可壓縮邊界層的PSE

可壓縮邊界層的拋物化穩(wěn)定性方程及其在某些問題中的應(yīng)用張永明2008年10月摘要推導(dǎo)出可壓縮邊界層的拋物化穩(wěn)定性方程（PSE），驗(yàn)證了PSE方法的可靠性，再將其應(yīng)用于非平行效應(yīng)、二次失穩(wěn)和轉(zhuǎn)捩預(yù)測三個具體問題中。發(fā)現(xiàn)了邊界層非平行性對中性曲線的影響主要集中在臨界雷諾數(shù)處；驗(yàn)證了二次失穩(wěn)機(jī)制的存在，得到了二次失穩(wěn)問題中三維亞諧波的放大率隨其展向波數(shù)和二維基本波幅值的變化關(guān)系；得到了準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)捩起始位置，并再現(xiàn)了轉(zhuǎn)捩中breakdown過程的機(jī)理。PSE方法是研究有關(guān)邊界層內(nèi)擾動演化的多種問題的有效工具。1引言PSE是研究基本流中擾動演化的比較新的一種方法，此外常用的方法還有線性穩(wěn)定定性理論（LST）和直接數(shù)值模擬（DNS）。與另外二者相比，PSE的優(yōu)點(diǎn)在于同時具備以下特點(diǎn)：可以考慮基本流的非平行性，可以用于非線性問題，計(jì)算量不大。因此，從提出PSE至今不長的時間里，PSE方法得到了充分的發(fā)展，并應(yīng)用到多個問題的研究中。Herbert和Bertolotti（1987）首先提出了拋物化穩(wěn)定性方程。他們研究的是不可壓邊界層的線性PSE，這是一種比較簡單的情況。Bertolotti等（1992）用線性PSE在大雷諾數(shù)處得到的小擾動演化與線性穩(wěn)定性理論和直接數(shù)值模擬的結(jié)果一致，驗(yàn)證了線性PSE計(jì)算的可靠性，如圖1-1所示。Bertolotti等（1992）用PSE研究不可壓邊界層的非平行性對其穩(wěn)定性的影響，得到的中性曲線比用LST得到的更符合Schubauer和Skramstad（1943，1947）、Ross等（1970）、Strazisar等（1977）和Kachanov等（1977）的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，也與Gaster（1974）、于秀陽和周恒（1986）用另外一種方法得到的計(jì)算結(jié)果一致，如圖1-2所示。Bertolotti等（1992）提出了不可壓邊界層的非線性PSE，所得擾動演化結(jié)果與直接數(shù)值模擬所得一致，如圖1-3所示，用計(jì)算的方法驗(yàn)證了非線性PSE的可靠性。而前者計(jì)算花費(fèi)的時間比后者少很多，這顯示出PSE在研究某些非線性問題時的優(yōu)勢：準(zhǔn)確且快速。Joslin等（1992）和Esfahanian等（2001）也做了同樣的驗(yàn)證。Malik等（1999）將非線性PSE計(jì)算所得與實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果對比，發(fā)現(xiàn)二者一致，又從實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證了其可靠性。在此基礎(chǔ)之上，Malik等（1999）開始用PSE作為可靠的工具來研究不可壓邊界層的穩(wěn)定性和轉(zhuǎn)捩問題。Herbert（1997）對不可壓縮流PSE的研究進(jìn)行了總結(jié)。圖1-1不同方法得到的大雷諾數(shù)處小擾動增長率。實(shí)線為Bertolotti等（1992）的線性PSE結(jié)果，虛線為LST結(jié)果，圓形標(biāo)記為DNS結(jié)果。圖1-2不同方法得到的中性曲線。實(shí)線為Bertolotti等（1992）的線性PSE結(jié)果，虛線為LST結(jié)果，圓形標(biāo)記為Gaster（1974）的結(jié)果。圖1-3Bertolotti等（1992）的非線性PSE計(jì)算與空間模式DNS的對比，包括平均流修正，一階擾動，二階擾動和三階擾動。實(shí)線為NPSE結(jié)果，方形標(biāo)記為DNS結(jié)果。相對不可壓邊界層，可壓縮邊界層的PSE更為復(fù)雜，其結(jié)果也較少。但由于航空航天技術(shù)發(fā)展的需求，這方面的研究逐漸多了起來。Bertolotti和Herbert（1991），Bertolotti（1991）提出了可壓縮平板邊界層的線性PSE，并發(fā)現(xiàn)用線性PSE在大雷諾數(shù)處得到的小擾動演化與線性穩(wěn)定性理論的結(jié)果一致，驗(yàn)證了線性PSE計(jì)算的可靠性?？蓧嚎s邊界層的非線性PSE研究工作比較少，目前見到的工作主要來自美國國家航空航天局（NASA）Langley研究中心的Chang等人。Chang等（1991）提出了可壓縮邊界層的非線性PSE。為了驗(yàn)證其可靠性，Chang等（1991，1993）、Pruett等（1995）、Pruett和Chang（1995）、Jiang等（2003，2004）分別將非線性PSE結(jié)果與DNS的對比，發(fā)現(xiàn)二者一致，但PSE計(jì)算花費(fèi)時間少得多。遺憾的是，上述關(guān)于可壓縮邊界層的線性和非線性PSE的驗(yàn)證工作都不是足夠充分、完整和嚴(yán)格的，其原因?qū)⒃诒疚牡谌糠肿鼍唧w闡述。本文以可壓縮平板邊界層為研究對象。先從完全的Navier－Stokes方程出發(fā)，推導(dǎo)出線性和非線性的拋物化穩(wěn)定性方程（見第二部分），再介紹具體的數(shù)值計(jì)算方法（見第二部分）。然后對線性PSE和非線性PSE計(jì)算方法做充分、完整和嚴(yán)格的檢驗(yàn)，驗(yàn)證其可靠性（見第三部分）。此后則以PSE作為工具研究具體問題。應(yīng)用線性PSE研究基本流的非平行性對可壓縮邊界層中性曲線的影響（見第四部分）。應(yīng)用非線性PSE研究超音速邊界層的二次失穩(wěn)問題（見第五部分）。應(yīng)用非線性PSE研究轉(zhuǎn)捩可壓縮邊界層的轉(zhuǎn)捩預(yù)測問題（見第六部分）。

2可壓縮邊界層PSE的控制方程和數(shù)值求解方法這一部分先介紹可壓縮邊界層的拋物化穩(wěn)定性方程的推導(dǎo)過程，以及求解方程所用的數(shù)值方法。這些是前人做過的工作，但都是PSE方法的基礎(chǔ)，所以有必要做詳細(xì)的介紹。首先推導(dǎo)出線性和非線性PSE的控制方程（見2.1）；然后說明數(shù)值計(jì)算中所用的基本流和入口條件（見2.2）；最后闡述計(jì)算網(wǎng)格和差分格式（見2.3）。2.1控制方程推導(dǎo)拋物化穩(wěn)定性方程需經(jīng)四個步驟：（1）先由有量綱的完全的N-S方程出發(fā)，利用特征量得到無量綱的方程，（2）再推導(dǎo)出完全的擾動方程，（3）然后針對擾動的特點(diǎn)推出穩(wěn)定性方程，（4）最后利用邊界層厚度增長緩慢的性質(zhì)將其拋物化而得到拋物化穩(wěn)定性方程。下面作具體的介紹。用上標(biāo)表示有量綱的量，在三維笛卡爾坐標(biāo)系下用x，y，z表示流向、法向和展向，則有量綱的完全的N-S方程為（2.1-1）其中是速度矢量，是時間，是密度，是壓力，是溫度，是定壓比熱，是熱傳導(dǎo)系數(shù)，是第一動力粘性系數(shù)，是第二動力粘性系數(shù)，為普適氣體常數(shù)。為粘性耗散函數(shù)，表示為，（2.1-2）其中為應(yīng)變率張量，表達(dá)式為。（2.1-3）方程（2.1-1）中第一到第四個方程分別為連續(xù)性方程、動量方程、內(nèi)能方程和狀態(tài)方程。本文假設(shè)可壓縮流體為完全氣體，使用完全氣體的狀態(tài)方程。下面要將N-S方程無量綱化，其中用到的特征量如下。取特征長度為，（2.1-4）其中為平板前緣到計(jì)算域入口的距離，為運(yùn)動粘性系數(shù)，運(yùn)動粘性系數(shù)與第一動力粘性系數(shù)關(guān)系為，為流向速度，下標(biāo)e表示邊界層外的自由來流中的量。其它的原始特征量為：自由流速度、自由流溫度、自由流密度，自由流第一動力粘性系數(shù)，自由流第二動力粘性系數(shù)，自由流熱傳導(dǎo)系數(shù)。導(dǎo)出的特征量為：特征壓力為，特征時間為。用有量綱量除以特征量即為無量綱量，如。（2.1-5）將上式代入有量綱N－S方程（2.1-1），即得無量綱N－S方程。無量綱N-S方程會用到幾個無量綱參數(shù)，即入口出雷諾數(shù)、普朗特?cái)?shù)和馬赫數(shù)，下面分別介紹。平板前緣到入口處的無量綱距離為，（1）而入口處的雷諾數(shù)的表達(dá)式則為。