平板介質(zhì)光波導(dǎo)理論課件

第三章平板介質(zhì)光波導(dǎo)理論引言3.1光波的電磁場理論3.2光在平板介質(zhì)波導(dǎo)中的傳輸特性第三章平板介質(zhì)光波導(dǎo)理論引言1引言從理論上說，平板介質(zhì)光波導(dǎo)是一種最簡單的光波導(dǎo)形式，可以運(yùn)用電磁場的基本理論，將平板介質(zhì)波導(dǎo)處理為邊界條件，從而得到數(shù)學(xué)上簡單、物理上容易理解的基本光波導(dǎo)的有關(guān)方程。一旦熟悉了這種介質(zhì)光波導(dǎo)的一般方法，就不難從數(shù)學(xué)上深入認(rèn)識(shí)圓形光波導(dǎo)（如光纖）和其它形狀的光波導(dǎo)．分析介質(zhì)波導(dǎo)的一般方法是根據(jù)介質(zhì)波導(dǎo)的邊界條件求解麥克斯韋方程，得出有關(guān)光場傳播模式的表示式；傳播模式可以分為偶階的和奇階的橫電波（TE）和橫磁波(TM)；由傳播模式的本征方程或特征方程得出與模有關(guān)的傳播常數(shù)。然后求出傳輸模的截止條件、相位延遲等與波導(dǎo)有關(guān)的參數(shù)，分析平板介質(zhì)波導(dǎo)的實(shí)際意義在于，許多半導(dǎo)體光電子器件和集成光學(xué)是以平板介質(zhì)波導(dǎo)作為工作基礎(chǔ)的。如，異質(zhì)結(jié)半導(dǎo)體激光器和發(fā)光二極管正是利用異質(zhì)結(jié)所形成的光波導(dǎo)效應(yīng)將光場限制在有源區(qū)內(nèi)并使其在輸出方向上傳播。引言從理論上說，平板介質(zhì)光波導(dǎo)是一種最簡單的光波導(dǎo)形式，可以23.1光波的電磁場理論一、基本的電磁場理論麥克斯韋方程組(3,1－1a)

(3.1-1b)(3.1-1c)(3.1-1d)3.1光波的電磁場理論一、基本的電磁場理論(3,1－13設(shè)介質(zhì)是均勻且各向同性的，且假設(shè)在低場強(qiáng)下不足以產(chǎn)生非線性效應(yīng)，并且不考慮在半導(dǎo)體介質(zhì)中實(shí)際存在的色散效應(yīng)，而認(rèn)為和與光波的頻率無關(guān)。(3.1-3a)

(3.1-3b)(3.1-4)設(shè)介質(zhì)是均勻且各向同性的，且假設(shè)在低場強(qiáng)下不足以產(chǎn)生非線性效4在非鐵磁性的半導(dǎo)體中，在可見與紅外波段范圍內(nèi)，可以認(rèn)為相對(duì)導(dǎo)磁率r=1。同時(shí)，電磁波在時(shí)間上是交變的，在交變電磁場下，可以認(rèn)為電阻率為無窮大，因而可忽略傳導(dǎo)電流密度J?；谏鲜龊喕募僭O(shè)，麥克斯韋方程組可簡化為(3,1－5a)

(3.1-5b)(3.1-5c)(3.1-5d)在非鐵磁性的半導(dǎo)體中，在可見與紅外波段范圍內(nèi)，可以認(rèn)為相對(duì)導(dǎo)5二、光學(xué)常數(shù)與電學(xué)常數(shù)之間的關(guān)系(3.1-8)(3.1-9)(3.1-10)E和H的方程可以分別分解為三個(gè)獨(dú)立的標(biāo)量波動(dòng)方程(3.1-12)(3.1-13)(3.1-14)二、光學(xué)常數(shù)與電學(xué)常數(shù)之間的關(guān)系(3.1-8)(3.16最簡單的情況是設(shè)光波的電矢量沿y方向偏振、沿z方向傳播的平面電磁波，即有E=Ey、Ex=Ez=0。Ey在z方向以角頻率=2發(fā)生周期變化，因?yàn)橹辉趜方向有空間變化，故有/x=/y=0由式(3.1–13)可以得到以z和t作為函數(shù)的Ey：(3.1-15)最簡單的情況是設(shè)光波的電矢量沿y方向偏振、沿z方向傳播的平面7將式(3.1–15)代入式(3.1–13)得到(3.1-16)(3.1-17)(3.1-18)故波動(dòng)方程(3.1–13)的解為(3.1-19)如果只取正z方向傳播的波，則其三角函數(shù)的行波表達(dá)式為(3.1-20)將式(3.1–20)代入式(3.1–5b)可求出與Ey相垂直的磁場分量Hx為(3.1-21)將式(3.1–15)代入式(3.1–13)得到(3.8根據(jù)波傳播的概念，式(3.1–20)和式(3.1–21)還可分別表示為(3.1-22)(3.1-23)式中為光波波長，2(t–z/)稱為位相。由于式(3.1–22)和式(3.1–23)中不出現(xiàn)坐標(biāo)x與y，因此與z軸相垂直的某一平面內(nèi)各點(diǎn)具有相同的位相。等相位面為平面的光波稱為平面光波。將式(3.1–20)與式(3.1–22)比較，就可得出傳播常數(shù)為(3.1-24)根據(jù)波傳播的概念，式(3.1–20)和式(3.1–293.2光在平板介質(zhì)波導(dǎo)中的傳輸特性一、平板介質(zhì)波導(dǎo)的波分析方法1．光在對(duì)稱三層介質(zhì)板波導(dǎo)中傳播在z=0處是半導(dǎo)體與空氣的界面，x=0處是有源層的中線。設(shè)波導(dǎo)沿y方向是無窮的，故有/y=0。對(duì)于TE模，有Ez=03.2光在平板介質(zhì)波導(dǎo)中的傳輸特性一、平板介質(zhì)波導(dǎo)的波分析10利用/y=0及(3,1－5a)(3.1-5b)可以得出：Hy=Ex=0因此，只有y方向電場存在利用分離變量法對(duì)波動(dòng)方程(3.1–13)求解，便可得到平板介質(zhì)波導(dǎo)的場模表示式為其中Ey(x)及模傳播常數(shù)滿足(3.2–2)(3.2–l)利用/y=0及(3,1－5a)(3.1-511(3.2–2)該方程的解為式中Ae和Ao為常數(shù)表示為的物理意義：Ey在x方向的傳播常數(shù)．將麥克斯韋方程組應(yīng)用到厚度為、長為dl的一個(gè)界面面積元ds=dl內(nèi)，就得到電場或磁場的邊界條件：E1l=E2l

