矢量分析與場論第四版

4.6.4.6.矢量分析與場論習(xí)題解答

習(xí)題1解答1.寫出下列曲線的矢量方程，并說明它們是何種曲線。G)x=acosZ,j=fcsinZ（2）x=3sint9y=4sint9z=3cost解：G）r=acosri+fesin^,其圖形是xOy平面上之橢圓。G)，=3sin/+4sin#+3cos設(shè)，其圖形是平面4x-3j=0與圓柱面X2+Z2=32之交線，為一橢圓。2.設(shè)有定圓O與動圓c,半徑均為a,動圓在定圓外相切而滾動，求動圓上一定點M所描曲線的矢量方程。解：設(shè)肱點的矢徑為OM=r=xi+yj,ZAOC=6,CM與*軸的夾角為20-K；因OM^OC+CM<r=xi+yj=2acos0/+2asin0/+acos(20-k)/+asin(20一冗)/則x=2acos6-ocos20,j=2asin6-asin2&：—―—故r=(2acos0-acos20)/+(2asin0-asin20)j2求曲線x=t,y=t2,z=-t3的一個切向單位矢量t。J解：曲線的矢量方程為，="+〃/+3歸左則其切向矢量為質(zhì)=*+2寸+2t2k模為I%1=Jl+4^2+4f4=1+2^2drf.dri+于是切向單位矢量為花八瓦■'=—1+2t2冗求曲線x=asin2t9y=asin2。必=acos"在I=；處的一個切向矢量。4解：曲線矢量方程為'Msim+asin^+aco毗dr71

在，=；處，T

42L2切向矢量為c=—=qsin2tf+2acos笏一<?1嵌

7.求曲線x=t2+1,y=4t-3,z=2t2-6t在對應(yīng)于t=2的點71

在，=；處，T

42L2解：由題意得M(5,5,-4)，曲線矢量方程為r=(f2+以+(傘一3)/+。2一6波,一dr,一…一在t=2的點M處，切向矢量t=[2ti+4/+(4t一6)k]=4i+4/+2kdtf=2t=2x一5y一5z+4x一5y一5z+4于是切線方程為4=~^=一廠,即一^=~^~=~^于是法平面方程為2(x-5)+2(y—5)+(z+4)=0，即2x+2y+z一16=08.求曲線r=ti+12j+13k上的這樣的點，使該點的切線平行于平面x+2y+z=4。dr解：曲線切向矢量為t==i+2tj+3t2k，⑴dt平面的法矢量為n=i+2j+k，由題知I=-1i+1j一—kt=-139」273t-n=G+2tj+3t2k).(I=-1i+1j一—kt=-139」273得t=-1，-3。將此依次代入⑴式，得t」=一’"?一k危故所求點為(一1,1一1),(一:冷一27習(xí)題2解答1.說出下列數(shù)量場所在的空間區(qū)域，并求出其等值面。u=,Ax+By+Cz+D(2)u=arcsin―解：(1)場所在的空間區(qū)域是除Ax+By+Cz+D=0外的空間。1等值面為Ax+By+Cz+D=氣或如+肉+C+D一C；="產(chǎn)0為任意、常數(shù))，這是與平面Ax+By+Cz+D=0平行的空間。(2)場所在的空間區(qū)域是除原點以外的z2<x2+y2的點所組成的空間部分。等值面為z2=(x2+y2)sin2c,(x2+y2黃0),當(dāng)sinc/0時，是頂點在坐標(biāo)原點的一族圓錐面(除頂點外)；當(dāng)sinc=0時，是除原點外的xOy平面。求數(shù)量場u=X*y2經(jīng)過點M(1,1,2)的等值面方程。z解：經(jīng)過點M(1,1,2)等值面方程為X2+y212+12u=—=l即z=x2+y2,是除去原點的旋轉(zhuǎn)拋物面。已知數(shù)量場u=xy，求場中與直線x+2y-4=0相切的等值線方程。解：設(shè)切點為(x0,y0),等值面方程為xy=c=x0y0，因相切，則斜率為k=-4=-2，即x0=2y00點G0,y0)在所給直線上，有x+2y-4=000解之得y=1,x=200故xy=2求矢量A=xy2i+x2yj+zy2k的矢量線方程。解矢量線滿足的微分方程為Axdr=0，dxdydz或==—xy2x2yzy2有xdx=ydy,dx=d.xz