（2由一直接化簡即可）平板前緣到入口下游某處的距離為，顯見。由此得到各變量對x的一階、二階導(dǎo)數(shù)的量級分別為。（2.1-6）這將是后來對方程進(jìn)行拋物化的依據(jù)。普朗特?cái)?shù)表達(dá)式為。馬赫數(shù)表達(dá)式為，其中為自由來流中的聲速，其表達(dá)式為，其中為比熱比，其表達(dá)式為，其中為定容比熱。在整理無量綱N-S方程時，還要注意粘性系數(shù)和熱傳導(dǎo)系數(shù)的處理。本文使用了Stokes假設(shè)（見《流體力學(xué)》上冊，68頁）（周光炯2000），第二動力粘性系數(shù)可用第一動力粘性系數(shù)表示。（2.1-7）而無量綱的第一動力粘性系數(shù)則使用Sutherland公式，假設(shè)其隨溫度的變化滿足如下關(guān)系式，（2.1-8）其中C1＝110.4K為常數(shù)。本文中無量綱的熱傳導(dǎo)系數(shù)也使用Sutherland公式，形式為。（2.1-9）一般來講可以取C2＝C1，則無量綱的熱傳導(dǎo)系數(shù)與第一動力粘性系數(shù)相同，（2.1-10）以后的公式中可以都用粘性系數(shù)表示。整理之后的無量綱N-S方程形式如下(此種寫法挺好)（a）（b）（c）（d）（e）（f）（2.1-11）其中（a）為連續(xù)性方程，（b）、（c）和（d）分別為流向、法向和展向的動量方程，（e）為內(nèi)能方程，（f）為狀態(tài)方程。將（2.1-11）中的狀態(tài)方程代入連續(xù)性方程、動量方程和內(nèi)能方程，消去壓力p，則無量綱方程化簡為5個方程，其中的變量也是5個，即：（a）（b）（c）（d）（e）…（2.1-12）方程中有一點(diǎn)需要注意，無量綱長度x、y、z、時間t、入口雷諾數(shù)Re0等用到特征長度的量，都與常見的直接數(shù)值模擬中的對應(yīng)量不同。邊界層的直接數(shù)值模擬常用入口處位移排移厚度作為特征長度，（常用有兩種，這是其中一種）其表達(dá)式為，（2.1-13）其中為馬赫數(shù)M的函數(shù)，其表達(dá)式較復(fù)雜，詳見文獻(xiàn)（黃章峰2003第17頁，黃章峰2006第26頁）。對比式（2.1-4）可見，與本文所用特征長度相差倍。那么無量綱量x、y、z、t、Re0等也相差倍。本文后面還會提到一些用特征長度無量綱化的量，也會與DNS中的對應(yīng)量相差倍，這一點(diǎn)以后要注意。將方程（2.1-12）中的瞬時量設(shè)為定?；玖髋c擾動量之和（2.1-14）其中上標(biāo)表示基本流，上角標(biāo)表示擾動量。將（2.1-14）式代入N－S方程（2.1-12），并減去定?；玖鳚M足的方程，得到擾動方程（方便起見，較復(fù)雜的方程用矩陣形式表達(dá)）（2.1-15）其中為擾動矢量。系數(shù)矩陣Vxx，Vyy，Vzz，Vxy，Vxz，Vyz，Г，A，B，C，D都可分解為線性部分與非線性部分，其中線性部分只包含定?；玖鞯牧?，非線性部分則包含擾動量。二者分別用上標(biāo)l和n表示，則這些矩陣可記為。通過量級分析可以發(fā)現(xiàn)，對流項(xiàng)和粘性項(xiàng)的量級分別為1和1/Re0。系數(shù)矩陣Г，A，B，C，D同時包含對流項(xiàng)和粘性項(xiàng)，其總的量級為1，系數(shù)矩陣Vxx，Vyy，Vzz，Vxy，Vxz，Vyz只包含粘性項(xiàng)，其量級為1/Re0。將線性和非線性部分分別放在方程兩邊，則擾動方程（2.1-15）整理為如下形式（2.1-16）其中右邊的矢量函數(shù)表示所有的非線性項(xiàng)，其表達(dá)式如下（2.1-17）非線性擾動方程（2.1-16）的系數(shù)矩陣和非線性項(xiàng)矢量的元素詳見附錄1。其中需要注意的是μ’的處理。本文利用Sutherland公式（2.1-8）將μ’表示為和的函數(shù)，下面介紹詳細(xì)的推導(dǎo)過程。由Sutherland公式可知是的函數(shù)，（2.1-18）相對來說是很小的量，可用的微分近似，（2.1-19）考慮到，代入上式，則得到的近似表達(dá)式，（2.1-20）或簡寫為，（2.1-21）其中，是基本流溫度的函數(shù)，即。（2.1-22）（第一部分工作是方程無量綱化，變?yōu)殛P(guān)于五個未知量的五個方程，注意特征長度的選擇和以前略有不同，再就是將瞬時量設(shè)為定?；玖髋c擾動量之和減去基本流得到擾動方程）2.1.1線性拋物化穩(wěn)定性方程對于小擾動情況，非線性擾動方程（2.1-16）中的非線性部分可以略去，從而得到線性擾動方程（注：對于小擾動，可以忽略不同頻率不同展向波長波的之間的非線性作用，對于有限幅值擾動，非線性作用不可忽略，線性拋物化穩(wěn)定性方程不再適用）（2.1-23）這是一個橢圓型方程（？如何判斷一個方程是何種方程），對其求解需要知道計(jì)算域所有邊界上的條件，且計(jì)算量很大?？紤]到要研究擾動沿空間的演化，假設(shè)擾動是時間和展向的周期函數(shù)，（2.1-24）其中為復(fù)數(shù)形式的形狀函數(shù)(在哪定義的？)矢量，為復(fù)數(shù)形式的流向波數(shù)，其虛部為i，-i為增長率，為展向波數(shù)，ω為頻率，c.c.表示復(fù)共軛。此形式與空間模式線性穩(wěn)定性理論（找是什么）的行波表達(dá)式類似，但由于考慮邊界層的增長，形狀函數(shù)和波數(shù)都是x的緩變函數(shù)。將（2.1-24）式代入線性擾動方程（2.1-23）式，得到線性穩(wěn)定性方程（如何得到？為什么啊），（2.1-25）其中系數(shù)矩陣為。至此，線性穩(wěn)定性方程（2.1-25）仍然是橢圓型的（這又是為什么？），下面介紹如何將其拋物化。用（2.1-6）式估計(jì)方程（2.1-25）中各導(dǎo)數(shù)，并考慮方程各項(xiàng)系數(shù)的量級，得如下的量級估式。11（2.1-26）（，，由矩陣形式判斷量級皆為）（，量級為1？有原因嗎）雷諾數(shù)一般是一個大數(shù)，則是個小量，是二階小量。去掉方程中二階以上小量（即含的項(xiàng)），就得線性拋物化穩(wěn)定性方程（有一個特征值為0就是拋物型）。（2.1-27）由于方程（2.1-27）已是拋物型的，計(jì)算時只需定出入口條件，即可向下游逐步推進(jìn)計(jì)算，工作量比解橢圓型方程要小得多。線性PSE方程（2.1-27）中系數(shù)矩陣的元素詳見附錄2。去掉量級小量的過程即為拋物化（這么定義的？）。它實(shí)際上利用了下述事實(shí)。由于基本流沿流向只是逐漸改變，擾動形狀函數(shù)的變化也是緩慢的，以致其二階導(dǎo)數(shù)相對于其一階導(dǎo)數(shù)可以忽略。壁面處使用無滑移邊界條件和等溫或絕熱條件。使用等溫條件時為，（2.1-28）使用絕熱條件時為。（2.1-29）邊界層外的自由流條件為。（2.1-30）另外，在上下邊界層都用連續(xù)性方程作為邊界條件，使得方程封閉。方程（2.1-27）中有兩個未知函數(shù)，即形狀函數(shù)和波數(shù)，一個方程不足以解這兩個量，這就需要補(bǔ)充一個條件。通常使用的有以下四種補(bǔ)充條件，（如何確定選哪一個），（2.1-31），（2.1-32），（2.1-33），（2.1-34）其中上標(biāo)c表示復(fù)共軛。具體應(yīng)用某一補(bǔ)充條件時，需要對波數(shù)進(jìn)行迭代求解，直至其收斂于某一固定值。上面四個補(bǔ)充條件分別對應(yīng)下面四個迭代公式，（2.1-35），（2.1-36），（2.1-37），（2.1-38）其中E為擾動能量。本文采用補(bǔ)充條件（2.1-34），這相當(dāng)于由形狀函數(shù)決定的能量沿流向幾乎是不變的。于是擾動能量的增長就完全體現(xiàn)在波數(shù)的虛數(shù)部分，而擾動的相位變化則體現(xiàn)在波數(shù)的實(shí)數(shù)部分中。實(shí)際應(yīng)用這一條件（2.1-34）時要用式（2.1-38）算出一新的波數(shù)αnew。然后返回去用方程（2.1-27）重算一個新的解。如此反復(fù)迭代，直至的變化小于預(yù)設(shè)的小量（本文在實(shí)際計(jì)算中?。?。具體的講，迭代過程分為以下三個步驟（以流向的第i+1個節(jié)點(diǎn)處的計(jì)算過程為例）：（1）在xi+1處預(yù)估一個流向波數(shù)αold，本文取的是前一個流向節(jié)點(diǎn)處的波數(shù)，即。用這個波數(shù)計(jì)算得到當(dāng)?shù)氐男螤詈瘮?shù)。（2）利用波數(shù)迭代公式（2.1-25），用剛得到的形狀函數(shù)和已有的流向波數(shù)αold解出一個新的波數(shù)αnew。（3）判斷新舊流向波數(shù)之間的差是否小于預(yù)設(shè)小量ε。