(3.2–5)H1l=H2l

(3.2–6)即電場和磁場的切向分量在界面上必須是連續(xù)的(3.2–3)(3.2–4)(3.2–2)該方程的解為式中Ae和Ao為常數(shù)表示為122．偶階TE模式的本征值方程(3.2–l)(3.2–3)在x<d/2的有源區(qū)內(nèi)，偶階TE模式為(3.2–7)(3.2–4)由給出(3.2–8)2．偶階TE模式的本征值方程(3.2–l)(3.2–13(3.2–7)將代入(3.2–9)(3,1－5a)應(yīng)用到本情況中，即：波導(dǎo)沿y方向是無窮的，

/y=0；對(duì)于TE模，有Ez=0；及Hy=Ex=0可得到將(3.2–9)(3.2–10)(3.2–7)將代入(3.2–9)(3,1－5a14為建立波導(dǎo)模式，光場在有源區(qū)外必須衰減．因此，波動(dòng)方程在有源區(qū)外(x>d/2)的指數(shù)解是實(shí)數(shù)而不是虛數(shù)，即(3.2–2)故在有源區(qū)外的電場分量為(3.2–11)(3.2–9)由(3.2–12)為建立波導(dǎo)模式，光場在有源區(qū)外必須衰減．因此，波動(dòng)方程在有源15(3.2–11)(3.2–12)式中為衰減系數(shù)，與傳播常數(shù)有如下關(guān)系；(3.2–13)這種在垂直于結(jié)平面方向x>d/2的區(qū)域內(nèi)指數(shù)衰減的場稱為消失場，更確切地稱為倏(shu,極快地;疾速地)逝場(evanescent)。其特點(diǎn)是在界面上不產(chǎn)生相位的變化，場的指數(shù)衰減不是由介質(zhì)吸收所引起的，而是由于在一定深度范圍內(nèi)進(jìn)入限制層（折射率為n1）的入射光能量完全反射回有源層中引起的，這在古斯一亨森（Goos-Honche。）的實(shí)驗(yàn)中得到了證實(shí)，因此消失場是一種平行于界面運(yùn)動(dòng)的均勻界面波。(3.2–11)(3.2–12)式中為衰減系數(shù)，與16在x=d/2處，利用可以得出偶階TE模的本征值方程；(3.2–10)(3.2–12)(3.2–15)本征值是不能用顯函數(shù)表示的未知量為說明模式數(shù)目和截止條件等性質(zhì)，將上式改寫為(3.2–16)將式(3.2–8)和式(3.2–13)相加消除，得到(3.2–8)(3.2–13)(3.2–17)在x=d/2處，利用可以得出偶階TE模的本征值方17(3.2–16)(3.2–17)則表示的是一個(gè)圓方程：(3.2–18)(3.2–19)根據(jù)式(3.2–18)和式(3.2–19)作圖，就可得到如圖3.2-3所示的圖。兩個(gè)曲線的交點(diǎn)即為偶階TE模的本征值方程(3.2–15)的解(3.2–16)(3.2–17)則表示的是一個(gè)圓方程18(3.2–18)(3.2–19)存在于波導(dǎo)中的模數(shù)是與圓半徑R成正比的，隨著有源層的折射率n2、厚度d和波數(shù)k0與的增加以及與有源層毗鄰的限制層折射率n1的減少，存在于波導(dǎo)中的傳輸模式數(shù)增加(3.2–18)(3.2–19)存在于波導(dǎo)中的模數(shù)是19由(3.2–17)可以求出偶階TE模截止的d值，即式(3.2–19)為零時(shí)所對(duì)應(yīng)的d值(3.2–19)將Y=0、X=m、k0=2/0代入(3.2–17)，則偶階TE模截止的d值為(3.2–20)由(3.2–17)可以求出偶階TE模截止的d值，即式20偶階TE模截止的d值為(3.2–20)可見，要想使半導(dǎo)體激光器工作在基橫模，其有源層厚度應(yīng)小于某一允許值．（通常d<0.2m）。偶階TE模截止的d值為(3.2–20)可見，要想使半213．奇階TE模式(3.2–l)(3.2–3)得到有源層內(nèi)奇階TE模的表示式由(3.2–21)(3.2–9)由3．奇階TE模式(3.2–l)(3.2–3)得到有源22在有源層外：(3.2–23)(3.2–24)