解之得＜x：了；=c1，（C1,C2為任意常數(shù)）、Z25.求矢量場A=x2i+y2j+（x+y）zk通過點M（2,1,1）的矢量線方程。dy_dy_dzy2(x+y)z解矢量線滿足的微分方程為X2由史=也得1=1+c，x2y2xy1_d(x一y)dzd(x一y)dz一按等比定理有云項=E，即/=T-解得x一y=c22.故矢量線方程」x又故矢量線方程」x又M(2,1,1)求得C1-2,C2=1TOC\o"1-5"\h\z1_11——故所求矢量線方程為〈xy2.、x—y=z習(xí)題3解答解：因l\=(2xi—xy2j+M1.求數(shù)量場u=x2z3+2y2z在點M（2,0,—1）處沿I=2xi解：因l\=(2xi—xy2j+M=4i+3k，其方向余弦為cosa=E,cosP=0,cosy=及.m55一、伽-dudu__在點M(2,0,—1)處有--=2xz3=—4,--=4yz=0,=3x2z2+2y2=12,dxdydzdu43所以瓦=5*(—4)+0*0+5*12=42.求數(shù)量場u=3x2z一xy+z2在點M6,—1,1）處沿曲線x=t,y=—t2,z=t3朝t增大一方的方向?qū)?shù)。解：所求方向?qū)?shù)，等于函數(shù)-在該點處沿曲線上同一方向的切線方向?qū)?shù)。曲線上點M所對應(yīng)的參數(shù)為t=1,dx從而在點M處沿所取方向，曲線的切向方向?qū)?shù)為dx從而在點M處沿所取方向，曲線的切向方向?qū)?shù)為dt=1dy1,dtM=—21|t=1Mdzdt其方向余弦為cosa=A,cosP=——』,cosY=旦=v14v14v14du=(6xz-y)|M=-xM=(3x2+2z)=5。du于是所求方向?qū)?shù)為頁,duduodu、=(——cosa+——cosp+——cosy)dxdydzM3.求數(shù)量場u=x2yz3在點M(2,1,-1)處沿哪個方向的方向?qū)?shù)最大?=7x上+(-1)x蘭+5x旦=獸14141414解：因竺=(gradu)-10=grad^cos。dl1當(dāng)o=0時，方向?qū)?shù)最大。gradu=食i+黔+籍k)mdxdydzM=(2xyz3i+x2z3j+3x2yz2k)=-4i一4j+12k,M即函數(shù)u沿梯度gradu|=-4i-4j+12k方向的方向?qū)?shù)最大M最大值為gradu|=寸176=4J11。M」3.4.畫出平面場u=-(x2-y2)中u=0,^,1,7,2的等值線，并畫出場在M(2,氣2)與點M(3,*7)處的梯度矢量,2212看其是否符合下面事實：梯度在等值線較密處的模較大，在較稀處的模較??；在每一點處，梯度垂直于該點的等值線，并指向u增大的方向。x2—y2=0,x2—y2=1,解：所述等值線的方程為：x2-y2=2,x2-y2=3,其中第一個又可以寫為x2—y2=4,x-y=0,x+y=0為二直線，其余的都是以O(shè)x軸為實軸的等軸雙曲線(如下圖，圖中G]=gradu|,G2=gradu|,)由于gradu=xi-yj,故gradu|=2i-v2j,M1gradu=3i-,Tj,M2由圖可見，其圖形都符合所論之事實。5.用以下二法求數(shù)量場u=xy+yz+zx在點P(1,2,3)處沿其矢徑方向的方向?qū)?shù)。6)直接應(yīng)用方向?qū)?shù)公式；(2)作為梯度在該方向上的投影。解：(1)點P的矢徑r=i+2j+3k,其模^^14.其方向余弦為C0S"土網(wǎng)卜與網(wǎng)fa=(y+叱=(=(y+叱=(X+z)|P=(X+y)=3p瓦pdu~d所以TOC\o"1-5"\h\z,dududu、=(cosa+cosp+cos丫du~d所以dxdydzP5x-^+4xM+3x￡=^L。v14口4<14<14gradu|=(竺i+竺j+竺k)=5i+4j+3kpdxdydzpr1.2.3,ro=—=i+j+k.rV14714a/14=gradup5=5x^+4x高+3X岳6,求數(shù)量場u=x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z在點O(0,0,0)與點A(1,1,1)處梯度的大小和方向余弦。又問在哪些點上梯度為0?解：gradu=(2x+y+3)i+(4y+x一2)j+(6z—6)k,gradu|=3i-2j一6k,gradu|=6i+3j+0k,

