《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)

9.2.4總體離散程度的估計(jì)第九章統(tǒng)計(jì)9.2.4總體離散程度的估計(jì)第九章統(tǒng)計(jì)1課程目標(biāo)1.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差)．2.會(huì)求樣本數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差、極差．3.理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.課程目標(biāo)1.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差2數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1．?dāng)?shù)學(xué)抽象：方差、標(biāo)準(zhǔn)差有關(guān)概念的理解；2．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算：求方差、標(biāo)準(zhǔn)差;3.數(shù)據(jù)分析：用樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體.

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1．?dāng)?shù)學(xué)抽象：方差、標(biāo)準(zhǔn)差有關(guān)概念的理解；3自主預(yù)習(xí)，回答問題閱讀課本209-213頁，思考并完成以下問題1、標(biāo)準(zhǔn)差和方差各指什么？2、標(biāo)準(zhǔn)差和方差的特征各是什么？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。自主預(yù)習(xí)，回答問題閱讀課本209-213頁，思考并完成以下問4(1)眾數(shù)①定義:一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)(即頻率分布最大值所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù))稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).②特征:一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個(gè),也可能沒有,反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).(2)中位數(shù)①定義:一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排成一列,處于最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí))或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí))稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).②特征:一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是唯一的,反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等.溫故知新(1)眾數(shù)溫故知新5(3)平均數(shù)①定義:一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)的商.數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的②特征:平均數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)有“取齊”的作用,代表該組數(shù)據(jù)的平均水平,任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的變化,這是眾數(shù)和中位數(shù)都不具有的性質(zhì).所以與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來,平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息,但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中極端值的影響較大,使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)的可靠性降低.(3)平均數(shù)61、眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

2、利用頻率分布直方圖（頻率分布表），求樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的近似估計(jì)，進(jìn)而估計(jì)總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).2、在樣本中，有50％的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50％的個(gè)體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值。

3、平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.是直方圖的平衡點(diǎn).頻率直方圖中每個(gè)小長

方形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。1、眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點(diǎn)的橫7三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn)

三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn)8

樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計(jì)算，不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息.平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的影響也越大.當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差時(shí)，使用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置，可能與實(shí)際情況產(chǎn)生較大的誤差，難以反映樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀況，很多時(shí)候還不能使我們做出有效決策.因此，我們需要一個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)字刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度.探究新知樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的9

方差、標(biāo)準(zhǔn)差1.思考(1)平均數(shù)向我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息,但是,平均數(shù)有時(shí)也會(huì)使我們作出對(duì)總體的片面判斷,因?yàn)檫@個(gè)平均數(shù)掩蓋了一些極端的情況,而這些極端情況顯然是不能忽視的.因此,只用平均數(shù)還難以概括樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀態(tài).例如:有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:

甲:7

8

7

9

5

4

9

10

7

4

乙:9

5

7

8

7

6

8

6

7

7如果你是教練,你應(yīng)當(dāng)如何對(duì)這次射擊作出評(píng)價(jià)?

10如果你是教練,你應(yīng)當(dāng)如何對(duì)這次射擊作出評(píng)價(jià)?①甲、乙兩人本次射擊的平均成績分別為多少環(huán)?他們的平均成績一樣嗎?如果你是教練,你應(yīng)當(dāng)如何對(duì)這次射擊作出評(píng)價(jià)?11②難道這兩個(gè)人的水平就沒有什么差異了嗎?你能作出這兩人成績的頻率分布條形圖來說明其水平差異在哪里嗎?提示頻率分布條形圖如下:從圖上可以直觀地看出,他們的水平還是有差異的,甲成績比較分散,乙成績相對(duì)集中.②難道這兩個(gè)人的水平就沒有什么差異了嗎?你能作出這兩人成績的12(2)現(xiàn)實(shí)中的總體所包含的個(gè)體數(shù)往往是很多的,總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是不知道的.

