電磁感應中“單桿、雙桿、線圈”問題歸類例析

電磁感應中“單桿、雙桿、線”問題歸類例析余姚八中陳新生導體桿在磁場中運動切割磁感線產(chǎn)生電磁感應現(xiàn)象，是歷年高考的一個熱點問題。因此在高三復習階段有必要對此類問題進行歸類總結(jié)，使學生更好的掌握、理解它的內(nèi)涵。通過研究各種題目，可以分類為“單桿、雙桿、線圈”三類電磁感應的問題，最后要探討的問題不外乎以下幾種：1、運動狀態(tài)分析：穩(wěn)定運動狀態(tài)的性質(zhì)(可能為靜止、勻速運動、勻加速運動)、求出穩(wěn)定狀態(tài)下的速度或加速度、感應電流或安培力。2、運動過程分析：分析運動過程中發(fā)生的位移或相對位移，運動時間、某狀態(tài)的速度等3、能量轉(zhuǎn)化分析：分析運動過程中各力做功和能量轉(zhuǎn)化的問題：如產(chǎn)生的電熱、摩擦力做功等4、求通過回路的電量解題的方法、思路通常是首先進行受力分析和運動過程分析。然后運用動量守恒或動量定理以及能量守恒建立方程。按照不同的情景模型，現(xiàn)舉例分析。一、“單桿”切割磁感線型1、桿與電阻連接組成回路TOC\o"1-5"\h\z例1、如圖所示，MN、PQ是間距為L的平行金屬導軌，置于磁感強“...p度為B、方向垂直導軌所在平面向里的勻強磁場中，M、P間接有一%祉J*:阻值為R的電阻.一根與導軌接觸良好、阻值為R/2的金屬導線abH垂直導軌放置若在外力作用下以速度v向右勻速滑動，試求ab兩點間的電勢「'」*差。若無外力作用，以初速度v向右滑動，試求運動過程中產(chǎn)生的熱量、通過ab電量以及ab發(fā)生的位移x。例2、如右圖所示，一平面框架與水平面成37°角，寬L=0.4m，上、下兩端各有一個電阻R0=1Q，框架的其他部分電阻不計，框架足夠長.垂直于框平面的方向存在向上的勻強磁場，磁感應強度B=2T.ab為金屬桿，其長度為L=0.4m，質(zhì)量m=0.8kg，電阻r=0.5Q，棒與框架的動摩擦因數(shù)u=0.5.由靜止開始下滑，直到速度達到最大的過程中，上端電阻R0產(chǎn)生的熱量Q0=0.375J(已知\/二卜、sin37°=0.6，cos37°=0.8；g取10m/s2)求：忙⑴桿ab的最大速度；⑵從開始到速度最大的過程中ab桿沿斜面下滑的距離；在該過程中通過ab的電荷量.2、桿與電容器連接組成回路例3、如圖所示，豎直放置的光滑平行金屬導軌，相距l(xiāng),導軌一端接有一個-II~|電容器，電容為C,勻強磁場垂直紙面向里，磁感應強度為B,質(zhì)量為m的金屬棒ab可緊貼導軌自由滑動.現(xiàn)讓ab由靜止下滑，不考慮空氣阻力，也不xxx|考慮任何部分的電阻和自感作用.問金屬棒的做什么運動？棒落地時的速度為多大?例4、光滑U型金屬框架寬為L，足夠長，其上放一質(zhì)量為m的金屬棒ab，左端連接有一電容為C的電容器，現(xiàn)給棒一個初速此，使棒始終垂直框架并沿框架運動，如圖所示。求導體棒