若大于ε，則返回步驟（1），用最新的波數(shù)再計(jì)算一個解。如此反復(fù)迭代，直至小于ε，即認(rèn)為現(xiàn)有波數(shù)和形狀函數(shù)已足夠準(zhǔn)確，可取為當(dāng)?shù)卣娼狻?.1.2非線性拋物化穩(wěn)定性方程在上面的線性PSE中用到了一小擾動假設(shè)，即擾動幅值很小，以至于不同頻率、不同展向波長的波之間的非線性作用可以忽略。對于有限幅值擾動的演化，線性PSE則不再適用，而要用非線性PSE進(jìn)行研究。仍然假設(shè)擾動是時間和展向的周期函數(shù)。非線性作用將激發(fā)高次諧波，它們的波數(shù)和頻率與基本波的波數(shù)和頻率將是整倍數(shù)的關(guān)系，因此擾動展成如下的Fourier級數(shù)形式，（2.1-39）其中表示階數(shù)為（m，n）時的形狀函數(shù)，表示階數(shù)為（m，n）時的流向波數(shù)，其頻率為，展向波數(shù)為。當(dāng)然計(jì)算中Fourier級數(shù)只能取有限多項(xiàng)，（2.1-40）其中M和N表示級數(shù)截?cái)嗟碾A數(shù)。為了提高運(yùn)算速度，本文使用了快速Fourier變換（FFT）。將（2.1-40）擾動展開式代入非線性擾動方程（2.1-16），再去掉方程中含的項(xiàng)，并將波數(shù)和頻率相同的項(xiàng)放在一起，則對階數(shù)為（m，n）的波，其形狀函數(shù)滿足如下的拋物化穩(wěn)定性方程，（2.1-41）其中為階數(shù)為（m，n）時的非線性項(xiàng)，其表達(dá)式為，（2.1-42）其中是擾動方程（2.1-16）中非線性項(xiàng)的Fourier級數(shù)。（2.1-43）（這是為什么不含波動項(xiàng)？）由于開始時非線性項(xiàng)是外差得到的，不是非常準(zhǔn)確，所以也要進(jìn)行迭代。與前面提到流向波數(shù)的迭代過程類似：先用一個不太準(zhǔn)的非線性項(xiàng)計(jì)算出當(dāng)?shù)氐男螤詈瘮?shù)的波數(shù)，再用剛得到的形狀函數(shù)和波數(shù)計(jì)算出一個新的非線性項(xiàng)，然后再用這個非線性項(xiàng)算形狀函數(shù)和波數(shù)，直至結(jié)果不再變化為止。非線性PSE中流向波數(shù)的處理稍復(fù)雜一些。如果入口處擾動波加在階數(shù)（m0，n0）上，則對應(yīng)的波數(shù)與線性PSE一樣，要用（2.1-38）進(jìn)行迭代。其它階數(shù)的波數(shù)不用迭代，而直接使用“相速度相等”假設(shè)，（2.1-44）即假設(shè)其它階數(shù)的波的相速度（即）與所加擾動波的相同。由于是實(shí)數(shù)，所以方程（2.1-41）中只需對的階數(shù)進(jìn)行計(jì)算，其它的階數(shù)為它們的共軛。每一個階數(shù)（m，n）下的非線性PSE，都與頻率為，展向波數(shù)為的線性PSE基本相同，只是方程右邊多了一個非線性的驅(qū)動項(xiàng)。邊界條件、方程求解步驟都與線性PSE的基本相同。但m=n=0的波實(shí)際上是對平均流的修正，求解時上邊界的自由流條件應(yīng)改為。（2.1-45）此邊界條件使得平均流保持質(zhì)量平衡。2.2基本流和入口條件PSE是研究擾動演化的方法，需要事先知道整個計(jì)算域的基本流和入口的擾動條件。本文研究的是可壓縮平板邊界層中三維擾動的演化，而基本流是二維的。它可以取Blasius相似性解，或者取由直接數(shù)值模擬得到的定?；玖?。Blasius相似性解的解法可文獻(xiàn)（周恒，趙耕夫2004）。這樣計(jì)算得到的邊界層厚度沿流向增長，與到平板前緣距離的二分之一次方成正比，基本流顯然不是平行流。拋物化穩(wěn)定性方程的好處之一是可以考慮基本流的非平行性。由于邊界層方程忽略了某些高階小量，所以Blasius相似性解并不是N-S方程的準(zhǔn)確解。將Blasius解作為用N-S方程計(jì)算基本流時的入口條件，在計(jì)算域入口附近會有一個調(diào)整過程，即有一個過渡區(qū)。真正的計(jì)算域應(yīng)從這過渡區(qū)后開始。入口條件的選取是PSE中一個重要的問題。因?yàn)镻SE只能計(jì)算擾動演化，事先需要給出計(jì)算域起始位置的擾動。一般都選取用線性穩(wěn)定性理論得到的T-S波作為入口擾動。雖然其中用了平行流假設(shè)，因而它不是PSE方程的精確解，但在迭代過程中，很快就能調(diào)整過來。對于線性拋物化穩(wěn)定性方程，入口處擾動幅值可以任意給定，本文所取幅值與LST中一樣，為1。而對于非線性PSE，入口處擾動需按實(shí)際情況給出具體值。2.3計(jì)算網(wǎng)格和差分格式2.3.1計(jì)算網(wǎng)格流用等間距的網(wǎng)格。對于線性計(jì)算，流向步長可以取1/3擾動波長或更大，而對于非線性計(jì)算，流向步長一般可取1/20的擾動基本波波長或更小。法向用變間距網(wǎng)格，靠近壁面處網(wǎng)格較密。為了在法向便于使用高精度等間距差分格式，一般將方程變換到等間距的計(jì)算坐標(biāo)=(y)下。本文所取變換形式如下，（2.3-1）其中為y方向計(jì)算域長度，為y方向網(wǎng)格數(shù)，，，b為常數(shù)，其表達(dá)式為，（2.3-2）其中常數(shù)k為上邊界網(wǎng)格寬度和下邊界網(wǎng)格寬度之比：。（2.3-3）以=40，=40，k=300為例，圖（2.3-1）畫出了y方向的網(wǎng)格分布。圖2.3-1y方向變間距網(wǎng)格分布2.3.2差分格式（選用何種格式有理由嗎？）流向的一階導(dǎo)數(shù)差分化時可用一階或二階精度的單邊差分格式如下：，（2.3-4）。（2.3-5）在法向?qū)ψ鴺?biāo)的一階和二階導(dǎo)數(shù)，用如下的四階精度的中心差分格式，（2.3-6）。（2.3-7）在臨近上下邊界處要適當(dāng)降低精度。在臨近下邊界的點(diǎn)用如下的差分格式，（2.3-8）。（2.3-9）在臨近上邊界的點(diǎn)用如下的差分格式，（2.3-10）。（2.3-11）在下邊界點(diǎn)，一階導(dǎo)數(shù)使用如下的差分格式。（2.3-12）在上邊界點(diǎn)，一階導(dǎo)數(shù)使用如下的差分格式。（2.3-14）函數(shù)對y的一階和二階導(dǎo)數(shù)，則可用下式計(jì)算。。（2.3-15）（2.3-16）2.3.3數(shù)值不穩(wěn)定性PSE的方程（2.1-27）和（2.1-41）的求解過程中有一個重要的問題，就是數(shù)值不穩(wěn)定性。PSE方程不是完全的拋物型方程，而存在著殘余橢圓性，殘余橢圓性造成計(jì)算中會出現(xiàn)很強(qiáng)的數(shù)值不穩(wěn)定性。殘余橢圓性的存在可以從數(shù)值計(jì)算和數(shù)學(xué)原理兩個方面解釋。一方面，前面提到，PSE的系數(shù)中存在流向波數(shù)，而是事先未知的，需要通過迭代求出。這說明方程的解和方程的系數(shù)互相影響，因此方程會存在橢圓性。另一方面，將PSE方程（2.1-27）和（2.1-41）所對應(yīng)的擾動方程的線性部分單獨(dú)拿出來，對其作特征分析可以看出（如何分析？），有一個特征值在靠近壁面處不是正實(shí)數(shù)，因此方程存在橢圓性。Chang等（1991，1993）具體地介紹了PSE的殘余橢圓性，并提出了消除數(shù)值不穩(wěn)定性的方法。事實(shí)上，Chang等只是引用了Vigneron等（1978）在解決拋物化N－S方程（PNS）的殘余橢圓性時所提出的方法，所以Chang等也稱之為Vigneron技術(shù)。Haj-Hariri（1994），Li和Malik（1996）則從數(shù)學(xué)上證明了殘余橢圓性的存在，且證明了Vigneron技術(shù)在消除數(shù)值不穩(wěn)定性的同時，仍保持了解的準(zhǔn)確性。對于線性PSE來說，當(dāng)流向步長大于1/3波長時（步長取1/3波長或更大時，計(jì)算結(jié)果仍可以足夠準(zhǔn)確），殘余橢圓性較弱，計(jì)算中基本上沒有數(shù)值不穩(wěn)定性，這時可以不用Vigneron技術(shù)。當(dāng)流向步長小于1/3波長時，殘余橢圓性較強(qiáng)，計(jì)算中會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定性，這時應(yīng)該用Vigneron技術(shù)。對于非線性PSE來說，只有步長小于1/20基本波長的時候，計(jì)算結(jié)果才足夠準(zhǔn)確，所以必須使用Vigneron技術(shù)。具體地說，Vigneron技術(shù)就是在流向動量方程中去掉部分或全部的流向壓力梯度，即讓乘以一個大于等于0且小于等于1的實(shí)數(shù)，即Vigneron系數(shù)。因?yàn)镻SE方程已經(jīng)用狀態(tài)方程消去壓力，所以在PSE線性部分，Vigneron系數(shù)都乘在上，而在非線性項(xiàng)中，Vigneron系數(shù)則乘在上。Vigneron系數(shù)V的取值一般使用下面公式（2.3-17）其中，是當(dāng)?shù)伛R赫數(shù)，是當(dāng)?shù)芈曀?。如果為了方便，將所有的Vigneron系數(shù)都取0也可以，計(jì)算結(jié)果仍然準(zhǔn)確。

