分析力學(xué)講義課件

第二章分析力學(xué)(AnalyticalMechanics)第二章分析力學(xué)1平衡問題----虛功原理基本概念---約束.自由度.廣義坐標(biāo).虛位移動力學(xué)位形空間相空間拉格朗日方程哈密頓原理哈密頓正則方程哈密頓原理泊松括號運動積分L判據(jù).H判據(jù).泊松括號判據(jù)時空對稱性.不可觀測量和守恒定律平衡問題----虛功原理基本概念---約束.自由度.廣義坐標(biāo)2§1.基本概念(BasicConcepts)牛頓力學(xué)兩大困難約束力未知坐標(biāo)不獨立?一.約束定義:物體運動過程中受到限制約束方程:§1.基本概念(BasicConcepts)牛頓力學(xué)兩大困3約束分類:

幾何約束:

微分約束:

完整約束與非完整約束:幾何約束可積分的微分約束完整約束

穩(wěn)定約束與非穩(wěn)定約束:

可解約束與不可解約束約束分類:幾何約束:微分約束:完整約束與非完整約束:幾4…(2)xy(X,y)…(1)

幾何約束:

微分約束:demonstration…(2)xy(X,y)…(1)幾何約束:微分約束:dem5mmX2,y2X1,y1cExample:xy…(3)…(4)…..(4)mmX2,y2X1,y1cExample:xy…(3)…(6任一微分約束均可表示為如果:則微分方程可積愛因斯坦求和約定是否可積?任一微分約束均可表示為如果:則微分方程可積愛因斯坦求和約定是7

完整約束:非完整約束:幾何約束和不可積分的微分約束可積分的微分約束可解約束與不可解約束:用不等號表示約束可解約束用等號表示約束不可解約束完整約束:非完整約束:幾何約束和不可積分的微分約束可積分的8二.自由度和描述度系統(tǒng)有N個質(zhì)點,受k個完整約束和m個非完整約束定義自由度:f=3N-(k+m)描述度:描述一個力學(xué)系統(tǒng)所需獨立坐標(biāo)數(shù)目:S完整約系f=S非完整約系f<S二.自由度和描述度系統(tǒng)有N個質(zhì)點,受k個完整約束和m個非完整9三.廣義坐標(biāo)(Generalizedcoordinates)位形空間(ConfigurationalSpace)完整約束系統(tǒng)的自由度為S(f),則可選S個獨立參量來描述此系統(tǒng)廣義坐標(biāo)q(q1,q2,q3……qs)變換方程三.廣義坐標(biāo)(Generalizedcoordinates10Attention:廣義坐標(biāo)數(shù)目由自由度確定“廣義”二字的含義

對給定力學(xué)系統(tǒng),廣義坐標(biāo)選取不唯一

廣義坐標(biāo)正確與否的判斷全部直角坐標(biāo)能用廣義坐標(biāo)表示則對如果全部直角坐標(biāo)不能用廣義坐標(biāo)表示則錯廣義坐標(biāo)克服了牛頓力學(xué)中坐標(biāo)不不獨立的困難Attention:廣義坐標(biāo)數(shù)目由自由度確定“廣義”二字的含11位形空間由S個廣義坐標(biāo)張開成S維抽象空間qiqj位形空間由S個廣義坐標(biāo)張開成S維抽象空間qiqj12四.實位移可能位移虛位移(Realdisplacement,Possibledisplacement,Virtualdisplacement)設(shè)系統(tǒng)有N個質(zhì)點,受k個幾何約束特點:唯一性代表真實運動實位移(i=123…N)四.實位移可能位移虛位移(Realdisplace13唯一性代表真實運動既滿足運動規(guī)律又滿足約束方程dt0,需要時間實位移特點唯一性代表真實運動既滿足運動規(guī)律又滿足約束方程dt14不考慮運動規(guī)律限制,只考慮約束限制條件下發(fā)生的位移可能位移t時刻:t=dt時刻:不考慮運動規(guī)律限制,只考慮約束限制條件下發(fā)生的位移可能位移t15Attention:不考慮運動規(guī)律限制考慮約束限制條件dt0可能位移不唯一可能位移的特點可能位移產(chǎn)生的原因約束變動引起在約束面內(nèi)各質(zhì)點具有不同可能速度同共性個性Attention:不考慮運動規(guī)律限制考慮約束限制條件dt16虛位移不考慮運動規(guī)律限制時間被凍結(jié)約束被“凝固”

