2023高考真題知識總結(jié)方法總結(jié)題型突破：08 三角恒等變換問題(教師版)

專題08三角恒等變換問題【高考真題】1．(2022·新高考Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2eq\r(2)cos(α＋eq\f(π,4))sinβ，則()A．tan(α－β)＝1B．tan(α＋β)＝1C．tan(α－β)＝－1D．tan(α＋β)＝－11．答案C解析由已知得，sinαcosβ＋cosαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝2(cosα－sinα)sinβ，即sinαcosβ＋cosαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0．所以tan(α－β)＝－1．故選C．2．(2022·浙江)若3sinα－sinβ＝eq\r(10)，α＋β＝eq\f(π,2)，則sinα＝__________，cos2β＝__________．2．答案eq\f(3\r(10),10)eq\f(4,5)解析α＋β＝eq\f(π,2)，∴sinβ＝cosα，即3sinα－cosα＝eq\r(10)，即eq\r(10)(eq\f(3\r(10),10)sinα－eq\f(\r(10),10)cosα)＝eq\r(10)，令sinθ＝eq\f(\r(10),10)，cosθ＝eq\f(3\r(10),10)，則eq\r(10)sin(α－θ)＝eq\r(10)，∴α－θ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，即α＝θ＋eq\f(π,2)＋2kπ，∴sinα＝sin(θ＋eq\f(π,2)＋2kπ)＝cosθ＝eq\f(3\r(10),10)，則cos2β＝2cos2β－1＝2sin2α－1＝eq\f(4,5)．故答案為eq\f(3\r(10),10)與eq\f(4,5)．【知識總結(jié)】1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1?sinα＝±eq\r(1－cos2α).(2)商的關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)k∈Z)).2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限3．三角恒等變換(1)和角差角公式：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ).(2)二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).(3)降冪公式：sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2).(4)輔助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).【同類問題】題型一給角求值1．tan105°等于()A．2－eq\r(3)B．－2－eq\r(3)C．eq\r(3)－2D．－eq\r(3)1．答案B解析tan105°＝tan(60°＋45°)＝eq\f(tan60°＋tan45°,1－tan60°·tan45°)＝eq\f(\r(3)＋1,1－\r(3))＝eq\f(\r(3)＋12,1－\r(3)1＋\r(3))＝eq\f(4＋2\r(3),－2)＝－2－eq\r(3)．2．eq\f(sin10°,1－\r(3)tan10°)等于()A．1B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2)D．eq\f(\r(3),2)2．答案B解析eq\f(sin10°,1－\r(3)tan10°)＝eq\f(sin10°cos10°,cos10°－\r(3)sin10°)＝eq\f(2sin10°cos10°,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°)))＝eq\f(sin20°,4sin30°－10°)＝eq\f(1,4)．3．化簡eq\f(tan27.5°＋1,tan27.5°－7sin27.5°＋cos27.5°)等于()A．eq\f(\r(3),3)B．eq\f(2\r(3),3)C．eq\r(3)D．23．答案B解析原式＝eq\f(tan27.5°＋1,tan27.5°－8sin27.5°＋1)＝eq\f(sin27.5°＋cos27.5°,sin27.5°－8sin27.5°cos27.5°＋cos27.5°)＝eq\f(1,1－2sin215°)＝eq\f(1,cos30°)＝eq\f(2\r(3),3)．4．sin40°(tan10°－eq\r(3))等于()A．2B．－2C．1D．－14．答案D解析sin40°·(tan10°－eq\r(3))＝sin40°·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin10°,cos10°)－\r(3)))＝sin40°·eq\f(sin10°－\r(3)cos10°,cos10°)＝sin40°·eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin10°－\f(\r(3),2)cos10°)),cos10°)＝sin40°·eq\f(2cos60°·sin10°－sin60°·cos10°,cos10°)＝sin40°·eq\f(2sin10°－60°,cos10°)＝sin40°·eq\f(－2sin50°,cos10°)＝eq\f(－2sin40°·cos40°,cos10°)＝eq\f(－sin80°,cos10°)＝－1．5．cos20°·cos40°·cos100°＝．5．答案－eq\f(1,8)解析cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－eq\f(sin20°·cos20°·cos40°·cos80°,sin20°)＝－eq\f(\f(1,2)sin40°·cos40°·cos80°,sin20°)＝－eq\f(\f(1,4)sin80°·cos80°,sin20°)＝－eq\f(\f(1,8)sin160°,sin20°)＝－eq\f(\f(1,8)sin20°,sin20°)＝－eq\f(1,8)．6．eq\f(cos40°,cos25°\r(1－sin40°))的值為()A．1B．eq\r(3)C．eq\r(2)D．26．答案C解析原式＝eq\f(cos220°－sin220°,cos25°cos20°－sin20°)＝eq\f(cos20°＋sin20°,cos25°)＝eq\f(\r(2)cos25°,cos25°)＝eq\r(2)．7．tan67.5°－eq\f(1,tan67.5°)的值為()A．1B．eq\r(2)C．2D．47．答案C解析tan67.5°－eq\f(1,tan67.5°)＝eq\f(sin67.5°,cos67.5°)－eq\f(1,\f(sin67.5°,cos67.5°))＝eq\f(sin67.5°,cos67.5°)－eq\f(cos67.5°,sin67.5°)＝eq\f(sin267.5°－cos267.5°,sin67.5°cos67.5°)＝eq\f(－cos135°,\f(1,2)sin135°)＝2．8．求值：eq\f(\r(3)－tan12°,2cos212°－1sin12°)＝．8．答案8解析原式＝eq\f(\r(3)－\f(sin12°,cos12°),cos24°sin12°)＝eq\f(\r(3)cos12°－sin12°,cos24°sin12°cos12°)＝eq\f(2sin60°－12°,\f(1,4)sin48°)＝eq\f(2sin48°,\f(1,4)sin48°)＝8．9．已知m＝2sin18°，若m2＋n＝4，則eq\f(1－2cos2153°,m\r(n))等于()A．－eq\f(1,4)B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,2)9．答案B解析因?yàn)閙＝2sin18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°，因此eq\f(1－2cos2153°,m\r(n))＝eq\f(－cos306°,2sin18°·2cos18°)＝eq\f(－cos54°,2sin36°)＝eq\f(－sin36°,2sin36°)＝－eq\f(1,2)．10．(多選)下列各式中，值為eq\f(1,2)的是()A．cos2eq\f(π,12)－sin2eq\f(π,12)B．eq\f(tan22.5°,1－tan222.5°)C．2sin195°cos195°D．eq\r(\f(1＋cos\f(π,6),2))10．答案BC解析cos2eq\f(π,12)－sin2eq\f(π,12)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,12)))＝cos

