2020-2021中考數(shù)學(xué)圓與相似培優(yōu)練習(xí)(含答案)

2020-2021中考數(shù)學(xué)圓與相似培優(yōu)練習(xí)(含答案)一、相似1.綜合題(1)【探索發(fā)現(xiàn)】如圖①，是一張直角三角形紙片， /B=90。，小明想從中剪出一個(gè)以/B為內(nèi)角且面積最大的矩形，經(jīng)過多次操作發(fā)現(xiàn)，當(dāng)沿著中位線 DE、EF剪下時(shí)，所得的矩形的面積最大，隨后，他通過證明驗(yàn)證了其正確性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為多少.(2)【拓展應(yīng)用】(2)【拓展應(yīng)用】如圖②，在△ABC中，BC=qBC邊上的高AD=h,矩形PQMN的頂點(diǎn)P、如圖②，在△ABC中，BC=qAC上，頂點(diǎn)Q、M在邊BC上，則矩形PQMN面積的最大值為多少.(用含a,h的代數(shù)式表示)(3)【靈活應(yīng)用】如圖③，有一塊缺角矩形'ABCDE，AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,小明從中剪出了一個(gè)面積最大的矩形(/B為所剪出矩形的內(nèi)角)，求該矩形的面積.(4)【實(shí)際應(yīng)用】如圖④，現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料 ABCD,經(jīng)測量AB=50cm,BC=108cm,CD=60cm,且M、N在邊BCM、N在邊BC上且面積最大的矩形【答案】(1)解：.「EF、ED為4ABC中位線，1 13■■I??.ED//AB,EF//BC,EF=BC,ED=AB,又/B=90°,???四邊形FEDB是矩形,*電怨fei累 EF*DE 22IsABC /I2-^BC二聲便(2)解:.PN//BC,??.△APN^AABC,,即PNh-Aah,即PNh-Aah??.PN=a-ZPQ,設(shè)PQ=x,h(X-|<4 all???當(dāng)h(X-|<4 all???當(dāng)PQ=:時(shí)，S矩形pqmn最大值為f.(3)解：如圖1,延長BA、DE交于點(diǎn)F,延長H,取BF中點(diǎn)I,FG的中點(diǎn)K,貝US矩形pqmn=PQ?PN=x(a-=-/x2+ax=-4/j)2+『，BC、ED交于點(diǎn)G,延長AE、CD交于點(diǎn)圖1由題意知四邊形ABCH是矩形，?.AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,?.EH=20、DH=16,.AE=EHCD=DH,在△AEF和AHED中，ZFAE=ZDHE{AE=AH?.△AEF^AHED(ASA),.?.AF=DH=16,同理ACDG^AHDE,.CG=HE=2QAB+AFbBI=二'=24,.BI=24<32,???中位線IK的兩端點(diǎn)在線段AB和DE上，過點(diǎn)K作KL.XBC于點(diǎn)L,1111由【探索發(fā)現(xiàn)】知矩形的最大面積為 [xBG?BF=3X(40+20)兒(32+16)=720,答：該矩形的面積為720;(4)解：如圖2,延長BA、CD交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EHI±BC于點(diǎn)H,

/B=/C,/B=/C,.?.EB=EC.BC=108cm,且EHI±BC,.BH=CH=BC=54cm,Eh4tanB=.?.EH=JBH=JX54=72cm在RtABHE中,BE=、H+冊=90cm,.AB=50cm,AE=40cm,??.BE的中點(diǎn)Q在線段AB上,.CD=60cm,.ED=30cm,???CE的中點(diǎn)P在線段CD上，???中位線PQ的兩端點(diǎn)在線段ARCD上,由【拓展應(yīng)用】知，矩形 PQMN的最大面積為BBC?EH=1944cm2,答：該矩形的面積為1944cm2【解析】【分析】（1）由三角形的中位線定理可得 ED//AB,EF//BC,EF=BC,ED=-FEDB是平行四邊形，而AB,FEDB是平行四邊形，而/B=90；根據(jù)一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形可得四邊形FEDB是矩形，所以即*BE即*BESabc1-BC*-ABsr M那*BCPNAb(2)因?yàn)镻NI//BC,由相似三角形的判定可得 △APNM^ABC,則可得比例式3r(2)因?yàn)镻NI//BC,TOC\o"1-5"\h\z-~-：—.uPRa--/X> ~~x日力，解得 力，設(shè)PQ=x,貝US矩形pqmn=PQ?PN=x(h)a J*M11s .