t=0!!!滿足約束條件虛位移特點不唯一可能位移虛位移不考慮運動規(guī)律限制時間被凍結(jié)約束被“凝固”t17虛位移不唯一虛位移不唯一18五.理想約束實例m1m2五.理想約束實例m1m219非穩(wěn)定約束在虛位移下的虛功=0對可能位移所做元功0非穩(wěn)定約束在虛位移下的虛功=0對可能位移所做元功020m1m2T1T2y1y2m1m2T1T2y1y221五.理想約束虛功:力在虛位移下所做的功理想約束:若作用在力學(xué)系統(tǒng)上所有的約束力在任意虛位移下所做的虛功之和為零五.理想約束虛功:力在虛位移下所做的功理想約束:若作用在力學(xué)22§2.虛功原理(PrincipleofVirtualWork)表述:完整的理想約束系統(tǒng)處于平衡的充要條件是證明：必要性系統(tǒng)處于平衡時§2.虛功原理(PrincipleofVirtualW23充分性：反證法系統(tǒng)不平衡系統(tǒng)必平衡充分性：反證法系統(tǒng)不平衡系統(tǒng)必平衡24分析力學(xué)講義課件25定義:廣義力虛功原理保守系定義:廣義力虛功原理保守系26Attention:廣義力的計算廣義力的數(shù)目由自由度決定廣義力既可是力又可以是力矩，決定于廣義坐標(biāo),還可是其它物理量不要將廣義力和力混淆Attention:廣義力的計算廣義力的數(shù)目由自由度決定廣義27已知：求：廣義力解：用虛功方法求取廣義坐標(biāo)分別為已知：求：廣義力解：用虛功方法求取廣義坐標(biāo)分別為28虛功原理解題步驟分析約束,確定自由度選好廣義坐標(biāo)寫出主動力作用點的坐標(biāo)并對其變分代入虛功原理公式中求解Attention:靜系中的平衡只有廣義坐標(biāo)方可獨立變化虛功原理中不出現(xiàn)約束力只有正確寫出虛功原理解題步驟分析約束,確定自由度選好廣義坐標(biāo)寫出主動力作29例題1半徑為a的光滑半球形碗固定在水平面上。一勻質(zhì)棒斜靠在碗緣，在碗內(nèi)長度為c,試用虛功原理求棒全長。yxmgc分析oABD坐標(biāo)數(shù)3約束數(shù)目2自由度數(shù)目1demonstration例題1半徑為a的光滑半球形碗固定在水平面上。一勻質(zhì)棒斜靠在碗30yxmgcABDxDo解：取為廣義坐標(biāo)，設(shè)桿長為yxmgcABDxDo解：取為廣義坐標(biāo)，設(shè)桿長為31分析力學(xué)講義課件32利用廣義力解利用廣義力解33例二oABxy分析坐標(biāo)數(shù)4約束2自由度2廣義坐標(biāo)cDdemonstration例二oABxy分析坐標(biāo)數(shù)4約束2自由度2廣義坐標(biāo)cDdem34解：取如圖所示，為廣義坐標(biāo)解：取如圖所示，為廣義坐標(biāo)35分析力學(xué)講義課件36分析力學(xué)講義課件37分析力學(xué)講義課件38利用廣義力解利用廣義力解39分析力學(xué)講義課件40ABCDEFOxy分析坐標(biāo)數(shù)6約束6自由度0廣義坐標(biāo)?!!!解除一個約束一個自由度W例三ABCDEFOxy分析坐標(biāo)數(shù)6約束6自由度0廣義坐標(biāo)?!!41解:解:42長為的勻質(zhì)桿AB一端靠在光滑墻上,另一端靠在光滑固定曲面上,如果桿在與豎直墻間的夾角<的任意位置均能平衡,試求曲面形狀.解:取如圖所示為廣義坐標(biāo)例四長為的勻質(zhì)桿AB一端靠在光滑墻上,另一端靠在光滑固定曲43由虛功原理有由虛功原理有44積分上式積分上式45P162,10-3取廣義坐標(biāo)為求相應(yīng)廣義力P162,10-3取廣義坐標(biāo)為求相應(yīng)廣義力46分析力學(xué)講義課件47§3.完整系的拉格朗日方程(Lagrange’sEquationforHolonomicSystem)一.達(dá)朗貝爾----拉格朗日方程平衡方程牛頓力學(xué)動力學(xué)方程達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾--拉格朗日方程§3.完整系的拉格朗日方程(Lagrange’sEquat48二.完整系的拉格朗日方程f(q,t)證明:兩個重要公式q1q2…qst二.完整系的拉格朗日方程f(q,t)證明:兩個重要公式q1q49(=123…s)=?(=123…s)=?50完整系的拉格朗日方程完整系的拉格朗日方程51分析力學(xué)講義課件52分析力學(xué)講義課件53對保守系L=T-V拉格朗日函數(shù)對保守系L=T-V拉格朗日函數(shù)54Summary:

T=V=V(q)