如何求得總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差呢?提示：通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.這與前面用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的.只要樣本的代表性好,這樣做就是合理的,也是可以接受的.(2)現(xiàn)實(shí)中的總體所包含的個(gè)體數(shù)往往是很多的,總體的平均數(shù)與13《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)14《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)15《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)16

對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差和方差的理解(1)樣本標(biāo)準(zhǔn)差反映了各樣本數(shù)據(jù)聚集于樣本平均數(shù)周圍的程度,標(biāo)準(zhǔn)差越小,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中;反之,標(biāo)準(zhǔn)差越大,表明各樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的周圍越分散.(2)若樣本數(shù)據(jù)都相等,則s=0.(3)當(dāng)樣本的平均數(shù)相等或相差無幾時(shí),就要用樣本數(shù)據(jù)的離散程度來估計(jì)總體的數(shù)字特征,而樣本數(shù)據(jù)的離散程度,就由標(biāo)準(zhǔn)差來衡量.(4)數(shù)據(jù)的離散程度可以通過極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述.極差反映了一組數(shù)據(jù)變化的最大幅度,它對(duì)一組數(shù)據(jù)中的極端值非常敏感;方差則反映了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小.為了得到以樣本數(shù)據(jù)的單位表示的波動(dòng)幅度,通常用標(biāo)準(zhǔn)差——樣本方差的算術(shù)平方根來描述.歸納總結(jié)

17(5)標(biāo)準(zhǔn)差的大小不會(huì)越過極差.(6)方差、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的取值范圍為[0,+∞).當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí),樣本各數(shù)據(jù)全相等,表明數(shù)據(jù)沒有波動(dòng)幅度,數(shù)據(jù)沒有離散性.(7)因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以雖然方差和標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的,但在解決實(shí)際問題時(shí),一般采用標(biāo)準(zhǔn)差.(8)在實(shí)際問題中,總體平均數(shù)和總體標(biāo)準(zhǔn)差都是未知的.就像用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)一樣,通常我們也用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差.在隨機(jī)抽樣中,樣本標(biāo)準(zhǔn)差依賴于樣本的選取,具有隨機(jī)性.(5)標(biāo)準(zhǔn)差的大小不會(huì)越過極差.181.判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.①標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)

的離散程度越小.(

)②若兩組數(shù)據(jù)的方差一樣大,則說明這兩組數(shù)據(jù)都是相同的.(

)答案:①√

②×做一做1.判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤192.對(duì)劃艇運(yùn)動(dòng)員甲、乙在相同的條件下進(jìn)行了6次測(cè)試,測(cè)得他們每次的最大速度(單位:m/s)如下:

甲:27,38,30,37,35,31

乙:33,29,38,34,28,36根據(jù)以上數(shù)據(jù),試判斷他們誰更優(yōu)秀.2.對(duì)劃艇運(yùn)動(dòng)員甲、乙在相同的條件下進(jìn)行了6次測(cè)試,測(cè)得他們20《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)21

有關(guān)平均數(shù)、方差的重要結(jié)論1.思考若x1,x2,…,xn的方差是s2,則ax1,ax2,…,axn的方差是多少?提示：由方差的定義知ax1,ax2,…,axn的方差是a2s2.2.填空(1)若x1,x2,…,xn的平均數(shù)是,則mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均數(shù)是

.(2)數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn與數(shù)據(jù)x1+a,x2+a,…xn+a的方差相等.(3)若x1,x2,…,xn的方差為s2,則ax1,ax2,…,axn的方差為a2s2.歸納總結(jié)有關(guān)平均數(shù)、方差的重要222.已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)

=5,s2=2,則樣本數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均數(shù)為

,方差為

.

答案:11

8解析:因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)

=5,所以樣本數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均數(shù)為2+1=2×5+1=11.方差為22×s2=4×2=8.2.已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)=5,s23例1在對(duì)樹人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59,抽取了女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計(jì)算出總樣本的方差，并對(duì)高一年級(jí)全體學(xué)生的身高方差作出估計(jì)嗎？解：把男生樣本記為x1,x2,…，x23,其平均數(shù)記為，方差記為

