河南中考中的證明題(含規(guī)范標準答案)

河南中考中的幾何證明題(2007)17?(9分)如圖，點E、F、G分別是□ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點?求證:ABEF奧ADGH.(2007)20.(9分)如圖，ABCD是邊長為1的正方形，其中DE、EF、ffg的圓心依次是點A、B、C(1)求點D沿三條圓弧運動到G所經(jīng)過的路線長；(2)判斷直線GB與DF的位置關系，并說明理由(2008)18.(9分)復習"全等三角形”的知識時，老師布置了一道作業(yè)題："如圖①，已知在△ABC中，AB=AC,P是^ABC內(nèi)部任意一點，將AP繞A順時針旋轉(zhuǎn)至AQ,使/QAP二/BAC，連接BQ、CP,則BQ=CP”小亮是個愛動腦筋的同學他通過對圖①的分析，證明了aABQ^ACP，從而證得BQ=CP之后，將點P移到等腰三角形ABC之外，原題中的條件不變，發(fā)現(xiàn)“BQ二CP”仍然成立，請你就圖②給出證明圖①

②給出證明圖①(2008)21(9分)如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是(10,0),點B的坐標為(8,0),點C、D在以0A為直徑的半圓M上，且四邊形OCDB是平行四邊形?求點C的坐標.OMBAxOMBAx(2009)17.(9分)如圖所示,zBAC=zABD,AC=BD，點0是AD、BC的交點，點E是AB的中點.試判斷0E和AB的位置關系,并給出證明.(2009)21.(10分)如圖，在Rf(2009)21.(10分)如圖，在RfABC中，zACB=90°,zB=60°,BC=2?點0是AC的中點，過點0的直線I從與AC重合的位置開始，繞點0作逆時針旋轉(zhuǎn)，交AB邊于點D.過點C作CEiiAB交直線I于點E,設直線I的旋轉(zhuǎn)角為a.①當a二時，四邊形EDBC是等腰梯形，此時AD的長為(2)當a=90°時，判斷四邊形(2)當a=90°時，判斷四邊形EDBC是否為菱形，并說明理由.；，備刃晝B'BC(2010)17?(9分)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形/AB'C和^ABC關B'BC于AC所在的直線對稱，AD和B'C相交于點O，連接BB'.請直接寫出圖中所有的等腰三角形(不添加字母)；求證：SB'O生CDO.(2010)19.(9分)如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,E是BC的中點，AD=5,BC=12,CD=4迄,zC=45°,點P是BC邊上一動點，設PB的長為x.當x的值為時，以點P、AD、E為頂點的四邊形為直角梯形；當x的值為時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形;;點P在BC邊上運動的過程中，以P、A、D、E為頂點的四邊形能否構(gòu)成菱形？試說明理由.(2011)17.(9分)如圖，在梯形ABCD中，ADiiBC,延長CB到點E,使BE=AD,連接DE交AB于點M.求證：aAMD^BME；若N是CD的中點，且MN=5,BE=2，求BC的長.(2012)18.(9分)如圖，在菱形ABCD中，AB=2,zDAB=60°,點E是AD邊的中點?點M是AB邊上一動點(不與點A重合)，延長ME交射線CD于點N，連接MD、AN?(1)求證：四邊形AMDN是平行四邊形；(2)填空：①當AM的值為時，四邊形AMDN是矩形;②當AM的值為時，四邊形AMDN是菱形.其他省市證明題L：BE=其他省市證明題L：BE=2\2?求?如圖，在四邊形ABCD中,對角線AC,BD交于點E,ZBAC=90。,ZCED=45。,ZDCE=30。,DE八2,CD的長和四邊形ABCD的面積.CD=2,面積=（3根號3+9）/2

