2021年5月第十二屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽試卷及參考答案(非數(shù)學(xué)類)

20212021年05月決賽試題44分20212021年05月決賽試題44分20212021年05月決賽試題 第十二屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)(非數(shù)學(xué)類，2021年5月15日)一、填空題(本題滿分30分，每小題6分)【解】limVAsin21+【解】limVAsin21+土11￡xsin2(l+x)dx=-i-(2-2sin4-cos4+cos2).2、設(shè)以1,1,-1),6(2,-1,0)為空間的兩點(diǎn)，則函數(shù)u=xyz+e^在點(diǎn)忍處沿項(xiàng)方向的方向?qū)?shù)為 .【解】項(xiàng)方向的單位向量為7=-^(1,-2,1),"人=戶(1+久=-(1+/),%=xz(1+f\=-(1+/)，喊=xy(l+e^)|po=1+(?-',因此，方向?qū)?shù)TOC\o"1-5"\h\z3、記空間曲線r：r"+y+z"=^(6z>0),則積分(f(l+x)2ds= [x+y+z=0 i【解】利用對稱性，得j(l+x)2ds=|(1+2x+x~)ds=jd5+—j(x+y+z)d$+-|(x2+y2+z2)dsr r rr rjds*=2na1+r \~)jds*=2na1+r \~)<i<i4、設(shè)矩陣/的伴隨矩陣16 ,且|j|>0,ABA-}=BA^}+31,r?其中/為單位矩陣，則/?= .【解】由AA^=\A\IR\A^|=16可知，\A\=4.對ABA^]=BA~]+31的兩邊同時(shí)左乘Z—1右乘/得B=A_'fi+3I，即(I-A-})B=3I,所以

<4 )(iy1/--Z =-1I4 )<4>B=3(I-A^y}=35、函數(shù)^=^+^+^+-(^>0,/=1,2,3)的所有極值點(diǎn)為 &x2x3【解】利用均值不等式，可知x2,x^)>4>/2.另一方面，有du_1 2dx, x2 X3TOC\o"1-5"\h\zdu x2 du du_1 2dx, x2 X3—丄■■1 , — 'dx} Xj2 dx2 x} xf令—=0,(々=1,2,令—=0,(々=1,2,3),即1一4=0,12=0.由此解得a112_在定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn)以27?)，且"在該點(diǎn)取得最小值//(^)-4^2,這是函數(shù)唯一的極值.因此w的唯一極值點(diǎn)為(2\2\2^).【注】也可用通常的充分性條件(海賽矩陣正定)判斷駐點(diǎn)巧為極小值點(diǎn).二、(12分)求極限：limx^O1+x+2xl+3xl-2xl-3x1-x1-hx37iarcsiny-(x2+1)arctan3二、(12分)求極限：limx^O1+x+2xl+3xl-2xl-3x1-x1-hx37iarcsiny-(x2+1)arctan3x其中為止整數(shù).【解】令f(x)=l+3xl-3x則/(0)=1,且ln/Cv)=|lnilnl+2x1,l+3x +—In +l-2x6l-3x 2分1.\+nx—In ,2/7\-nx/W_1r1111<22、14-TTT-k/ Xn n丄./W2、l+x卜1\-x)41+2x1—2x)卞???卞1<1+^ 4分所以/\0)=”■ 2分arcsinx、varctanx1山注意到lim =l,lim =1，因此/⑺-/(0)/⑺-/(0)="x-03n原式=lim — 37carcsinx-(x^+1)arctan’x20212021年05月決賽試題 3 3分20212021年05月決賽試題 3 3分三、(u分)求冪級數(shù)Jl-A/ln【解】記％=l-”ln+1xn的收斂域.當(dāng)co時(shí)，an三、(u分)求冪級數(shù)Jl-A/ln【解】記％=l-”ln+1xn的收斂域.當(dāng)co時(shí)，an-—.所以2/?A=limi=limZI±l=1?w-^°°an+} n 4分顯然，級數(shù)發(fā)散./?=i 2分為了證明{6^是單調(diào)遞減數(shù)列，考慮函數(shù)/(x)=xln|l+-等式：當(dāng)a〉0時(shí)，ln(l+a)〉一^―,得\+a1/W=ln1+-x即./\x)是［l，+oo)上的增函數(shù)，所以cin-an+}=(A?+l)ln14w+iX>1.利用不1一，7ln1+—>0.根據(jù)萊布尼茲審斂法，級數(shù)玄(一1)?/7收斂. 4分n=\因此的收斂域?yàn)椋踎1，1). 2分>7=1四、(12分)設(shè)函數(shù)/⑺在［a,Z>］上連續(xù)，在(以)內(nèi)二階可導(dǎo)，且/■⑷=/⑻=0，J/⑻dx=0..