3數(shù)值計(jì)算的檢驗(yàn)PSE作為一種新的計(jì)算方法，其數(shù)值計(jì)算的結(jié)果需要經(jīng)受檢驗(yàn)。下面分別介紹對線性和非線性PSE計(jì)算的檢驗(yàn)。3.1線性PSE計(jì)算的檢驗(yàn)用線性PSE得到的可壓縮邊界層中小擾動的演化結(jié)果與傳統(tǒng)的LST的結(jié)果進(jìn)行比較。因?yàn)樵诖罄字Z數(shù)處邊界層近似平行，LST結(jié)果足夠準(zhǔn)確，可以作為檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)。為了循序漸進(jìn)，先檢驗(yàn)線性PSE在平行流中的計(jì)算結(jié)果（3.1.1），再檢驗(yàn)線性PSE在非平行流中的計(jì)算結(jié)果（3.1.2）。3.1.1線性PSE在平行流中計(jì)算的檢驗(yàn)把線性PSE方法用于平行流中擾動演化的計(jì)算，并將其結(jié)果與線性穩(wěn)定性理論的結(jié)果相比較。PSE沿流向要推進(jìn)計(jì)算，LST只計(jì)算一個剖面下的結(jié)果即可。對亞音速（馬赫數(shù)M＝0.3）邊界層和超音速（馬赫數(shù)M＝4.5）邊界層中的擾動演化結(jié)果都進(jìn)行了檢驗(yàn)。對于亞音速邊界層來說，不穩(wěn)定擾動只有一個模態(tài)。對于馬赫數(shù)為4.5的超音速邊界層來說，不穩(wěn)定模態(tài)有兩個，通常稱作第一和第二模態(tài)。3.1.1.1線性PSE在亞音速平行流中計(jì)算的檢驗(yàn)基本流取為平板二維Blasius相似性解，但將其局部平行化，馬赫數(shù)M＝0.3，自由來流溫度255.7K，普朗特?cái)?shù)Pr＝0.707，雷諾數(shù)Re0＝1706；入口擾動為平行流假設(shè)下線性穩(wěn)定性理論空間模式的增長的三維T－S波，其流向波數(shù)α=0.07873589-0.0008705923i，頻率ω＝0.02844068，展向波數(shù)β＝0.1706441，壁面用無滑移條件和定溫條件，溫度Tw=259.6K。圖3.1-1和圖3.1-2分別畫出了線性PSE和線性穩(wěn)定性理論得到的流向波數(shù)的實(shí)部和虛部沿流向的變化，其中虛部的負(fù)值為擾動增長率?？梢?，在經(jīng)過入口處附近的調(diào)整之后，線性PSE到x＝300處后已不再變化，線性穩(wěn)定性理論所給之值的相對偏差為10－4量級。圖3.1-3至圖3.1-7畫出了x＝400處線性PSE得到的擾動形狀函數(shù)（下游結(jié)果與此處完全相同），以及線性穩(wěn)定性理論得到的結(jié)果。二者是一致的。圖3.1-1流向波數(shù)實(shí)部αr圖3.1-2流向波數(shù)虛部αi圖3.1-3流向速度擾動剖面圖3.1-4法向速度擾動剖面圖3.1-5展向速度擾動剖面圖3.1-6密度擾動剖面圖3.1-7溫度擾動剖面3.1.1.2線性PSE在超音速平行流第一模態(tài)擾動演化中計(jì)算的檢驗(yàn)基本流為平板二維Blasius相似性解，但將其局部平行化。馬赫數(shù)M＝4.5，自由來流溫度255.7K，普朗特?cái)?shù)Pr＝0.707，入口雷諾數(shù)Re0＝10494；入口擾動為線性穩(wěn)定性理論空間模式第一模態(tài)增長的三維T－S波，其流向波數(shù)α=0.06479422-0.0004128761i，頻率ω＝0.05351234，展向波數(shù)β＝0.02331896，壁面用無滑移條件和定溫條件，溫度Tw=1116.8K。圖3.1-8和圖3.1-9分別畫出了線性PSE和線性穩(wěn)定性理論得到的流向波數(shù)的實(shí)部和虛部。線性PSE所給出的值在經(jīng)過入口處附近的調(diào)整之后，到x＝100后不再變化，與線性穩(wěn)定性理論所給值的相對偏差為10－4量級（如何看出來的偏差？）。圖3.1-10至圖3.1-14畫出了x＝100處線性PSE得到的擾動形狀函數(shù)（下游結(jié)果與此處完全相同），以及線性穩(wěn)定性理論得到的結(jié)果。二者是一致的。圖3.1-8流向波數(shù)實(shí)部αr圖3.1-9流向波數(shù)虛部αi圖3.1-10流向速度擾動剖面圖3.1-11法向速度擾動剖面圖3.1-12展向速度擾動剖面圖3.1-13密度擾動剖面圖3.1-14溫度擾動剖面3.1.1.3線性PSE在超音速平行流第二模態(tài)擾動演化中計(jì)算的檢驗(yàn)基本流為平板二維平行的Blasius相似性解，但將其局部平行化。馬赫數(shù)M＝4.5，自由來流溫度255.7K，普朗特?cái)?shù)Pr＝0.707，入口雷諾數(shù)Re0＝11251；入口擾動為線性穩(wěn)定性理論給出的空間模式第二模態(tài)增長的三維T－S波，其流向波數(shù)α=0.2740305-0.004373686i，頻率ω＝0.2518447，展向波數(shù)β＝0.04663792，壁面用無滑移條件和定溫條件，溫度Tw=1116.8K。圖3.1-15和圖3.1-16分別畫出了線性PSE和線性穩(wěn)定性理論得到的流向波數(shù)的實(shí)部和虛部。可見，線性PSE所給流向波數(shù)的實(shí)部和虛部，在經(jīng)過入口處附近的調(diào)整之后，到x＝1000后已不再變化，與線性穩(wěn)定性所給之值的相對偏差為10－4量級。圖3.1-17至圖3.1-21畫出了x＝1000處線性PSE得到的擾動形狀函數(shù)（下游結(jié)果與此處完全相同），以及線性穩(wěn)定性理論得到的結(jié)果。二者是一致的。圖3.1-15流向波數(shù)實(shí)部αr圖3.1-16流向波數(shù)虛部αi圖3.1-17流向速度擾動剖面圖3.1-18法向速度擾動剖面圖3.1-19展向速度擾動剖面圖3.1-20密度擾動剖面圖3.1-21溫度擾動剖面通過上面三個算例的檢驗(yàn)可見，使用本文所用的入口擾動，迭代條件和差分格式，在平行的基本流下計(jì)算擾動演化，線性PSE得到的結(jié)果和由線性穩(wěn)定性理論所得結(jié)果是可比的。線性PSE在平行流中的計(jì)算是可靠的。3.1.2線性PSE在非平行流中計(jì)算的檢驗(yàn)把線性PSE方法用于非平行流中擾動演化的計(jì)算，并將其結(jié)果與線性穩(wěn)定性理論的結(jié)果相比較。PSE沿流向要推進(jìn)計(jì)算，LST在流向每個位置都要單獨(dú)計(jì)算一次，并將當(dāng)?shù)氐慕Y(jié)果與PSE的對比。對亞音速（馬赫數(shù)M＝0.3）邊界層和超音速（馬赫數(shù)M＝4.5）邊界層中的擾動演化結(jié)果都進(jìn)行了檢驗(yàn)。3.1.1.2線性PSE在亞音速非平行流中計(jì)算的檢驗(yàn)基本流為平板二維非平行的Blasius相似性解，馬赫數(shù)M＝0.3，自由來流溫度255.7K，普朗特?cái)?shù)Pr＝0.707，入口雷諾數(shù)Re0＝5119；入口擾動為空間模式線性穩(wěn)定性理論給出的三維T－S波，其流向波數(shù)α=0.03518606+0.0004978373i，頻率ω＝0.006768882，展向波數(shù)β＝0.01137627，壁面用無滑移條件和定溫條件，溫度Tw=259.6K。圖3.1-22和圖3.1-23分別畫出了線性PSE和線性穩(wěn)定性理論得到的流向波數(shù)的實(shí)部和虛部沿流向的變化。該三維T－S波沿流向經(jīng)歷了由衰減到增長，再由增長到衰減的過程。兩種方法所得擾動流向波數(shù)實(shí)部αr和增長率-αi相符。圖3.1-24到圖3.1-31畫出了入口下游x＝10548，21097，31645，42193四個位置處的擾動剖面，兩種方法所得結(jié)果也相符。