OA其模依次為：匕32+(-2)2+(-6)2=7八62+32+02=3^5

TOC\o"1-5"\h\z32一6于是gradu的萬向余弦為cosa=-,cosp=-福,cosy=--O777gradu］的方向余弦為cosa=—；=,cosP=^—,cosy=0.A55'2x+y+3=0,求使gau=0之點，即求坐標(biāo)滿足<4y+x—2=0,之點，由此解得x=-2,y=1,z=1故所求之點為6z-6=07.通過梯度求曲面x2y+2xz=4上一點求使gau=0之點，即求坐標(biāo)滿足<解：所給曲面可視為數(shù)量場U=X2y+2xz的一張等值面，因此，場u在點M處的梯度，就是曲面在該點的法矢量，即gradu|=(2xy+2z)i+x2J+2xk\=21+J+2k,x一1v+2z一3故所求的法線方程為工=—rdu8.求數(shù)量場u=3x2+5y2-2z在點M心,3)處等值面朝Oz軸正向一方的法線方向?qū)?shù)航。du,du.du解：因gradu=i+j+k=6xi+10yj一2kdxdydzgradugraduM=6i+10J一2k梯度與z夾角為鈍角，所以沿等值面朝Oz軸正向一方的法線方向?qū)?shù)為竺=-Igradu|=-2\35dn習(xí)題4解答1.設(shè)S為上半球面x2+y2+z2=a2(z>0),求矢量場r=xi+yj+zk向上穿過S的通量中?！咎崾荆鹤⒁釹的法矢量n與r同指向】O=JJr?dS=JJrdS=JJrdS=aJJdS=a?2m2=2na3.解：nSSSS2.設(shè)S為曲面x2+y2+z2=a2(0<z<h),求流速場v=(x+y+z)k在單位時間內(nèi)下側(cè)穿S的流量Q。解：Q=U(x+J+Z蜘=—K(x+y+"+%)翊其中d為S在xOy面上的投影區(qū)域：X2+y2<h.用SD極坐標(biāo)計算，有Q=項如時商書打泗施D=J瓦對h(mcoifi+msiifi+rsgrH-j21[(coS+siifi^^+?叫=-；他3.設(shè)S是錐面z=*x2+y2在平面z=4的下方部分，求矢量場A=4xzi+yz+3zk向下穿出S的通量中。解：求下面矢量場A的散度。A=(x3+yz)i+(y2+xz^)j+(z3+xy)k;A=(2z-3y)i+(3x-z)j+(y-2x)k;A=(1+ysinx)i+(xcosy+y)j.解：(1)divA=3x2+2y+3z2divA=0divA=ycosx-xsiny+1求divA在給定點處的值：(1)A=x3i+y3j+z3k在點M(1,0,-1)處;A=4xi-2xyj+z2k在點M(1,1,3)處；A=xyzr(r=xi+yj+zk)在點M(1,3,2)處;解：(1)divA|=(3x2+3y2+3z2)|=6MM(2)divA|=(4一2x+2z)|=8(3)divA=xyzdivr+grad(xyz)-r=3xyz+(yzi+xzj+xyk)-(xi+yj+zk)