;把女生樣本記為y1,y2,...y27,其平均數(shù)記為

,方差記為

;把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，方差記為

.根據(jù)方差的定義，總樣本方差為典例解析例1在對(duì)樹人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本量比24《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)25男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59,女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62把已知的男生、女生樣本平均數(shù)和方差的取值代入，可得男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59,把26歸納總結(jié)歸納總結(jié)271．在一個(gè)文藝比賽中，8名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個(gè)評(píng)判小組，給參賽選手打分．在給某選手的打分中，專業(yè)人士打分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為47.4和3.7，觀眾代表打分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差為56.2和11.8，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)計(jì)算這名選手得分的平均數(shù)和方差．跟蹤訓(xùn)練1．在一個(gè)文藝比賽中，8名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個(gè)28所以這名選手得分的平均數(shù)為52.68分，方差為107.6所以這名選手得分的平均數(shù)為52.68分，方差為107.629歸納總結(jié)歸納總結(jié)309.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.422.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6計(jì)算出樣本平均數(shù)=,樣本標(biāo)準(zhǔn)差s≈.8.796.20問題探究9.013.614.95.931如圖所示，可以發(fā)現(xiàn)，這100個(gè)數(shù)據(jù)中大部分落在區(qū)間內(nèi)，在區(qū)間外的只有7個(gè).也就是說，絕大部分?jǐn)?shù)據(jù)落在內(nèi).

樣本標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)離平均數(shù)波動(dòng)的浮動(dòng)大小，平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差一起能反映數(shù)據(jù)取值的信息.如圖所示，可以發(fā)現(xiàn)，這100個(gè)數(shù)據(jù)中大部分落在區(qū)間321.為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果,選了n塊地作試驗(yàn)田.這n塊地的畝產(chǎn)量(單位:kg)分別是x1,x2,…,xn,下面給出的指標(biāo)中可以用來評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是(

)A.x1,x2,…,xn的平均值

B.x1,x2,…,xn的標(biāo)準(zhǔn)差C.x1,x2,…,xn的最大值

D.x1,x2,…,xn的中位數(shù)當(dāng)堂達(dá)標(biāo)答案:B解析:在A中,平均數(shù)是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量,它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的一項(xiàng)指標(biāo),故A不可以用來評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度;在B中,標(biāo)準(zhǔn)差能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度,故B可以用來評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度;在C中,最大值是一組數(shù)據(jù)中最大的量,故C不可以用來評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度;在D中,中位數(shù)將數(shù)據(jù)分成前半部分和后半部分,用來代表一組數(shù)據(jù)的“中等水平”,故D不可以用來評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度,故選B.1.為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果,選了n塊地作試驗(yàn)田.這n塊地332.樣本中共有五個(gè)個(gè)體,其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均值為1,則樣本的方差為(

)答案:D2.樣本中共有五個(gè)個(gè)體,其值分別為a,0,1,2,3.若該樣343.(多選)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次,兩人成績的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示,則以下選項(xiàng)判斷不正確的有(

)A.甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B.甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C.甲的成績的方差小于乙的成績的方差D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差3.(多選)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次,兩人成績的35答案:ABD答案:ABD364.甲、乙、丙、丁四人參加某運(yùn)動(dòng)會(huì)射擊項(xiàng)目選拔賽,四人的平均成績和方差如下表所示:若要從這四人中選擇一人去參加該運(yùn)動(dòng)會(huì)射擊項(xiàng)目比賽,最佳人選是

.(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一個(gè))

答案:丙解析:分析表格數(shù)據(jù)可知,乙與丙的平均環(huán)數(shù)最多,又丙的方差比乙小,說明丙成績發(fā)揮得較為穩(wěn)定,所以最佳人選為丙.4.甲、乙、丙、丁四人參加某運(yùn)動(dòng)會(huì)射擊項(xiàng)目選拔賽,四人的平均37分析可以根據(jù)簡化公式進(jìn)行計(jì)算,也可以把每個(gè)數(shù)據(jù)減去一個(gè)數(shù),用找齊法計(jì)算.5.計(jì)算數(shù)據(jù)54,55,53,56,57,58的方差.分析可以根據(jù)簡化公式進(jìn)行計(jì)算,也可以把每個(gè)數(shù)據(jù)減去一個(gè)數(shù),用38解(1)甲組成績的眾數(shù)為90，乙組成績的眾數(shù)為70，從成績的眾數(shù)比較看，甲組成績好些．解(1)甲組成績的眾數(shù)為90，乙組成績的眾數(shù)為70，從成績的39《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)40《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)411.極差的定義及特征：2.方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義及特征總體方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差的定義樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的定義3.會(huì)求方差、標(biāo)準(zhǔn)差，并做出決策4.方差的運(yùn)算性質(zhì)：5.會(huì)求分層抽樣的方差課堂小結(jié)1.極差的定義及特征：課堂小結(jié)42第九章統(tǒng)計(jì)《9.2.4總體離散程度的估計(jì)》同步練習(xí)第九章統(tǒng)計(jì)《9.2.4總體離散程度的估計(jì)》同步練習(xí)43知識(shí)清單知識(shí)清單44《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)45離散