圖3.2-22波數(shù)實(shí)部αr沿流向變化圖3.1-23波數(shù)虛部αi沿流向變化圖3.1-24x＝10548處速度擾動剖面圖3.1-25x＝10548處溫度擾動剖面圖3.1-26x＝21097處速度擾動剖面圖3.1-27x＝21097處溫度擾動剖面圖3.1-28x＝31645處速度擾動剖面圖3.1-29x＝31645處溫度擾動剖面圖3.1-30x＝42193處速度擾動剖面圖3.1-31x＝42193處溫度擾動剖面3.1.2.2線性PSE在超音速非平行流第一模態(tài)擾動演化中計(jì)算的檢驗(yàn)基本流為平板二維非平行的Blasius相似性解，馬赫數(shù)M＝4.5，自由來流溫度255.7K，普朗特?cái)?shù)Pr＝0.707，入口雷諾數(shù)Re0＝11251；入口擾動為空間模式線性穩(wěn)定性理論給出的第一模態(tài)三維T－S波，其流向波數(shù)α=0.01564881-0.00003612885i，頻率ω＝0.01223779，展向頻率β＝0.002331896，壁面用無滑移條件和定溫條件，溫度Tw=1116.8K。圖3.1-32和圖3.1-33分別畫出了線性PSE和線性穩(wěn)定性理論得到的流向波數(shù)的實(shí)部和虛部沿流向的變化。該三維T－S波沿流向經(jīng)過了增長率逐漸變大，再逐漸減小，直到衰減的過程。兩種方法所得結(jié)果非常接近。圖3.1-34到圖3.1-41畫出了入口下游x＝171534，343069，514603，686137四個位置處的擾動剖面。兩種方法所得結(jié)果吻合。圖3.1-32波數(shù)實(shí)部αr沿流向變化圖3.1-33波數(shù)虛部αi沿流向變化圖3.1-34x＝171534處速度擾動剖面圖3.1-35x＝171534處溫度擾動剖面圖3.1-36x＝343069處速度擾動剖面圖3.1-37x＝343069處溫度擾動剖面圖3.1-38x＝514603處速度擾動剖面圖3.1-39x＝514603處溫度擾動剖面圖3.1-40x＝686137處速度擾動剖面圖3.1-41x＝686137處溫度擾動剖面3.1.2.3線性PSE在超音速非平行流第二模態(tài)擾動演化中計(jì)算的檢驗(yàn)基本流為平板二維非平行的Blasius相似性解，馬赫數(shù)M＝4.5，自由來流溫度255.7K，普朗特?cái)?shù)Pr＝0.707，入口雷諾數(shù)Re0＝11251；入口擾動為空間模式線性穩(wěn)定性理論給出的第二模態(tài)三維T－S波，其流向波數(shù)α=0.2189046+0.001522132i，頻率ω＝0.2170412，展向波數(shù)β＝0.04663792，壁面用無滑移條件和定溫條件，溫度Tw=1116.8K。圖3.1-42和圖3.1-43分別畫出了線性PSE和線性穩(wěn)定性理論得到的流向波數(shù)的實(shí)部和虛部沿流向的變化。該三維T－S波沿流向經(jīng)歷了由衰減到增長，再到衰減的過程。兩種方法所得結(jié)果基本吻合。圖3.1-44到圖3.2-51畫出了入口下游x＝2745，5489，8234，10978四個位置處的擾動剖面。兩種方法所得結(jié)果吻合。圖3.1-42波數(shù)實(shí)部αr沿流向變化圖3.1-43波數(shù)虛部αi沿流向變化圖3.1-44x＝2745處速度擾動剖面圖3.1-45x＝2745處溫度擾動剖面圖3.1-46x＝5489處速度擾動剖面圖3.1-47x＝5489處溫度擾動剖面圖3.1-48x＝8234處速度擾動剖面圖3.1-49x＝8234處溫度擾動剖面圖3.1-50x＝10978處速度擾動剖面圖3.1-51x＝10978處溫度擾動剖面通過上面三個算例的檢驗(yàn)可見，無論是亞音速還是超音速邊界層，用線性PSE計(jì)算得到的擾動的波數(shù)，增長率和剖面都是可信的。線性PSE在非平行流中的計(jì)算是可靠的。3.2非線性PSE計(jì)算的檢驗(yàn)非線性拋物化穩(wěn)定性方程在不可壓縮邊界層中應(yīng)用的檢驗(yàn)，已經(jīng)很充分了。Herbert和Bertolotti（1992），Esfahanian等（2001）將非線性PSE的計(jì)算結(jié)果與空間模式的直接數(shù)值模擬的結(jié)果做對比。他們發(fā)現(xiàn)二者計(jì)算結(jié)果幾乎完全一致，包括平均流修正、基本波、高次諧波的剖面形狀和幅值大小，如圖1-3所示。Malik等（1999）則將非線性PSE計(jì)算所得各階波的幅值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比，發(fā)現(xiàn)二者一致?？蓧嚎s的非線性拋物化穩(wěn)定性方程更為復(fù)雜，其在邊界層中應(yīng)用的檢驗(yàn)尚不充分。目前見到的工作主要來自NASA下屬Langley研究中心（NASALangleyResearchCenter）的Chang等人（1991）。他們用非線性的PSE計(jì)算了馬赫數(shù)4.5的邊界層中第二模態(tài)T—S波的演化，并將擾動的二次諧波的密度剖面與時間模式DNS的結(jié)果對比。結(jié)果表明兩種計(jì)算結(jié)果基本一致。Pruett和Chang（1995）、Pruett等人（1995）改用空間模式DNS與PSE比較，但是只比較了平均流修正，沒有比較二次諧波。要充分驗(yàn)證非線性PSE在可壓縮邊界層中擾動演化問題中的應(yīng)用，上述工作是不夠的。充分、完整的檢驗(yàn)工作應(yīng)該同時滿足下面4個要求：（1）應(yīng)將非線性PSE的結(jié)果與空間模式，而不是時間模式DNS結(jié)果進(jìn)行比較。（2）應(yīng)該比較多種典型流動情況，包括不同的馬赫數(shù)和不同的擾動模態(tài)，而不僅限于第二模態(tài)擾動。（3）應(yīng)該比較各階擾動，包括平均流修正、基本擾動和高次諧波，而不僅限于二次諧波。（4）對各階擾動，應(yīng)該都比較其幅值大小和剖面形狀，而不僅是形狀。本文將選取三種典型流動情況，將非線性PSE計(jì)算結(jié)果與空間模式DNS結(jié)果進(jìn)行對比，對比內(nèi)容包括平均流修正、基本擾動和二次諧波的幅值大小和剖面形狀。另外，前面提到基本流可以取DNS計(jì)算得到的定?；玖?，也可以取Blasius相似性解。這兩種基本流差別很小，但是用DNS計(jì)算擾動演化時為了避免數(shù)值振蕩，只能使用前者。本文在兩種基本流下都做了PSE計(jì)算，觀察結(jié)果是否有所差別。如果沒有差別，則以后用PSE計(jì)算時都可使用Blasius相似性解，從而避免了用DNS計(jì)算定?；玖魉ǖ臅r間。3.2.1非線性PSE（即為NPSE）在亞音速邊界層中計(jì)算的檢驗(yàn)3.2.1.1基本流為直接數(shù)值模擬所得的情況基本流為由直接數(shù)值模擬所得的定常層流，馬赫數(shù)M＝0.3，自由來流溫度300K，普朗特?cái)?shù)Pr＝0.707，計(jì)算域入口處的雷諾數(shù)Re0＝1138；入口擾動為空間模式線性穩(wěn)定性理論給出的增長的二維T－S波，其流向波數(shù)α=0.09498115-0.00424745i，頻率為ω＝0.02844742，擾動幅值為0.0001，壁面使用無滑移條件和等溫條件，溫度Tw=304.5K。非線性PSE和DNS計(jì)算時取同樣的網(wǎng)格，法向計(jì)算域長度為70.3，約合20倍邊界層名義厚度，法向共200個網(wǎng)格點(diǎn)，其中邊界層內(nèi)不少于80個網(wǎng)格點(diǎn)，流向的計(jì)算步長為3.515，約為基本擾動波長的1/20。在用非線性PSE進(jìn)行計(jì)算時，考慮到入口處加入的是二維擾動，所以只需考慮二維情況，式（2.1-40）和（2.1-41）中m取-7到7，n取0。T－S波對應(yīng)的階數(shù)是（1，0），為基本擾動。由Fourier級數(shù)的知識可知，擾動在物理空間的幅值是0.0001的話，在Fourier展開譜空間的階數(shù)為（1，0）的波上的幅值就是0.0001/2，同時在階數(shù)為（-1，-0）的波上的幅值也是0.0001/2。階數(shù)為（2，0）的擾動就是二次諧波，階數(shù)為（3，0）的擾動就是三次諧波，以此類推，直至七次諧波，而階數(shù)為（0，0）的擾動就是平均流修正。非線性PSE計(jì)算可直接得到各階數(shù)的擾動，而DNS得到的則是各個空間點(diǎn)和各個時刻的物理量。因此，要將PSE的結(jié)果和DNS的結(jié)果相比，就要對DNS結(jié)果作譜分析。所用公式如下，，（3.2-1）其中u’為擾動速度，即瞬時速度減去基本流的速度，為階數(shù)為（m，n）的擾動的形狀函數(shù)，β為展向基本波數(shù)，ω為基頻。當(dāng)然計(jì)算中譜分析也只需取有限多項(xiàng)，（3.2-2）其中M和N表示譜分析截?cái)嗟碾A數(shù)。圖3.2-1畫出了非線性PSE和DNS計(jì)算得到的入口下游x＝598，x＝773，x＝949，x＝1125四處的（0，0）階擾動剖面，也就是平均流修正，其中圖（a）畫的是平均速度修正剖面，圖（b）畫的是平均溫度修正剖面。