——r/ax——―[jf— ),== __/ _j八 “ ?'因?yàn)楣?,所以函數(shù)有最大值，即當(dāng)PQ=H^,ahS矩形pqmn有最大值為了；(3)延長BA、DE交于點(diǎn)F,延長BCED交于點(diǎn)G,延長AE、CD交于點(diǎn)H,取BF中點(diǎn)I,FG的中點(diǎn)K,由矩形的判定可得四邊形 ABCH是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知條件易得AE=EH、CD=DH,于是用角邊角可得△AEH△HED,所以AF=DH=16,同理可得AB乖ANBI △CDG^AHDE：,則CG=HE=20所以 ? =24,BI=24v32,所以中位線IK的兩端點(diǎn)11在線段AB和DE上，過點(diǎn)K作KLABC于點(diǎn)L,由(1)得矩形的最大面積為工XBG?BF=-X(40+20)乂(32+16)=720;(4)延長BA、CD交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EHI±BC于點(diǎn)H,因?yàn)閠anB=tanC,所以/B=/C,貝UEB=EC由等腰三角形的三線合一可得 BH=CH=BC=54cm；由tanB可求得EH=BH=3X54=72cm在Rt^BHE中，由勾股定理可得BE=90cm所以AE=BE-AB=40cm|所以BE的中點(diǎn)Q在線段AB上，易得CE的中點(diǎn)P在線段CD上，由(2)得矩形PQMN的最大面積為/BBC?EH=1944cm22.閱讀下列材料，完成任務(wù)：自相似圖形定義：若某個(gè)圖形可分割為若干個(gè)都與它相似的圖形，則稱這個(gè)圖形是自相似圖形.例如：正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB> BC CD DA邊的中點(diǎn)，連接 EG, HF交于點(diǎn)O,易知分割成的四個(gè)四邊形 AEOHkEBFQOFCGHOGD均為正方形，且與原正方形相似，故正方形是自相似圖形.任務(wù)：

（1）圖（1）圖1中正方形ABCD分割成的四個(gè)小正方形中，每個(gè)正方形與原正方形的相似比為 ,（2）如圖2,已知4ABC中，/ACB=90,AC=4,BC=3,小明發(fā)現(xiàn)△ABC也是自相似圖形”，他的思路是：過點(diǎn)C作CD）±AB于點(diǎn)D,則CD將4ABC分割成2個(gè)與它自己相似的小直角三角形.已知△ACg^ABC,則4ACD與4ABC的相似比為;（3）現(xiàn)有一個(gè)矩形ABCD是自相似圖形，其中長AD=a,寬AB=b（a>b）.請從下列A、B兩題中任選一條作答.A:①如圖3-1,若將矩形ABCD縱向分割成兩個(gè)全等矩形，且與原矩形都相似，則a=（用含b的式子表示）；②如圖3-2若將矩形ABCD縱向分割成n個(gè)全等矩形，且與原矩形都相似，則a=（用含n,b的式子表示）；B:①如圖4-1,若將矩形ABCD先縱向分割出2個(gè)全等矩形，再將剩余的部分橫向分割成3個(gè)全等矩形，且分割得到的矩形與原矩形都相似，則a=（用含b的式子表示）；②如圖4-2,若將矩形ABCD先縱向分割出m個(gè)全等矩形，再將剩余白^部分橫向分割成n個(gè)全等矩形，且分割得到的矩形與原矩形都相似，則a=（用含m,n,b的式子表不）.⑶“二；％'代2或3? /或，也【解析】【解答】（解：（1）二?點(diǎn)H是AD的中點(diǎn),?.AH=AD,???正方形AEOH^正方形ABCD,???相似比為:/故答案為：工；AB=5,(2)在Rt^ABC中，AC=4,BC=3,根據(jù)勾股定理得,AB=5,AC4??.△ACD與4ABC相似的相似比為： AB5,4故答案為：工；(3)A、①二.矩形ABEM矩形FECQ?.AF:AB=AB:AD,即上a：b=b：a,a=等b;故答案為：.②每個(gè)小矩形都是全等的，則其邊長為 b和打a,I貝Ub：\na=a：b,a=@b;故答案為：.B、①如圖2,nw圖2由①②可知縱向2塊矩形全等，橫向3塊矩形也全等,.DN=Jb,I、當(dāng)FM是矩形DFMN的長時(shí),??矩形FMNDs矩形ABCD，?.FD:DN=AD:AB,即FD：Jb=a：b,1解得FD=a,iEAF=a-a=a,

