數(shù)列綜合復(fù)習(xí)-歸納與遞推含解答

（2015.9.7（1．?dāng)?shù)列2015 ，……

2015（n2015）的通項公式為na20152015104Ln20151104104n

104n1

1042．已知數(shù)列a滿足a4， a2n1an2，則a的前n項和S a25a36，猜想ann3．下用數(shù)學(xué)歸納法證明（略

nn7 23（2004 1a

a

a（nN*則a1a2

a2004

n

解a33a41a52，猜想an為周期數(shù)列．下用數(shù)學(xué)歸納法證明（略a1a2La200440084（2005年江蘇省競賽題）設(shè)無窮數(shù)列an的各項都是正數(shù)，Sn是它的前n項和，對于任意的正整數(shù)n，an與2的等差中項都等于Sn與2的等比中項則該數(shù)列的通項公式為 解一（歸納+數(shù)歸證明）a滿足2a1 ，解得a2 a滿足2a2 2a2，解得a6 a2a3

，解得a102a32a36猜想an4n2．下用（第二）當(dāng)n123假設(shè)當(dāng)nka12、a26、……、ak4k2

aaL

2k2 那么當(dāng)nk1

2ak12

2ak

2k2k k 2 16k24k k即k k 2 4k24kk k綜上an4n2

ak14k

或ak14k2（舍（而an為正項數(shù)列

an2 8Sa22 a a 22a a 22a2 有an12an2，即an1an4an為公差為4的等差數(shù)列an4n21注意這里使用的是第二數(shù)學(xué)歸納法，即根據(jù)n123,Kk時結(jié)論成立得出nk1時結(jié)nk時結(jié)論成立得出nk1nkSk2k25（2004 聯(lián)賽題）數(shù)列a0,a1,a2,L,an,L滿足關(guān)系式3an16an18且a03，na i0（歸納+數(shù)歸證明）

a1，a3，a1

an 即a3，a3，a3，a3

猜想

2n1

，下用數(shù)學(xué)歸納法證明（略n11

3

1

1

2 2n n注意：n

n2 成立指對于任意的自然數(shù)n等式成立，那么取n i0 立，即等式右端的表達式當(dāng)n0時應(yīng)當(dāng)?shù)扔赼，即1．如果代入檢查時發(fā)現(xiàn)n03

（遞推式代數(shù)推導(dǎo)）

1an612

an

設(shè)

1 2b1，其中b1 12

1，

3 b122n，即b22n1n nnn

bi

2

n 2n2n i0

6（2014 （nN*a

6 a a n

n

a1,a2,a3單調(diào)遞增且成等比數(shù)列，Sn為an的前n項和，則S2014 表示不超過x的最大整數(shù)解：依題意a2aaaaaaaaa

6 1 12 a3a6，即

2a2

30 解得a22a1a34，解得a13

55，a33 5容易驗證猜想并利用數(shù)學(xué)歸納法證明an為周期為3的周期數(shù)列5 820143 5368355

Sn5368111n111n

1 為Sn，則Sn ．(其中x表示不超過x的最大整數(shù)a1a2a3

311111111 61111 猜測

nn1111111nn42nn42n33n2n2n

n

nSnn數(shù)列aa1a1，且a

a

La

na

對任意正整數(shù)n成立n11

1

1 2．

n

解一（歸納+數(shù)歸證明）a滿足111a21a，解得a1，猜想a 3下用（第二）

n（1）當(dāng)n123（2）假設(shè)當(dāng)nk時結(jié)論成立，則當(dāng)nk1a1a2a2a3L即

akak1ka1ak1

L

4 5

kk

1 k3k kak

3k

k3kk k11

45

100 （

a1a2a2a3

anan1na1an1

a1a2a2a3

an1an2n1a1an2an1an2n1a1an2na1an1又Qa11

1n1

4

n1a0（應(yīng)當(dāng)用數(shù)學(xué)歸納法證明nn1an1an2 nn

n1設(shè)數(shù)列4有4

n1

，其中n2

nn1

b

4 1

n1 而b25

n

n5n

n3n

n

n2當(dāng)n1

nx1x3

31xxLx，其中nN*，則x

（歸納+數(shù)歸證明）x1x5 x2x3x4x5

n1

下用（第二）數(shù)學(xué)歸納法證明（略（遞推式代數(shù)推導(dǎo) 31xxLx 31x

L

兩式相減，有 1 即 1 0

4 4 1

1

1

1

1 2 2 4

2n1x 1x

1

2n

n19（2014 省競賽題）在數(shù)列a中，a1，

n2nN*，求數(shù)列a解a22a1123a32a2226a42a332

n120032116222，11233．猜想a2n1nn下用數(shù)學(xué)歸納法證明（略解二（略）方法見118頁類型210（2014年 省競賽題）在單調(diào)遞增數(shù)列an中，a12，a24，且a2n1,a2n,a2n1成等差數(shù)列，a2n,a2n1,a2n2成等比數(shù)列，其中n1,2,3,K求an的通項公式．a(chǎn)36a49a512a616 猜想當(dāng)n2kak12；當(dāng)n2k1akk1 n1n

即a

n4

（1）當(dāng)n1a12；當(dāng)n2a242k 2k 2k（2）假設(shè)當(dāng)n2k1與n2k時結(jié)論成立，即a kk1且a 2k 2k 2k即當(dāng)n2k2

2k12kk1k1k2 k1k2 2k1 k222k即

a2k

k檢查必須要檢查兩項，如果只檢查n1的情況，那么n2的情況在整個證明中就漏掉了；其n1與n2假設(shè)必須假設(shè)n2k1與n2k（先奇后偶）的情況成立，然后證明n2k1與n2k（先奇后偶）的情況成立．如果“歸納假設(shè)”為n2k與n2k1