非線性PSE和DNS計(jì)算得到的結(jié)果完全一致。圖3.2-2畫出了同樣位置處的（1，0）階，即基本擾動幅值剖面。為了便于與DNS的結(jié)果比較，PSE得到基本擾動的幅值都已經(jīng)乘上了放大倍數(shù)N，即放大率的積分。由圖可見，非線性PSE和DNS計(jì)算得到的基本擾動完全一致。圖3.2-3畫出了同樣位置處的（2，0）階擾動，即二次諧波的幅值剖面。由圖可見，非線性PSE和DNS計(jì)算得到的二次諧波完全一致。這里，基本擾動的高次諧波只比較到了二次諧波，更高次的未作比較，這是因?yàn)橹苯訑?shù)值模擬的分辨率不夠，無法準(zhǔn)確分辨三次及三次以上的諧波。非線性拋物化穩(wěn)定性方程只能計(jì)算有限次的諧波，但對每一個的諧波來說，其數(shù)值計(jì)算的分辨率都不成問題。問題是如果擾動幅值更大，則計(jì)算時需要將更高階的諧波包括進(jìn)來。而對直接數(shù)值模擬而言，看起來似乎直接包含了很高次的諧波，但實(shí)際上，對高次諧波來說，其分辨率受到網(wǎng)格密度的制約。例如，本節(jié)中直接數(shù)值模擬在一個基本波長里約有20個網(wǎng)格點(diǎn)，在2次諧波的一個波長里就只有約10個網(wǎng)格點(diǎn)，做譜分析時，還勉強(qiáng)可以。但是對3次諧波來說，一個波長里只有約6個網(wǎng)格點(diǎn)，做譜分析（對空間數(shù)據(jù)進(jìn)行格局、尺度分析的一種數(shù)學(xué)方法,運(yùn)用傅里葉變換求取觀測數(shù)據(jù)分解產(chǎn)生正弦波及擬合最優(yōu)波函數(shù)。）時，其精度就不夠了，更高次的諧波更是如此。如果想用直接數(shù)值模擬準(zhǔn)確分辨更高次的諧波，就需要進(jìn)一步加密計(jì)算網(wǎng)格，而這就要大大增加計(jì)算量。對于本算例來說，非線性PSE計(jì)算擾動演化結(jié)果與DNS所得完全一致，而前者所用時間比后者的小了約兩個數(shù)量級。（a）擾動速度剖面（b）擾動溫度剖面圖3.2-1入口下游x＝598，773，949，1125處（0，0）階擾動剖面（圖中四種線型表示PSE計(jì)算結(jié)果，四種標(biāo)記符號表示DNS結(jié)果。）（a）擾動速度幅值剖面（b）擾動溫度幅值剖面圖3.2-2入口下游x＝598，773，949，1125處（1，0）階擾動幅值剖面（圖中四種線型表示PSE計(jì)算結(jié)果，四種標(biāo)記符號表示DNS結(jié)果。）（a）擾動速度幅值剖面（b）擾動溫度幅值剖面圖3.2-3入口下游x＝598，773，949，1125處（2，0）階擾動幅值剖面（圖中四種線型表示PSE計(jì)算結(jié)果，四種標(biāo)記符號表示DNS結(jié)果。）3.2.1.2基本流為Blasius相似性解的情況直接數(shù)值模擬計(jì)算的是完全的N－S方程，在入口加入擾動之前基本流需要計(jì)算至定常。而PSE則不同，它計(jì)算的是擾動量，選擇其它的基本流在計(jì)算上沒有什么困難，所以如果能有足夠近似的基本流，也能滿足精度要求。為此以下我們試用Blasius相似性解作為基本流，看其對非線性PSE計(jì)算結(jié)果的精度有何影響。圖3.2-4－3.2-7分別畫出了使用兩種基本流，通過非線性PSE計(jì)算得到的入口下游x＝598，x＝773，x＝949，x＝1125處的（0，0）、（1，0）、（2，0）和（7，0）階擾動的剖面。由圖可見，二者所得得各階擾動的幅值和剖面形狀完全一致。這就表明對于平板二維亞音速邊界層來說，用Blasius相似性解作為基本流，同樣可保證PSE計(jì)算結(jié)果的精度。（a）擾動速度剖面（b）擾動溫度剖面圖3.2-4入口下游x＝598，773，949，1125處PSE得到的（0，0）階擾動剖面（圖中四種線型表示用的是DNS計(jì)算的定?；玖鳎姆N標(biāo)記符號表示用的是Blasius相似性解。）（a）擾動速度幅值剖面（b）擾動溫度幅值剖面圖3.2-5入口下游x＝598，773，949，1125處PSE得到的（1，0）階擾動幅值剖面（圖中四種線型表示用的是DNS計(jì)算的定?；玖鳎姆N標(biāo)記符號表示用的是Blasius相似性解。）（a）擾動速度幅值剖面（b）擾動溫度幅值剖面圖3.2-6入口下游x＝598，773，949，1125處PSE得到的（2，0）階擾動幅值剖面（圖中四種線型表示用的是DNS計(jì)算的定?；玖鳎姆N標(biāo)記符號表示用的是Blasius相似性解。）（a）擾動速度幅值剖面（b）擾動溫度幅值剖面圖3.2-7入口下游x＝598，773，949，1125處PSE得到的（7，0）階擾動幅值剖面（圖中四種線型表示用的是DNS計(jì)算的定常基本流，四種標(biāo)記符號表示用的是Blasius相似性解。）3.2.2非線性PSE在超音速邊界層第一模態(tài)擾動演化中計(jì)算的檢驗(yàn)3.2.2.1基本流為直接數(shù)值模擬所得的情況基本流為由直接數(shù)值模擬所得的定常層流，馬赫數(shù)M＝4.5，自由來流溫度255.7K，普朗特?cái)?shù)Pr＝0.72，計(jì)算域入口處的雷諾數(shù)Re0＝10471；入口擾動為空間模式線性穩(wěn)定性理論給出的第一模態(tài)二維T－S波，其流向波數(shù)α=0.0642482-0.0003461351i，頻率ω＝0.05333153，擾動幅值為0.01，壁面用無滑移條件和絕熱條件。非線性PSE和DNS計(jì)算時取同樣的網(wǎng)格，法向計(jì)算域長度為171.9，約合15倍邊界層名義厚度，共300個網(wǎng)格點(diǎn)，其中邊界層內(nèi)不少于200個網(wǎng)格點(diǎn)，流向的計(jì)算步長為2.15，約為基本擾動波長的1/40。在用非線性PSE進(jìn)行計(jì)算時，考慮到入口處加入的是二維擾動，所以只需考慮二維情況，式（2.1-40）和（2.1-41）中m取-7到7，n取0。T－S波對應(yīng)的階數(shù)是（1，0）。圖3.2-8畫出了非線性PSE和DNS計(jì)算得到的入口下游x＝516處的（0，0）階擾動剖面，也就是平均流修正，其中圖（a）畫的是平均速度修正剖面，圖（b）畫的是平均溫度修正剖面。由圖可見，二者所給結(jié)果基本符合，其中溫度比速度符合得更好。圖3.2-9畫出了非線性PSE和DNS計(jì)算得到的入口下游x＝516處的（1，0）階，也就是基本擾動的幅值剖面。PSE得到基本擾動的幅值都已經(jīng)乘上了放大倍數(shù)N。由圖可見，二者所給結(jié)果完全符合。圖3.2-10畫出了非線性PSE和DNS計(jì)算得到的入口下游x＝516處的（2，0）階擾動幅值剖面。由圖可見，二者所給結(jié)果基本符合，其中溫度比速度符合得更好。（a）擾動速度剖面（b）擾動溫度剖面圖3.2-8入口下游x＝516處（0，0）階擾動剖面（圖中實(shí)線表示PSE計(jì)算結(jié)果，帶有圓形標(biāo)記的虛線表示DNS結(jié)果。）（a）擾動速度幅值剖面（b）擾動溫度幅值剖面圖3.2-9入口下游x＝516處（1，0）階擾動幅值剖面（圖中實(shí)線表示PSE計(jì)算結(jié)果，帶有圓形標(biāo)記的虛線表示DNS結(jié)果。）（a）擾動速度幅值剖面（b）擾動溫度幅值剖面圖3.2-10入口下游x＝516處（2，0）（第一個表示頻率ω，第二個表示波數(shù)β二維模式）階擾動幅值剖面（圖中實(shí)線表示PSE計(jì)算結(jié)果，帶有圓形標(biāo)記的虛線表示DNS結(jié)果。）黃章峰等（2005）和曹偉等（2006）的研究發(fā)現(xiàn)，在層流-湍流轉(zhuǎn)捩的breakdown過程中，層流剖面得以快速轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧髌拭娴臋C(jī)理在于擾動增長后，對平均剖面進(jìn)行的修正導(dǎo)致了其穩(wěn)定性特征的顯著變化，表現(xiàn)為其對應(yīng)的中性曲線和不穩(wěn)定波的增長率急劇增大。為了以后能夠?qū)⒎蔷€性PSE方法用于轉(zhuǎn)捩預(yù)測，有必要對PSE和DNS所得修正后的平均流剖面進(jìn)行穩(wěn)定性分析，并作比較。本文在入口下游x＝516將得到的平均流修正，即（0，0）階擾動，與當(dāng)?shù)氐幕玖飨嗉樱偷玫搅舜颂幮拚蟮钠骄餍拚拭?。對其進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析，尋找其中性曲線。圖3.2-11（a）在（β，ω）平面上畫出了第一模態(tài)和第二模態(tài)擾動的中性曲線（只畫了β≥0的一半），圖3.2-11（b）畫出了第一模態(tài)和第二模態(tài)擾動的最大增長率隨展向波數(shù)β的變化（只畫了β≥0的一半）。