的最終速度。3、桿與電源連接組成回路例5、如圖所示，長平行導軌PQ、MN光滑，相距l(xiāng)0.5m,處在同一水平面中，磁感應強度B=0.8T的勻強磁場豎直向下穿過導軌面.橫跨在導軌上的直導線ab的質(zhì)量m=0.1kg、電阻R=0.8Q,導軌電阻不計.導軌間通過開關(guān)S將電動勢E=1.5V、內(nèi)電阻r=0.20的電池接在M、P兩端，試計算分析：(1)在開關(guān)S剛閉合的初始時刻，導線ab的加速度多大？隨后ab的加速度、速度如何變化？(2)在閉合開關(guān)S后，怎樣才能使ab以恒定的速度u=7.5m/s沿導軌向右運動？試描述這時電路中的能量轉(zhuǎn)化情況(通過具體的數(shù)據(jù)計算說明).二、“雙桿”切割磁感線型1、雙桿所在軌道寬度相同一一常用動量守恒求穩(wěn)定速度(1)、“雙桿”向相反方向做勻速運動當兩桿分別向相反方向運動時，相當于兩個電池正向串聯(lián)。［例6］兩根相距d=0.20m的平行金屬長導軌固定在同一水平面內(nèi)，并處于豎直方向的勻強磁場中，磁場的磁感應強度B=0.2T，導軌上面橫放著兩條金屬細桿，構(gòu)成矩形回路，每條金屬細桿的電阻為r=0.25Q，回路中其余部分的電阻可不計。已知兩金屬細桿在平行于導軌的拉力的作用下沿導軌朝相反方向勻速平移，速度大小都是v=5.0m/s，如圖所示，不計導軌上的摩擦。求作用于每條金屬細桿的拉力的大小。求兩金屬細桿在間距增加0.40m的滑動過程中共產(chǎn)生的熱量。-^―一u(2)、“雙桿”同向運動，但一桿加速另一桿減速當兩桿分別沿相同方向運動時，相當于兩個電池反向串聯(lián)。［例7］兩根足夠長的固定的平行金屬導軌位于同一水平面內(nèi)，兩導軌間的距離為L。導軌上TOC\o"1-5"\h\z面橫放著兩根導體棒ab和cd，構(gòu)成矩形回路，如圖所示。+兩根導體棒的質(zhì)量皆為m，電阻皆為R，回路中其余部分的b￡_電阻可不計。在整個導軌平面內(nèi)都有豎直向上的勻強磁場，z"X=磁感應強度為B。設(shè)兩導體棒均可沿導軌無摩擦地滑行。開/始時，棒cd靜止，棒ab有指向棒cd的初速度v0。若兩導言『體棒在運動中始終不接觸，求：在運動中產(chǎn)生的焦耳熱最多是多少。當ab棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?/4時，cd棒的加速度是多少？、“雙桿”中兩桿都做同方向上的加速運動。“雙桿”中的一桿在外力作用下做加速運動，另一桿在安培力作用下做加速運動，最終兩桿以同樣加速度做勻加速直線運動。［例8］如圖所示，兩根平行的金屬導軌，固定在同一水平面上，

磁感應強度B=0.50T的勻強磁場與導軌所在平面垂直，導軌的電阻很小，可忽略不計。導軌間的距離l=0.20m。兩根質(zhì)量均為m=0.10kg的平行金屬桿甲、乙可在導軌上無摩擦地滑動，滑動過程中與導軌保持垂直，每根金屬桿的電阻為R=0.50Q。在t=0時刻，兩桿都處于靜止狀態(tài)?，F(xiàn)有一與導軌平行、大小為0.20N的恒力F作用于金屬桿甲上，使金屬桿在導軌上滑動。經(jīng)過t=5.0s，金屬桿甲的加速度為a=1.37m/s2，問此時兩金屬桿的速度各為多少？2、雙桿所在軌道寬度不同一一常用動量定理找速度關(guān)系例9、如圖所示，abcd和a/b/c/d/為水平放置的光滑平行導軌，區(qū)域內(nèi)充滿方向豎直向上的勻強磁場°ab、a/b/間的寬度是cd、c/d/間寬度的2倍。設(shè)導軌足夠長，導體棒ef的質(zhì)量是棒gh的質(zhì)量的2倍?，F(xiàn)給導體棒ef一個初速度％，沿導軌向左運動，當兩棒的速度穩(wěn)定時，兩棒的速度分別是多少？例10、如圖所示，光滑導軌應1、&丑等高平行放置，跖間寬度為開丑間寬度的3倍，導軌右側(cè)水平且處于豎直向上的勻強磁場中，左側(cè)呈弧形升高。