級數(shù)的概念及其性質(zhì)

級數(shù)的概念及其性質(zhì)我們在中學里已經(jīng)遇到過級數(shù)一一等差數(shù)列與等比數(shù)列，它們都屬于項數(shù)為有限的特殊情形。下面我們來學習項數(shù)為無限的級數(shù)，稱為無窮級數(shù)無窮級數(shù)的概念設(shè)已給數(shù)列a,a,…，a,…把數(shù)列中各項依次用加號連接起來的式子a+a+-+a+…稱為無窮12n12n級數(shù)，簡稱級數(shù).記作：i或W，即：i=氣+氣+???+an+…，數(shù)列的各項氣，氣,…稱為級數(shù)的項，氣稱為級數(shù)的通項.取級數(shù)最前的一項，兩項，…，n項，…相加，得一數(shù)列S=a，S=a+a，…，S=a+a+-+a，…11212n12nK-這個數(shù)列的通項S「氣+"???+a「稱為級數(shù)『1的前n項的部分和，該數(shù)列稱為級數(shù)的部分和數(shù)列。如果級數(shù)的部分和數(shù)列收斂：，那末就稱該級數(shù)收斂，極限值s稱為級數(shù)的和。11111'：：■—:二7+_++111+—:+111例題：證明級數(shù)：心LJ'、>的和是1.1111——+++，，，-1-1-22-33,4+證明：當n—8時，Sn-1.所以級數(shù)的和是1.級數(shù)的性質(zhì)丁血引=U級數(shù)收斂的必要條件：收斂的級數(shù)2X的通項an當n一8時趨于零，即：X*注意：此條件只是級數(shù)收斂的必要條件，而不是充分條件。L1I1111n'■；：■—=1+—+—十，，，十一+…口點=——U例如：級數(shù)H23M雖然在n一8時，通項"，級數(shù)卻是發(fā)散的。此級數(shù)為調(diào)和級數(shù)，在此我們不加以證明。如果級數(shù)￡%收斂而它的和是S，那末每一項乘上常數(shù)c后所得到的級數(shù)兄斗，也是收斂的，而且它的和是cS.如果￡%發(fā)散，那末當c#0時也發(fā)散。

3.兩個收斂的級數(shù)可以逐項相加或相減。4.在任何收斂的級數(shù)中，不改變連在一起的有限項的次序而插入括號，所得的新級數(shù)仍收斂，其和不變。注意：無限項的所謂和是一種極限，與有限項的和在本質(zhì)上是有區(qū)別的。5.在一個級數(shù)的開頭添入或去掉有限個項并不影響這個級數(shù)的收斂或發(fā)散。正項級數(shù)的收斂問題對于一個級數(shù)，我們一般會提出這樣兩個問題：它是不是收斂的？它的和是多少？顯然第一個問題是更重要的，因為如果級數(shù)是發(fā)散的，那末第二個問題就不存在了。下面我們來學習如何確定級數(shù)的收斂和發(fā)散問題。我們先來考慮正項級數(shù)(即每一項an>0的級數(shù))的收斂問題。判定正項級數(shù)斂散性的基本定理心心定理：正項級數(shù)*1收斂的充分與必要條件是部分和Sn上有界.如果Sn上無界，級數(shù)*1發(fā)散于正無窮大。寸1I111例如：p級數(shù)：疽N小打，當p>1時收斂，當pM1時發(fā)散。注意：在此我們不作證明。正項級數(shù)的審斂準則準則一：設(shè)有兩個正項級數(shù)及^%，而且anMbn(n=1,2,...).如果收斂，那末￡%也收斂；如果￡%發(fā)散，那末￡禺也發(fā)散.寸1I11111例如：級數(shù)^'3苛是收斂的，因為當n>1時，有史，而等比級涔數(shù)'是收斂的準則二：設(shè)有兩個正項級數(shù)￡%與完%，如果”％那末這兩個級數(shù)或者同時收斂，或者同時發(fā)散。關(guān)于此準則的補充問題lim—=□lim—=co如果，那末當收斂時，￡%也收斂；如果—為，那末當發(fā)散時，注意：以上這兩個準則來判定一個已知級數(shù)的斂散性，都需要另選一個收斂或發(fā)散的級數(shù)，以資比較.下面我們來學習兩個只依賴于已知級數(shù)本身的審斂準則.Imi-^=又準則三：設(shè)有正項級數(shù)H.如果極限5%存在，那末當人V1時級數(shù)收斂，人＞1時級數(shù)收斂.注意：此準則就是達朗貝爾準則.這種判定方法稱為檢比法.223222m_+++■■■例如：級數(shù)123"是收斂的，因為當n一8時，Qjl1/擇1.準則四（柯西準則）：如果極限存在，那末當人V1級數(shù)二B收斂，人＞1級數(shù)2H發(fā)散.女，例如：級數(shù)召是發(fā)散的，因為當n一8時，國=盼建=*'也一般常數(shù)項級數(shù)的審斂準則當級數(shù)中的正數(shù)項與負數(shù)項均為無窮多時，就稱級數(shù)為一般常數(shù)項級數(shù).絕對收斂與條件收斂設(shè)有一般常數(shù)項級數(shù)取各項的絕對值所構(gòu)成的級數(shù)"]*"+???+1叫卜…稱為對應于原級數(shù)的絕對值級數(shù).絕對收斂的準則：如果對應的絕對值級數(shù)收斂，那末原級數(shù)也收斂.注意：此時稱。1+氣"1%"，為絕對收斂，如果級數(shù)司坤巾…+"…發(fā)散而級數(shù)%+W'.+W收斂，則稱氣+氣+…+十…為條件收斂。關(guān)于絕對收斂與條件收斂的問題一個絕對收斂級數(shù)的正數(shù)項與負數(shù)項所組成的級數(shù)都是收斂的；一個條件收斂級數(shù)的正數(shù)項與負數(shù)項所組成的級數(shù)都是發(fā)散的。例題：證明：當。1時，級數(shù)Z撲為一絕對收斂級數(shù).