H1l=H2l(3.2–6)由Hx連續(xù)的邊界條件可以得到奇階TE模的本征值方程為或(3.2–25)(3.2–26)在有源層外：(3.2–23)(3.2–24)H1l23(3.2–18)(3.2–26)結(jié)合式(3.2–18)和式(3.2–26)可以得到奇階TE模本征方程的圖解，如圖3.2-4所示(3.2–18)(3.2–26)結(jié)合式(3.2–24如果將偶階和奇階TE模的圖解合并，X=d/2以弧度表示，則可以得到圖3.2-5。由圖可見，只有當(dāng)R滿足一定條件才能得到單橫模，即要求：為此，對(duì)半導(dǎo)體激光器有源層厚度要求限制在．(3.2–27)(3.2–28)不滿足這一條件，就會(huì)出現(xiàn)多模如果將偶階和奇階TE模的圖解合并，X=d/2以弧度表25當(dāng)（即R>2)，則至少出現(xiàn)4個(gè)TE模，當(dāng)（即R>2)，則至少出現(xiàn)4個(gè)TE模，26圖3.2一6表示出頭4個(gè)模的模場分布。圖3.2一6表示出頭4個(gè)模的模場分布。27二、平板介質(zhì)波導(dǎo)的射線分析法1．光在異質(zhì)結(jié)界面上的反射和透射設(shè)一單色平面光波由折射率為n2的光密介質(zhì)入射到折射率為n1的光疏介質(zhì)(n2>n1)，如圖3.2–7(a)所示。為簡單起見，用指數(shù)形式表示沿x和z軸正向傳播的平面光波的電場：(3.2–41)二、平板介質(zhì)波導(dǎo)的射線分析法1．光在異質(zhì)結(jié)界面上的反射和透射28電場的偏振方向可以是任意的，但總可以分解為平行于和垂直于入射面（即紙面）的兩個(gè)偏振分量．在前面所討論的三層平板介質(zhì)波導(dǎo)中，已認(rèn)定電場只有Ey分量，而光波是橫電磁波，故磁場是在垂直于傳播方向而平行于紙面的方向上偏振。根據(jù)式(3.2–4)和圖3.2–7(b)在x方向的傳播常數(shù)和z方向傳播常數(shù)與光束入射角i之間的關(guān)系為(3.2–4)(3.2–42)(3.2–43)(3.2–44)電場的偏振方向可以是任意的，但總可以分解為平行于和垂直于入射29(3.2–41)因此，可以將入射、透射和反射的電場分別表示為(3.2–45)(3.2–46)(3.2–47)(3.2–41)因此，可以將入射、透射和反射的電場分別表30(3.2–45)(3.2–46)(3.2–47)由電場的邊界條件，要求在z=0處，光在第二種介質(zhì)中入射和反射光電場強(qiáng)度切向分量之和等于第一種介質(zhì)透射光電場的切向分量，即該連續(xù)性條件適用于任何時(shí)刻和所有的z值，(3.2–45)(3.2–46)(3.2–47)31該連續(xù)性條件適用于任何時(shí)刻和所有的z值，斯涅爾(Snell)折射定律。(3.2–49)(3.2–51)(3.2–52)該連續(xù)性條件適用于任何時(shí)刻和所有的z值，斯涅爾(Snell)32(3.2–9)(3.2–45)利用表示磁場Hx與電場Ey的關(guān)系式(3.2–9)和入射場的公式(3.2–45)，可以得到(3.2–54)反射波和折射波與入射波振幅比值的關(guān)系式―菲涅爾公式?？紤]到0=1和k0/=1/c(3.2–55)同樣，可以將反射和透射波的磁場強(qiáng)度寫為(3.2–56)(3.2–57)(3.2–9)(3.2–45)利用表示磁場Hx與電場33磁場在x=0處的切向分量連續(xù)的條件為(3.2–55)(3.2–56)(3.2–57)(3.2–58)將式(3.2–55)、(3.2–56)和(3.2–57)代入式(3.2–58)，就得到(3.2–59)利用式(3.2–49)和式(3.2–51)，就可以得到反射波相對(duì)于入射波的電場振幅反射率或振幅反射系數(shù)(3.2–49)(3.2–60)(3.2–51)磁場在x=0處的切向分量連續(xù)的條件為(3.2–534同樣，利用式(3.2–49)和式(3.2–51)，可由式(3,2–59)得到電場的振幅透過率或振幅透射系數(shù)(3.2–49)(3.2–51)(3.2–61)(3.2–60)和(3.2–61)為電場矢量垂直于人射面的菲涅爾公式。(3.2–60)可以看出，電場的振幅反射率和振幅透過率是入射角i的函數(shù)同樣，利用式(3.2–49)和式(3.2–51)，可35當(dāng)光束垂直于界面入射，i

=0，則由式(3.2–60)和式(3.2–61)(3.2–61)電場矢量垂直于人射面的菲涅爾公式(3.2–60)(3.2–62)一般常用的是功率反射率而不是振幅反射率，因此應(yīng)取式(3.2–62)的平方(3.2–63)當(dāng)光束垂直于界面入射，i=0，則由式(3.2–6036在垂直入射下，式（3.2一61）變?yōu)?3.2–61)電場矢量垂直于人射面的菲涅爾公式(3.2–60)(3.2–64)由式(3.2–61)和式(3.2-64)都可以看出，當(dāng)光由光密介質(zhì)向光疏介質(zhì)入射時(shí)(n2>n1)，其振幅透過率t>1。但可以證明，磁場的振幅透過率比較小，因此，總的功率(或能量)的透過率，仍小于1。在垂直入射下，式（3.2一61）變?yōu)?3.2–372．全反射(3.2–60)由式(3.2–60)可以看出，當(dāng)光從折射率大的介質(zhì)向折射率小的介質(zhì)入射(n2>n1)時(shí)，隨著入射角的增加，電場的振幅反射率也增加(因?yàn)閏ost下降的速度要比cosi下降的速度快)，當(dāng)入射角大到某一值時(shí)，振幅反射率迅速趨近于1，這一現(xiàn)象被稱為全反射。為了區(qū)分光從光疏介質(zhì)入射到光密介質(zhì)在一定條件(i=90)下所產(chǎn)生的“掠人射”，而把在某一入射角下光從光密介質(zhì)向光疏介質(zhì)傳播，在界面上所產(chǎn)生的全反射稱為全內(nèi)反射，產(chǎn)生全內(nèi)反射的入射角稱為臨界入射角或臨界角。(3.2–52)從斯涅爾定律(3.2–52)求得全內(nèi)反射的臨界入射角，（達(dá)到全反射時(shí)，折射角t=/2，這時(shí)的入射角為臨界入射角(3.2–65)2．全反射(3.2–60)由式(3.2–60)可以看382．全反射(3.2–60)(3.2–52)當(dāng)i>c時(shí)，由(3.2–52)，sini