戒、二泌是質(zhì)量均為稱的金屬棒，現(xiàn)護'從離水平軌道物高處由靜止下滑，設(shè)導軌足夠長。試求：(1護’、'泌棒的最終速度；⑵全過程中感應電流產(chǎn)生的焦耳熱。d3、磁場方向與導軌平面不垂直例11、如圖所示，ab和cd是固定在同一水平面內(nèi)的足夠長平行金屬導軌，ae和cf是平行的足夠長傾斜導軌，整個裝置放在豎直向上的勻強磁場中。在水平導軌上有與導軌垂直的導體棒1，在傾斜導軌上有與導軌垂直且水平的導體棒2,兩棒與導軌間接觸良好，構(gòu)成一個閉合回路。已知磁場的磁感應強度為B，導軌間距為L，傾斜導軌與水平面夾角為仇導體棒1和2質(zhì)量均為m，電阻均為R。不計導軌電阻和一切摩擦。現(xiàn)用一水平恒力F作用在棒1上，從靜止開始拉動棒1，同時由靜止開始釋放棒2,經(jīng)過一段時間，兩棒最終勻速運動。忽略感應電流之間的作用，試求：d水平拉力F的大小；棒1最終勻速運動的速度*的大小。三、線圈模型例3如圖17-5所示，"凸”字形硬質(zhì)金屬線框質(zhì)量為m，相鄰各邊互相垂直，且處于同一豎直平面內(nèi)，ab邊長為l,cd邊長為2l,ab與cd平行，間距為21.勻強磁場區(qū)域的上、下邊界均TOC\o"1-5"\h\z水平，磁場方向垂直于線框所在平面.開始時，。~bcd邊到磁場上邊界的距離為21線框由靜止釋放，eJ/pLq從cd邊進入磁場直到ef、pq邊進入磁場前，線J"框做勻速運動，在ef、pq邊離開磁場后到ab邊[離開磁場前，線框又做勻速運動.線框完全穿過]磁場過程中產(chǎn)生的熱量為0線框在下落過程中—始終處于原豎直平面內(nèi)，且ab、cd邊保持水平，…:重力加速度為g.圖17-5線框ab邊將要離開磁場時做勻速運動的速度大小是cd邊剛進入磁場時的幾倍？求磁場上、下邊界間的距離H.電磁感應中動量定理的運用動量定律1=△P。設(shè)想在某一回路中，一部分導體僅在安培力作用下運動時，安培力F為變力，但其沖量可用它對時間的平均值進行計算，即I=FAt,而F=BIL(I為電流對時間的平均值)故有：BILAt=mv2—mv1.而It=q,故有q=mv一mv"bl__1理論上電量的求法：q=I?t。這種方法的依據(jù)是電流的定義式I=q/t該式的研究對象是通電導體的某一截面，若在t時間內(nèi)流過該截面的電量為q，則流過該切面的電流為I=q/t，顯然，這個電流應為對時間的平均值，因此該式應寫為7=q/t，變形后可以得q=11，這個關(guān)系式具有一般性，亦即無論流經(jīng)導體的電流是恒定的還是變化的，只要電流用這段時間內(nèi)的平均值代入，該式都適用，而平均電流的求解，在電磁感應問題中最為常見的思路為：對某一回路來說，據(jù)法拉第TOC\o"1-5"\h\zA4-E電磁感應定律，得E=，顯然該感應電動勢也為對其時間的平均值，再由I=-(R為AtRA^回路中的總電阻)可以得到I=?。RAt