L=T-V

L

L拉格朗日函數(shù)不唯一!!!L可以給出力學(xué)系統(tǒng)的所有信息規(guī)范不變性Summary:T=V=V(q)L=T-VLL拉格朗55§4.運動積分的拉格朗日判據(jù)(ConstantsoftheMotionintheLagranglanFormulation)一.循環(huán)坐標(biāo)廣義動量:循環(huán)坐標(biāo):則稱q為循環(huán)坐標(biāo)p=p0(conservation)§4.運動積分的拉格朗日判據(jù)(Constantsofth56Attention:循環(huán)坐標(biāo)是否出現(xiàn)及出現(xiàn)的多少是判斷廣義坐標(biāo)是否合適的標(biāo)志循環(huán)坐標(biāo)是否出現(xiàn)與廣義坐標(biāo)選取有關(guān)二.動能表達(dá)式數(shù)學(xué)補充:歐拉齊次函數(shù)定理Attention:循環(huán)坐標(biāo)是否出現(xiàn)及出現(xiàn)的多少循環(huán)坐標(biāo)是否57如果f(x1x2x3……xN)是x1x2x3……xN的n次齊次函數(shù),即對任意t,有則稱n次齊次函數(shù)Example:二次齊次函數(shù)如果f(x1x2x3……xN)是x1x2x3……58歐拉齊次函數(shù)定理:兩邊對t求導(dǎo)證明歐拉齊次函數(shù)定理:兩邊對t求導(dǎo)證明59分析力學(xué)講義課件60Example:歐拉齊次函數(shù)定理:二次齊次函數(shù)Example:歐拉齊次函數(shù)定理:二次齊次函數(shù)61系統(tǒng)有N個質(zhì)點,自由度為S動能表達(dá)式系統(tǒng)有N個質(zhì)點,自由度為S動能表達(dá)式62分析力學(xué)講義課件63三.廣義能量積分定義廣義能量三.廣義能量積分定義廣義能量64如果對完整,保守,穩(wěn)定如果對完整,保守,穩(wěn)定65非穩(wěn)定保守系統(tǒng),E不守恒??非穩(wěn)定保守系統(tǒng),E不守恒??66分析力學(xué)講義課件67運動路徑運動路徑68Summary:循環(huán)坐標(biāo)是否出現(xiàn)與廣義坐標(biāo)選取有關(guān)不要將在涉及相對運動時,廣義能量是否代表體系機(jī)械能與參照系有關(guān)一般情況下Summary:循環(huán)坐標(biāo)是否出現(xiàn)與廣義坐標(biāo)選取有關(guān)不要將在涉69例題一質(zhì)量為m的小環(huán)套在一光滑拋物線金屬絲x2=4ay上滑動,金屬絲以勻角速繞y軸轉(zhuǎn)動,試寫出L,H,E.解:在轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系中坐標(biāo)數(shù):2約束:自由度:1取如圖所示為廣義坐標(biāo)例題一質(zhì)量為m的小環(huán)套在一光滑拋物線金屬絲x2=4ay上滑動70=???=0=???=???=0=???71Conclusion:在非慣性參照系中:滿足完整,保守,穩(wěn)定慣性離心力:相對動能:Conclusion:在非慣性參照系中:滿足完整,保守,穩(wěn)定72在靜系中:坐標(biāo)數(shù):約束:自由度:31取如圖所示為廣義坐標(biāo)在靜系中:坐標(biāo)數(shù):約束:自由度:31取如圖所示為廣義坐標(biāo)73分析力學(xué)講義課件74分析力學(xué)講義課件75靜系中的機(jī)械能ESummary:自由度與參照系無關(guān)約束是否穩(wěn)定與參照系有關(guān)廣義能量是否代表機(jī)械能亦與參照系有關(guān)弄清靜系中的機(jī)械能ESummary:自由度與參照系無關(guān)約束是否穩(wěn)76拉格朗日方程的應(yīng)用解題步驟分析約束,確定自由度選好廣義坐標(biāo)寫出體系的動能和勢能及拉格朗日函數(shù)代入相應(yīng)方程求解拉格朗日方程的應(yīng)用解題步驟分析約束,確定自由度選好廣義坐標(biāo)77分析力學(xué)講義課件78解題注意點廣義坐標(biāo)選取至關(guān)重要函數(shù)關(guān)系:動能形式柯尼西定理運用T應(yīng)是絕對動能解題注意點廣義坐標(biāo)選取至關(guān)重要函數(shù)關(guān)系:動能形式柯尼西定79例1用拉格朗日方程求自由質(zhì)點在球坐標(biāo)下廣義力的表達(dá)式.設(shè)其受力在r,,三個方向的分量分別為Fr,F,F解:廣義力非保守系拉氏方程必先求動能例1用拉格朗日方程求自由質(zhì)點在球坐標(biāo)下廣義力的表達(dá)式.設(shè)其受80分析力學(xué)講義課件81xyzxyz82分析力學(xué)講義課件83分析力學(xué)講義課件84分析力學(xué)講義課件85分析力學(xué)講義課件86例2質(zhì)量為m,長為2a的勻質(zhì)棒AB,其A端可在光滑的水平導(dǎo)槽上滑動,而棒本身又可在豎直平面內(nèi)繞A點擺動.C點受一水平恒力F作用,試用拉氏方程求其運動微分方程.AB分析坐標(biāo)數(shù):約束數(shù):自由度:取如圖所示為廣義坐標(biāo)例2質(zhì)量為m,長為2a的勻質(zhì)棒AB,其A端可在光滑的水平87根據(jù)柯尼西定理根據(jù)柯尼西定理88廣義力廣義力89此題亦可用保存系拉格朗日方程重力勢能:恒力勢能:此題亦可用保存系拉格朗日方程重力勢能:恒力勢能:90分析力學(xué)講義課件91分析力學(xué)講義課件92AB例3一半徑為r,質(zhì)量為m的實心圓柱體在一半徑為R的大圓柱體內(nèi)表面作純滾動,試用拉格朗日方程求其在平衡位置附近作微振動的周期.分析坐標(biāo)數(shù)約束數(shù)oo1自由度demonstrationAB例3一半徑為r,質(zhì)量為m的實心圓柱體在一半徑為R的大圓柱93取為廣義坐標(biāo)取為廣義坐標(biāo)94質(zhì)量為m的相同三質(zhì)點等距離系于長為2的不可伸長的輕繩上,系統(tǒng)靜止在光華水平面上.若中間質(zhì)點在某時刻獲得與繩垂直且沿水平面的初速度,試用拉格朗日方程求左右兩質(zhì)點相遇時的速率.例五:分析坐標(biāo)數(shù)約束數(shù)自由度數(shù)取如圖所示為廣義坐標(biāo)demonstration質(zhì)量為m的相同三質(zhì)點等距離系于長為2的不可伸長的輕繩上,95y解:y解:96分析力學(xué)講義課件97??????98分析力學(xué)講義課件99分析力學(xué)講義課件100分析力學(xué)講義課件101相遇時