eq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)，故A錯誤；eq\f(tan22.5°,1－tan222.5°)＝eq\f(1,2)·eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5)＝eq\f(1,2)tan45°＝eq\f(1,2)，故B正確；2sin195°cos195°＝2sin(180°＋15°)cos(180°＋15°)＝2sin15°cos15°＝sin30°＝eq\f(1,2)，故C正確；eq\r(\f(1＋cos

\f(π,6),2))＝eq\r(\f(2＋\r(3),4))＝eq\f(\r(2＋\r(3)),2)≠eq\f(1,2)，故D錯誤．題型二給值求值11．(2021·全國乙)cos2eq\f(π,12)－cos2eq\f(5π,12)等于()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),2)D．eq\f(\r(3),2)11．答案D解析因?yàn)閏os

eq\f(5π,12)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(5π,12)))＝sin

eq\f(π,12)，所以cos2eq\f(π,12)－cos2eq\f(5π,12)＝cos2eq\f(π,12)－sin2eq\f(π,12)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,12)))＝cos

eq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)．12．(2020·全國Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，則sinα等于()A．eq\f(\r(5),3)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3)D．eq\f(\r(5),9)12．答案A解析由3cos2α－8cosα＝5，得3(2cos2α－1)－8cosα＝5，即3cos2α－4cosα－4＝0，解得cosα＝－eq\f(2,3)或cosα＝2(舍去)．又因?yàn)棣痢?0，π)，所以sinα>0，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))2)＝eq\f(\r(5),3)．13．(2019·全國Ⅱ)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，2sin2α＝cos2α＋1，則sinα等于()A．eq\f(1,5)B．eq\f(\r(5),5)C．eq\f(\r(3),3)D．eq\f(2\r(5),5)13．答案B解析由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝1－2sin2α＋1，即2sinαcosα＝1－sin2α．因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)，所以2sinαeq\r(1－sin2α)＝1－sin2α，解得sinα＝eq\f(\r(5),5)．14．(2021·全國甲)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tan2α＝eq\f(cosα,2－sinα)，則tanα等于()A．eq\f(\r(15),15)B．eq\f(\r(5),5)C．eq\f(\r(5),3)D．eq\f(\r(15),3)14．答案A解析方法一因?yàn)閠an2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(2sinαcosα,1－2sin2α)，且tan2α＝eq\f(cosα,2－sinα)，所以eq\f(2sinαcosα,1－2sin2α)＝eq\f(cosα,2－sinα)，解得sinα＝eq\f(1,4)．因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cosα＝eq\f(\r(15),4)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(15),15)．方法二因?yàn)閠an2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(\f(2sinα,cosα),1－\f(sin2α,cos2α))＝eq\f(2sinαcosα,cos2α－sin2α)＝eq\f(2sinαcosα,1－2sin2α)，且tan2α＝eq\f(cosα,2－sinα)，所以eq\f(2sinαcosα,1－2sin2α)＝eq\f(cosα,2－sinα)，解得sinα＝eq\f(1,4)．因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cosα＝eq\f(\r(15),4)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(15),15)．15．若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(1,3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2α))等于()A．eq\f(2,9)B．－eq\f(2,9)C．eq\f(7,9)D．－eq\f(7,9)15．答案C解析∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(1,3)．∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝eq\f(1,3)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2α))＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝1－eq\f(2,9)＝eq\f(7,9)．16．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＋eq\r(3)cosα＝eq\f(1,3)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,6)))等于()A．eq\f(2,3)B．eq\f(2,9)C．－eq\f(1,9)D．－eq\f(7,9)16．答案D解析∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＋eq\r(3)cosα＝eq\f(1,3)，∴sinαcos

