如何求異面直線的距離

PAGEPAGE6如何求異面直線的距離求異面直線距離方法：

（1）（直接法）當(dāng)公垂線段直接能作出時(shí)，直接求。此時(shí)，作出并證明異面直線的公垂線段，是求異面直線距離的關(guān)鍵。（2）（轉(zhuǎn)化法）把線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離，如求異面直線a,b距離，先作出過a且平行于b的平面α,則b與α距離就是a,b距離。（線面轉(zhuǎn)化法）

也可以轉(zhuǎn)化為過a平行b的平面和過b且平行于a的平面，兩平行平面的距離就是兩條異面直線距離。（3）（體積橋法）利用線面距再轉(zhuǎn)化為錐體的高用體積公式來求。（4）（構(gòu)造函數(shù)法）常常利用距離最短原理構(gòu)造二次函數(shù)，利用求二次函數(shù)最值來解。

兩條異面直線間距離問題，教學(xué)大綱中要求不高（要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線時(shí)的距離），這方面的問題的其它解法，要適度接觸，以開闊思路。典型題目分析

正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為a，求異面直線AC與BC1解法1：（直接法）取BC的中點(diǎn)P，連結(jié)PD，PB1分別交AC，BC1于M，N點(diǎn)，易證：DB1//MN，DB1⊥AC，DB1⊥BC1，∴MN為異面直線AC與BC1的公垂線段，易證：MN=B1D=a。（如圖1所示）小結(jié)：此法也稱定義法，這種解法是作出異面直線的公垂線段來解。解法2：（轉(zhuǎn)化法）∵AC//平面A1C1B，∴AC與BC1的距離等于AC與平面A1C在RtΔOBO1中，作斜邊上的高OE，則OE長為所求距離，如圖2，∵OB=a,OO1=a，∴O1B=，∴OE=a。

小結(jié)：這種解法是將線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離。解法3：（轉(zhuǎn)化法）∵平面ACD1//平面A1C1B，∴AC與BC1的距離等于平面ACD1與平面A1C∵DB1⊥平面ACD1，且被平面ACD1和平面A1C1B三等分；∴所求距離為B1D=a。

小結(jié)：這種解法是將線線距離轉(zhuǎn)化為面面距離。解法4：（構(gòu)造函數(shù)法）任取點(diǎn)Q∈BC1，作QR⊥BC于R點(diǎn)，作RK⊥AC于K點(diǎn)，如圖4所示，設(shè)RC=x，則OK2=x2+(a-x)2=(x-a)2+a2≥a2,故QK的最小值，即AC與BC1的距離等于a。小結(jié)：這種解法是恰當(dāng)?shù)倪x擇未知量，構(gòu)造一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，通過求這個(gè)函數(shù)的最小值來得到二異面直線之間的距離。解法5：（體積橋法）當(dāng)求AC與BC1的距離轉(zhuǎn)化為求AC與平面A1C1B的距離后，設(shè)C點(diǎn)到平面A1C1B的距離為h，則∵h(yuǎn)·(a)2=·a·a2,

∴h=a，即AC與BC1的距離為a。小結(jié)：本解法是將線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離，再將線面距離轉(zhuǎn)化為錐體的高，然后體積公式求之。立體幾何中幾類問題在平面幾何中，我們研究了平面圖形及其性質(zhì)，對于空間圖形的問題，基本上無所接觸。立體幾何是研究空間圖形及其性質(zhì)的學(xué)科。由于空間圖形的抽象性，一個(gè)圖形可以是許多實(shí)際物體的抽象形式，因而立體幾何在生產(chǎn)實(shí)際、科學(xué)試驗(yàn)中有廣泛的應(yīng)用。立體幾何是在學(xué)習(xí)平面圖形知識的基礎(chǔ)上來研究空間圖形。從平面到空間是觀念上的一個(gè)飛躍，同學(xué)要從平面跳入空間，困難很多，怎樣完成這個(gè)飛躍呢？要注意兩點(diǎn)：