>1(3.2–66)將其代入式（3.2一60）后取復(fù)數(shù)場反射率的平方，均能得到功率反射率因此，只要滿足ic，都能產(chǎn)生光的全反射。2．全反射(3.2–60)(3.2–52)當(dāng)i>39(3.2–60)但另一方面，當(dāng)i=c時(shí)，由式(3.2–60)和(3.2–61)得到(3.2–61)(3.2–67)說明，即使是全反射，在折射率小的一側(cè)介質(zhì)中的電場并不為零。還可以證明，在達(dá)到全反射條件時(shí)，磁場也不在界面上中斷，而是滲入折射率小的一側(cè)介質(zhì)中，這種滲透的場即為前面所述的消失場．從物理意義上講，這種消失場是一種衰減場，因此式(3.2–66)應(yīng)該取負(fù)號(hào)，而將電場的復(fù)反射率寫為(3.2–66)(3.2–68)(3.2–60)但另一方面，當(dāng)i=c時(shí)，由式40令(3.2–70)(3.2–66)由式(3.2–66)可以得到(3.2–69)(3.2–46)將式(3.2–69)代入式(3.2-46)就可得到全反射情況下消失場的表達(dá)式(3.2–71)可以看出，消失場是一個(gè)沿透射方向隨指數(shù)exp(-x)衰減的場，不過這種衰減不是由于介質(zhì)的吸收引起的，而是因?yàn)樗械娜肷淠芰客耆路瓷浠毓饷芙橘|(zhì)中的緣故。令(3.2–70)(3.2–66)由式(3.2–6413．反射相移和古斯-亨森(Goos–Hanchen)位移光從光密介質(zhì)向光疏介質(zhì)入射，當(dāng)入射角大于臨界角入射時(shí)，發(fā)生入射能量的全反射。但另一方面在深入光疏介質(zhì)的一個(gè)很小(波長量級(jí))的薄層內(nèi)存在的消失場也為實(shí)驗(yàn)證實(shí)。對(duì)這一矛盾現(xiàn)象的解釋只能是全反射界面向光疏介質(zhì)推移了一個(gè)距離，或在介質(zhì)面上反射點(diǎn)從入射點(diǎn)沿反射面移了一段距離。這早在1947年就為古斯一亨森所發(fā)現(xiàn)。由于反射點(diǎn)有位移，反射場相對(duì)于入射場就有相位差或反射相移。3．反射相移和古斯-亨森(Goos–Hanchen)42當(dāng)i>