=6xyz,故divA|=6xyz|=36。已知u=xy2z3,A=x2i+xzj-2yzk,求div(uA)。解：divA=2x-2ygradu=y2z3i+2xyz3j+3xy2z2k故div(uA)=udivA+gradu?A=xy2z3(2x-2y)+(y2z3i+2xyz3j+3xy2z2k)(x2i+xzj-2yzk)=2x2y2z3-2x2y3z3+x2y2z3+2x2yz4-6xy3z3=3x2y2z3-8x2y3z3+2x2yz4.求矢量場A從內(nèi)穿出所給閉曲面S的通量中:(1)A=x3i+y3j+z3k,S為球面x2+y2+z2=a2;(2)A=(x-y+z)i+(y-z+x)j+(z一x+y)k,S為橢球面蘇+y-+1|=1.時,八①=/!A-dS=JffdivAdV=ffl3(x2+y2+z2)dVTOC\o"1-5"\h\z解：(1)■■sQQ12ms5其中q為s所圍之球域x2+y2+z2<a2今用極坐標(biāo)x=rsin?co即,y=rsin0sin^z=rcos0計算，有\(zhòng)o"CurrentDocument"①=3。>2.r2sinlBdrdOd^=3』2"dj"sinfidoj"r4dr=000Q(2)①=UA-dS=jjjdivAdV=3川dV=3x-nabc=4"abc。3SQQ習(xí)題5解答1.求一質(zhì)點在力場F=-yi-zj+xk的作用下沿閉曲線l:x=acost,y=asint,z=a(1-cost)從t=0到t=2運動一周時所做的功。12ms5解：功W=JF-dl=J-ydx一zdy+xdz=J2"L2sin21-a2(1-cost)cost+a2costsintdt=a2J2丸(1-cost+costsint)dt=2兀a22.求矢量場A=-yi+xj+Ck(C為常數(shù))沿下列曲線的環(huán)量:(1)圓周x2+y2=R2,z=0；(2)圓周(x-2)2+y2=R2,z=0。解：（1）令x=Rcos0，則圓周x2+y2=R2,z=0的方程成為x=Rcos0,y=Rsin0,z=0，于是環(huán)量r=JA?dl=J-ydx+xdy+Cdz=J2”(R2sin20+R2cos0)d0=2冗R2.011(2)令x一2=Rcos0，則圓周(x-2)2+y2=R2,z=0的方程成為x=Rcos0+2,y=Rsin0,z=0，于是環(huán)量r=JA?dl=J-ydx+xdy+Cdz=J2"[R2sin20+(Rcos0+2)Rcos0]d0011=J2丸(R2+2Rcos0)d0=2nR23.用以下兩種方法求矢量場A=x(z-y)i+y(x-z)j+z(y-x)k在點m(1,2,3)處沿方向n=i+2j+2k的環(huán)量面密度。（1）直接應(yīng)用環(huán)量面密度的計算公式；（2）作為旋度在該方向上的投影。cn1.2.2,122解：（1）n0==—i+[+k,故n的方向余弦為cos^=—,cos。=菱,cosY=.JJ。JJJ又P=x(z-y),Q=y(x-z),R=z(y一x)根據(jù)公式，環(huán)量面密度gI=[(R一Q)cosa+(P-R)cosP+(Q一P)cosy]m,、2,258619=[(z+y)3+("z)3+("y)3]m=3+3+3=TTOC\o"1-5"\h\z(2)rotA|=[(z+y)i+(x+z)j+(x+y)k]=5i+4j+3k,于是MM,八122.、?n0=(5i+4j+3k)?(—i+—j+—k)m33319y4.用雅可比矩陣求下列矢量場的散度和旋度。A=(3x2y+z)i+(y3-xz2)j+2xyzk;A=yz2i+zx2j+xy2k;A=P(x)i+Q(y)j+R(z)k.r,-一v16xy3x21解:(1)DA=\-z23y2-2xz[,故有divA=6xy+3V2+羽=(抵+卻)，,yz2xz2xyrotA=4xzi+(1-2yz)j-(z2+政比0z22yzDA=<2xz0x2>,故有divA=0+0+0=0,y22xy0rotA=x(2y-x)i+y(友一y)j+z(2x-z)k.阡00]DA=，0Q'(y)0},故有divA=P'(x)+Q?(y)+R?(z).00R'(z)rotA=0。5.已知u=exyz,A=z2i+x2j+y2k,求rot^A*解：rotuA=urotA+graduxA,DA=<2x00>,有rotA=2yi+Izj+2xk,urotA=exy^2yi+2zj+2xk),,02y0,gradu=exyz(yzi+xzj+xyk),graduxAijk=exyzyzxzxy=exyz[(xy2z一x3y)i+(xyz2一y3z)j+(x2yz一xz3)k],z2x2y2rotuA=exyz[(2y+xy2z一x3y)i+(2z+xyz2一y3z)j+(2x+x2yz-xz3)k]6?已知A=3yi+2z2j+xyk,B=x2i-4k,求rot(AxB)?