（1）充分發(fā)揮教具或用具的作用，逐步培養(yǎng)和訓(xùn)練同學(xué)們的空間想象能力，建立立體感。

（2）善于運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”的思維方法——空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，平面圖形轉(zhuǎn)化為空間圖形，不規(guī)則的空間圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的空間圖形，并注意掌握具體的轉(zhuǎn)化方法。一、平面問題

1．正確理解公理及推論中的意義

公理及推論中的“有且只有一個(gè)”應(yīng)理解為：“有”說明圖形是存在的，“只有一個(gè)”說明圖形是“唯一的”，“有且只有”和“確定”是同義詞。2．用平面圖形表示平面

平面常用平行四邊形表示，也可用三角形、梯形及圓等平面圖形表示。3．平面和截面

截面和平面是相關(guān)的概念。幾何體被平面所截，平面與幾何體的接觸部分便是截面。防止把不共面的直線當(dāng)作共面直線來處理，導(dǎo)致推理判斷錯(cuò)誤。二、異面直線問題

對異面直線問題要理解以下4點(diǎn)：1、“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線”，是指不可能同時(shí)在任何一個(gè)平面內(nèi)，因此它們是既不平行也不相交的；

(a)(b)

2．分別在兩個(gè)平面α、β內(nèi)的兩條直線a、b，不一定是異面直線：如圖在(a)中的兩直線a、b雖分別在平面α、β內(nèi)，但它們相交于兩相交平面α、β的交線AB上一點(diǎn)P；又如圖(b)中的兩直線a、b也雖分別在兩平面α、β內(nèi)，但它們均平行于兩相交平面α、β的交線AB，像這樣的兩條直線a、b是共面的。3．畫異面直線時(shí)以輔助平面為襯托，可使兩直線不能共面的特點(diǎn)顯示得更清楚，如圖，否則就會(huì)分不清是不是異面直線。4．異面直線所成的角，是將它轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的銳角（或直角）來確定的。其辦法是把兩條異面直線中的一條平移到另一條所在的平面中來，在同一平面中求相交直線所成的角。這種平移法是求異面直線所成角的常規(guī)法。將空間兩條異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化成平面上相交直線的夾角，這是課本上第一次實(shí)現(xiàn)了空間問題到平面問題的轉(zhuǎn)化，第一次展示了將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的一個(gè)重要手段——平移。三、角和距離的問題

1．求角

（1）異面直線所成的角。

①求異面直線所成角的一般方法和步驟；

a.作圖：依定義和圖形性質(zhì)作出要計(jì)算的角θ；b.證明：通過平行或垂直關(guān)系證明θ是所求的角；c.計(jì)算：解含θ的三角形。②異面直線上的兩點(diǎn)間距離的公式。

EF=（其中α是異面直線所成的角，EF的長是異面直線上兩點(diǎn)間的距離，公垂線段AA'的長為d，A'E=m，AF=n）。③運(yùn)用三垂線定理及其逆定理或者直線與平面垂直的定義，對于兩條異面直線成90°角的情況可通過證明兩線垂直，從而求得所成角為90°。（3）二面角：

解題依據(jù)：二面角的定義

①找出或作出二面角的平面角。作平面角一般根據(jù)圖形特點(diǎn)，有以下幾種：

a.經(jīng)過二面角棱上的特殊點(diǎn)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得出平面角。

b.已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到二面角的面或棱的距離時(shí)，則經(jīng)過表示距離的兩條垂線段作平面與二面角的兩面相交，證明交線所成的角是二面角的平面角。

c.已知二面角一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到棱或到另一面的距離時(shí)，應(yīng)用三垂線定理或其逆定理產(chǎn)生平面角。

d.由特殊圖形性質(zhì)產(chǎn)生平面角（例如，利用等腰三角形底邊上的中線也是底邊上高的性質(zhì)等）。②公式法：設(shè)二面角為θ。

a.已知二面角一個(gè)面內(nèi)的圖形面積為S，這個(gè)圖形在另一個(gè)面內(nèi)射影的面積為S'，則應(yīng)用cosθ=，求出θ。

b.如圖在二面角α-AB-β內(nèi)，E∈α，F(xiàn)∈β，EA⊥AB，F(xiàn)B⊥AB，AB=d，EA=m，F(xiàn)B=n，EF=l，應(yīng)用公式:l=即cosθ=(此處θ∈（0，π）)，90°的二面角，還可應(yīng)用判定兩平面互相垂直的方法。[綜合評述]怎樣作異面直線所成的角呢？可通過以下三種方法平移產(chǎn)生：