相遇時102利用守恒定律求解y是循環(huán)坐標(biāo)利用守恒定律求解y是循環(huán)坐標(biāo)103分析力學(xué)講義課件104分析力學(xué)講義課件105例六求一質(zhì)量為m帶電為q的帶電粒子在電磁場預(yù)備知識羅侖茲力矢勢解題思路麥克斯韋方程組例六求一質(zhì)量為m帶電為q的帶電粒子在電磁場預(yù)備知識羅侖茲力矢106取直角坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)廣義速度廣義力取直角坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)廣義速度廣義力107=??=??108分析力學(xué)講義課件109分析力學(xué)講義課件110與速度相關(guān)勢與速度相關(guān)勢111例七質(zhì)量為m的相同二質(zhì)點用一長為的輕桿連接初始時直立靜止在光滑水平面上,以后任其倒下,試用拉格朗日方程求桿落地時的角速度.分析坐標(biāo)數(shù)約束數(shù)自由度數(shù)取如圖所示為廣義坐標(biāo)例七質(zhì)量為m的相同二質(zhì)點用一長為的輕桿連接初始時直立靜止112根據(jù)柯尼西定理根據(jù)柯尼西定理113拉格朗日方程拉格朗日方程114???約束穩(wěn)定???約束穩(wěn)定115質(zhì)量為m的質(zhì)點系在彈性系數(shù)為k的彈簧上,彈簧系在以勻角速轉(zhuǎn)動的水平轉(zhuǎn)臺上的光華直槽內(nèi).當(dāng)彈簧處于原長時質(zhì)點到轉(zhuǎn)臺中心距離最短,試用拉格朗日方程求質(zhì)點作微振動的周期.解:坐標(biāo)數(shù):約束數(shù):自由度數(shù):取如圖所示y為廣義坐標(biāo)例八：質(zhì)量為m的質(zhì)點系在彈性系數(shù)為k的彈簧上,彈簧系在以勻角速116根據(jù)余玄定理根據(jù)余玄定理117分析力學(xué)講義課件118§5.哈密頓正則方程一.勒讓特變換f=f(x,y)新變量舊函數(shù)舊變量舊方程(Hamilton’sEquation)§5.哈密頓正則方程一.勒讓特變換f=f(x,y)新變119fxyuvuvfxyuvuv120新方程舊方程新函數(shù)新方程舊方程新函數(shù)121保留變量舊變量x新變量vfxyxv去掉變量舊變量y新變量u保留變量舊變量x新變量vfxyxv去掉變量舊變量y新變量u122fxyxvfxyxv123令F=(-f+yv)新函數(shù)Summary:令F=(-f+yv)新函數(shù)Summary:124二.相空間和正則方程(q,p)一對正則變量s個廣義坐標(biāo)(q1,q2,q3…..qs)s個廣義動量(p1,p2,p3…..ps)相空間二.相空間和正則方程(q,p)一對正則變量s個廣義坐標(biāo)(q125新變量新變量126保守系正則方程非保守系正則方程保守系正則方程非保守系正則方程127對保守系對保守系128分析力學(xué)講義課件129§6.運動積分的哈密頓判據(jù)(H)(ConstantsofthemotioninHamiltonialformation)一.循環(huán)坐標(biāo)H=H(q,p,t)中不顯含的坐標(biāo)循環(huán)坐標(biāo)q循環(huán)坐標(biāo)p循環(huán)坐標(biāo)§6.運動積分的哈密頓判據(jù)(H)(Constantsof130二.廣義能量積分廣義能量守恒對完整保守穩(wěn)定系統(tǒng)H=T+V=E0二.廣義能量積分廣義能量守恒對完整保守穩(wěn)定系統(tǒng)H=T+V131§7.哈密頓原理(HamiltionalPrincipal)一.變分法簡介dsoAyxy§7.哈密頓原理(HamiltionalPrincipal132泛函定義:Attention:J與y(x)的函數(shù)形式有關(guān)泛函的極值是變分法的核心泛函定義:Attention:J與y(x)的函數(shù)形式有關(guān)泛函133二.變分法計算法則變分法全變分等自變量變分x=0函數(shù)和泛函的變分原函數(shù):y(x)變更后:與x無關(guān)小參數(shù)定義函數(shù)變分:二.變分法計算法則變分法全變分等自變量變分x=0函數(shù)和泛134泛函變分:變分法基本運算法則:泛函變分:變分法基本運算法則:135變分法基本對易關(guān)系“”與“d”對易證明:變分法基本對易關(guān)系“”與“d”對易證明:136由圖可知:由圖可知:137分析力學(xué)講義課件138三.泛函極值條件是的函數(shù)將被積函數(shù)在y(x)附近展開與無關(guān)三.泛函極值條件是的函數(shù)將被積函數(shù)在y(x)附近展開與無139????140歐拉方程歐拉方程141利用變分法運算法則求極值利用變分法運算法則求極值142四.位形空間中的哈密頓原理xtyq(t)定義哈密頓主函數(shù)位形空間中的哈密頓原理(有勢系統(tǒng))四.位形空間中的哈密頓原理xtyq(t)定義哈密頓主函數(shù)位形143位形空間中的哈密頓原理(非有勢系統(tǒng))位形空間中的哈密頓原理(非有勢系統(tǒng))144分析力學(xué)講義課件145五.相空間中的哈密頓原理xtyq(t)P(t)五.相空間中的哈密頓原理xtyq(t)P(t)146定義相空間的哈密頓主函數(shù)定義相空間的哈密頓主函數(shù)147利用位形空間中的哈密頓原理導(dǎo)出拉格朗日方程=?=0利用位形空間中的哈密頓原理導(dǎo)出拉格朗日方程=?=0148分析力學(xué)講義課件149利用相空間中的哈密頓原理導(dǎo)出哈密頓正則方程利用相空間中的哈密頓原理導(dǎo)出哈密頓正則方程150§8.泊松括號及泊松定理(PoissonBracketandPoisson’sTheorem)一.泊松括號的定義若f=f(q.P.t),=(q.P.t)泊松括號§8.泊松括號及泊松定理(PoissonBracketa151二.泊松括號的性質(zhì)反對易性:

[f]=-[f][qP]=

=1,=

0,

若c為常數(shù),則[cf]=0[qq]=[PP]=0分配律:[i]=[i]結(jié)合律:[123]=1[23]+2[13]求導(dǎo)運算二.泊松括號的性質(zhì)反對易性:[f]=-[f]152

線性:

