得運(yùn)算量大大減少，表達(dá)了一種解題技巧.感悟10(2021·江西卷改編)如圖，圓G∶(x-2)2+y2=r2是橢圓的內(nèi)接△ABC的內(nèi)切圓,其中A為橢圓的左頂點(diǎn).〔1〕證明：圓G的半徑r為定值；〔2〕過點(diǎn)M(0,1)作圓G的兩條切線，交橢圓于E,F兩點(diǎn)，證明：直線EF與圓G相切．考點(diǎn)一

例1證明圓錐曲線的幾何性質(zhì)11〔1〕利用相似三角形的性質(zhì)建立一個(gè)關(guān)于r的方程，解方程可求得r的值.〔2〕先求點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，再求直線EF的方程，然后證明圓心G到直線EF的距離等于圓的半徑.思路解析〔1〕因?yàn)锳G是∠BAC的平分線，點(diǎn)在橢圓上，那么點(diǎn)B，C關(guān)于x軸對(duì)稱.設(shè)點(diǎn)B(2+r,y0)，BC交x軸于H，過圓心G作GD⊥AB于D，那么|GD|=r，|AD|=36-r2，|AG|＝6，|HB|＝y(tǒng)0.12所以圓心G(2,0)到直線EF的距離故直線EF與圓G相切．點(diǎn)評(píng)證明定值問題，一般轉(zhuǎn)化為求值問題來解決；證明直線與圓相切，一般轉(zhuǎn)化為證明圓心到直線的距離等于圓半徑.

13(2021·北京卷改編)設(shè)直線l是圓x2+y2=2的任意一條切線，且直線l與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：OA⊥OB.變式訓(xùn)練1思路

將OA⊥OB轉(zhuǎn)化為再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算完成證明.證明設(shè)直線l與圓x2+y2=2相切于點(diǎn)P(x0，y0)，那么切線l的方程是x0x+y0y=2.由及x02+y02=2，得(3x02-4)x2-4x0x+8-2x02=0.14設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)，那么所以15當(dāng)x02=2時(shí)，點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)或所以∠AOB＝90°.故OA⊥OB.

圓錐曲線中的平行、垂直、夾角、距離等問題，可以用向量方法來解決.一般的，過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程是x0x+y0y=r2.點(diǎn)評(píng)16考點(diǎn)二證明圓錐曲線的不等式性質(zhì)

通過點(diǎn)A，B的坐標(biāo)建立相關(guān)參數(shù)之間的關(guān)系，再利用放縮原理證明不等式.思路設(shè)點(diǎn)A，B是雙曲線位于第一象限內(nèi)的不同兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線交y軸于點(diǎn)P(0，m)，直線AB的斜率為k，證明：（1）（2）a2+b2<am.

例217〔1〕設(shè)點(diǎn)A(x1，y1),B(x2，y2)(x1，x2，y1，y2＞0)，因?yàn)辄c(diǎn)A，B在雙曲線上，那么所以證明〔2〕由題設(shè)|PA|＝|PB|，那么x12+(y1-m)2=x22+(y2-m)2，即x12-x22=y22-y12+2m(y1-y2).因?yàn)槟敲?8即所以即據(jù)題意，y1≠y2，且y1＞a，y2＞a，所以因?yàn)閍＞0，所以a2+b2<am.點(diǎn)評(píng)等與不等是對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)方面，先建立相關(guān)參數(shù)的等量關(guān)系，再將其轉(zhuǎn)化為所證不等式，是證明圓錐曲線的不等式性質(zhì)的根本策略.19變式訓(xùn)練2

先將截距a，b用點(diǎn)A，B的坐標(biāo)表示，再根據(jù)橢圓的有關(guān)性質(zhì)得出所證不等式.思路

設(shè)點(diǎn)A，B是橢圓上不關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的相異兩點(diǎn)，線段AB的中垂線l在x軸，y軸上的截距分別為a，b，證明：4a2+b2<9.證明設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么直線l的方程為分別令y＝0，x＝0，20得設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，那么因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓內(nèi)部，那么即所以4a2+b2<9.21點(diǎn)評(píng)由a，b的表達(dá)式聯(lián)想到AB的中點(diǎn)，再利用中點(diǎn)M在橢圓內(nèi)部就可以得到所證不等式.假設(shè)根據(jù)橢圓的范圍得出a，b的范圍，那么會(huì)放大4a2+b2的上界，不能得出結(jié)論.22考點(diǎn)三

探究圓錐曲線的有關(guān)性質(zhì)(2021·湖北卷改編)如圖，過x軸正半軸上一點(diǎn)A的直線與拋物線y2=2px(p>0)相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)B作x軸的垂線l，點(diǎn)M、N在直線l上的射影分別為M1、N1.〔1〕試探究當(dāng)點(diǎn)A在何位置時(shí)，有AM1⊥AN1；〔2〕記△AMM1，△AM1N1，△ANN1的面積分別為S1，S2，S3，試探究是否存在常數(shù)λ，使對(duì)任意的點(diǎn)A，都有S22=λS1S3成立？假設(shè)存在，求出λ的值；假設(shè)不存在，說明理由.

例323〔1〕由AM1⊥AN1，得從而將問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)A的坐標(biāo).〔2〕先將S1，S2，S3用適當(dāng)?shù)男问奖硎?，再考察S22與S1S3的比值是否為常數(shù)，然后作出判斷.思路解析〔1〕依題意可設(shè)點(diǎn)A(a，0)，直線MN的方程為x=my+a，點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)，點(diǎn)M1(-a,y1),N1(-a,y2)，那么由消去x，得y2-2mpy-2ap=0，24于是y1y2=-2ap.所以假設(shè)AM1⊥AN1，那么所以2a＝p，即故當(dāng)點(diǎn)A為拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，有AM1⊥AN1.〔2〕因?yàn)辄c(diǎn)B(－a，0)〔a＞0〕，那么25因?yàn)橛谑莤1+x2=m(y1+y2)+2a=2(m2p+a).又y12=2px1，y22=2px2，那么于是26所以S22=4S1S3.故存在λ=4，使對(duì)任意的點(diǎn)A，都有S22=λS1S3成立.

探究性問題的設(shè)問方式往往呈現(xiàn)出一種開放性，解題時(shí)要根據(jù)問題的特點(diǎn)，將所探究的問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題來解決.點(diǎn)評(píng)27過橢圓的右焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線l,交橢圓于A,B兩點(diǎn),O為原點(diǎn)，向量與向量m＝(3，－1)共線.〔1〕試探究橢圓的離心率是否為定值；〔2〕設(shè)點(diǎn)M為橢圓上任意給定的一點(diǎn)，試探究是否存在實(shí)數(shù)α，使〔1〕將條件轉(zhuǎn)化為a，b，c的關(guān)系，再判斷離心率是否為定值.〔2〕設(shè)再探究λ與μ的平方和是否等于1，然后作出判斷.變式訓(xùn)練3思路28解析〔1〕設(shè)點(diǎn)F(c，0)，那么直線l的方程是y＝x－c，代入橢圓方程，整理得(a2+b2)x2-2