000AG== =a,??矩形GABH。矩形ABCD,?.AG:AB=AB:AD7即Ja：b=b：a得：a=b；n、當(dāng)DF是矩形DFMN的長時(shí),??矩形DFMNs矩形abcd，?.FD:DN=AB:AD即FD:Jb=b:aI：解得FD=加，■oAidAF=a-3d=3a,"卜--g-AG=」=加,??矩形GABH。矩形ABCD,?.AG:AB=AB:ADqaW%-1y即曲：b=b：a,回得：a=3b；\21故答案為：工或3;②如圖3,n塊矩形也全等,由①②可知縱向mn塊矩形也全等,I.?.DN=bb,I、當(dāng)FM是矩形DFMN的長時(shí)，???矩形FMNDs矩形ABCD，??.FD:DN=AD:AB,

即FD：nb=a：b,1解得FD=a,.AF=a-a,蘭—上n~J.AG== =a,??矩形GABH。矩形ABCD,?.AG:AB=AB:ADIz?-即ffara：b=b：a得：a=、門-1b;n、當(dāng)DF是矩形DFMN的長時(shí),??矩形DFMNs矩形ABCD，??.FD:DN=AB:AD即FD：nb=b：a解得FD=/他,,.?.AF=a-刖,兇卜.一g.AG=遇=咽2 ,???矩形GABH。矩形ABCD,??.AG:AB=AB:AD；相似多邊形的【分析】由題意可知，用相似多邊形的性質(zhì)即可求解。相似多邊形的性質(zhì)是對應(yīng)邊的比相等。相似多邊形的對應(yīng)邊的比等于相似比。；相似多邊形的(1)由題意知，小正方形的邊長等于大正方形的邊長的一半，所以其相似比為(2)在直角三角形BC中，由勾股定理易得 AB=5,而CD/AB,所以用面積法可求得CD=5,所以相似比=Rt=32_bbA(3)A、①由題意可得 ，解得白也位anb②同理可得；% %解得，d=?蟲;B、①最小的矩形的長和寬與大矩形的場和寬的對應(yīng)方式有兩種，所以分兩種情況來解：FDAFDALIi) J,-b -I、當(dāng)FM是矩形DFMN的長時(shí)，由題意可得成比例線段， 加心J，解得FD=,則AF的長也可用含a的代數(shù)式表示，而AG=GF=AF,再根據(jù)矩形GABHs矩形ABCD,得至U相對應(yīng)的比例式即可求得a=、b;包n、當(dāng)DF是矩形DFMN的長時(shí)，同理可得a=3b;②同①中的兩種情況類似。. 15, 、v-昌獷+bx1——(aH0)3.如圖，拋物線 二 經(jīng)過A(—3,0),C(5,0)兩點(diǎn)，點(diǎn)B為拋物線頂點(diǎn)，拋物線的對稱軸與 x軸交于點(diǎn)D.(1)求拋物線的解析式；(2)動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BD向終點(diǎn)D作勻速運(yùn)動，速度為每秒1個(gè)單位長度，運(yùn)動時(shí)間為t,過點(diǎn)P作PMXBD,交BC于點(diǎn)M,以PM為正方形的一邊，向上作正方形PMNQ,邊QN交BC于點(diǎn)R,延長NM交AC于點(diǎn)E.①當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)N落在拋物線上；

②在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得四邊形出此時(shí)刻的t值；若不存在，請說明理由.日【答案】(1)解：-y=ax2+bx+丫經(jīng)過A(―3,0)ECRQ為平行四邊形？若存在，求C(5,0)兩點(diǎn),[.絳+次-f=仃，拋物線的解析式為(2)解:(x-1)2+8,.ECRQ為平行四邊形？若存在，求C(5,0)兩點(diǎn),[.絳+次-f=仃，拋物線的解析式為(2)解:(x-1)2+8,.??點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,8).設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m,rk+nt=8則i月+加0I上=一2解得：1曲10,所以直線BC的解析式為y=-2x+10.???拋物線的對稱軸與 x軸交于點(diǎn)D,.?.BD=8,CD=5-1=4.?.PMXBD,???PMIICD,解得：PM=：t,??.OE=1+t..?.ME=-2(1+-t)+10=8-t..,??四邊形PMNQ為正方形，NE=NM+ME=8-t+-t=8-±t.①點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1+J,8-Jt),若點(diǎn)N在拋物線上，出4 0則一上(1+Jt—1)2+8=8—二t,整理得，t(t-4)=0,解得ti=0(舍去),t2=4,所以，當(dāng)t=4秒時(shí)，點(diǎn)N落在拋物線上；②存在.