[a1+b2]=a[1]+b[2]雅可比關(guān)系:[1[23]]+[2[31]]+[3[12]]=0三.用泊松括號表示的運動方程正則方程線性:[a1+b2]=a[1]153四.運動積分的泊松括號判據(jù)五.泊松定理若1(q.p,t)和2(q.p,t)是正則方程的兩個運動積分,則[12]也是一個運動積分四.運動積分的泊松括號判據(jù)五.泊松定理若1(q.p,t)154證明:根據(jù)雅可比關(guān)系有[1[2H]][1[2H]]+[2[H1]]=[[12]H]++[H[12]]=0+[2[H1]]證明:根據(jù)雅可比關(guān)系有[1[2H]][1155§9.時空對稱性和守恒定律(SymmetryandConservationlaw)一.時空對稱性,不可觀測量和守恒定律互為因果關(guān)系不可觀測量時空對稱性守恒定律絕對位置or絕對坐標(biāo)原點空間平移不變性動量守恒絕對時間or絕對時間原點時間平移能量守恒空間絕對方位空間旋轉(zhuǎn)不變性角動量守恒空間左右空間反演不變性宇稱守恒正反粒子不可區(qū)分電荷共軛變換C宇稱守恒§9.時空對稱性和守恒定律(SymmetryandCon156時間平移與機(jī)械能守恒TimeTranslationandEnergyConservation二.經(jīng)典力學(xué)中的對稱性和守恒定律時間平移與機(jī)械能守恒二.經(jīng)典力學(xué)中的對稱性和守恒定律157時間平移與機(jī)械能守恒若拉氏函數(shù)具有時間平移不變性tL能量守恒t+tL+L時間平移與機(jī)械能守恒若拉氏函數(shù)具有時間平移不變性tL能量守恒158空間平移與動量守恒(SpatialTranslationandMomentumConservation)空間平移與動量守恒159空間平移與動量守恒空間平移與動量守恒160空間旋轉(zhuǎn)不變性與角動量守恒(SpacerotationInvarianceandConservationofAngularmomentum)

空間旋轉(zhuǎn)不變性與角動量守恒161分析力學(xué)講義課件162第二章分析力學(xué)(AnalyticalMechanics)第二章分析力學(xué)163平衡問題----虛功原理基本概念---約束.自由度.廣義坐標(biāo).虛位移動力學(xué)位形空間相空間拉格朗日方程哈密頓原理哈密頓正則方程哈密頓原理泊松括號運動積分L判據(jù).H判據(jù).泊松括號判據(jù)時空對稱性.不可觀測量和守恒定律平衡問題----虛功原理基本概念---約束.自由度.廣義坐標(biāo)164§1.基本概念(BasicConcepts)牛頓力學(xué)兩大困難約束力未知坐標(biāo)不獨立?一.約束定義:物體運動過程中受到限制約束方程:§1.基本概念(BasicConcepts)牛頓力學(xué)兩大困165約束分類:

幾何約束:

微分約束:

完整約束與非完整約束:幾何約束可積分的微分約束完整約束

穩(wěn)定約束與非穩(wěn)定約束:

可解約束與不可解約束約束分類:幾何約束:微分約束:完整約束與非完整約束:幾166…(2)xy(X,y)…(1)

幾何約束:

微分約束:demonstration…(2)xy(X,y)…(1)幾何約束:微分約束:dem167mmX2,y2X1,y1cExample:xy…(3)…(4)…..(4)mmX2,y2X1,y1cExample:xy…(3)…(168任一微分約束均可表示為如果:則微分方程可積愛因斯坦求和約定是否可積?任一微分約束均可表示為如果:則微分方程可積愛因斯坦求和約定是169

完整約束:非完整約束:幾何約束和不可積分的微分約束可積分的微分約束可解約束與不可解約束:用不等號表示約束可解約束用等號表示約束不可解約束完整約束:非完整約束:幾何約束和不可積分的微分約束可積分的170二.自由度和描述度系統(tǒng)有N個質(zhì)點,受k個完整約束和m個非完整約束定義自由度:f=3N-(k+m)描述度:描述一個力學(xué)系統(tǒng)所需獨立坐標(biāo)數(shù)目:S完整約系f=S非完整約系f<S二.自由度和描述度系統(tǒng)有N個質(zhì)點,受k個完整約束和m個非完整171三.廣義坐標(biāo)(Generalizedcoordinates)位形空間(ConfigurationalSpace)完整約束系統(tǒng)的自由度為S(f),則可選S個獨立參量來描述此系統(tǒng)廣義坐標(biāo)q(q1,q2,q3……qs)變換方程三.廣義坐標(biāo)(Generalizedcoordinates172Attention:廣義坐標(biāo)數(shù)目由自由度確定“廣義”二字的含義

對給定力學(xué)系統(tǒng),廣義坐標(biāo)選取不唯一

廣義坐標(biāo)正確與否的判斷全部直角坐標(biāo)能用廣義坐標(biāo)表示則對如果全部直角坐標(biāo)不能用廣義坐標(biāo)表示則錯廣義坐標(biāo)克服了牛頓力學(xué)中坐標(biāo)不不獨立的困難Attention:廣義坐標(biāo)數(shù)目由自由度確定“廣義”二字的含173位形空間由S個廣義坐標(biāo)張開成S維抽象空間qiqj位形空間由S個廣義坐標(biāo)張開成S維抽象空間qiqj174四.實位移可能位移虛位移(Realdisplacement,Possibledisplacement,Virtualdisplacement)設(shè)系統(tǒng)有N個質(zhì)點,受k個幾何約束特點:唯一性代表真實運動實位移(i=123…N)四.實位移可能位移虛位移(Realdisplace175唯一性代表真實運動既滿足運動規(guī)律又滿足約束方程dt0,需要時間實位移特點唯一性代表真實運動既滿足運動規(guī)律又滿足約束方程dt176不考慮運動規(guī)律限制,只考慮約束限制條件下發(fā)生的位移可能位移t時刻:t=dt時刻:不考慮運動規(guī)律限制,只考慮約束限制條件下發(fā)生的位移可能位移t177Attention:不考慮運動規(guī)律限制考慮約束限制條件dt0可能位移不唯一可能位移的特點可能位移產(chǎn)生的原因約束變動引起在約束面內(nèi)各質(zhì)點具有不同可能速度同共性個性Attention:不考慮運動規(guī)律限制考慮約束限制條件dt178虛位移不考慮運動規(guī)律限制時間被凍結(jié)約束被“凝固”