可以看出，PSE和DNS計(jì)算得到的修正后的平均流剖面，其穩(wěn)定性分析結(jié)果完全相符。（a）（b）圖3.2-11入口下游x＝516用PSE和DNS得到的修正后的平均流剖面的穩(wěn)定性分析結(jié)果：（a）（β，ω）平面上三維擾動的中性曲線；（b）三維擾動的最大增長率隨展向波數(shù)β的變化。對于本算例來說，非線性PSE計(jì)算擾動演化結(jié)果與DNS所得基本符合，而前者所用的計(jì)算量遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于后者的。3.2.2.2基本流為Blasius相似性解的情況上面用的基本流是直接數(shù)值模擬計(jì)算得到的定常基本流，本文還用Blasius相似性解作為基本流，使用非線性PSE計(jì)算擾動演化。圖3.2-12－3.2-15分別畫出了使用兩種基本流，通過非線性PSE計(jì)算得到的入口下游x＝516處的（0，0）、（1，0）、（2，0）和（7，0）階擾動幅值剖面。由圖可見，基本流改用Blasius相似性解之后，非線性PSE所得結(jié)果不變。而用Blasius相似性解作為基本流，比用直接數(shù)值方法求基本流，可以節(jié)省不少時間。（a）擾動速度剖面（b）擾動溫度剖面圖3.2-12入口下游x＝516處PSE得到的（0，0）階擾動剖面（圖中實(shí)線表示用的是DNS計(jì)算的定?；玖鳎瑘A形標(biāo)記表示用的是Blasius相似性解。）（a）擾動速度幅值剖面（b）擾動溫度幅值剖面圖3.2-13入口下游x＝516處PSE得到的（1，0）階擾動幅值剖面（圖中實(shí)線表示用的是DNS計(jì)算的定?；玖鳎瑘A形標(biāo)記表示用的是Blasius相似性解。）（a）擾動速度幅值剖面（b）擾動溫度幅值剖面圖3.2-14入口下游x＝516處PSE得到的（2，0）階擾動幅值剖面（圖中實(shí)線表示用的是DNS計(jì)算的定?；玖?，圓形標(biāo)記表示用的是Blasius相似性解。）（a）擾動速度幅值剖面（b）擾動溫度幅值剖面圖3.2-15入口下游x＝516處PSE得到的（7，0）階擾動幅值剖面（圖中實(shí)線表示用的是DNS計(jì)算的定?；玖?，圓形標(biāo)記表示用的是Blasius相似性解。）3.2.3非線性PSE在超音速邊界層第二模態(tài)擾動演化中計(jì)算的檢驗(yàn)3.2.3.1基本流為直接數(shù)值模擬所得的情況基本流為由直接數(shù)值模擬所得的定常層流，馬赫數(shù)M＝4.5，自由來流溫度255.7K，普朗特?cái)?shù)Pr＝0.72，計(jì)算域入口處的雷諾數(shù)Re0＝11635；入口擾動為空間模式線性穩(wěn)定性理論給出的第二模態(tài)二維T－S波，其流向波數(shù)α=0.2826772-0.005469101i，頻率ω＝0.2580685，擾動幅值為0.001，壁面用無滑移條件和絕熱條件。非線性PSE和DNS計(jì)算時取同樣的網(wǎng)格，法向計(jì)算域長度為171.9，約合15倍邊界層名義厚度，法向共256個網(wǎng)格點(diǎn)，其中邊界層內(nèi)不少于130個網(wǎng)格點(diǎn)，流向的計(jì)算步長為0.8595，約為基本擾動波長的1/25。在用非線性PSE進(jìn)行計(jì)算時，式（2.1-27）和（2.1-28）中m取-7到7，n取0，T－S波對應(yīng)的階數(shù)為（1，0）。圖3.2-16畫出了非線性PSE和DNS計(jì)算得到的入口下游x＝138處的（0，0）階擾動剖面，也就是平均流修正，其中圖（a）畫的是平均速度修正剖面，圖（b）畫的是平均溫度修正剖面。由圖可見，非線性PSE和DNS計(jì)算得到的平均流修正基本符合，其中溫度比速度符合得更好。圖3.2-17畫出了非線性PSE和DNS計(jì)算得到的入口下游x＝138處的（1，0）階，也就是基本擾動幅值剖面。PSE得到基本擾動的幅值都已經(jīng)乘上了放大倍數(shù)N。由圖可見，二者所給結(jié)果完全吻合。圖3.2-18畫出了非線性PSE和DNS計(jì)算得到的入口下游x＝138處的（2，0）階擾動幅值剖面。由圖可見，二者所給結(jié)果基本吻合，其中溫度比速度符合得更好。（a）擾動速度剖面（b）擾動溫度剖面圖3.2-16入口下游x＝138處（0，0）階擾動剖面（圖中實(shí)線表示PSE計(jì)算結(jié)果，帶有圓形標(biāo)記的虛線表示DNS結(jié)果。）（a）擾動速度幅值剖面（b）擾動溫度幅值剖面圖3.2-17入口下游x＝138處（1，0）階擾動幅值剖面（圖中實(shí)線表示PSE計(jì)算結(jié)果，帶有圓形標(biāo)記的虛線表示DNS結(jié)果。）（a）擾動速度幅值剖面（b）擾動溫度幅值剖面圖3.2-18入口下游x＝138處（2，0）階擾動幅值剖面（圖中實(shí)線表示PSE計(jì)算結(jié)果，帶有圓形標(biāo)記的虛線表示DNS結(jié)果。）在入口下游x＝138將得到的平均流修正，即（0，0）階擾動，與當(dāng)?shù)氐幕玖飨嗉?，就得到了此處修正后的平均流修正剖面，然后對其進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析。圖3.2-19（a）在（β，ω）平面上畫出了第一模態(tài)和第二模態(tài)擾動的中性曲線，圖3.2-19（b）畫出了第一模態(tài)和第二模態(tài)擾動的最大增長率隨展向波數(shù)β的變化。可以看出，PSE和DNS計(jì)算得到的修正后的平均流剖面，其穩(wěn)定性分析結(jié)果完全相符。（a）（b）圖3.2-19入口下游x＝138用PSE和DNS得到的修正后的平均流剖面的穩(wěn)定性分析結(jié)果：（a）（β，ω）平面上三維擾動的中性曲線；（b）三維擾動的最大增長率隨展向波數(shù)β的變化。對于本算例來說，非線性PSE計(jì)算擾動演化所用時間比直接數(shù)值模擬的小約兩個數(shù)量級。且本算例中DNS目前無法用單機(jī)計(jì)算，所以只能使用多個機(jī)器并行計(jì)算，而非線性PSE則使用單機(jī)計(jì)算。對于本算例來說，非線性PSE計(jì)算擾動演化結(jié)果與DNS所得基本符合，而前者所用的計(jì)算量遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于后者的。3.2.3.2基本流為Blasius相似性解的情況下面再用Blasius相似性解作為基本流，使用非線性PSE計(jì)算擾動演化。圖3.2-20－3.2-23畫出了使用兩種基本流所得的入口下游x＝138處的（0，0）、（1，0）、（2，0）和（7，0）階擾動剖面。由圖可見，基本流改用Blasius相似性解之后，非線性PSE所得結(jié)果——包括各個階數(shù)的擾動幅值大小和剖面形狀——完全不變。這就表明對于平板二維超音速邊界層來說，研究其中的第二模態(tài)擾動演化時也可以選用Blasius相似性解作為基本流，這樣可以節(jié)省計(jì)算定?；玖鞯臅r間。（a）擾動速度剖面（b）擾動溫度剖面圖3.2-20入口下游x＝138處PSE得到的（0，0）階擾動剖面（圖中實(shí)線表示用的是DNS計(jì)算的定?；玖鳎瑘A形標(biāo)記表示用的是Blasius相似性解。）（a）擾動速度幅值剖面（b）擾動溫度幅值剖面圖3.2-21入口下游x＝138處PSE得到的（1，0）階擾動幅值剖面（圖中實(shí)線表示用的是DNS計(jì)算的定?；玖?，圓形標(biāo)記表示用的是Blasius相似性解。）（a）擾動速度幅值剖面（b）擾動溫度幅值剖面圖3.2-22入口下游x＝138處PSE得到的（2，0）階擾動幅值剖面（圖中實(shí)線表示用的是DNS計(jì)算的定常基本流，圓形標(biāo)記表示用的是Blasius相似性解。）（a）擾動速度幅值剖面（b）擾動溫度幅值剖面圖3.2-23入口下游x＝138處PSE得到的（7，0）階擾動幅值剖面（圖中實(shí)線表示用的是DNS計(jì)算的定常基本流，圓形標(biāo)記表示用的是Blasius相似性解。）通過上面三個算例的檢驗(yàn)可見，無論是亞音速還是超音速邊界層，用非線性PSE計(jì)算得到的擾動結(jié)果可信的。非線性PSE的計(jì)算是可靠的。另外，基本流可以使用Blasius相似性解，所得結(jié)果足夠準(zhǔn)確。綜上所述，線性和非線性PSE的計(jì)算都得到了充分檢驗(yàn)，其結(jié)果可靠。下面可以用PSE作為工具研究某些具體問題。