理由如下：1.「PM=2t,四邊形PMNQ為正方形，?.QD=NE=8-???直線BC的解析式為y=-2x+10,1???—2x+10=8—2t,/解得：x='1t+1,I3.?.QR=Jt+1—1=中t.又EC=C>DE=4--t,根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可得 QR=ECaR即31=4-工t,16解得：t=3,此時(shí)點(diǎn)P在BD上16所以，當(dāng)t=方時(shí)，四邊形ECRQ為平行四邊形【解析】【分析】(1)用待定系數(shù)法，將A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx+丁，得出一個(gè)關(guān)于a,b的二元一次方程組，求解得出a,b的值，從而得出拋物線的解析式；(2)首先求出拋物線的頂點(diǎn) B的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出直線 BC的解析式為y=-2x+10.根據(jù)點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離得出 BD,CD的長度，根據(jù)垂直于同一直線的兩條直線互相平行得出PM//CD,根據(jù)平行于三角形一邊的直線，截，其它兩邊，所截的三角形與原三角形相似得出△BPMs^BDC,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出BP：BD=PM:CD,進(jìn)而得出關(guān)于t的方程，求解得出PM,進(jìn)而彳#出OE,ME根據(jù)正方形的性質(zhì)由NE=NM+ME得出NE的長，進(jìn)而表示出N點(diǎn)的坐標(biāo)，若點(diǎn)N在拋物線上，根據(jù)拋物線上的點(diǎn)的特點(diǎn)，得出

關(guān)于t的方程，求解得出t的值，所以，當(dāng)t=4秒時(shí)，點(diǎn)N落在拋物線上；②存在.理由如下：根據(jù)PM的長及正方形的性質(zhì)從而表示出 QD=NE的長度，進(jìn)而得出方程，求出x的值，進(jìn)而表示出QR根據(jù)線段的和差及平行四邊形的對邊平行且相等可得 QR=EC從而得出關(guān)于t的方程，求解得出答案。4.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線 y=ax2+bx-5與x軸交于A(-1,0),B(5,0)兩點(diǎn)，與y軸交與點(diǎn)C.(2)若點(diǎn)D是y軸上的點(diǎn)，且以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形與4ABC相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖2,CE//x軸與拋物線相交于點(diǎn)E,點(diǎn)H是直線CE下方拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)H且與y軸平行的直線與BC、CE分別相交于點(diǎn)F,G,試探求當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動到何處時(shí)，四邊形CHEF的面積最大，求點(diǎn)H的坐標(biāo)及最大面積【答案】(1)解：把A(-1,0),B(5,0)代入y=ax2+bx-5可得:二次函數(shù)的解析式為 y=x2-4x-5.(2)解：如圖1,令x=0,則y=-5,???C(0,-5)，?.OC=OB,/OBC=ZOCB=45；.?.AB=6,BC=5\.^,ABBCABBC要使以B,C,D為頂點(diǎn)的三角形與4ABC相似，則有卬況或犯ABBC當(dāng)⑦灰時(shí)，CD=AB=6,???D(0,1),ABBC當(dāng)后一五時(shí)，6建?.CD=3,S??D(0,),J6即：D的坐標(biāo)為(0,1)或(0,3);(3)解：設(shè)H(t,t2-4t-5)「Q5//x軸，一」，又因?yàn)辄c(diǎn)E在拋物線上，即1一打5二7,解得山二U，(舍去)心一￡「E(4r-5)r■:CE=4|了B(5r0),C(Oy-5)--BC所在直線解析式為y=x-5,s22dIz.RF—f~5-(t^- -5)=一 —■)+—1TOC\o"1-5"\h\z「?尸億『見則 「 『5總應(yīng)展田--fE?必而CE是定值,，當(dāng)HF的值最大時(shí)，四邊形CHEF有最大面積。d 28當(dāng)二時(shí)，HF取得最大值/,四邊形CHEF的最大面積為/ 7 25一CE'HF--X4X—=—12 2 4 2