eq\f(π,3)－cosαsin

eq\f(π,3)＋eq\r(3)cosα＝eq\f(1,3)，∴eq\f(1,2)sinα－eq\f(\r(3),2)cosα＋eq\r(3)cosα＝eq\f(1,3)，∴eq\f(1,2)sinα＋eq\f(\r(3),2)cosα＝eq\f(1,3)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋\f(π,2)))＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2－1＝－eq\f(7,9)．17．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝2cos(π－α)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))等于()A．－3B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)D．317．答案C解析由coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝2cos(π－α)得sinα＝－2cosα，即tanα＝－2，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(tan\f(π,4)＋tanα,1－tan\f(π,4)tanα)＝eq\f(1－2,1－1×(－2))＝－eq\f(1,3)．18．已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(12,13)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝．18．答案－eq\f(56,65)解析因?yàn)棣粒隆蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，所以eq\f(3π,2)<α＋β<2π，eq\f(π,2)<β－eq\f(π,4)<eq\f(3π,4)，因?yàn)閟in(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(12,13)，所以cos(α＋β)＝eq\f(4,5)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝－eq\f(5,13)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝cos(α＋β)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(12,13)＝－eq\f(56,65)．19．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(10),10)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))＝．19．答案eq\f(4－3\r(3),10)解析由題意可得cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,2))),2)＝eq\f(1,10)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,2)))＝－sin2θ＝－eq\f(4,5)，即sin2θ＝eq\f(4,5)．因?yàn)閏oseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(10),10)>0，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以0<θ<eq\f(π,4)，2θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，可得cos2θ＝eq\f(3,5)，由兩角差的正弦公式，可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))＝sin2θcoseq\f(π,3)－cos2θsineq\f(π,3)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,2)－eq\f(3,5)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4－3\r(3),10)．20．設(shè)α，β∈(0，π)，sin(α＋β)＝eq\f(5,13)，taneq\f(α,2)＝eq\f(1,2)，則cosβ＝________．20．答案－eq\f(16,65)解析因?yàn)閠aneq\f(α,2)＝eq\f(1,2)，所以sinα＝2sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)＝eq\f(2sin\f(α,2)cos\f(α,2),sin2\f(α,2)＋cos2\f(α,2))＝eq\f(2tan\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))＝eq\f(4,5)，cosα＝cos2eq\f(α,2)－sin2eq\f(α,2)＝eq\f(cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2),cos2\f(α,2)＋sin2\f(α,2))＝eq\f(1－tan2\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))＝eq\f(3,5)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))．又α∈(0，π)，所以a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))，又β∈(0，π)，所以α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(4π,3)))．又sin(α＋β)＝eq\f(5,13)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，所以α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π，π))，所以cos(α＋β)＝－eq\f(12,13)，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－eq\f(16,65)．題型三給值求角與多選題21．已知A，B均為鈍角，且sin2eq\f(A,2)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＝eq\f(5－\r(15),10)，sinB＝eq\f(\r(10),10)，則A＋B等于()A．eq\f(3π,4)B．eq\f(5π,4)C．eq\f(7π,4)D．eq\f(7π,6)21．答案C解析因?yàn)閟in2eq\f(A,2)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＝eq\f(5－\r(15),10)，所以eq\f(1－cosA,2)＋eq\f(1,2)cosA－eq\f(\r(3),2)sinA＝eq\f(5－\r(15),10)，即eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)sinA＝eq\f(5－\r(15),10)，解得sinA＝eq\f(\r(5),5)，因?yàn)锳為鈍角，所以cosA＝－eq\r(1－sin2A)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2)＝－eq\f(2\r(5),5)．由sinB＝eq\f(\r(10),10)，且B為鈍角，得cosB＝－eq\r(1－sin2B)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),10)))2)＝－eq\f(3\r(10),10)．所以cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10)))－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2)．又A，B都為鈍角，即A，B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以A＋B∈(π，2π)，所以A＋B＝eq\f(7π,4)．22．已知α，β均為銳角，cosα＝eq\f(2\r(7),7)，sinβ＝eq\f(3\r(3),14)，則cos2α＝，2α－β＝．22．答案eq\f(1,7)eq\f(π,3)解析因?yàn)閏osα＝eq\f(2\r(7),7)，所以cos2α＝2cos2α－1＝eq\f(1,7)．又因?yàn)棣?，β均為銳角，sinβ＝eq\f(3\r(3),14)，所以sinα＝eq\f(\r(21),7)，cosβ＝eq\f(13,14)，因此sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(4\r(3),7)，所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(13,14)－eq\f(1,7)×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(\r(3),2)．因?yàn)棣翞殇J角，所以0<2α<π．又cos2α>0，所以0<2α<eq\f(π,2)，又β為銳角，所以－eq\f(π,2)<2α－β<eq\f(π,2)，又sin(2α－β)＝eq\f(\r(3),2)，所以2α－β＝eq\f(π,3)．23．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，則2α－β的值為．23．答案－eq\f(3π,4)解析∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq\f(tanα－β＋tanβ,1－tanα－βtanβ)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,7),1＋\f(1,2)×\f(1,7))＝eq\f(1,3)>0，且α∈(0，π)，∴0<α<eq\f(π,2)．又∵tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\f(1,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝eq\f(3,4)>0，∴0<2α<eq\f(π,2)．∵tanβ＝－eq\f(1,7)<0，β∈(0，π)，∴eq\f(π,2)<β<π，∴－π<2α－β<0．∵tan(2α－β)＝eq\f(tan2α－tanβ,1＋tan