4用線性PSE研究非平行性對可壓縮邊界層中性曲線的影響線性穩(wěn)定性理論假設(shè)流動是平行的。嚴(yán)格的平行流動，在自然界極少見，在工程技術(shù)中也只在有固壁限制的情況下才能見到。非平行流動則是常見的，例如邊界層流、自由剪切層等。只有在雷諾數(shù)很大時，流線才近似于平行。而對不可壓平板邊界層，臨界雷諾數(shù)不是很大，非平行性不可忽略，因而由線性穩(wěn)定性理論在平行流假定下給出的臨界雷諾數(shù)大于實(shí)驗(yàn)結(jié)果。為此，Gaster（1974）、于秀陽和周恒（1986）等研究了在線性穩(wěn)定性理論的框架內(nèi)如何改進(jìn)結(jié)果的問題。后來PSE方法出來后，用以研究這一問題，得到了滿意的結(jié)果。對可壓縮邊界層，顯然有同樣問題。本文將用線性拋物化穩(wěn)定性方程和線性穩(wěn)定性理論分別求臨界雷諾數(shù)附近的中性曲線，并進(jìn)行對比，以考察非平行性對中性曲線的影響。4.1非平行性對亞音速邊界層中性曲線的影響基本流為平板二維Blasius相似性解，馬赫數(shù)M＝0.3，自由來流溫度255.7K，普朗特?cái)?shù)Pr＝0.72，壁面用無滑移條件和定溫條件（看粘流無滑移條件就是指流體和固壁之間沒有相對滑動,比如水流過管道的時候,無滑移條件就是指在靠近管壁面處水的流動速度為零.有滑移條件就是他們之間有相對速度網(wǎng)上查的），溫度Tw=259.6K，從雷諾數(shù)Re0＝170.6處開始找中性曲線。在入口加入衰減的二維T－S波，其流向波數(shù)為α=0.1159899+0.009840206i，頻率為ω＝0.04550159。圖4.1-1顯示出了線性PSE計(jì)算得到的該頻率擾動的放大率（）沿流向的變化情況。放大率在x<x1和x>x2處小于0，在x1<x<x2處大于0，x＝x1和x＝x2處等于0，其中，x1＝252.344，x2＝412.909，兩處對應(yīng)的當(dāng)?shù)乩字Z數(shù)（）分別為93729.88和471189.3。它們在頻率、雷諾數(shù)平面上代表的就是中性曲線上的兩個點(diǎn)，其中第一個點(diǎn)在中性曲線第一分支上，第二個點(diǎn)在中性曲線第二分支上。在入口加入衰減的二維T－S波，其流向波數(shù)為α=0.1604609+0.006466334i，頻率為ω＝0.06825238。圖4.1-2顯示出了線性PSE計(jì)算得到的該頻率擾動的放大率（）沿流向的變化情況?？梢姡糯舐恃亓飨蚴冀K小于0，這表明該頻率的波在中性曲線以外。將不同頻率擾動加在入口，并將得到的中性點(diǎn)都在頻率、雷諾數(shù)平面上標(biāo)出，就得到中性曲線，如圖4.1-3中實(shí)線所示（其中無量綱頻率，為有量綱頻率）。圖4.1-3中虛線為用線性穩(wěn)定性理論（是什么理論）得到的中性曲線。對比兩種方法得到的中性曲線可以看出，二者在小雷諾數(shù)處存在差別，隨著雷諾數(shù)的增大，二者逐漸趨于一致，在大雷諾數(shù)處則完全重合。用線性拋物化穩(wěn)定性方程得到（如何得到）的臨界雷諾數(shù)要小于線性穩(wěn)定性理論的結(jié)果，而在臨界雷諾數(shù)處，用線性PSE所得的不穩(wěn)定擾動的頻率范圍更大。大雷諾數(shù)處兩條曲線完全一致，這表明此處非平行性對邊界層中性曲線的影響很小。這是因?yàn)槠桨暹吔鐚雍穸扰c到前緣距離的1/2次方成正比（δ～x1/2），大雷諾數(shù)處邊界層厚度沿流向的變化就很?。╠δ/dx～x-1/2，當(dāng)x很大時dδ/dx趨近于0），因而流動接近于平行。上述結(jié)論與人們用實(shí)驗(yàn)、理論和計(jì)算的方法（Schubauer和Skramstad19431947，Gaster1974，于秀陽和周恒1986，Herbert1997，Bertolotti等1992，Ross等1970，Strazisar1977，Kachanov等1977）研究非平行性對不可壓縮邊界層中性曲線的影響時所得結(jié)論相同（見圖1-2）。圖4.1-1某一頻率（ω＝0.04550159）擾動的放大率沿流向的變化圖4.1-2某一頻率（ω＝0.06825238）擾動的放大率沿流向的變化圖4.1-3馬赫數(shù)為0.3的邊界層中二維擾動的中性曲線（，）4.2非平行性對超音速邊界層中性曲線的影響基本流為平板二維Blasius相似性解，馬赫數(shù)M＝4.5，自由來流溫度255.7K，普朗特?cái)?shù)Pr＝0.72，壁面用無滑移條件和定溫條件，溫度Tw=1125.2K，開始計(jì)算處的雷諾數(shù)Re0＝349。求第二模態(tài)T－S波的中性曲線（如何求？）。在入口加入衰減的二維T－S波（為什么這么加？衰減是由于e的指數(shù)決定的指數(shù)大于零時是增長的，小于時是衰減的，即流向波數(shù)的虛部），其流向波數(shù)α=0.216862+0.003333925i，頻率ω＝0.1977932。圖4.2-1顯示出了線性PSE計(jì)算得到的該頻率擾動的放大率（）沿流向的變化情況。和上一節(jié)相似，可見，放大率在x<x1和x>x2處小于0，在x1<x<x2處大于0，而x1＝111.7，x2＝199.6，對應(yīng)的當(dāng)?shù)乩字Z數(shù)（）分別為160888和191594。因而可得中性曲線上得兩個點(diǎn)，分別位于中性曲線的第一分支和第二分支上。若加入另一個二維T－S波，其流向波數(shù)α=0.24118969+0.001540257i，頻率ω＝0.221063，則圖4.2-2顯示出該擾動波的放大率（）沿流向始終小于0，這表明該頻率的擾動波在頻率、雷諾數(shù)平面上處在中性曲線以外。將不同頻率擾動加在入口，并將得到中性點(diǎn)都在頻率、雷諾數(shù)平面上表示出來，就得到了馬赫數(shù)4.5第二模態(tài)T－S波的中性曲線，如圖4.2-3中實(shí)線所示。圖4.2-3中虛線為用線性穩(wěn)定性理論得到的中性曲線。對比兩種方法得到的中性曲線可以看出，結(jié)果與亞音速情況類似，兩條中性曲線在小雷諾數(shù)處存在差別，隨著雷諾數(shù)的增大，二者逐漸趨于一致，在大雷諾數(shù)處則完全重合。線性拋物化穩(wěn)定性方程得到的臨界雷諾數(shù)要小于線性穩(wěn)定性理論的結(jié)果，在臨界雷諾數(shù)處，線性PSE得到的增長擾動的頻率范圍更大。圖4.2-1某一頻率（ω＝0.1977932）擾動的放大率沿流向的變化圖4.2-2某一頻率（ω＝0.221063）擾動的放大率沿流向的變化圖4.2-3馬赫數(shù)為4.5的邊界層中第二模態(tài)二維T－S波的中性曲線（，）4.3小結(jié)本文使用線性拋物化穩(wěn)定性方程尋找可壓縮邊界層中二維小擾動的中性曲線，并與空間模式線性穩(wěn)定性理論所得進(jìn)行比較。結(jié)果顯示，無論是在亞音速還是超音速邊界層中，非平行性的影響在臨界雷諾數(shù)處比較明顯，具體有兩個方面：一個是使得臨界雷諾數(shù)變小；另一個是使得臨界雷諾數(shù)處增長擾動的頻率范圍變得更大。在大雷諾數(shù)處，由于流動近似平行，非平行性對邊界層中性曲線的影響很弱。上述結(jié)論與人們研究非平行性對不可壓縮邊界層中性曲線的影響時所得結(jié)論相同，但目前尚未見到可壓縮流的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

5非線性PSE在超音速邊界層二次失穩(wěn)問題中的應(yīng)用層流到湍流的轉(zhuǎn)捩一直是人們感興趣的問題。對于不可壓縮流來說，轉(zhuǎn)捩可以由二維小擾動的線性放大開始。當(dāng)二維擾動幅值大到一定程度，非線性作用就會激發(fā)出三維擾動，它開始對轉(zhuǎn)捩起重要作用并最終導(dǎo)致流動變?yōu)橥牧?。Herbert（1983a，1983b，1984）所引入的二次失穩(wěn)機(jī)制，就是三維擾動得以被激發(fā)的可能原因之一。用流動顯示技術(shù)發(fā)現(xiàn)的Λ結(jié)構(gòu)，從實(shí)驗(yàn)（Saric等1984）上證實(shí)了該機(jī)制的存在。此外，實(shí)驗(yàn)上還得到了三維亞諧波的增長率隨其展向波數(shù)的變化關(guān)系（Thomas1987），理論（Herbert1988）和計(jì)算（Spalart和Yang1986）的結(jié)果都與之一致。我們關(guān)心的問題是這一機(jī)制對超音速邊界層是否起作用。目前，這方面的工作還很少。Maslov所做的實(shí)驗(yàn)是其中之一，他在轉(zhuǎn)捩過程中發(fā)現(xiàn)了亞諧波，但這只是用熱線風(fēng)速儀測量到了亞諧信號，很難確定它就是由二次失穩(wěn)產(chǎn)生的。另一個就是董亞妮和周恒（2006）所作的數(shù)值研究。他們通過直接數(shù)值模擬證實(shí)了當(dāng)基本擾動是第二模態(tài)T-S波時二次失穩(wěn)機(jī)制存在，并且找到了亞諧波的增長率隨其展向波數(shù)和二維基本波幅值的變化關(guān)系。但是DNS耗時太多，研究的算例很有限，所以董亞妮和周恒沒有給出能產(chǎn)生不穩(wěn)定亞諧波的基本波的門限值，也沒有研