證明：因為sm杓.r頊-而當人＞1時把證明：因為sm杓.r頊-而當人＞1時把0收斂，故級數(shù)￡安siiiH.r收斂，從而級數(shù)心把絕交錯級數(shù)與它的審斂準則交錯級數(shù)就是任一相鄰的兩項都是符號相反的數(shù)，它是一般常數(shù)項級數(shù)的一種特殊級數(shù).￡(T廣錢=刃-巧"3一叫+山交錯級數(shù)可以寫成：心交錯級數(shù)的審斂準則(萊布尼茲準則)：.s、4%hm=0S如果1』*M…且ig，那末級數(shù)心收斂.1-1+1-1是收斂的，因為它滿足萊布尼茲準則的兩個條件:例如：交錯級數(shù)23,111r1n是收斂的，因為它滿足萊布尼茲準則的兩個條件:234及5用函數(shù)項級數(shù)、幕級數(shù)在自然科學與工程技術(shù)中運用級數(shù)這一工具時，經(jīng)常用到不是常數(shù)項的級數(shù)，而是函數(shù)項的級數(shù).而常數(shù)項級數(shù)是研究函數(shù)項級數(shù)的基礎(chǔ)。函數(shù)項級數(shù)的概念設(shè)有函數(shù)序列，服)，了心槌("5伽，…，其中每一個函數(shù)都在同一個區(qū)間I上有定義，S/?(卻=力囚+9心)+『30)+那末表達式稱為定義在I上的函數(shù)項級數(shù)。下面我們來學習常見而應用廣泛的一種具有如下形式的函數(shù)項級數(shù)：cq+「］了+(?2了'+口3了'中，"+口!！了"+1"=習匚訂工*x-0它們的各項都是正整數(shù)冪的冪函數(shù).這種級數(shù)稱為冪級數(shù)，其中cn(n=0,1,2,...)均為常數(shù).顯然，當上面級數(shù)中的變量x取定了某一個值x0時，它就變?yōu)橐粋€常數(shù)項級數(shù)。冪級數(shù)的收斂問題與常數(shù)項級數(shù)一樣，我們把"E+B板稱為冪級數(shù)的部分和。如果這部分和當n一s時對區(qū)間I中的每一點都收斂，那末稱級數(shù)在區(qū)間I收斂。此時sn(x)的極限是定義叫=亡W*在區(qū)間I中的函數(shù)，記作:s(x).這個函數(shù)s(x)稱為級數(shù)的和函數(shù)，簡稱和，記作：2對于冪級數(shù)，我們關(guān)心的問題仍是它的收斂與發(fā)散的判定問題，下面我們來學習關(guān)于冪級數(shù)的收斂的判定準則。冪級數(shù)的審斂準則