&&BAs綜上可得q=：。若B不變，則4=三=亍RRR電量q與安培力的沖量之間有什么聯(lián)系？可用下面的框圖來說明。碓殖魚強度ff—回跆電阻汽—13、如圖1所示，半徑為r碓殖魚強度ff—回跆電阻汽—通電尊作的他尊非一1—回㈱面我$—接有阻值為R0的電阻，整個軌道處在豎直向下的磁感應強度為B的勻強磁場中，兩軌道間距為L，一電阻也為R0質(zhì)量為m的金屬棒ab從MN處由靜止釋放經(jīng)時間t到達軌道最低點cd時的速度為v，不計摩擦。求：(1)棒從ab到cd過程中通過棒的電量。(2)棒在cd處的加速度。14、如圖2所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的勻強磁場分布在寬度為L的區(qū)域內(nèi)，現(xiàn)有一個邊長為a(a<L)的正方形閉合線圈以初速度v0垂直磁場邊界滑過磁場后，速度為v(v<V0)，那么線圈M1LH完全進入磁場中時的速度大于(v0+v)/2XXXX1TOC\o"1-5"\h\z完全進入磁場中時的速度等于(v0+v)/2“，：:完全進入磁場中時的速度小于(v0+v)/2I°IXXXX；以上情況均有可能I—L；XXXX：:xxxx!*#例1、解析：(1)ab運動切割磁感線產(chǎn)生感應電動1勢E，所以ab相當于電源，與外電阻R構(gòu)成回路。1"]-.?.U=\BLV=-BLVabR+R23(2)若無外力作用則ab在安培力作用下做減速運動，最終靜止。動能全部轉(zhuǎn)化為電熱。Q=—mv2。由動量定理得：Ft=mv即BILt=mv，q=It:.q=蒙2BL,A中BLxmv3mvRq=It=—=一=——，.?.x=。33BL2B-L-—R——R22例2、解析：該題是一道考察電磁感應、安培力、閉合電路歐姆定律及力學有關(guān)知識的綜合題，解題的關(guān)鍵是要正確分析金屬桿的運動及受力的變化情況。(1)桿ab達到平衡時的速度即為最大速度v,這時mgsin9—F—RN=0,N=mgcos9F=mg(sin9—ucos9)cREB2L2vTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"總電阻R=?+r=1。，E=Blv,I=—,F=BILF=,得2RRv=m(sin°—Rcos°)R=25mB2L2.七⑵叫二⑵J、二氾克服磁場力所做的功數(shù)值上等于產(chǎn)生的總電能即\o"CurrentDocument"W=Q=2Q+2Q=1.5J,由動能定理：smgsin。一W-Rmgcos0=上mv2-0002—mv2+Ws=2,mg(sin0-Rcos0)通過ab的電荷量q=應=竺，代入數(shù)據(jù)得q=2CR例3、解析：ab在mg作用下加速運動，經(jīng)時間t,速度增為v,a=v/t產(chǎn)生感應電動勢E=Blv電容器帶電量Q=CE=CBlv,感應電流I=Q/t=CBLv/t=CBla產(chǎn)生安培力F=BIl=CB2l2a,由牛頓運動定律mg-F=mama=mg-CB212a,a=mg/(m+CB212)」.ab做初速為零的勻加直線運動，加速度a=mg/(m+CB212)落地速度為—:2mghv=、Qah=\m+CB212例4、解析：當金屬棒ab做切割磁力線運動時，要產(chǎn)生感應電動勢，這樣，電容器C將被充電，ab棒中有充電電流存在，ab棒受到安培力的作用而減速，當ab棒以穩(wěn)定速度v勻速運動時，有：BLv=UC=q/C而對導體棒ab利用動量定理可得：-BLq=mv-mv0由上述二式可求得：v=m^Lc例5、解析(1)在S剛閉合的瞬間，導線ab速度為零，沒有電磁感應現(xiàn)象，由a到b的電流I八==1.5A,ab受安培力水平向右，此時瞬時加速度。=烏==6m/s20R+r0mm