①直接平移法（利用圖中已有的平行線）；

②中位線平移法（利用三角形中位線性質(zhì)，作出中位線就相當(dāng)于把底邊平移到中位線）；③補(bǔ)形平移法（在已知圖形外，補(bǔ)作一個(gè)同樣大小的幾何體，以便找出平行線）2．求距離

解題依據(jù)：各種距離的定義

點(diǎn)、直線、平面間的距離

首先找到或作出表示距離的圖形。這種圖形產(chǎn)生的方法：

（1）點(diǎn)到直線的距離：利用平面圖形的性質(zhì)；直線與平面垂直的性質(zhì)；此外，利用三垂線定理及其逆定理是不可忽視的重要方法。

（2）點(diǎn)到平面的距離：利用特殊圖形的性質(zhì)確定垂足的位置；或利用平面互相垂直的性質(zhì)，即如果已知點(diǎn)在已知平面的垂面上，則已知點(diǎn)到兩平面的交線所作的垂線段長就是點(diǎn)到平面的距離。

（3）兩條異面直線間的距離：利用圖形性質(zhì)找出兩條異面直線的公垂線，求出公垂線段的長度。例如：當(dāng)兩條異面直線垂直時(shí)，過一條直線作出或找出另一條直線的垂面，在垂面內(nèi)作出兩異面直線的公垂線。

（4）平行的直線和平面、兩平行平面間的距離：一般都轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離。

有些情況，可以不作出表示距離的圖形。如：

①點(diǎn)到平面的距離：利用等積求高計(jì)算。

②兩條異面直線間的距離：

a.利用異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式；

b.轉(zhuǎn)化為求平行的直線和平面或兩平行平面間的距離，即又轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離，從而應(yīng)用等積求高計(jì)算；

c.運(yùn)用二次函數(shù)求最值等。四、空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的方法

1、輔助平面法

恰當(dāng)?shù)刈鬏o助平面，是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的一個(gè)重要手段，求證平行于兩條異面直線a和b的平面α，必與異面直線的公垂線AB垂直，只要過AB和a以及AB和b分別作平面，與已知平面α的交線a'、b'，由已知a//α得

a//a'，由b//α得b//b'，又AB⊥a，AB⊥b，所以AB⊥a'，AB⊥b'。又a'∩b'≠，則AB⊥α。作兩個(gè)輔助平面，將AB與異面直線垂直（空間）轉(zhuǎn)化為AB與同一平面內(nèi)兩條相交直線垂直，問題就迎刃而解了。2．射影法

平面的一條斜線與平面所成的角就是斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角。判定斜線與平面內(nèi)某一直線垂直的問題，實(shí)際上就是判定斜線在平面內(nèi)的射影與平面內(nèi)一直線垂直的問題，因此通過射影可把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。三垂線定理及有關(guān)射影的概念和定理，為射影法提供了理論根據(jù)。已知四面體兩組對棱互相垂直，求證第三組對棱互相垂直。通過一個(gè)頂點(diǎn)作其對面的垂線，得到三條側(cè)棱在底面的射影，進(jìn)而用三垂線定理及逆定理，將空間直線垂直的條件轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的直線互相垂直的關(guān)系，由此得知前面所作垂線的垂足就是（該面）三角形的垂心，再將平面內(nèi)的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)向空間，證明第三組對棱垂直。3．平移法

由于直線的平移不改變它與另一直線或平面所成角的大??；平面的平移不改變它與另一平面或直線所成角的大小，因此，通過平移可將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面問題。4．證題方法的轉(zhuǎn)化

立體幾何中，證明線與線、線與面、面與面之間的平行與垂直關(guān)系是學(xué)習(xí)本章的兩條主線：

線線平行線面平行面面平行

線線垂直線面垂直面面垂直就是說，要證明面平行（垂直），先證線面平行（垂直）；要證線面平行