ijij解：AxB=3y2z2X20x^=-8z2i+(x3y+12y)j一2x2z2k.0D(AxB)={3x2y一4xz0D(AxB)={3x2y一4xz2J0-16zx3+120"0一4x2z故有rot(AxB)=0i+(4xz2-16z)j+3x2yk=4z(xz-4)j+3x2yk.習(xí)題6解答證明下列矢量場為有勢場，并用公式法和不定積分法求其勢函數(shù)。(1)A=ycosxyi+xcosxyj+sinzk;(2)A=(2xcosy-y2sinx)i+(2ycosx-x2siny)j.解：(1)記P=ycosxy,Q=xcosxy,R=sinz.ij8合則rotA=———oxoypQk00zR=0i+0j+[(cosxy-xysinxy)一(cosxy-xysinxy)]k=010公式法：v=-JxP(x,0,0)dx-JyQ(x,y,0)dy-JzR(x,y,z)dz+C0001=-Jx0dx-Jyxcosxydy-Jzsinzdz+C0001=0-sinxy+cosz-1+C】=cosz-sinxy+C.20不定積分法：因勢函數(shù)v滿足A=-gradv，即有v=-ycosxy,v=-xcosxy,v=-sinz,將第一個方程對x積分，得v=-sinxy+9(y,z),對y求導(dǎo)，得v^=-xcosxy+9'y(y,z)，與第二個方程比較，知9'y(y,z)=0,于是9(y,z)=W(z),從而v=-sinxy+w(z).再對z求導(dǎo)，得v=w'(z),與第三個方程比較，知w'(z)=-sinz，故w(z)=cosz+C.z所以v=cosz一sinxy+C.(2)記P=2xcosy-y2sinx,Q=2ycosx-x2siny,R=0.ijAdijAdd則rotA=——oxoypQk00zR=0i+0j+[(-2ysinx-2xsiny)-(-2xsiny-2ysinx)]k=0所以a為有勢場。卜面用兩種方法求勢函數(shù)v:10公式法：v=-JxP(x,0,0)dx-JyQ(x,y,0)dy-JzR(x,y,z)dz+CTOC\o"1-5"\h\z000=-Jx2xdx-Jy(2ycosx-x2siny)dy-Jz0dz+C000=-x2-y2cosx-x2cosy+x2+C=-y2cosx-x2cosy+C.20不定積分法：因勢函數(shù)v滿足A=-gradv，即有v=-2xcosy+y2sinx,v=-2ycosx+x2siny,v=0,xyz將第一個方程對x積分，得v=-x2cosy-y2cosx+9(y,z),對y求導(dǎo)，得v^=x2siny-2ycosx+9'y(y,z)，與第二個方程比較，知9'y(y,z)=0,于是9(y,z)=W(z),從而v=-x2cosy-y2cos+w(z).再對z求導(dǎo)，得vz=v'(z),與第三個方程比較，知w'(z)=0，故甲(z)=C.所以v=-x2cosy-y2cosx+C.下列矢量場A是否保守場？若是，計算曲線積分』Adl:lA=(6xy+z2)i+(3x2-z)j+(3xz2-y)k，l的起點為A(4,0,1),終點為8(2,1,-1);A=2xzi+2yz2j+(x2+2y2z-1)k，l的起點為A(3,0,1),終點為8(5,-1,3).6y6x3z2解：⑴DA={6x0-1[,有rotA=[(-1)-(-1)I+應(yīng)2-&2”+(6x-6x)k=。故A為保守場。因此，z2-16xz存在A?dl的原函數(shù)u。按公式u=JxP(x,0,0)dx+JyQ(x,y,0)dy+JzR(x,y,z)dz000