ab運動起來且將發(fā)生電磁感應現(xiàn)象.ab向右運動的速度為u時，感應電動勢E=Blv,根據(jù)右手定則，ab上的感應電動勢（a端電勢比b端高）在閉合電路中與電池電動勢相反.電.E-E路中的電流（順時針方向，I=~r^）將減?。ㄐ∮贗0=1.5A）,ab所受的向右的安培力隨之減小，加速度也減小.盡管加速度減小，速度還是在增大，感應電動勢E隨速度的增大而增大，電路中電流進一步減小，安培力、加速度也隨之進一步減小，當感應電動勢E'與電池電動勢E相等時，電路中電流為零，ab所受安培力、加速度也為零，這時ab的速度達到最大值，隨后則以最大速度繼續(xù)向右做勻速運動.設(shè)最終達到的最大速度為um，根據(jù)上述分析可知:設(shè)最終達到的最大速度為um，根據(jù)上述分析可知:E-Blu=0Bl1.50.8x0.5m/s=3.75m/s.（2）如果ab以恒定速度u=7.5m/s向右沿導軌運動，則ab中感應電動勢E=Blv=0.8x0.5x7.5v=3V由于E'>E，這時閉合電路中電流方向為逆時針方向，大小為：3-3-1.50.8+0.2A=1.5A直導線ab中的電流由b到a，根據(jù)左手定則，磁場對ab有水平向左的安培力作用，大小為F'=BlI'=0.8x0.5x1.5n=0.6N所以要使ab以恒定速度v=7.5m/s向右運動，必須有水平向右的恒力F=0.6N作用于ab.上述物理過程的能量轉(zhuǎn)化情況，可以概括為下列三點：作用于ab的恒力（F）的功率：P=Fv=0.6x7.5W=4.5W電阻（R+r）產(chǎn)生焦耳熱的功率：P'=12（R+r）=1.52x（0.8+0.2）W=2.25W③逆時針方向的電流I'，從電池的正極流入，負極流出，電池處于充電”狀態(tài)，吸收能量，以化學能的形式儲存起來.電池吸收能量的功率：P'=I'E=1.5x1.5W=2.25W由上看出，P=P'+P-，符合能量轉(zhuǎn)化和守恒定律（沿水平面勻速運動機械能不變）.例6解析：（1）當兩金屬桿都以速度v勻速滑動時，每條金屬桿中產(chǎn)生的感應電動勢分別為：E1=E2=Bdv

由閉合電路的歐姆定律，回路中的電流強度大小為：因拉力與安培力平衡，作用于每根金屬桿的拉力的大小為F1=F2=IBd。*二當=￡^2=32x10-2由以上各式并代入數(shù)據(jù)得廣NQ=I2-2r-—(2)設(shè)兩金屬桿之間增加的距離為△」則兩金屬桿共產(chǎn)生的熱量為，代入數(shù)據(jù)得Q=1.28X10-2J。例7解析：ab棒向cd棒運動時，兩棒和導軌構(gòu)成的回路面積變小，磁通量發(fā)生變化，于是產(chǎn)生感應電流。ab棒受到與運動方向相反的安培力作用作減速運動，cd棒則在安培力作用下作加速運動。在ab棒的速度大于cd棒的速度時，回路總有感應電流，ab棒繼續(xù)減速，cd棒繼續(xù)加速。兩棒速度達到相同后，回路面積保持不變，磁通量不變化，不產(chǎn)生感應電流，兩棒以相同的速度V作勻速運動。(1)從初始至兩棒達到速度相同的過程中，兩棒總動量守恒，有幽處Q=—ravg-—=—決緒TOC\o"1-5"\h\z恒，整個過程中產(chǎn)生的總熱量224(2)設(shè)ab棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?/4時，cd棒的速度為v1，則由動量守恒可知:5=(-v0Z=—此時回路中的感應電動勢和感應電流分別為：4，2Ra——此時棒所受的安培力：尹二芯￡，所以。