t=0!!!滿足約束條件虛位移特點不唯一可能位移虛位移不考慮運動規(guī)律限制時間被凍結(jié)約束被“凝固”t179虛位移不唯一虛位移不唯一180五.理想約束實例m1m2五.理想約束實例m1m2181非穩(wěn)定約束在虛位移下的虛功=0對可能位移所做元功0非穩(wěn)定約束在虛位移下的虛功=0對可能位移所做元功0182m1m2T1T2y1y2m1m2T1T2y1y2183五.理想約束虛功:力在虛位移下所做的功理想約束:若作用在力學(xué)系統(tǒng)上所有的約束力在任意虛位移下所做的虛功之和為零五.理想約束虛功:力在虛位移下所做的功理想約束:若作用在力學(xué)184§2.虛功原理(PrincipleofVirtualWork)表述:完整的理想約束系統(tǒng)處于平衡的充要條件是證明：必要性系統(tǒng)處于平衡時§2.虛功原理(PrincipleofVirtualW185充分性：反證法系統(tǒng)不平衡系統(tǒng)必平衡充分性：反證法系統(tǒng)不平衡系統(tǒng)必平衡186分析力學(xué)講義課件187定義:廣義力虛功原理保守系定義:廣義力虛功原理保守系188Attention:廣義力的計算廣義力的數(shù)目由自由度決定廣義力既可是力又可以是力矩，決定于廣義坐標(biāo),還可是其它物理量不要將廣義力和力混淆Attention:廣義力的計算廣義力的數(shù)目由自由度決定廣義189已知：求：廣義力解：用虛功方法求取廣義坐標(biāo)分別為已知：求：廣義力解：用虛功方法求取廣義坐標(biāo)分別為190虛功原理解題步驟分析約束,確定自由度選好廣義坐標(biāo)寫出主動力作用點的坐標(biāo)并對其變分代入虛功原理公式中求解Attention:靜系中的平衡只有廣義坐標(biāo)方可獨立變化虛功原理中不出現(xiàn)約束力只有正確寫出虛功原理解題步驟分析約束,確定自由度選好廣義坐標(biāo)寫出主動力作191例題1半徑為a的光滑半球形碗固定在水平面上。一勻質(zhì)棒斜靠在碗緣，在碗內(nèi)長度為c,試用虛功原理求棒全長。yxmgc分析oABD坐標(biāo)數(shù)3約束數(shù)目2自由度數(shù)目1demonstration例題1半徑為a的光滑半球形碗固定在水平面上。一勻質(zhì)棒斜靠在碗192yxmgcABDxDo解：取為廣義坐標(biāo)，設(shè)桿長為yxmgcABDxDo解：取為廣義坐標(biāo)，設(shè)桿長為193分析力學(xué)講義課件194利用廣義力解利用廣義力解195例二oABxy分析坐標(biāo)數(shù)4約束2自由度2廣義坐標(biāo)cDdemonstration例二oABxy分析坐標(biāo)數(shù)4約束2自由度2廣義坐標(biāo)cDdem196解：取如圖所示，為廣義坐標(biāo)解：取如圖所示，為廣義坐標(biāo)197分析力學(xué)講義課件198分析力學(xué)講義課件199分析力學(xué)講義課件200利用廣義力解利用廣義力解201分析力學(xué)講義課件202ABCDEFOxy分析坐標(biāo)數(shù)6約束6自由度0廣義坐標(biāo)?!!!解除一個約束一個自由度W例三ABCDEFOxy分析坐標(biāo)數(shù)6約束6自由度0廣義坐標(biāo)?!!203解:解:204長為的勻質(zhì)桿AB一端靠在光滑墻上,另一端靠在光滑固定曲面上,如果桿在與豎直墻間的夾角<的任意位置均能平衡,試求曲面形狀.解:取如圖所示為廣義坐標(biāo)例四長為的勻質(zhì)桿AB一端靠在光滑墻上,另一端靠在光滑固定曲205由虛功原理有由虛功原理有206積分上式積分上式207P162,10-3取廣義坐標(biāo)為求相應(yīng)廣義力P162,10-3取廣義坐標(biāo)為求相應(yīng)廣義力208分析力學(xué)講義課件209§3.完整系的拉格朗日方程(Lagrange’sEquationforHolonomicSystem)一.達(dá)朗貝爾----拉格朗日方程平衡方程牛頓力學(xué)動力學(xué)方程達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾--拉格朗日方程§3.完整系的拉格朗日方程(Lagrange’sEquat210二.完整系的拉格朗日方程f(q,t)證明:兩個重要公式q1q2…qst二.完整系的拉格朗日方程f(q,t)證明:兩個重要公式q1q211(=123…s)=?(=123…s)=?212完整系的拉格朗日方程完整系的拉格朗日方程213分析力學(xué)講義課件214分析力學(xué)講義課件215對保守系L=T-V拉格朗日函數(shù)對保守系L=T-V拉格朗日函數(shù)216Summary:

T=V=V(q)

