科學和工程計算復習題2014

科學和工程計算基礎復習題填空題:評價一個數(shù)值計算方法的好壞主要有兩條標準:計算結(jié)果的和得到結(jié)果需要付出的.計算機計費的主要依據(jù)有兩項:一是使用中央處理器(CPU)的時間,主要由決定;二是占據(jù)存儲器的空間,主要由決定.用計算機進行數(shù)值計算時,所有的函數(shù)都必須轉(zhuǎn)化成.對于某個算法,若輸入數(shù)據(jù)的誤差在計算過程中迅速增長而得不到控制,則稱該算法是,否則是.函數(shù)求值問題的條件數(shù)定義為:單調(diào)減且有的數(shù)列一定存在極限;單調(diào)增且有的數(shù)列一定存在極限.方程實根的存在唯一性定理:設且,則至少存在一點使.當在上時,方程在內(nèi)有唯一的實根.函數(shù)在有界閉區(qū)域D上對滿足Lipschitz條件,是指對于D上的任意一對點和成立不等式:.其中常數(shù)L.設為其特征值,則稱為矩陣A的譜半徑.設存在,則稱數(shù)為矩陣的條件數(shù),其中是矩陣的算子范數(shù).方程組,對于任意的初始向量和右端項,迭代法收斂的充分必要條件是選代矩陣B的.設被插函數(shù)在閉區(qū)間上階導數(shù)連續(xù),在開區(qū)間上存在.若為上的個互異插值節(jié)點,并記,則插值多項式的余項為,其中.若函數(shù)組滿足,則稱為正交函數(shù)序列.復化梯形求積公式,其余項為復化Simpson求積公式,其余項為選互異節(jié)點為Gauss點,則Gauss型求積公式的代數(shù)精度為.如果給定方法的局部截斷誤差是,其中為整數(shù),則稱該方法是.微分方程的剛性現(xiàn)象是指快瞬態(tài)解嚴重影響,給數(shù)值計算造成很大的實質(zhì)性困難的現(xiàn)象.迭代序列終止準則通常采用,其中的為.在求解非線性方程組的阻尼牛頓迭代法中加進阻尼項的目的,是使線性方程組(牛頓方程)的系數(shù)矩陣.選擇題1.下述哪個條件不是能使高斯消去法順利實現(xiàn)求解線性代數(shù)方程組的充分條件?()A.矩陣的各階順序主子式均不為零;B.對稱正定;C.嚴格對角占優(yōu);D.的行列式不為零.2.高斯消去法的計算量是以下述哪個數(shù)量級的漸近速度增長的?()A.;B.;C.;D..3.對于任意的初始向是和右端項,求解線性代數(shù)方程組的迭代法收斂的充分必要條件是().A.;B.;C.;D.嚴格對角占優(yōu).4.下述哪個條件不是能使求解線性代數(shù)方程組的Gauss-Seidel迭代法收斂的充分條件?()A.為嚴格對角占優(yōu)陣;B.為不可約弱對角占優(yōu)陣;C.的行列式不為零;D.為對稱正定陣.5.設，并記，則函數(shù)的過點的線性插值余項,滿足().A.;B.;C.;D..6.設是在區(qū)間上帶權(quán)的首項系數(shù)非零的次正交多項式,則的個根().A.都是單實根;B.都是正根;C.有非負的根;D.存在重根7.Legendre多項式是()的正交多項式.()A.區(qū)間上帶權(quán);B.區(qū)間上帶權(quán);C.區(qū)間上帶權(quán);D.區(qū)間上帶權(quán)8.離散數(shù)據(jù)的曲線擬合的線性最小二乘法的Gram矩陣與()無關(guān)?A.基函數(shù);B.自變量序列;C.權(quán)數(shù);D.離散點的函數(shù)值.9.Simpson求積公式的余項是().A.;B.;C.;D.10.個互異節(jié)點的Gauss型求積公式具有()次代數(shù)精確度.A.;B.;C.;D..11.一階導數(shù)的數(shù)值計算公式中,中心差商公式的精度為().A.;B.;C.;D..12.對于用插值法建立的數(shù)值求導公式,通常導數(shù)值的精確度比用插值公式求得的函數(shù)值的精度().A.高;B,低;C.相同;D.不可比.13.在常微分方程初值問題的數(shù)值解法中,梯形公式是顯式Euler公式和隱式Euler公式的().A.算術(shù)平均;B.幾何平均;C.非等權(quán)平均;D.和.14.當()時,求解的顯式Euler方法是絕對穩(wěn)定的.A.;B.;C.;D.15.求解的經(jīng)典R-K公式的絕對穩(wěn)定條件是():A．;B.;C.;D..16.在非線性方程的數(shù)值解法中,只要,那么不管原迭代法是否收斂,由它構(gòu)成的Steffensen迭代法的局部收斂的階是()階的.A.1;B.0;C.;D..17.在非線性方程的數(shù)值解法中,Newton迭代法的局部收斂的階是()階的.A.1;B.0;C.;D..18.在非線性方程的數(shù)值解法中,離散Newton迭代法的局部收斂的階是()階的.A.1;B.;C.;D..19.在求解非線性方程時,迭代終止準則通常采用(),其中的為給定的相對誤差容限.A.;B.;C.;D..20.在求解非線性方程組時,加進阻尼項的目的,是使線性方程組的().A.系數(shù)矩陣非奇異;B.系數(shù)矩陣的行列式不等于零;C.系數(shù)矩陣非奇異并良態(tài);D.系數(shù)矩陣可逆.判斷題在用計算機求數(shù)學問題的數(shù)值解就是構(gòu)造算法的構(gòu)造問題.()用計算機進行數(shù)值計算時,所有的函數(shù)都必須轉(zhuǎn)化成算術(shù)運算;在作加減法時,應避免接近的兩個數(shù)相減;在所乘除法時,計算結(jié)果的精度不會比原始數(shù)據(jù)的高.