大

小

標(biāo)準(zhǔn)差

離散大小標(biāo)準(zhǔn)差46小試牛刀小試牛刀47《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)48《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)49題型分析舉一反三題型分析舉一反三50《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)51解題技巧(實(shí)際應(yīng)用中標(biāo)準(zhǔn)差、方差的意義)解題技巧(實(shí)際應(yīng)用中標(biāo)準(zhǔn)差、方差的意義)52【跟蹤訓(xùn)練1】【跟蹤訓(xùn)練1】53《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)54《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)55《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)56解題技巧(用樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體注意事項(xiàng))

（1）標(biāo)準(zhǔn)差代表數(shù)據(jù)的離散程度，考慮數(shù)據(jù)范圍時(shí)需要加減標(biāo)準(zhǔn)差.（2）計(jì)算樣本平均數(shù)、樣本方差直接利用公式，注意公式的變形和整體代換．解題技巧(用樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體注意事項(xiàng))（1）57【跟蹤訓(xùn)練2】【跟蹤訓(xùn)練2】58《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)59《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)答案答案《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)答案答案《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)答案答案答案答案《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)答案答案答案答案《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)答案答案答案答案《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)解析答案解析答案《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)答案答案答案答案解析答案解析答案解析答案解析答案答案答案解析解析解析答案解析答案《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)答案答案9.2.4總體離散程度的估計(jì)第九章統(tǒng)計(jì)9.2.4總體離散程度的估計(jì)第九章統(tǒng)計(jì)96課程目標(biāo)1.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差)．2.會(huì)求樣本數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差、極差．3.理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.課程目標(biāo)1.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差97數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1．?dāng)?shù)學(xué)抽象：方差、標(biāo)準(zhǔn)差有關(guān)概念的理解；2．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算：求方差、標(biāo)準(zhǔn)差;3.數(shù)據(jù)分析：用樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體.

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1．?dāng)?shù)學(xué)抽象：方差、標(biāo)準(zhǔn)差有關(guān)概念的理解；98自主預(yù)習(xí)，回答問題閱讀課本209-213頁，思考并完成以下問題1、標(biāo)準(zhǔn)差和方差各指什么？2、標(biāo)準(zhǔn)差和方差的特征各是什么？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。自主預(yù)習(xí)，回答問題閱讀課本209-213頁，思考并完成以下問99(1)眾數(shù)①定義:一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)(即頻率分布最大值所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù))稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).②特征:一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個(gè),也可能沒有,反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).(2)中位數(shù)①定義:一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排成一列,處于最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí))或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí))稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).②特征:一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是唯一的,反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等.溫故知新(1)眾數(shù)溫故知新100(3)平均數(shù)①定義:一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)的商.數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的②特征:平均數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)有“取齊”的作用,代表該組數(shù)據(jù)的平均水平,任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的變化,這是眾數(shù)和中位數(shù)都不具有的性質(zhì).所以與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來,平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息,但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中極端值的影響較大,使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)的可靠性降低.(3)平均數(shù)1011、眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

2、利用頻率分布直方圖（頻率分布表），求樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的近似估計(jì)，進(jìn)而估計(jì)總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).2、在樣本中，有50％的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50％的個(gè)體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值。

3、平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.是直方圖的平衡點(diǎn).頻率直方圖中每個(gè)小長

方形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。1、眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點(diǎn)的橫102三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn)

三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn)103

樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計(jì)算，不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息.平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的影響也越大.當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差時(shí)，使用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置，可能與實(shí)際情況產(chǎn)生較大的誤差，難以反映樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀況，很多時(shí)候還不能使我們做出有效決策.因此，我們需要一個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)字刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度.探究新知樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的104

方差、標(biāo)準(zhǔn)差1.思考(1)平均數(shù)向我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息,但是,平均數(shù)有時(shí)也會(huì)使我們作出對(duì)總體的片面判斷,因?yàn)檫@個(gè)平均數(shù)掩蓋了一些極端的情況,而這些極端情況顯然是不能忽視的.因此,只用平均數(shù)還難以概括樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀態(tài).例如:有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:

甲:7

8

7

9

5

4

9

10

7

4

乙:9

5

7

8

7

6

8

6

7

7如果你是教練,你應(yīng)當(dāng)如何對(duì)這次射擊作出評(píng)價(jià)?