準則：設(shè)有冪級數(shù).如果極限=R，那末，當^<R時，冪級數(shù)收斂，而且絕對收斂；當M'R準則：設(shè)有冪級數(shù).如果極限=R，那末，當^<R時，冪級數(shù)收斂，而且絕由上面的準則我們可知：冪級數(shù)的收斂區(qū)間是關(guān)于原點對稱的區(qū)間"'”.在這個區(qū)間內(nèi)級數(shù)收斂，在這個區(qū)間外級數(shù)發(fā)散.區(qū)間M'R稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間，簡稱斂區(qū)。正數(shù)R為冪級數(shù)的收斂半徑.關(guān)于此審斂準則問題討論冪級數(shù)收斂的問題主要在于收斂半徑的尋求。當時，級數(shù)的斂散性不能由準則來判定，需另行討論。例題：求冪級數(shù)25例題：求冪級數(shù)25*5的收斂區(qū)間.解答：該級數(shù)的收斂半徑為:所以此冪級數(shù)的斂區(qū)是(-5,5).1-b—+—H-■■■與1——+=-一+…在x=5與x=-5，級數(shù)分別為°3234前者發(fā)散，后者收斂.故級數(shù)的收斂區(qū)間是[-5,5)冪級數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：設(shè)有兩個冪級數(shù)與程』，如果B_o=f](x)，-R]<x<R]H-C=f2(x)，-R2<x<R2練士S廣貝iji=f](x)±f2(x)，-R<x<R其中R=min(R],R2)，性質(zhì)2：冪級數(shù)的和s(x)在斂區(qū)內(nèi)時連續(xù)的.

性質(zhì)3：冪級數(shù)的和s(x)在斂區(qū)內(nèi)的任一點均可導，且有逐項求導公式：H)=c1+2c2x+您工",??+旭孩"一1S)"]求導后的冪級數(shù)與原級數(shù)有相同的收斂半徑。性質(zhì)4：冪級數(shù)的和s(x)在斂區(qū)內(nèi)可以積分，并且有逐項積分公式：血淀信城+巾】場+，，，+上廣"，，，=亡與產(chǎn)2H十1積分后所得的冪級數(shù)與原級數(shù)有相同的收斂半徑。由以上這些性質(zhì)可知：幕級數(shù)在其斂區(qū)內(nèi)就像普通的多項式一樣，可以相加，相減，可以逐項求導,逐項積分。函數(shù)的冪級數(shù)展開式通過前面的學習我們看到，冪級數(shù)不僅形式簡單，而且有一些與多項式類似的性質(zhì)。而且我們還發(fā)現(xiàn)有一些可以表示成冪級數(shù)。為此我們有了下面兩個問題：問題1:函數(shù)f(x)在什么條件下可以表示成冪級數(shù)/0)=%+匚10一切+上0—口)”+???+上0—仃)*+???問題2：如果f(x)能表示成如上形式的冪級數(shù)，那末系數(shù)cn(n=0,1,2,3,...)怎樣確定?下面我們就來學習這兩個問題。n泰勒級數(shù)我們先來討論第二個問題.假定f(x)在a的鄰區(qū)內(nèi)能表示成知)=航十門(匯—切十勺3知)=航十門(匯—切十勺3一口)‘十…十以(工_力[十.?這種形式的冪級數(shù)，其中a是事先給定某一常數(shù)，我們來看看系數(shù)cn與f(x)應有怎樣的關(guān)系。由于f(x)可以表示成冪級數(shù)，我們可根據(jù)冪級數(shù)的性質(zhì)，在x=a的鄰區(qū)內(nèi)f(x)可任意階可導.=牡十2勺(w=牡十2勺(w—口)十3c我「一白)*+■■■，，*&)=血祖十(m十1)!如心—。十…，在f(x)冪級數(shù)式及其各階導數(shù)中，令x=a分別得

把這些所求的系數(shù)代入八'口1'」八'八,得：尸③"?+f啊◎-<)+弓(「^+/+耳詈皿-礦+…該式的右端的冪級數(shù)稱為f(x)在x+a處的泰勒級數(shù).關(guān)于泰勒級數(shù)的問題..?.上/00=%+1(工一見+上(廣一口)'+???+4(工一仃滬+…“一上式是在f(x)可以展成形如八'°1'、恥'八，的冪級數(shù)的假定下得出的.實際上，只要f(x)在x=a處任意階可導，我們就可以寫出函數(shù)的泰勒級數(shù)。問題：函數(shù)寫成泰勒級數(shù)后是否收斂？是否收斂于f(x)？函數(shù)寫成泰勒級數(shù)是否收斂將取決于f(x)與它的泰勒級數(shù)的部分和之差，回*因-LAW+尸仲《-蟲)+半。-"+22^3—期”]knrK(x)=0$3是否隨n一+s而趨向于零.如果在某一區(qū)間I中有1頃那末f(x)在x=a處的泰勒級數(shù)將在區(qū)間I中收斂于f(x)。此時，我們把這個泰勒級數(shù)稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間I中的泰勒展開式.泰勒定理設(shè)函數(shù)f(x)在x=a的鄰區(qū)內(nèi)n+1階可導，則對于位于此鄰區(qū)內(nèi)的任一x,至少存在一點c,c在a與x之間，使得：』m!(k+1)!此公式也被稱為泰勒公式。(在此不加以