《一次同余方程》教學(xué)課件

3.2一次同余方程人教B版數(shù)學(xué)選修4-6《初等數(shù)論初步》12020/12/103.2一次同余方程人教B版數(shù)學(xué)選修4-6《初等數(shù)論初步》一次同余方程一次同余方程的一般形式為

ax≡b(modm)，有定理：a,b為整數(shù)，，則ax≡b(modm)有解的充要條件是(a,m)|b,若有解則有d=(a,m)個關(guān)于模m的解22020/12/10一次同余方程22020/12/10證明：由同余的定義知ax≡b(modm)等價于不定方程ax=b-my，而此不定方程有解的充要條件是(a,m)|b。在有解的情況下，設(shè)不定方程的解為

此時同余方程有d個解，為因當(dāng)時，32020/12/10證明：由同余的定義知ax≡b(modm)等價于不定方程ax2.2一次同余方程ax≡b(modm)的解法。（1）化為不定方程ax+my=b例：解同余式解因為(45,132)=3|21,所以同余式有3個解.

化簡為等價的同余方程我們再解不定方程15x-44y=7,得到一解(21,7).,方程3個解為即為42020/12/102.2一次同余方程ax≡b(modm)的解法。2)利用歐拉定理若(a,m)=1,則有

ax≡b(modm),兩邊同乘，則有即因為所以52020/12/102)利用歐拉定理若(a,m)=1,則有52020/例:解同余式解：因為(8,11)=1,所以由歐拉定理有62020/12/10例:解同余式62020/12/10(3)用形式分?jǐn)?shù)定義1：當(dāng)（a，m）=1時，若ab1(modm)，則記b(modm)稱為形式分?jǐn)?shù)。根據(jù)定義和記號，有性質(zhì)1、2、（d，m）=1，且，則利用形式分?jǐn)?shù)的性質(zhì)把分母變成1，從而求出一次同余式的解。72020/12/10(3)用形式分?jǐn)?shù)72020/12/10例：解一次同余方程解：∵（17，25）=1，原同余方程有解，利用形式分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，同余方程解為

82020/12/10例：解一次同余方程82020/12/10

一次同余方程組的解法定義:如下(*)稱為一次同余方程組

x≡b1(modm1)x≡b2(modm2)……（*）

x≡bk(modmk)有解判定定理：同余方程組（*）有解的充要條件是92020/12/10一次同余方程組的解法92020/12/10下面給出k=2時的證明.證:若

(1)有解,則有

(2)

即反之由(1)得代入(2)有

因為由一次同余方程有解條件知t有解,即同余方程組有解.102020/12/10下面給出k=2時的證明.證:若下面給出一個例子，并用代入法求解例：解一次同余式組解：因為(4,6)=2|3-1,所以有解,由(1)式得x=3+4t代入(2)得即得代入x=3+4t

得即為一次同余式組的解。112020/12/10下面給出一個例子，并用代入法求解112020/12/10下面我們給出模兩兩互素的情形，此時顯然滿足有解的條件，即孫子定理：設(shè)兩兩互素，則同余式(*)組的解為其中

122020/12/10下面我們給出模兩兩互素的情形，此時顯然滿足有解的條件，即12證明：因為兩兩互素，所以有中的存在，又對任意的有有所以即是(*)的解若是滿足(*)的兩個整數(shù)，則有又,所以有,即

,說明是惟一解。132020/12/10證明：因為兩兩例：解一次同余式組解:因為7，8,9兩兩互素，可以利用孫子定理.m=504,進(jìn)而有所以有是原一次同余式組的解。142020/12/10例：解一次同余式組142020/12/10注：若給出的同余方程組不是標(biāo)準(zhǔn)形式，必須注意化為標(biāo)準(zhǔn)形式，同時我們得到的有解的判別定理及求解方法都是在這一標(biāo)準(zhǔn)形式得到的。同余方程組（1）有解的條件(mi,mj)∣bi-bj