105如果你是教練,你應(yīng)當(dāng)如何對(duì)這次射擊作出評(píng)價(jià)?①甲、乙兩人本次射擊的平均成績分別為多少環(huán)?他們的平均成績一樣嗎?如果你是教練,你應(yīng)當(dāng)如何對(duì)這次射擊作出評(píng)價(jià)?106②難道這兩個(gè)人的水平就沒有什么差異了嗎?你能作出這兩人成績的頻率分布條形圖來說明其水平差異在哪里嗎?提示頻率分布條形圖如下:從圖上可以直觀地看出,他們的水平還是有差異的,甲成績比較分散,乙成績相對(duì)集中.②難道這兩個(gè)人的水平就沒有什么差異了嗎?你能作出這兩人成績的107(2)現(xiàn)實(shí)中的總體所包含的個(gè)體數(shù)往往是很多的,總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是不知道的.

如何求得總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差呢?提示：通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.這與前面用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的.只要樣本的代表性好,這樣做就是合理的,也是可以接受的.(2)現(xiàn)實(shí)中的總體所包含的個(gè)體數(shù)往往是很多的,總體的平均數(shù)與108《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)109《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)110《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)111

對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差和方差的理解(1)樣本標(biāo)準(zhǔn)差反映了各樣本數(shù)據(jù)聚集于樣本平均數(shù)周圍的程度,標(biāo)準(zhǔn)差越小,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中;反之,標(biāo)準(zhǔn)差越大,表明各樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的周圍越分散.(2)若樣本數(shù)據(jù)都相等,則s=0.(3)當(dāng)樣本的平均數(shù)相等或相差無幾時(shí),就要用樣本數(shù)據(jù)的離散程度來估計(jì)總體的數(shù)字特征,而樣本數(shù)據(jù)的離散程度,就由標(biāo)準(zhǔn)差來衡量.(4)數(shù)據(jù)的離散程度可以通過極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述.極差反映了一組數(shù)據(jù)變化的最大幅度,它對(duì)一組數(shù)據(jù)中的極端值非常敏感;方差則反映了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小.為了得到以樣本數(shù)據(jù)的單位表示的波動(dòng)幅度,通常用標(biāo)準(zhǔn)差——樣本方差的算術(shù)平方根來描述.歸納總結(jié)

112(5)標(biāo)準(zhǔn)差的大小不會(huì)越過極差.(6)方差、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的取值范圍為[0,+∞).當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí),樣本各數(shù)據(jù)全相等,表明數(shù)據(jù)沒有波動(dòng)幅度,數(shù)據(jù)沒有離散性.(7)因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以雖然方差和標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的,但在解決實(shí)際問題時(shí),一般采用標(biāo)準(zhǔn)差.(8)在實(shí)際問題中,總體平均數(shù)和總體標(biāo)準(zhǔn)差都是未知的.就像用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)一樣,通常我們也用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差.在隨機(jī)抽樣中,樣本標(biāo)準(zhǔn)差依賴于樣本的選取,具有隨機(jī)性.(5)標(biāo)準(zhǔn)差的大小不會(huì)越過極差.1131.判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.①標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)

的離散程度越小.(

)②若兩組數(shù)據(jù)的方差一樣大,則說明這兩組數(shù)據(jù)都是相同的.(

)答案:①√

②×做一做1.判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤1142.對(duì)劃艇運(yùn)動(dòng)員甲、乙在相同的條件下進(jìn)行了6次測(cè)試,測(cè)得他們每次的最大速度(單位:m/s)如下:

甲:27,38,30,37,35,31

乙:33,29,38,34,28,36根據(jù)以上數(shù)據(jù),試判斷他們誰更優(yōu)秀.2.對(duì)劃艇運(yùn)動(dòng)員甲、乙在相同的條件下進(jìn)行了6次測(cè)試,測(cè)得他們115《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)116