建棒的加速度為加由以上各式，可得4好。例8解析：設(shè)任一時刻t兩金屬桿甲、乙之間的距離為x，速度分別為V1和v2,經(jīng)過很短的時間△t，桿甲移動距離v1At，桿乙移動距離v2At，回路面積改變AS=[(x-v2A1)+(f-lx)=EZ=，回路中的電流2R日擺$￡1=D由法拉第電磁感應定律，回路中的感應電動勢A￡桿甲的運動方程F~Bh=ma。由于作用于桿甲和桿乙的安培力總是大小相等，方向相反，所以兩桿的動量婦。時為0)等于外力F的沖量必呼+啞。聯(lián)立以上各式解得。招+囂頃-g,EZ=，回路中的電流2R=8.15m/s峋=1.85誠s點評:題中感應電動勢的計算也可以直接利用導體切割磁感線時產(chǎn)生的感應電動勢公式和右手定則求解：設(shè)甲、乙速度分別為V1和v2,兩桿切割磁感線產(chǎn)生的感應電動勢分別為E1=Blv1,E2=Blv2由右手定則知兩電動勢方向相反，故總電動勢為E=E2—E1=Bl(v2—vl)。分析甲、乙兩桿的運動，還可以求出甲、乙兩桿的最大速度差禎：開始時，金屬桿甲在恒力F作用下做加速運動，回路中產(chǎn)生感應電流，金屬桿乙在安培力作用下也將做加速運動，但此時甲的加速度肯定大于乙的加速度，因此甲、乙的速度差將增大。根據(jù)法拉第電磁感應定律，感應電流將增大，同時甲、乙兩桿所受安培力增大，導致乙的加速度增大，甲的加速度減小。但只要a甲〉a乙，甲、乙的速度差就會繼續(xù)增大，所以當甲、乙兩桿的加速度相等時，速度差最大。此后，甲、乙兩桿做加速度相等的勻加速直線運動。設(shè)金屬桿甲、乙的共同加速度為a，回路中感應電流最大值Im。對系統(tǒng)和乙桿分別應用牛頓第二定律有：F=2ma；BLIm=ma。由閉合電路歐姆定律有E=2ImR，而歸二戰(zhàn)&就由以上各式可解得FR二蘿尹二^覘'例9解析：當兩棒的速度穩(wěn)定時，回路中的感應電流為零，設(shè)導體棒ef的速度減小到％，導體棒gh的速度增大到v2，則有2BLv1-BLv2=0，即v2=2v1。對導體棒ef由動量定理得：一2BLIAt=2mv1-2mv0對導體棒gh由動量定理得：BLIAt=mv2-0。由以上各式可得：v=—v,v=—v。130230例10、ab下滑進入磁場后切割磁感線，在abcd電路中產(chǎn)生感應電流，ab、cd各受不同的磁場力作用而分別作變減速、變加速運動，電路中感應電流逐漸減小當感應電流為零時，ab、cd不再受磁場力作用，各自以不同的速度勻速滑動。全過程中系統(tǒng)內(nèi)機械能轉(zhuǎn)化為電能再轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，總能量守恒。ab自由下滑，機械能守恒：mgh=(1/2)mV2[1]由于ab、cd串聯(lián)在同一電路中，任何時刻通過的電流總相等，金屬棒有效長度Lab=3Lcd，故它們的磁場力為：Fab=3Fcd[2]在磁場力作用下，ab、cd各作變速運動，產(chǎn)生的感應電動勢方向相反，當Eab=￡cd時,電路中感應電流為零，(1=0)，安培力為零，ab、cd運動趨于穩(wěn)定，此時有：BLabVab二BLcdVcd所以Vab=Vcd/3[3]ab、cd受磁場力作用，動量均發(fā)生變化，由動量定理得：FabAt=m(V-Vab)[4]FcdA