=Jx0dx+J3x2dy+Jz(3xz2一y)dz=3x2y+xz3-yz,于是000JAdl=(3x2y+xz3-yz)|B(2,1,-1)=7。A(4,0,1)l2z0(2)DA={02z2、2x4yz2x4yz>,有頑A=(4yZ-4域+(&-蹌/+0k=Q故a為保守場。因此，存在2y2A?dl的原函數(shù)u。按公式u=-JxP(x,0,0)dx-JyQ(x,y,0)dy-JzR(x,y,z)dz000=Jx0dx+Jy0dy+Jz(x2+2y2z-1)dz=x2z+y2z2-z,于是000B(5,-1,3)=73.。A(3,0,1)JAdl=(x2z+y2z2-z)l求下列全微分的原函數(shù)u(1)du=(x2-2yz)dx+(y2-2xz)dy+(z2-2xy)dz;(2)du=(3x2+62z0(2)DA={02z2、2x4yzB(5,-1,3)=73.。A(3,0,1)解：由公式u=JxP(x,0,0)dx+JyQ(x,y,0)dy+JzR(x,y,z)dz+C000(1)u=Jxx2dx+Jyy2dy+Jz(z2-2xy)dz+C000=3x3+§y3+3Z3-2xyz+C=3(x3+y3+z3)-2xyz+C；(2)u=Jx3x2dx+Jy(6x2y+4y3)dy+C=x3+3x2y2+y4+C。9.證明矢量場A=(2x+y)i+(4y+x+2z)j+(2y-6z)k為調(diào)和場，并求其調(diào)和函數(shù)。f210)..解：DA=142，有divA=2+4-6=0,rotA=(2-2)i+(0-0)j+(1-1)k=0故a為調(diào)和場。k02-6>其調(diào)和函數(shù)u由公式u=JxP(x,0,0)dx+JyQ(x,y,0)dy+JzR(x,y,z)dz+C000=Jx2xdx+Jy(4y+x)dy+Jz(2y-6z)dz+C=x2+2y2+xy+2yz-3z2+C.10.已知u=3x2,z-y2z3+4x3y+2x-3y-5,求Au.【提示：Au=div(gradu)】

解：gradu=(6xz+12x2y+2)i+(-2yz3+4x3一3)j+(3x2—3y2z2)k,則Au=div(gradu)=6z+24xy一2z3一6y2z.13.試證矢量場A=-2yi-2xj為平面調(diào)和場，并且：求出場的力函數(shù)u和勢函數(shù)v；畫出場的力線和等勢線的示意圖。證：記P=-2y,Q=-2x,則有divA=窖+箜=0+0=0,oxoyrotA=(羿■-當(dāng))k=0k=0,故A為平面調(diào)和場。oxOy但對稱軸相差-角。如上圖所示。4(1)由公式，并取其中(x0,y0)=(0,0)，則勢函數(shù)v=-JxP