有關(guān)平均數(shù)、方差的重要結(jié)論1.思考若x1,x2,…,xn的方差是s2,則ax1,ax2,…,axn的方差是多少?提示：由方差的定義知ax1,ax2,…,axn的方差是a2s2.2.填空(1)若x1,x2,…,xn的平均數(shù)是,則mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均數(shù)是

.(2)數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn與數(shù)據(jù)x1+a,x2+a,…xn+a的方差相等.(3)若x1,x2,…,xn的方差為s2,則ax1,ax2,…,axn的方差為a2s2.歸納總結(jié)有關(guān)平均數(shù)、方差的重要1172.已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)

=5,s2=2,則樣本數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均數(shù)為

,方差為

.

答案:11

8解析:因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)

=5,所以樣本數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均數(shù)為2+1=2×5+1=11.方差為22×s2=4×2=8.2.已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)=5,s118例1在對(duì)樹人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59,抽取了女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計(jì)算出總樣本的方差，并對(duì)高一年級(jí)全體學(xué)生的身高方差作出估計(jì)嗎？解：把男生樣本記為x1,x2,…，x23,其平均數(shù)記為，方差記為

;把女生樣本記為y1,y2,...y27,其平均數(shù)記為

,方差記為

;把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，方差記為

.根據(jù)方差的定義，總樣本方差為典例解析例1在對(duì)樹人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本量比119《總體離散程度的估計(jì)》課件與同步練習(xí)120男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59,女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62把已知的男生、女生樣本平均數(shù)和方差的取值代入，可得男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59,把121歸納總結(jié)歸納總結(jié)1221．在一個(gè)文藝比賽中，8名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個(gè)評(píng)判小組，給參賽選手打分．在給某選手的打分中，專業(yè)人士打分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為47.4和3.7，觀眾代表打分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差為56.2和11.8，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)計(jì)算這名選手得分的平均數(shù)和方差．跟蹤訓(xùn)練1．在一個(gè)文藝比賽中，8名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個(gè)123所以這名選手得分的平均數(shù)為52.68分，方差為107.6所以這名選手得分的平均數(shù)為52.68分，方差為107.6124歸納總結(jié)歸納總結(jié)1259.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.422.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6計(jì)算出樣本平均數(shù)=,樣本標(biāo)準(zhǔn)差s≈.8.796.20問題探究9.013.614.95.9126如圖所示，可以發(fā)現(xiàn)，這100個(gè)數(shù)據(jù)中大部分落在區(qū)間內(nèi)，在區(qū)間外的只有7個(gè).也就是說，絕大部分?jǐn)?shù)據(jù)落在內(nèi).

樣本標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)離平均數(shù)波動(dòng)的浮動(dòng)大小，平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差一起能反映數(shù)據(jù)取值的信息.如圖所示，可以發(fā)現(xiàn)，這100個(gè)數(shù)據(jù)中大部分落在區(qū)間1271.為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果,選了n塊地作試驗(yàn)田.這n塊地的畝產(chǎn)量(單位:kg)分別是x1,x2,…,xn,下面給出的指標(biāo)中可以用來評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是(

)A.x1,x2,…,xn的平均值

B.x1,x2,…,xn的標(biāo)準(zhǔn)差C.x1,x2,…,xn的最大值

D.x1,x2,…,xn的中位數(shù)當(dāng)堂達(dá)標(biāo)答案:B解析:在A中,平均數(shù)是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量,它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的一項(xiàng)指標(biāo),故A不可以用來評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度;在B中,標(biāo)準(zhǔn)差能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度,故B可以用來評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度;在C中,最大值是一組數(shù)據(jù)中最大的量,故C不可以用來評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度;在D中,中位數(shù)將數(shù)據(jù)分成前半部分和后半部分,用來代表一組數(shù)據(jù)的“中等水平”,故D不可以用來評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度,故選B.1.為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果,選了n塊地作試驗(yàn)田.這n塊地1282.樣本中共有五個(gè)個(gè)體,其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均值為1,則樣本的方差為(

)答案:D2.樣本中共有五個(gè)個(gè)體,其值分別為a,0,1,2,3.若該樣1293.(多選)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次,兩人成績的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示,則以下選項(xiàng)判斷不正確的有(

)A.甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B.甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C.甲的成績的方差小于乙的成績