L=T-V

L

L拉格朗日函數(shù)不唯一!!!L可以給出力學(xué)系統(tǒng)的所有信息規(guī)范不變性Summary:T=V=V(q)L=T-VLL拉格朗217§4.運動積分的拉格朗日判據(jù)(ConstantsoftheMotionintheLagranglanFormulation)一.循環(huán)坐標(biāo)廣義動量:循環(huán)坐標(biāo):則稱q為循環(huán)坐標(biāo)p=p0(conservation)§4.運動積分的拉格朗日判據(jù)(Constantsofth218Attention:循環(huán)坐標(biāo)是否出現(xiàn)及出現(xiàn)的多少是判斷廣義坐標(biāo)是否合適的標(biāo)志循環(huán)坐標(biāo)是否出現(xiàn)與廣義坐標(biāo)選取有關(guān)二.動能表達(dá)式數(shù)學(xué)補充:歐拉齊次函數(shù)定理Attention:循環(huán)坐標(biāo)是否出現(xiàn)及出現(xiàn)的多少循環(huán)坐標(biāo)是否219如果f(x1x2x3……xN)是x1x2x3……xN的n次齊次函數(shù),即對任意t,有則稱n次齊次函數(shù)Example:二次齊次函數(shù)如果f(x1x2x3……xN)是x1x2x3……220歐拉齊次函數(shù)定理:兩邊對t求導(dǎo)證明歐拉齊次函數(shù)定理:兩邊對t求導(dǎo)證明221分析力學(xué)講義課件222Example:歐拉齊次函數(shù)定理:二次齊次函數(shù)Example:歐拉齊次函數(shù)定理:二次齊次函數(shù)223系統(tǒng)有N個質(zhì)點,自由度為S動能表達(dá)式系統(tǒng)有N個質(zhì)點,自由度為S動能表達(dá)式224分析力學(xué)講義課件225三.廣義能量積分定義廣義能量三.廣義能量積分定義廣義能量226如果對完整,保守,穩(wěn)定如果對完整,保守,穩(wěn)定227非穩(wěn)定保守系統(tǒng),E不守恒??非穩(wěn)定保守系統(tǒng),E不守恒??228分析力學(xué)講義課件229運動路徑運動路徑230Summary:循環(huán)坐標(biāo)是否出現(xiàn)與廣義坐標(biāo)選取有關(guān)不要將在涉及相對運動時,廣義能量是否代表體系機(jī)械能與參照系有關(guān)一般情況下Summary:循環(huán)坐標(biāo)是否出現(xiàn)與廣義坐標(biāo)選取有關(guān)不要將在涉231例題一質(zhì)量為m的小環(huán)套在一光滑拋物線金屬絲x2=4ay上滑動,金屬絲以勻角速繞y軸轉(zhuǎn)動,試寫出L,H,E.解:在轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系中坐標(biāo)數(shù):2約束:自由度:1取如圖所示為廣義坐標(biāo)例題一質(zhì)量為m的小環(huán)套在一光滑拋物線金屬絲x2=4ay上滑動232=???=0=???=???=0=???233Conclusion:在非慣性參照系中:滿足完整,保守,穩(wěn)定慣性離心力:相對動能:Conclusion:在非慣性參照系中:滿足完整,保守,穩(wěn)定234在靜系中:坐標(biāo)數(shù):約束:自由度:31取如圖所示為廣義坐標(biāo)在靜系中:坐標(biāo)數(shù):約束:自由度:31取如圖所示為廣義坐標(biāo)235分析力學(xué)講義課件236分析力學(xué)講義課件237靜系中的機(jī)械能ESummary:自由度與參照系無關(guān)約束是否穩(wěn)定與參照系有關(guān)廣義能量是否代表機(jī)械能亦與參照系有關(guān)弄清靜系中的機(jī)械能ESummary:自由度與參照系無關(guān)約束是否穩(wěn)238拉格朗日方程的應(yīng)用解題步驟分析約束,確定自由度選好廣義坐標(biāo)寫出體系的動能和勢能及拉格朗日函數(shù)代入相應(yīng)方程求解拉格朗日方程的應(yīng)用解題步驟分析約束,確定自由度選好廣義坐標(biāo)239分析力學(xué)講義課件240解題注意點廣義坐標(biāo)選取至關(guān)重要函數(shù)關(guān)系:動能形式柯尼西定理運用T應(yīng)是絕對動能解題注意點廣義坐標(biāo)選取至關(guān)重要函數(shù)關(guān)系:動能形式柯尼西定241例1用拉格朗日方程求自由質(zhì)點在球坐標(biāo)下廣義力的表達(dá)式.設(shè)其受力在r,,三個方向的分量分別為Fr,F,F解:廣義力非保守系拉氏方程必先求動能例1用拉格朗日方程求自由質(zhì)點在球坐標(biāo)下廣義力的表達(dá)式.設(shè)其受242分析力學(xué)講義課件243xyzxyz244分析力學(xué)講義課件245分析力學(xué)講義課件246分析力學(xué)講義課件247分析力學(xué)講義課件248例2質(zhì)量為m,長為2a的勻質(zhì)棒AB,其A端可在光滑的水平導(dǎo)槽上滑動,而棒本身又可在豎直平面內(nèi)繞A點擺動.C點受一水平恒力F作用,試用拉氏方程求其運動微分方程.AB分析坐標(biāo)數(shù):約束數(shù):自由度:取如圖所示為廣義坐標(biāo)例2質(zhì)量為m,長為2a的勻質(zhì)棒AB,其A端可在光滑的水平249根據(jù)柯尼西定理根據(jù)柯尼西定理250廣義力廣義力251此題亦可用保存系拉格朗日方程重力勢能:恒力勢能:此題亦可用保存系拉格朗日方程重力勢能:恒力勢能:252分析力學(xué)講義課件253分析力學(xué)講義課件254AB例3一半徑為r,質(zhì)量為m的實心圓柱體在一半徑為R的大圓柱體內(nèi)表面作純滾動,試用拉格朗日方程求其在平衡位置附近作微振動的周期.分析坐標(biāo)數(shù)約束數(shù)oo1自由度demonstrationAB例3一半徑為r,質(zhì)量為m的實心圓柱體在一半徑為R的大圓柱255取為廣義坐標(biāo)取為廣義坐標(biāo)256質(zhì)量為m的相同三質(zhì)點等距離系于長為2的不可伸長的輕繩上,系統(tǒng)靜止在光華水平面上.若中間質(zhì)點在某時刻獲得與繩垂直且沿水平面的初速度,試用拉格朗日方程求左右兩質(zhì)點相遇時的速率.例五:分析坐標(biāo)數(shù)約束數(shù)自由度數(shù)取如圖所示為廣義坐標(biāo)demonstration質(zhì)量為m的相同三質(zhì)點等距離系于長為2的不可伸長的輕繩上,257y解:y解:258分析力學(xué)講義課件259??????260分析力學(xué)講義課件261分析力學(xué)講義課件262分析力學(xué)講義課件263相遇時