此時(shí)H(J, 7)【解析】【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法直接確定出拋物線解析式；( 2)分兩種情況，利用相似三角形的比例式即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)先求出直線BC的解析式，進(jìn)而求出四邊形CHEF的面積的函數(shù)關(guān)系式，即可求出最大值；5.如圖，拋物線y=ax2-5ax+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A,C,E三點(diǎn)，其中A(-3,0),C(0,4)，點(diǎn)B在x軸上，AC=BQ過點(diǎn)B作BD±x軸交拋物線于點(diǎn)D,點(diǎn)M,N分別是線段CO,BC上的動點(diǎn)，且CM=BN,連接MN,AM,AN.I，D(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)當(dāng)4CMN是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)試求出AM+AN的最小值.【答案】(1)解：把A(—3,0),C(0,4)代入y=ax2—5ax+c得1Jfl pa*/5昌十匕二。 』 6士‘二" ，解得e=4 ,.??拋物線解析式為y=-6,.AC=BC,CO,AB,.OB=OA=3,??B(3,0),.「BD^x軸交拋物線于點(diǎn)D,?.D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,當(dāng)x=3時(shí)，y=-，D點(diǎn)坐標(biāo)為(3,5)。(2)解：在Rt^OBC中，BC=V城+餐'\5—=5,設(shè)M(0,m),貝UBN=CM=4—m,CN=5—(4—m)=m+1,???/MCN=ZOCB,，當(dāng)CH，當(dāng)CH公而一耘時(shí),△CMNs^COB,則/CMN=/COB=90；4~sini1 lb 16即1 - 5,解得m=萬，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,W);cma當(dāng)IT?a.時(shí)，△CMNs^cbo,則/CNM=/COB=90,4-mni1 II 11即萬一/,解得m=萬，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,W);.a綜上所述，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,9)或(0,9)o(3)解：連接DN,AD,如圖,,.AC=BC,CO±AB,???OC平分/ACB,ZACO=ZBCO,???BD//OC,/BCO=ZDBC,?DB=BC=AC=5CM=BN,?.△ACM^ADBN,.?.AM=DN,?.AM+AN=DN+AN,而DN+ANAD(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A、N、D共線時(shí)取等號)，DN+AN的最小值=AD=\疔，*=品,.?.AM+AN的最小值為圓.【解析】【分析】(1)將A(-3,0),C(0,4)代入函數(shù)解析式構(gòu)造方程組解出 a,c的值可得拋物線解析式；由 AC=BQCO±AB,根據(jù)等腰三角形的 三線合一”定理，可得OB=OA=3,而BD^x軸交拋物線于點(diǎn)D,則D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,當(dāng)x=3時(shí)求得y的值，即可得點(diǎn)D的坐標(biāo)。(2)當(dāng)4CMN是直角三角形時(shí)，有兩種情況： /CMN=90,或/CNM=9°0,則可得△CMNs^COB,或△CMNs^cbq由對應(yīng)邊成比例，設(shè)M(0,m),構(gòu)造方程解答即可。