()用計算機作加減法時,交換律和結(jié)合律成立.()單調(diào)減且有下界的數(shù)列一定存在極限。()設,則的充要條件是的譜半徑.()若,則一定有.()求解線性代數(shù)方程組,當很大時,Cholesky分解法的計算量比Gauss消去法大約減少了一半.()在用迭代法求解線性代數(shù)方程組時,若Jacobi迭代矩陣為非負矩陣,則Jacobi方法和Gauss-Seidel方法同時收斂,或同時不收斂;若同時收斂,則Gauss-Seidel方法比Jacobi方法收斂快.()均差(或差商)與點列的次序有關(guān).()線性最小二乘法問題的解與所選基函數(shù)有關(guān).()復化梯形求積公式是2階收斂的,復化Simpson求積公式是4階收斂的.()Gauss求積系數(shù)都是正的.()在常微分方程初值問題的數(shù)值解法中,因為梯形公式是顯式Euler公式和隱式Euler公式的算術(shù)平均,而Euler公式和隱式Euler公式是一階方法,所以梯形公式也是一階方法.()在Runge-Kutta法中,通常同級的隱式公式能獲得比顯式公式更高的階.()求解的梯形公式是無條件穩(wěn)定的.()在常微分方程初值問題的數(shù)值解法中,不論單步法還是多步法,隱式公式比顯式公式的穩(wěn)定性好.()迭代法的基本問題是收斂性、收斂速度和計算效率.()在一元非線性方程的數(shù)值解法中,最有效的是Steffensen迭代法和Newton迭代法.前者不需要求導數(shù),但不宜推廣到多元的情形;后者需要求導數(shù),但可直接推廣到多元方程組.()常微分方程邊值問題的差分法,就是將解空間和微分算子離散化、組成滿足邊值條件的差分方程組,求解此方程組,得到邊值問題在節(jié)點上函數(shù)的近似值.()在求解非線性方程組時,在一定條件下映內(nèi)性可保證不動點存在,因而也能保證唯一性.()線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法用高斯消去法求解方程組，即列出用增廣矩陣表示的計算過程及解向量；列出由此得到的Doolittle三角分解中的三角陣和；由計算。用高斯消去法求解方程組，即列出用增廣矩陣表示的計算過程及解向量；列出由此得到的Doolittle三角分解中的三角陣和；由計算。用高斯消去法求解方程組，即列出用增廣矩陣表示的計算過程及解向量；列出由此得到的Doolittle三角分解中的三角陣和；由計算。用高斯消去法求解方程組，即列出用增廣矩陣表示的計算過程及解向量；列出由此得到的Doolittle三角分解中的三角陣和；由計算。用高斯消去法求解方程組，即列出用增廣矩陣表示的計算過程及解向量；列出由此得到的Doolittle三角分解中的三角陣和；由計算。用高斯消去法求解方程組，即列出用增廣矩陣表示的計算過程及解向量；列出由此得到的Doolittle三角分解中的三角陣和；由計算。用追趕法求解三對角方程組,其中用追趕法求解三對角方程組,其中用追趕法求解三對角方程組,其中插值與擬合已知函數(shù)的三個點，寫出Lagrange插值基函數(shù),并求2次插值多項式.已知,求函數(shù)過這三點的二項Lagrange插值多項式.求不超過3次的多項式，使它滿足插值條件：求不超過4次的多項式，使它滿足插值條件：給定數(shù)據(jù)如下:11.5021.252.501.005.50作函數(shù)的均差表;用牛頓插值公式求三次插值多項式.求不超過3次的多項式，使它滿足插值條件:己知函數(shù)的三個點處的值為：在區(qū)間[-1,1]上,求在自然邊界條件下的三次樣條插值多項式.已知為定義在區(qū)間上的函數(shù),且有試求區(qū)間上滿足上述條件的三次樣條插值函數(shù).己知點列和權(quán)數(shù),試用三項遞推公式構(gòu)造對應的正交多項式.觀察物體的直線運動,得出如下數(shù)據(jù)：時間t/s0.00.91.93.03.95.0距離s/m010305080110求運動方程,并作圖.試用二次多項式擬合下表中的離散數(shù)據(jù):012340.000.250.500.751.000.100.350.811.091.96試用二次多項式擬合下表中的離散數(shù)據(jù):012340.000.250.500.751.001.00001.28401.64872.11702.7183用自己的語言敘述最小二乘原理，并求參數(shù)和，使積分值最小.數(shù)值積分和數(shù)值微分求積公式已知其余項的表達式為,試確定系數(shù)使該求積公式具有盡可能高的代數(shù)精確度,并給出該求積公式的余項和代數(shù)精確度的次數(shù).確定下列求積公式的待定參數(shù),使該求積公式的代數(shù)精確度盡量高,并指出其代數(shù)精確度的次數(shù).(1)(2)(3)確定下列求積公式的待定參數(shù),使該求積公式的代數(shù)精確度盡量高,指出其代數(shù)精確度的次數(shù),并求出余項中的常數(shù).(1)(2)給定數(shù)據(jù)表:1.82.02.22.42.63.120144.425696.042418.0301410.46675分別用復化梯形公式和復化Simpson公式計算的近似值.分別用4段梯形公式和2段Simpson公式計算下列積分,運算時取5位有效數(shù)字。(1)(2)己知求積公式:試利用此公式導出計算的2段復化求積公式.用兩種不同的方法確定，使下面公式為Gauss求積公式:常微分方程的