證明：存在互不相同的點(diǎn)x',x:e(a，b)，使得f\xi)=f(x,),/=1,2；證明：存在^xj9/=1,2,使得尸⑷=/?).【證】 ⑴令F(x)=e-x￡/(0d^則F(6/)=F(b)=0.對F⑺在［a，/>］上利用洛爾定理，存在x0g(6z,Z>),使得F'(x(j)=0，即/(.ro)=P/(Od/.Jcl20212021年05月決賽試題22分20212021年05月決賽試題再令G⑴= ￡/(/)d/,則G⑷=G(x0)=G(Z>)=0.對G⑺分別在［a，x。］與［x^b］上利用洛爾定理，存在x'g(a,x。)及x2e(x0，b)，使得(7(》)=G\x2)=0,gP )?/=1，2，且x,x2. 3分⑵令爐(x)=e'［/'(x)-/(x)］，則(p(x})=(p(x2)=0,且=er［.r⑺-/⑺］.VW=［/=er［.r⑺-/⑺］. 3分對(p(x)在［x:,x2］上利用洛爾定理，存在^g(x1?x2),使 =0，即尸⑹=/⑷, 3分五、(U分)設(shè)/是”階實(shí)對稱矩陣，證明：存在實(shí)對稱矩陣B，使得B202}=A,且AB=BA；存在一個(gè)多項(xiàng)式p(x),使得上述矩陣B=p(A);上述矩陣方是唯一的?【證】(1)因?yàn)?是實(shí)對稱矩陣，所以存在正交矩陣2,使得A=ODO\其中Z)=diag(A，>V..A),而冬(/=1，2，...，")為矩陣J的特征值. 3分11111^B=QD^Q\其中D^T=diag(^,^T,---,2^),則1B202'=(OD2021^1)2021=ODOt=A，且滿足AB=ODffOD^Q1=ODD^Q"=QD^DQ"=QD^ffODO"=BA. 3分(2)設(shè)斗4.-，人是j的所有兩兩互異的特征值(1<5<H),利用待定系數(shù)法及克拉默法則，存在唯一的次多項(xiàng)式p(x)=Xs+a{xs~］+???+as_xx+as,使得XA)=A2°21，(，=1,2,…4).因?yàn)閜(D、=D皿,所以1P(A)=p(ODOy)=Qp(D)OT=QD^O7=B. 3分設(shè)另存在"階實(shí)對稱矩陣C使得C2021=A,則B=P［A)=P(C2，，所以BC=p(C202')C=Cp(C202')=CB.由于B,C都可相似對角化，故存在階可逆實(shí)矩陣7’及實(shí)對角矩陣D},D2,使得B=TDXT~X,C=TDJ~}.因此C2021=A=B202'=>Df021=Z).2021^>D2=D}^>C=B,唯一性得證. 3分六、（12分）設(shè)47（x，少）= 其中0<XJ<1,證明:六、（12分）設(shè)47（x，少）= 其中0<XJ<1,證明:k=02 <y4X^J)<l2—x—yn=r)n+1n=02IJ—x\-y)【證】（方法1）當(dāng)1*=少時(shí)，n=0H+1co 1=V7=—，等式成立.Z7=0 1一X-2分當(dāng)x*少時(shí)，注意到An（x,y）=An（y,x）,故可沒0<x<j<1.囚為y4t0^>9h^+i所以不等式化為co n1^,yn-xn1t1-x 〉' = In ，ny-xl一少。丄lnlzU2-x-yy—x1-y2<l-x1-力co^2n+l對于0</<1，有丄ini±r=^丄二，1co^2n+l21一ZS2/7+1 2、1—Z1+t)所以令，=卷，脈，<u令，=卷，脈，<u代入上式即得所證不等式①.（方法2）因?yàn)槿?0n=0x+y（方法2）因?yàn)槿?0n=0x+yn100,士zy，鵬曬轉(zhuǎn)化為n=O00zn=0\n=0 1 n=0厶(11)Ll-/1+J?<-ln—<-2 \-t 2這只需證明：對任意^20,都有<4^^<丄(Z+/),其中0<x，少這只需證明：對任意^20,都有用數(shù)學(xué)歸納法.，7=0,1時(shí)，顯然.假設(shè)N=p時(shí)，結(jié)論成立，當(dāng)A7=p+1時(shí)，尸+]4+1(x，夕)=S?+卜V=’+1+yAP(x，y)，k=O4hi(x，少)=乞xp+}~kyk=yp+}+xAp(x9y)，k=O4+1(又，夕)=去(’+’+1)+去(x+少’)~X，少)=l(x、+1+’+1)+^(x+W戶①<丄(xp+1+yp+})+ -(又+少)(Y S丄(，+1+，+1)+藝匕丄(Y+1+，+1), 3分所以^+1(x,j)<^(x^+X+，).另一方面，仍由①式及歸納假設(shè)，可得Ap+](x,y)>^+y)<Ap+](x,y)>^+y)<x+2>=(P+2)x+j/Y4'1 3 3分因此，所證不等式對任意A/>0及0<u<l都成立.七、(10分)沒/(x),g⑺是[0,1]->[0,1]的連續(xù)函數(shù)，且/⑺單調(diào)增加，求證:J(:/(g(x))dx<J:/(x)dx+J:g(x)dx■【證】令F(x)=/(x)-x,則問題轉(zhuǎn)化為證明：￡[F(g(x))-F⑴]dx<j('xdx=|,這只需證明：^nax⑺-￡F(x)ck<1,gp￡F(x)dx>Fmax(X)