，1≤i，j≤k。在使用時一定要對所有的組合進(jìn)行驗算，進(jìn)行有解的判別152020/12/10注：若給出的同余方程組不是標(biāo)準(zhǔn)形式，必須注意化為標(biāo)準(zhǔn)形式，同求解一次同余方程組（*）有兩種方法：待定系數(shù)法和孫子定理,二種方法各有特長。待定系數(shù)法適應(yīng)的范圍較廣，對模沒有什么要求。孫子定理有一個具體的公式，形式也較漂亮。但對模要求是兩兩互素。次數(shù)大于1的同余方程稱為高次同余方程，一般地高次同等方程可轉(zhuǎn)化一系列的高次同余方程組。然后將每一個高次同余方程的解都求出，最后利用孫子定理可求出原高次同余方程的解。162020/12/10求解一次同余方程組（*）有兩種方法：待定系數(shù)法和孫子定想想我們本節(jié)講了什么？172020/12/10想想我們本節(jié)講了什么？172020/12/10PPT教學(xué)課件謝謝觀看ThankYouForWatching182020/12/10PPT教學(xué)課件謝謝觀看ThankYouForWatch3.2一次同余方程人教B版數(shù)學(xué)選修4-6《初等數(shù)論初步》192020/12/103.2一次同余方程人教B版數(shù)學(xué)選修4-6《初等數(shù)論初步》一次同余方程一次同余方程的一般形式為

ax≡b(modm)，有定理：a,b為整數(shù)，，則ax≡b(modm)有解的充要條件是(a,m)|b,若有解則有d=(a,m)個關(guān)于模m的解202020/12/10一次同余方程22020/12/10證明：由同余的定義知ax≡b(modm)等價于不定方程ax=b-my，而此不定方程有解的充要條件是(a,m)|b。在有解的情況下，設(shè)不定方程的解為

此時同余方程有d個解，為因當(dāng)時，212020/12/10證明：由同余的定義知ax≡b(modm)等價于不定方程ax2.2一次同余方程ax≡b(modm)的解法。（1）化為不定方程ax+my=b例：解同余式解因為(45,132)=3|21,所以同余式有3個解.

化簡為等價的同余方程我們再解不定方程15x-44y=7,得到一解(21,7).,方程3個解為即為222020/12/102.2一次同余方程ax≡b(modm)的解法。2)利用歐拉定理若(a,m)=1,則有

ax≡b(modm),兩邊同乘，則有即因為所以232020/12/102)利用歐拉定理若(a,m)=1,則有52020/例:解同余式解：因為(8,11)=1,所以由歐拉定理有242020/12/10例:解同余式62020/12/10(3)用形式分?jǐn)?shù)定義1：當(dāng)（a，m）=1時，若ab1(modm)，則記b(modm)稱為形式分?jǐn)?shù)。根據(jù)定義和記號，有性質(zhì)1、2、（d，m）=1，且，則利用形式分?jǐn)?shù)的性質(zhì)把分母變成1，從而求出一次同余式的解。252020/12/10(3)用形式分?jǐn)?shù)72020/12/10例：解一次同余方程解：∵（17，25）=1，原同余方程有解，利用形式分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，同余方程解為

262020/12/10例：解一次同余方程82020/12/10

一次同余方程組的解法定義:如下(*)稱為一次同余方程組

x≡b1(modm1)x≡b2(modm2)……（*）

x≡bk(modmk)有解判定定理：同余方程組（*）有解的充要條件是272020/12/10一次同余方程組的解法92020/12/10下面給出k=2時的證明.證:若

(1)有解,則有

(2)

即反之由(1)得代入(2)有

因為由一次同余方程有解條件知t有解,即同余方程組有解.282020/12/10下面給出k=2時的證明.證:若下面給出一個例子，并用代入法求解例：解一次同余式組解：因為(4,6)=2|3-1,所以有解,由(1)式得x=3+4t代入(2)得即得代入x=3+4t

得即為一次同余式組的解。292020/12/10下面給出一個例子，并用代入法求解112020/12/10下面我們給出模兩兩互素的情形，此時顯然滿足有解的條件，即孫子定理：設(shè)兩兩互素，則同余式(*)組的解為其中

302020/12/10下面我們給出模兩兩互素的情形，此時顯然滿足有解的條件，即12證明：因為兩兩互素，所以有中的存在，又對任意的有有所以即是(*)的解若是滿足(*)的兩個整數(shù)，則有又,所以有,即

,說明是惟一解。312020/12/10證明：因為兩兩例：解一次同余式組解:因為7，8,9兩兩互素，可以利用孫子定理.