c，場反射率變成了復(fù)數(shù)(3.2–68)?？梢詫⑺硎境梢粚?shí)數(shù)和一復(fù)數(shù)ei之積，即為(3.2–68)(3.2–72)r——反射場與入射場振幅之比，——反射場Eyr相對(duì)人射場Eyi所產(chǎn)生的相位變化（相移）。在全反射條件下振幅反射率r=1，因而有(3.2–73)式中當(dāng)i>c，場反射率變成了復(fù)數(shù)(3.2–68)。43運(yùn)用歐拉公式變換(3.2–73)式，可以得到(3.2–73)(3.2–74)因而反射相移為(3.2–75)利用式(3.2–42)、(3.2–43)，(3.2–74)可以寫成(3.2–42)(3.2–43)(3.2–76)(3.2–70)再由式(3.2–70)，(3.2–77)運(yùn)用歐拉公式變換(3.2–73)式，可以得到(3.2–744運(yùn)用歐拉公式變換(3.2–73)式，可以得到(3.2–73)(3.2–74)因而反射相移為(3.2–75)利用式(3.2–42)、(3.2–43)，(3.2–74)可以寫成(3.2–42)(3.2–43)(3.2–76)(3.2–70)再由式(3.2–70)，(3.2–77)運(yùn)用歐拉公式變換(3.2–73)式，可以得到(3.2–745古斯-亨森從實(shí)驗(yàn)上證明，在滿足全反射的條件下，由介質(zhì)界面反射光束在入射平面內(nèi)有空間移動(dòng)，常以反射點(diǎn)在界面上移動(dòng)的距離2Zg和消失場滲透深度Xg對(duì)古斯-亨森移動(dòng)作定量描述，求古斯-亨森位移的方法很多。根據(jù)科格爾尼克的方法，可以得到(3.2–86)(3.2–4)(3.2–42)(3.2–43)(3.2–44)(3.2–70)取透射場衰減到界面場強(qiáng)的1/e處與界面的距離為消失場滲透深度：(3.2–87)古斯-亨森從實(shí)驗(yàn)上證明，在滿足全反射的條件下，由介質(zhì)界面464.平板介質(zhì)波導(dǎo)模式在圖3.2-9表示三層非對(duì)稱平板介質(zhì)波導(dǎo)中，n2>n1>n3，入射在兩界面上的全反射臨界角分別為(3.2–65)(3.2–88)(3.2–89)因?yàn)閚1>n3，所以c1>c3，因此只有入射角大于c1的光束才能在波導(dǎo)中傳播。4.平板介質(zhì)波導(dǎo)模式在圖3.2-9表示三層非對(duì)稱平板介質(zhì)47在兩個(gè)界面上，反射光相對(duì)于入射光會(huì)產(chǎn)生相移，其值由式(3.2–75)分別給出：(3.2–90)(3.2–91)因?yàn)閚1>n3，所以n12>n32，3>1(3.2–75)式中在兩個(gè)界面上，反射光相對(duì)于入射光會(huì)產(chǎn)生相移，其值由式(3.248在波導(dǎo)中每一允許的模式代表一簇穩(wěn)定傳播的平面波列。同一波陣面(波前)上各點(diǎn)必須具有相同的相位，該簇各波陣面之間應(yīng)該是無畸變的再現(xiàn)。如圖3.2–9(b)所示，波前AC上各點(diǎn)(對(duì)后面的波前來說，可視為點(diǎn)源)通過直接途徑AB或經(jīng)過在兩邊界面上相繼的兩次反射到達(dá)波前BD，這兩種途徑的光程差可以由圖3.2–9(b)中的幾何關(guān)系得到為了使經(jīng)過兩種不同途徑而到達(dá)同一波前上光線之間相干，要求上面所表示的光程差以及由兩次全內(nèi)反射所造成的附加光程差之和為波長的整數(shù)倍(3.2–92)(3.2–93)在波導(dǎo)中每一允許的模式代表一簇穩(wěn)定傳播的平面波列。同一波陣面49(3.2–94)(3.2–93)1和3分別為式(3,2–90)和(3,2–91)表示的反射相移將式(3.2–93)改寫為相位之間的關(guān)系為要使光束在兩個(gè)界面上均產(chǎn)生全反射必須使(3.2–88)(3.2–95)(3.2–90)(3.2–91)即(3.2–94)(3.2–93)1和3分別為式(50將式(3.2-95)代人式(3.2–94)，得到在此波導(dǎo)中所能允許的模式數(shù)：(3.2–95)(3.2–96)說明：反射相移影響波導(dǎo)中傳輸?shù)哪Ｊ?3.2–94)(3.2–90)(3.2–91)因?yàn)?>1，可以將式(3.2-96)近似為(3.2–97)將式(3.2-95)代人式(3.2–94)，得到在此波51(3.2–90)(3.2–91)(3.2–97)1.隨著有源層厚度d的減少，能允許傳播的波導(dǎo)模式也減少，即高階模相繼被截止。當(dāng)d小到某一值時(shí)，使得m<0，這時(shí)基模也可被截止。2.當(dāng)n1=n3，對(duì)應(yīng)于對(duì)稱波導(dǎo)情況。當(dāng)入射角i=c1=c2時(shí)，有1=3=0，由式(3.2–93)，(3.2–88)(3.2–89)(3.2–93)令m=0，則(0)m=0=，這說明對(duì)稱波導(dǎo)中，任何頻率都可以傳輸，當(dāng)然也包括基模。(3.2–90)(3.2–91)(3.2–97)523.3矩形介質(zhì)波導(dǎo)3.3矩形介質(zhì)波導(dǎo)53第三章平板介質(zhì)光波導(dǎo)理論引言3.1光波的電磁場理論3.2光在平板介質(zhì)波導(dǎo)中的傳輸特性第三章平板介質(zhì)光波導(dǎo)理論引言54引言從理論上說，平板介質(zhì)光波導(dǎo)是一種最簡單的光波導(dǎo)形式，可以運(yùn)用電磁場的基本理論，將平板介質(zhì)波導(dǎo)處理為邊界條件，從而得到數(shù)學(xué)上簡單、物理上容易理解的基本光波導(dǎo)的有關(guān)方程。一旦熟悉了這種介質(zhì)光波導(dǎo)的一般方法，就不難從數(shù)學(xué)上深入認(rèn)識(shí)圓形光波導(dǎo)（如光纖）和其它形狀的光波導(dǎo)．分析介質(zhì)波導(dǎo)的一般方法是根據(jù)介質(zhì)波導(dǎo)的邊界條件求解麥克斯韋方程，得出有關(guān)光場傳播模式的表示式；傳播模式可以分為偶階的和奇階的橫電波（TE）和橫磁波(TM)；由傳播模式的本征方程或特征方程得出與模有關(guān)的傳播常數(shù)。然后求出傳輸模的截止條件、相位延遲等與波導(dǎo)有關(guān)的參數(shù)，分析平板介質(zhì)波導(dǎo)的實(shí)際意義在于，許多半導(dǎo)體光電子器件和集成光學(xué)是以平板介質(zhì)波導(dǎo)作為工作基礎(chǔ)的。如，異質(zhì)結(jié)半導(dǎo)體激光器和發(fā)光二極管正是利用異質(zhì)結(jié)所形成的光波導(dǎo)效應(yīng)將光場限制在有源區(qū)內(nèi)并使其在輸出方向上傳播。引言從理論上說，平板介質(zhì)光波導(dǎo)是一種最簡單的光波導(dǎo)形式，可以553.1光波的電磁場理論一、基本的電磁場理論麥克斯韋方程組(3,1－1a)

(3.1-1b)(3.1-1c)(3.1-1d)3.1光波的電磁場理論一、基本的電磁場理論(3,1－156設(shè)介質(zhì)是均勻且各向同性的，且假設(shè)在低場強(qiáng)下不足以產(chǎn)生非線性效應(yīng)，并且不考慮在半導(dǎo)體介質(zhì)中實(shí)際存在的色散效應(yīng)，而認(rèn)為和與光波的頻率無關(guān)。(3.1-3a)

(3.1-3b)(3.1-4)設(shè)介質(zhì)是均勻且各向同性的，且假設(shè)在低場強(qiáng)下不足以產(chǎn)生非線性效57在非鐵磁性的半導(dǎo)體中，在可見與紅外波段范圍內(nèi)，可以認(rèn)為相對(duì)導(dǎo)磁率r=1。同時(shí)，電磁波在時(shí)間上是交變的，在交變電磁場下，可以認(rèn)為電阻率為無窮大，因而可忽略傳導(dǎo)電流密度J。基于上述簡化的假設(shè)，麥克斯韋方程組可簡化為(3,1－5a)