?已知：如圖，AB是0O的直徑，C是0O上一點，OD丄BC于點D，過點C作0O的切線，交OD的延長線于點E，連結(jié)BE.(1)求證：BE與0O相切；(2)連結(jié)AD并延長交BE于點F，若OB=9，sinZABC=?，求BF的長.3TOC\o"1-5"\h\zOOD/f■s———，OBAD衣匚’三三.化00=6/.OH=477^=5DM=2^5丈T△川QJ7sdAFE,AHDHAJiFR—泌13?如圖，AD是MBC的角平分線，過點D作DEllAB,DFIIAC,分別交AC、AB于點E和F.(1)在圖中畫出線段DE和DF;(2)連接EF,則線段AD和EF互相垂直平分，這是為什么？ABDCABDC考點：菱形的判定與性質(zhì)；作圖—復雜作圖。分析：(1)根據(jù)題目要求畫出線段DE、DF即可；(2首先證明四邊形AEDF是平行四邊形再證明zEAD=zEDA根據(jù)等角對等邊可得EA=ED,由有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可證明四邊形AEDF是菱形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得線段AD和EF互相垂直平分．解答：解(1)如圖所示；(2)tDEIIAB,DFllAC,???四邊形AEDF是平行四邊形，???AD是MBC的角平分線，azFAD=zEAD,?.?ABllDE,azFAD=zEDA,azEAD=zEDA,???EA二ED,???平行四邊形aedf是菱形，?AD與EF互相垂直平分．EBDC點評：此題主要考查了畫平行線，菱形的判定與性質(zhì)，關鍵是掌握菱形的判定方法，判定四邊形為菱形可以結(jié)合菱形的性質(zhì)證出線段相等，角相等，線段互相垂直且平分．考點：切線的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理；圓周角定理。分析：(1)根據(jù)垂徑定理可以得到D是AC的中點，則OD是^ABC的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理可以得到ODllBC,CD=2bC;2(2)連接OC,設OP與OO交于點E，可以證得aOAP生OCP，利用全等三角形的對應角相等，以及切線的性質(zhì)定理可以得到：zOCP=90°,即OC丄PC,即可等證.解答：(1)猜想：ODIIBC,CD=LBC.證明：vOD丄AC,???AD二DCvAB是OO的直徑，?OA=OB...2分?OD是MBC的中位線，?ODllBC,OD=LbC(2)證明：連接OC,設OP與OO交于點E.vOD丄AC,OD經(jīng)過圓心O,?怔二CE,即/AOE二/COE在厶OAP和^OCP中，vOA=OC,OP=OP,?△OAP^^OCP,?zOCP=zOAPvPA是OO的切線，

???/OAP=90°.???/OCP=90°,即OC丄PC?PC是OO?PC是OO的切線.EC點評：本題考查了切線的性質(zhì)定理以及判定定理，三角形的中位線定理，證明圓的切線的問題常用的思路是根據(jù)切線的判定定理轉(zhuǎn)化成證明垂直的問題.5?如圖所示，在RtVABC,ZACB=90。,D是邊AB的中點，BE丄CD，垂足為E，已知3AC二15，cosA=—.5求線段CD的長；求sinZDBE的值.答案：①25②2_2256?如圖所示，在菱形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，ZBAF=ZDAE，AE與BDD相交于點G?D求證：BE=DF；當匹=AD時，求證：四邊形befg是平行四邊形.FCDF

7.(8分)如圖，在SBC中，BA=BC，以AB為直徑作半圓O交AC于點D.連結(jié)DB,過點D作DE丄BC,垂足為點E.(1)求證：DE為OO的切線；(2)求證:DB2二AB?BE.O，8?如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O,E、F分別在OD、OC上，且DE=CF，連接DF、AE,AE的延長線交DF于點M.O，CW1BME)求證：AM丄DF.CW1BME)9.(2012重慶)已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊BC的中點，DF與對角線AC交于點M，過M作ME丄CD于點E,z1=z2.若CE=1,求BC的長；求證：AM=DF+ME.考點:菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。解答(1)解：t四邊形ABCD是菱形，.?.ABllCD,az1=zACD,vz1=z2,azACD=z2,???MC二MD,???ME丄CD,?CD=2CE，?CE=1，?CD=2，?BC=CD=2;(2)證明：如圖，?汗為邊BC的中點，.?.BF二CF二gBC,?CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分zBCD,?zACB=zACD,在MEM和aCFM中，rCE=CF?3E二乙血,、CM二CH?△CEM^^CFM(SAS)?ME=MF，延長AB交DF于點G,?ABllCD,?zG=z2,vz1=z2,