2αtanβ)＝eq\f(\f(3,4)＋\f(1,7),1－\f(3,4)×\f(1,7))＝1，∴2α－β＝－eq\f(3π,4)．24．已知銳角α，β滿足sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，則α＋β等于()A．eq\f(3π,4)B．eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)C．eq\f(π,4)D．2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)24．答案C解析由sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，且α，β為銳角，可知cosα＝eq\f(2\r(5),5)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2)，又0<α＋β<π，故α＋β＝eq\f(π,4)．25．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>1)的兩根分別為tanα，tanβ，且α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，則α＋β＝．25．答案－eq\f(3π,4)解析依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＋tanβ＝－3a，,tanα·tanβ＝3a＋1，))所以tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanα·tanβ)＝eq\f(－3a,1－3a＋1)＝1．又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＋tanβ<0，,tanα·tanβ>0，))所以tanα<0且tanβ<0，所以－eq\f(π,2)<α<0且－eq\f(π,2)<β<0，即－π<α＋β<0，結(jié)合tan(α＋β)＝1，得α＋β＝－eq\f(3π,4)．26．設(shè)α，β∈[0，π]，且滿足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，則sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范圍為．26．答案[－1，1]解析由sinαcosβ－cosαsinβ＝1，得sin(α－β)＝1，又α，β∈[0，π]，∴－π≤α－β≤π，∴α－β＝eq\f(π,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤α≤π，,0≤β＝α－\f(π,2)≤π，))即eq\f(π,2)≤α≤π，∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－α＋\f(π,2)))＋sin(α－2α＋π)＝cosα＋sinα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))．∵eq\f(π,2)≤α≤π，∴eq\f(3π,4)≤α＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4)，∴－1≤eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))≤1，即sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范圍為[－1，1]．27．已知x，y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sin(x＋y)＝2sin(x－y)，則x－y的最大值為()A．eq\f(π,3)B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,8)27．答案B解析由sin(x＋y)＝2sin(x－y)得sinxcosy＋cosxsiny＝2sinxcosy－2cosxsiny，則tanx＝3tany，所以tan(x－y)＝eq\f(tanx－tany,1＋tanxtany)＝eq\f(2tany,1＋3tan2y)＝eq\f(2,\f(1,tany)＋3tany)≤eq\f(\r(3),3)，當(dāng)且僅當(dāng)tany＝eq\f(\r(3),3)時等號成立，由于f(x)＝tanx在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞增，又x，y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則x－y的最大值為eq\f(π,6)．28．(多選)下列四個選項(xiàng)中，化簡正確的是()A．cos(－15°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)B．cos15°cos105°＋sin15°sin105°＝cos(15°－105°)＝0C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝eq\f(1,2)D．sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝eq\f(1,2)28．答案BCD解析對于A，方法一原式＝cos(30°－45°)＝cos30°·cos45°＋sin30°sin45°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)．方法二原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，A錯誤．對于B，原式＝cos(15°－105°)＝cos