(3.1-5b)(3.1-5c)(3.1-5d)在非鐵磁性的半導(dǎo)體中，在可見與紅外波段范圍內(nèi)，可以認(rèn)為相對(duì)導(dǎo)58二、光學(xué)常數(shù)與電學(xué)常數(shù)之間的關(guān)系(3.1-8)(3.1-9)(3.1-10)E和H的方程可以分別分解為三個(gè)獨(dú)立的標(biāo)量波動(dòng)方程(3.1-12)(3.1-13)(3.1-14)二、光學(xué)常數(shù)與電學(xué)常數(shù)之間的關(guān)系(3.1-8)(3.159最簡單的情況是設(shè)光波的電矢量沿y方向偏振、沿z方向傳播的平面電磁波，即有E=Ey、Ex=Ez=0。Ey在z方向以角頻率=2發(fā)生周期變化，因?yàn)橹辉趜方向有空間變化，故有/x=/y=0由式(3.1–13)可以得到以z和t作為函數(shù)的Ey：(3.1-15)最簡單的情況是設(shè)光波的電矢量沿y方向偏振、沿z方向傳播的平面60將式(3.1–15)代入式(3.1–13)得到(3.1-16)(3.1-17)(3.1-18)故波動(dòng)方程(3.1–13)的解為(3.1-19)如果只取正z方向傳播的波，則其三角函數(shù)的行波表達(dá)式為(3.1-20)將式(3.1–20)代入式(3.1–5b)可求出與Ey相垂直的磁場分量Hx為(3.1-21)將式(3.1–15)代入式(3.1–13)得到(3.61根據(jù)波傳播的概念，式(3.1–20)和式(3.1–21)還可分別表示為(3.1-22)(3.1-23)式中為光波波長，2(t–z/)稱為位相。由于式(3.1–22)和式(3.1–23)中不出現(xiàn)坐標(biāo)x與y，因此與z軸相垂直的某一平面內(nèi)各點(diǎn)具有相同的位相。等相位面為平面的光波稱為平面光波。將式(3.1–20)與式(3.1–22)比較，就可得出傳播常數(shù)為(3.1-24)根據(jù)波傳播的概念，式(3.1–20)和式(3.1–2623.2光在平板介質(zhì)波導(dǎo)中的傳輸特性一、平板介質(zhì)波導(dǎo)的波分析方法1．光在對(duì)稱三層介質(zhì)板波導(dǎo)中傳播在z=0處是半導(dǎo)體與空氣的界面，x=0處是有源層的中線。設(shè)波導(dǎo)沿y方向是無窮的，故有/y=0。對(duì)于TE模，有Ez=03.2光在平板介質(zhì)波導(dǎo)中的傳輸特性一、平板介質(zhì)波導(dǎo)的波分析63利用/y=0及(3,1－5a)(3.1-5b)可以得出：Hy=Ex=0因此，只有y方向電場存在利用分離變量法對(duì)波動(dòng)方程(3.1–13)求解，便可得到平板介質(zhì)波導(dǎo)的場模表示式為其中Ey(x)及模傳播常數(shù)滿足(3.2–2)(3.2–l)利用/y=0及(3,1－5a)(3.1-564(3.2–2)該方程的解為式中Ae和Ao為常數(shù)表示為的物理意義：Ey在x方向的傳播常數(shù)．將麥克斯韋方程組應(yīng)用到厚度為、長為dl的一個(gè)界面面積元ds=dl內(nèi)，就得到電場或磁場的邊界條件：E1l=E2l

(3.2–5)H1l=H2l

(3.2–6)即電場和磁場的切向分量在界面上必須是連續(xù)的(3.2–3)(3.2–4)(3.2–2)該方程的解為式中Ae和Ao為常數(shù)表示為652．偶階TE模式的本征值方程(3.2–l)(3.2–3)在x<d/2的有源區(qū)內(nèi)，偶階TE模式為(3.2–7)(3.2–4)由給出(3.2–8)2．偶階TE模式的本征值方程(3.2–l)(3.2–66(3.2–7)將代入(3.2–9)(3,1－5a)應(yīng)用到本情況中，即：波導(dǎo)沿y方向是無窮的，

/y=0；對(duì)于TE模，有Ez=0；及Hy=Ex=0可得到將(3.2–9)(3.2–10)(3.2–7)將代入(3.2–9)(3,1－5a67為建立波導(dǎo)模式，光場在有源區(qū)外必須衰減．因此，波動(dòng)方程在有源區(qū)外(x>d/2)的指數(shù)解是實(shí)數(shù)而不是虛數(shù)，即(3.2–2)故在有源區(qū)外的電場分量為(3.2–11)(3.2–9)由(3.2–12)為建立波導(dǎo)模式，光場在有源區(qū)外必須衰減．因此，波動(dòng)方程在有源68(3.2–11)(3.2–12)式中為衰減系數(shù)，與傳播常數(shù)有如下關(guān)系；(3.2–13)這種在垂直于結(jié)平面方向x>d/2的區(qū)域內(nèi)指數(shù)衰減的場稱為消失場，更確切地稱為倏(shu,極快地;疾速地)逝場(evanescent)。其特點(diǎn)是在界面上不產(chǎn)生相位的變化，場的指數(shù)衰減不是由介質(zhì)吸收所引起的，而是由于在一定深度范圍內(nèi)進(jìn)入限制層（折射率為n1）的入射光能量完全反射回有源層中引起的，這在古斯一亨森（Goos-Honche。）的實(shí)驗(yàn)中得到了證實(shí)，因此消失場是一種平行于界面運(yùn)動(dòng)的均勻界面波。(3.2–11)(3.2–12)式中為衰減系數(shù)，與69在x=d/2處，利用可以得出偶階TE模的本征值方程；(3.2–10)(3.2–12)(3.2–15)本征值是不能用顯函數(shù)表示的未知量為說明模式數(shù)目和截止條件等性質(zhì)，將上式改寫為(3.2–16)將式(3.2–8)和式(3.2–13)相加消除，得到(3.2–8)(3.2–13)(3.2–17)在x=d/2處，利用可以得出偶階TE模的本征值方70(3.2–16)(3.2–17)則表示的是一個(gè)圓方程：(3.2–18)(3.2–19)根據(jù)式(3.2–18)和式(3.2–19)作圖，就可得到如圖3.2-3所示的圖。兩個(gè)曲線的交點(diǎn)即為偶階TE模的本征值方程(3.2–15)的解(3.2–16)(3.2–17)則表示的是一個(gè)圓方程71(3.2–18)(3.2–19)存在于波導(dǎo)中的模數(shù)是與圓半徑R成正比的，隨著有源層的折射率n2、厚度d和波數(shù)k0與的增加以及與有源層毗鄰的限制層折射率n1的減少，存在于波導(dǎo)中的傳輸模式數(shù)增加(3.2–18)(3.2–19)存在于波導(dǎo)中的模數(shù)是72由(3.2–17)可以求出偶階TE模截止的d值，即式(3.2–19)為零時(shí)所對(duì)應(yīng)的d值(3.2–19)將Y=0、X=m、k0=2/0代入(3.2–17)，則偶階TE模截止的d值為(3.2–20)由(3.2–17)可以求出偶階TE模截止的d值，即式73偶階TE模截止的d值為(3.2–20)可見，要想使半導(dǎo)體激光器工作在基橫模，其有源層厚度應(yīng)小于某一允許值．（通常d<0.2m）。偶階TE模截止的d值為(3.2–20)可見，要想使半743．奇階TE模式(3.2–l)(3.2–3)得到有源層內(nèi)奇階TE模的表示式由(3.2–21)(3.2–9)由3．奇階TE模式(3.2–l)(3.2–3)得到有源75在有源層外：(3.2–23)(3.2–24)