相遇時264利用守恒定律求解y是循環(huán)坐標(biāo)利用守恒定律求解y是循環(huán)坐標(biāo)265分析力學(xué)講義課件266分析力學(xué)講義課件267例六求一質(zhì)量為m帶電為q的帶電粒子在電磁場預(yù)備知識羅侖茲力矢勢解題思路麥克斯韋方程組例六求一質(zhì)量為m帶電為q的帶電粒子在電磁場預(yù)備知識羅侖茲力矢268取直角坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)廣義速度廣義力取直角坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)廣義速度廣義力269=??=??270分析力學(xué)講義課件271分析力學(xué)講義課件272與速度相關(guān)勢與速度相關(guān)勢273例七質(zhì)量為m的相同二質(zhì)點用一長為的輕桿連接初始時直立靜止在光滑水平面上,以后任其倒下,試用拉格朗日方程求桿落地時的角速度.分析坐標(biāo)數(shù)約束數(shù)自由度數(shù)取如圖所示為廣義坐標(biāo)例七質(zhì)量為m的相同二質(zhì)點用一長為的輕桿連接初始時直立靜止274根據(jù)柯尼西定理根據(jù)柯尼西定理275拉格朗日方程拉格朗日方程276???約束穩(wěn)定???約束穩(wěn)定277質(zhì)量為m的質(zhì)點系在彈性系數(shù)為k的彈簧上,彈簧系在以勻角速轉(zhuǎn)動的水平轉(zhuǎn)臺上的光華直槽內(nèi).當(dāng)彈簧處于原長時質(zhì)點到轉(zhuǎn)臺中心距離最短,試用拉格朗日方程求質(zhì)點作微振動的周期.解:坐標(biāo)數(shù):約束數(shù):自由度數(shù):取如圖所示y為廣義坐標(biāo)例八：質(zhì)量為m的質(zhì)點系在彈性系數(shù)為k的彈簧上,彈簧系在以勻角速278根據(jù)余玄定理根據(jù)余玄定理279分析力學(xué)講義課件280§5.哈密頓正則方程一.勒讓特變換f=f(x,y)新變量舊函數(shù)舊變量舊方程(Hamilton’sEquation)§5.哈密頓正則方程一.勒讓特變換f=f(x,y)新變281fxyuvuvfxyuvuv282新方程舊方程新函數(shù)新方程舊方程新函數(shù)283保留變量舊變量x新變量vfxyxv去掉變量舊變量y新變量u保留變量舊變量x新變量vfxyxv去掉變量舊變量y新變量u284fxyxvfxyxv285令F=(-f+yv)新函數(shù)Summary:令F=(-f+yv)新函數(shù)Summary:286二.相空間和正則方程(q,p)一對正則變量s個廣義坐標(biāo)(q1,q2,q3…..qs)s個廣義動量(p1,p2,p3…..ps)相空間二.相空間和正則方程(q,p)一對正則變量s個廣義坐標(biāo)(q287新變量新變量288保守系正則方程非保守系正則方程保守系正則方程非保守系正則方程289對保守系對保守系290分析力學(xué)講義課件291§6.運動積分的哈密頓判據(jù)(H)(ConstantsofthemotioninHamiltonialformation)一.循環(huán)坐標(biāo)H=H(q,p,t)中不顯含的坐標(biāo)循環(huán)坐標(biāo)q循環(huán)坐標(biāo)p循環(huán)坐標(biāo)§6.運動積分的哈密頓判據(jù)(H)(Constantsof292二.廣義能量積分廣義能量守恒對完整保守穩(wěn)定系統(tǒng)H=T+V=E0二.廣義能量積分廣義能量守恒對完整保守穩(wěn)定系統(tǒng)H=T+V293§7.哈密頓原理(HamiltionalPrincipal)一.變分法簡介dsoAyxy§7.哈密頓原理(HamiltionalPrincipal294泛函定義:Attention:J與y(x)的函數(shù)形式有關(guān)泛函的極值是變分法的核心泛函定義:Attention:J與y(x)的函數(shù)形式有關(guān)泛函295二.變分法計算法則變分法全變分等自變量變分x=0函數(shù)和泛函的變分原函數(shù):y(x)變更后:與x無關(guān)小參數(shù)定義函數(shù)變分:二.變分法計算法則變分法全變分等自變量變分x=0函數(shù)和泛296泛函變分:變分法基本運算法則:泛函變分:變分法基本運算法則:297變分法基本對易關(guān)系“”與“d”對易證明:變分法基本對易關(guān)系“”與“d”對易證明:298由圖可知:由圖可知:299分析力學(xué)講義課件300三.泛函極值條件是的函數(shù)將被積函數(shù)在