az1=zG,???AM二MG,???AM二DF+ME.10?如圖，在梯形ABCD中，ADIIBC,AB=CD，分別以AB,CD為邊向外側(cè)作等邊三角形ABE和等邊三角形DCF，連結(jié)AF，DE。(1)求證：AF二DE;(2)若zBAD=45°,AB=a,^ABE和9CF的面積之和等于梯形ABCD的面積，求BC的長。解：(1)在梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD,/.ZBAD二ZCDA而在正AABE和正ADCF中，AB二AE,DC二DF且ZBAE=ZCDF=60。./AE二DF且ZEAD=ZFDA且AD公共/.AAED=ADFA(SAS)./AF二DE；(2)如圖作bh丄AD,CK丄AD，則有BC=HKqZHAB=ZKDC=45o???AB=^2BH=42AH,同理CD=*'2CK=、flKD「(AD+BC)-HBSB=廠QAB=a八‘22.2)2一?S_(丁a%2+2BC)?丁aa2+T2aBC…梯S=S而AAEBADCF而由題得S+S=S而由題得AAEBADCF梯?朽-a2+'J2aBC..—a2x2=4211?如圖，△ABC和9EF是兩個全等的等腰直角三角形,zBAC=zEDF=90°,△DEF的頂點E與MBC的斜邊BC的中點重合?將aDEF繞點E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與射線CA相交于點Q．(1)如圖①，當點Q在線段AC上,且AP=AQ時，求證：3PE生CQE；

9(2)如圖②，當點Q在線段CA的延長線上時，求證：aBPE^CEQ;并求當9(2)如圖②，當點Q在線段CA的延長線上時，求證：aBPE^CEQ;并求當BP=a,CQ=藝a時，^2解:QAABC為等腰直角三角形???AB=AC,ZABC=ZACB=45。Q點E為BC邊中點?BE=CEQ在ABPE與ACQE中AB=AC,ZABC=ZACB=45。,BE=CE.?.ABPE仝ACQE證明:QADEF為等腰直角三角形?ZDEF=45。?ZBEP+ZCEQ=135。QZQCE=45。?ZCQE+ZCEQ135。?ZBEP=ZCQE又QZB=ZQCE=45%ABPE:AZCEQQABPE:AZCEQ?BPBECECQQBE=CE,BP=a,CQ=2a?BE2=2a2?BE=2x.'2a?BC=3耳'2a93QAABC為等腰直角三角形?AB=AC=3a?AQ=CQ-AC=-a-3a=-a22AP=AB—BP=3a—a=2a連接PQ35Q在RtAAPQ中AQ=—a,AP=2a?PQ=—a1212?如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,AB二DC,過點D作DE丄BC,垂足為E，并延長DE至F,使EF二DE.聯(lián)結(jié)BF、CD、AC.(1)求證：四邊形ABFC是平行四邊形；(2)如果DE2二BE?CE，求證四邊形ABFC是矩形.CC［解］⑴等腰梯形ABCD中，AB=DC,zB=zDCB,v△DFC是等腰三角形，二zDCB=zFCE,DC=CF，所以zB=zFCE,AB=CF，易證四邊形ABFC是平行四邊形。(2)提示：射影定理的逆定理不能直接在中考中使用，必須通過相似三角形來證明，內(nèi)角為90。。13?如圖,AB是OO的直徑，弦CD丄AB于H，過CD延長線上一點E作OO的切線交AB的延長線于F?切點為G,連接AG交CD于K.(1)求證:KE二GE;若KG2二KD?GE，試判斷AC與EF的位置關系，并說明理由；在(2)的條件下，若sinE二3，AK=2遼，求FG的長.⑴證明:連接BGQFE為eO的切線且G為eO勺弦\ZFGB=ZBAG^弦切角定理QAB為eO的直徑\ZAGB=90:.ZFGBvZEGK=90QCD丄AB:.ZAHK=90:.ZAKH+ZKAH=90QZFGB=ZBAG:.ZEGK=ZAKHQZAKH=ZEKG:.ZEGK=ZEKG:.KE=GE(2證明連接GDQKG2=KDGEKE=GEKGKE??皿=kdke：kd=EQZEK—GKD謳KGAG—GDQZKGD=Z4CE同弧所對的圓周角相等ACE=ZCEG:.AC//EF⑶QZACK=ZKEG且/AKC=ZEKG:.SACK:AGEK.?.竺=CKQKE=GE:AC=CKGEEK33QZ4CE=ZCEGsinE=5:.sinZ4CE=5令AC=CK=5x3Q在RtAACH中AC=5x,sinZACE=5:.CH=4x,AH=3x:.HK=CK-CH=xQ在RtAAKH中AH=3x,HK=x,AK=2厲:.(3x)2+x2=20「.x=邁:.AC=