H1l=H2l(3.2–6)由Hx連續(xù)的邊界條件可以得到奇階TE模的本征值方程為或(3.2–25)(3.2–26)在有源層外：(3.2–23)(3.2–24)H1l76(3.2–18)(3.2–26)結(jié)合式(3.2–18)和式(3.2–26)可以得到奇階TE模本征方程的圖解，如圖3.2-4所示(3.2–18)(3.2–26)結(jié)合式(3.2–77如果將偶階和奇階TE模的圖解合并，X=d/2以弧度表示，則可以得到圖3.2-5。由圖可見，只有當(dāng)R滿足一定條件才能得到單橫模，即要求：為此，對(duì)半導(dǎo)體激光器有源層厚度要求限制在．(3.2–27)(3.2–28)不滿足這一條件，就會(huì)出現(xiàn)多模如果將偶階和奇階TE模的圖解合并，X=d/2以弧度表78當(dāng)（即R>2)，則至少出現(xiàn)4個(gè)TE模，當(dāng)（即R>2)，則至少出現(xiàn)4個(gè)TE模，79圖3.2一6表示出頭4個(gè)模的模場分布。圖3.2一6表示出頭4個(gè)模的模場分布。80二、平板介質(zhì)波導(dǎo)的射線分析法1．光在異質(zhì)結(jié)界面上的反射和透射設(shè)一單色平面光波由折射率為n2的光密介質(zhì)入射到折射率為n1的光疏介質(zhì)(n2>n1)，如圖3.2–7(a)所示。為簡單起見，用指數(shù)形式表示沿x和z軸正向傳播的平面光波的電場：(3.2–41)二、平板介質(zhì)波導(dǎo)的射線分析法1．光在異質(zhì)結(jié)界面上的反射和透射81電場的偏振方向可以是任意的，但總可以分解為平行于和垂直于入射面（即紙面）的兩個(gè)偏振分量．在前面所討論的三層平板介質(zhì)波導(dǎo)中，已認(rèn)定電場只有Ey分量，而光波是橫電磁波，故磁場是在垂直于傳播方向而平行于紙面的方向上偏振。根據(jù)式(3.2–4)和圖3.2–7(b)在x方向的傳播常數(shù)和z方向傳播常數(shù)與光束入射角i之間的關(guān)系為(3.2–4)(3.2–42)(3.2–43)(3.2–44)電場的偏振方向可以是任意的，但總可以分解為平行于和垂直于入射82(3.2–41)因此，可以將入射、透射和反射的電場分別表示為(3.2–45)(3.2–46)(3.2–47)(3.2–41)因此，可以將入射、透射和反射的電場分別表83(3.2–45)(3.2–46)(3.2–47)由電場的邊界條件，要求在z=0處，光在第二種介質(zhì)中入射和反射光電場強(qiáng)度切向分量之和等于第一種介質(zhì)透射光電場的切向分量，即該連續(xù)性條件適用于任何時(shí)刻和所有的z值，(3.2–45)(3.2–46)(3.2–47)84該連續(xù)性條件適用于任何時(shí)刻和所有的z值，斯涅爾(Snell)折射定律。(3.2–49)(3.2–51)(3.2–52)該連續(xù)性條件適用于任何時(shí)刻和所有的z值，斯涅爾(Snell)85(3.2–9)(3.2–45)利用表示磁場Hx與電場Ey的關(guān)系式(3.2–9)和入射場的公式(3.2–45)，可以得到(3.2–54)反射波和折射波與入射波振幅比值的關(guān)系式―菲涅爾公式?？紤]到0=1和k0/=1/c(3.2–55)同樣，可以將反射和透射波的磁場強(qiáng)度寫為(3.2–56)(3.2–57)(3.2–9)(3.2–45)利用表示磁場Hx與電場86磁場在x=0處的切向分量連續(xù)的條件為(3.2–55)(3.2–56)(3.2–57)(3.2–58)將式(3.2–55)、(3.2–56)和(3.2–57)代入式(3.2–58)，就得到(3.2–59)利用式(3.2–49)和式(3.2–51)，就可以得到反射波相對(duì)于入射波的電場振幅反射率或振幅反射系數(shù)(3.2–49)(3.2–60)(3.2–51)磁場在x=0處的切向分量連續(xù)的條件為(3.2–587同樣，利用式(3.2–49)和式(3.2–51)，可由式(3,2–59)得到電場的振幅透過率或振幅透射系數(shù)(3.2–49)(3.2–51)(3.2–61)(3.2–60)和(3.2–61)為電場矢量垂直于人射面的菲涅爾公式。(3.2–60)可以看出，電場的振幅反射率和振幅透過率是入射角i的函數(shù)同樣，利用式(3.2–49)和式(3.2–51)，可88當(dāng)光束垂直于界面入射，i

=0，則由式(3.2–60)和式(3.2–61)(3.2–61)電場矢量垂直于人射面的菲涅爾公式(3.2–60)(3.2–62)一般常用的是功率反射率而不是振幅反射率，因此應(yīng)取式(3.2–62)的平方(3.2–63)當(dāng)光束垂直于界面入射，i=0，則由式(3.2–6089在垂直入射下，式（3.2一61）變?yōu)?3.2–61)電場矢量垂直于人射面的菲涅爾公式(3.2–60)(3.2–64)由式(3.2–61)和式(3.2-64)都可以看出，當(dāng)光由光密介質(zhì)向光疏介質(zhì)入射時(shí)(n2>n1)，其振幅透過率t>1。但可以證明，磁場的振幅透過率比較小，因此，總的功率(或能量)的透過率，仍小于1。在垂直入射下，式（3.2一61）變?yōu)?3.2–902．全反射(3.2–60)由式(3.2–60)可以看出，當(dāng)光從折射率大的介質(zhì)向折射率小的介質(zhì)入射(n2>n1)時(shí)，隨著入射角的增加，電場的振幅反射率也增加(因?yàn)閏ost下降的速度要比cosi下降的速度快)，當(dāng)入射角大到某一值時(shí)，振幅反射率迅速趨近于1，這一現(xiàn)象被稱為全反射。為了區(qū)分光從光疏介質(zhì)入射到光密介質(zhì)在一定條件(i=90)下所產(chǎn)生的“掠人射”，而把在某一入射角下光從光密介質(zhì)向光疏介質(zhì)傳播，在界面上所產(chǎn)生的全反射稱為全內(nèi)反射，產(chǎn)生全內(nèi)反射的入射角稱為臨界入射角或臨界角。(3.2–52)從斯涅爾定律(3.2–52)求得全內(nèi)反射的臨界入射角，（達(dá)到全反射時(shí)，折射角t=/2，這時(shí)的入射角為臨界入射角(3.2–65)2．全反射(3.2–60)由式(3.2–60)可以看912．全反射(3.2–60)(3.2–52)當(dāng)i>c時(shí)，由(3.2–52)，sini

>1(3.2–66)將其代入式（3.2一60）后取復(fù)數(shù)場反射率的平方，均能得到功率反射率因此，只要滿足ic，都能產(chǎn)生光的全反射。2．全反射(3.2–60)(3.2–52)當(dāng)i>92(3.2–60)但另一方面，當(dāng)i=c時(shí)，由式(3.2–60)和(3.2–61)得到(3.2–61)(3.2–67)說明，即使是全反射，在折射率小的一側(cè)介質(zhì)中的電場并不為零。還可以證明，在達(dá)到全反射條件時(shí)，磁場也不在界面上中斷，而是滲入折射率小的一側(cè)介質(zhì)中，這種滲透的場即為前面所述的消失場．從物理意義上講，這種消失場是一種衰減場，因此式(3.2–66)應(yīng)該取負(fù)號(hào)，而將電場的復(fù)反射率寫為(3.2–66)(3.2–68)(3.2–60)但另一方面，當(dāng)i=c時(shí)，由式93令(3.2–70)(3.2–66)由式(3.2–66)可以得到(3.2–69)(3.2–46)將式(3.2–69)代入式(3.2-46)就可得到全反射情況下消失場的表達(dá)式(3.2–71)可以看出，消失場是一個(gè)沿透射方向隨指數(shù)exp(-x)衰減的場，不過這種衰減不是由于介質(zhì)的吸收引起的，而是因?yàn)樗械娜肷淠芰客耆路瓷浠毓饷芙橘|(zhì)中的緣故。令(3.2–70)(3.2–66)由式(3.2–6943．反射相移和古斯-亨森(Goos–Hanchen)位移光從光密介質(zhì)向光疏介質(zhì)入射，當(dāng)入射角大于臨界角入射時(shí)，發(fā)生入射能量的全反射。但另一方面在深入光疏介質(zhì)的一個(gè)很小(波長量級(jí))的薄層內(nèi)存在的消失場也為實(shí)驗(yàn)證實(shí)。對(duì)這一矛盾現(xiàn)象的解釋只能是全反射界面向光疏介質(zhì)推移了一個(gè)距離，或在介質(zhì)面上反射點(diǎn)從入射點(diǎn)沿反射面移了一段距離。這早在1947年就為古斯一亨森所發(fā)現(xiàn)。由于反射點(diǎn)有位移，反射場相對(duì)于入射場就有相位差或反射相移。3．反射相移和古斯-亨森(Goos–Hanchen)95當(dāng)i>

c，場反射率變成了復(fù)數(shù)(3.2–68)?？梢詫⑺硎境梢粚?shí)數(shù)和一復(fù)數(shù)ei之積，即為(3.2–68)(3.2–72)r——反射場與入射場振幅之比，——反射場Eyr相對(duì)人射場Eyi所產(chǎn)生的相位變化（相移）。在全反射條件下振幅反射率r=1，因而有(3.2–73)式中當(dāng)i>c，場反射率變成了復(fù)數(shù)(3.2–68)。96運(yùn)用歐拉公式變換(3.2–73)