(3)求AM+AN的最小值，一般有兩種方法：解析法和幾何法；解析法：用含字母的函數(shù)關(guān)系式表示出AM+AN的值，根據(jù)字母的取值范圍和函數(shù)的最值來求；幾何法：將點(diǎn) A,M,N三點(diǎn)移到一條直線上；此題適用于幾何法：觀察圖象不難發(fā)現(xiàn)， AC=BD=5,CM=BN,且/BCO=/DBC,連接AD,可證得△ACM0^DBN,CM=BN,且/BCO=/DBC,連接AD,（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A、N、D共線時(shí)取等號）,求AD的長即可。ABCD的對角線AC上，GE±BC,垂足為點(diǎn)E6.如圖（1）,已知點(diǎn)GABCD的對角線AC上，GE±BC,垂足為點(diǎn)E6.如圖（1）,已知點(diǎn)G在正方形①求證：四邊形CEGF是正方形；②推斷:（2）探究與證明：將正方形CEGF繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)￡S圖⑶HDAG：BE的值為（0°<“V45。），如圖（2）所示，試探究線段AGAG與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由:（3）拓展與運(yùn)用：正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B，正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B，E,F三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖（3）所示，延長CG交AD于點(diǎn)H.若AG=6,GH=2，則BC=【答案】（1）【答案】（1）證明：二?四邊形ABCD是正方形,/BCD=90,°/BCA=45,°-.GE±BCGFXCD,/CEG=ZCFG=ZECF=90,°，四邊形CEGF是矩形，/CGE=ZECG=45,°EG=EC，四邊形CEGF是正方形(2)解：連接CG,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知/BCE=ZACG=,在RtACEG和RtACBA中,=cos45==cos45=CB的=cos45=-,??.△AC84BCEAGCA???線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG=\BEBE(3)1AM【解析】【解答】(1)②由①知四邊形CEGF是正方形,??/CEG4B=90,°/ECG=45,°CG廠--?.E'￡ ,GE//AB,任二生71故答案為：&(3).??/CEF=45,點(diǎn)B、E、F三點(diǎn)共線，/BEC=135,°.△ACG^ABCE,./AGC=/BEC=135,°/AGH=ZCAH=45；??/CHA=ZAHG,.△AHGs^CHA,設(shè)BC=CD=AD=a貝UAC=.aAGGh則由出則由出:得V一% 八".?.AH=Ja則DH=AD-AH=-1a,CH=於*上滔= a,2-aAGAh餡aylb1=T—日.??由?小◎得 3 ,解得：a=3U2,即BC=3故答案為：3 .【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得出/BCD=90,/BCA=45,根據(jù)垂直的定義及等量代換得出ZCEG=/CFG=ZECF=90,根據(jù)三個(gè)角是直角的四邊形是矩形得出四邊形 CEGF是

矩形，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出 /CGENECG=45,根據(jù)等角對等邊得出 EG=EC根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形即可得出四邊形 CEGF是正方形；②根據(jù)正方形的性質(zhì)得出GE////CD,根據(jù)平行于同一直線的兩條直線互相平行得出 GE//AB,根據(jù)平行線分線段成比例定理得出GC：EC=AG：BE,根據(jù)等腰直角三角形的邊之間的關(guān)系得出 GC：EC=?,從而得出答案；(2)連接CG,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知/BCEWACG=,根據(jù)余弦函數(shù)的定義得出TOC\o"1-5"\h\zCE 6 cB 隹\o"CurrentDocument"---— —-cos^5s --CG 2 CA 2△ACGs^BCE,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比等于相似比即可得出結(jié)論線段 AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG=.BE;(3)根據(jù)/CEF=45,點(diǎn)B、E、F三點(diǎn)共線，由鄰補(bǔ)角定義得出 /BEC=135,根據(jù)△ACG^ABCE,得出/AGC=/BEC=135°,故/AGH=/CAH=45°,然后判斷出△AHG^ACHA,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出 AG：AC=GH：AH=AH：CH,設(shè)BC=CD=AD=a則AC=4a,根據(jù)比例式得出關(guān)于AH的方程，求解AH的值，根據(jù)DH=AD-AH表示出DH,根據(jù)勾股定理表示出CH,根據(jù)前面的比仞^式得出關(guān)于 a的方程，求解得出a的值，從而得出BC的值。7.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線7.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線”、小由，,其中以、國是方程/-二,簿8^6的兩根，且日?:上，過點(diǎn)A的直線I?與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)(1)求以、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求直線口的解析式；(3)如圖2,點(diǎn)出是線段Id上的動點(diǎn)，若過點(diǎn)方作卜軸的平行線比與直線1相交于點(diǎn)忸,與拋物線相交于點(diǎn)力,過點(diǎn)上作比的平行線所與直線出相交于點(diǎn),求的的長.【答案】(1)解：--X1>X2是方程X2-2x-8=0的兩根，且X1VX2,--xi=-2,X2=4,??A(22),C(4,8)(2)解：①設(shè)直線l的解析式為y=kx+b(kwQ,,.A(-2,2)在直線l上,.?-2=-2k+b,b=2k+2,「?直線I的解析式為y=kx+2k+2 ①1,「拋物線y=-'x2②，聯(lián)立①②化簡得，x2-2kx-4k-4=0,.??直線I與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，「?△=(2k)2-4(-4k-4)=41^+16k+16=4(k2+4k+4)=4(k+2)2=0,??k=-2)..b=2k+2=-2,「?直線I的解析式為y=-2x-2；1②平行于y軸的直線和拋物線y=2x2只有一個(gè)交點(diǎn)，.?.直線I過點(diǎn)A(-2,2),「?直線I:x=-2(3)解：由(1)知，A(-2,2),C(4,8),「?直線AC的解析式為y=x+4,設(shè)點(diǎn)B(m,m+4),-C(4.8),BC=a/5|m-4|=、二(4-m).??過點(diǎn)B作y軸的平行線BE與直線I相交于點(diǎn)E,與拋物線相交于點(diǎn)D,.?.D(m,Pm2),E(m,-2m-2),1BD=m+4--m2,BE=m+4-(-2m-2)=3m+6,DC//EF,.,.△BDO^ABEF,BDBC,,，，BF=6\」.【解析】【分析】(1)解一元二次方程即可得出點(diǎn) A,C坐標(biāo)；(2)先設(shè)出直線I的解析式，再聯(lián)立拋物線解析式，用△=(),求出k的值，即可得出直線I的解析式；(3)設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出 BC,再表示出點(diǎn) D,E的坐標(biāo)，進(jìn)而得出 BD,BE,再判斷出△BD8△BEF得出比例式建立方程即可求出 BF.8.如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的對稱中心，AB=5cm,BC=6cm,點(diǎn)E.F.G分別從A.B.C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動，點(diǎn) E的運(yùn)動速度為1cm/s,點(diǎn)F的運(yùn)動速度為3cm/s,點(diǎn)G的運(yùn)動速度為1.5cm/s,當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C(即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合)時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動.在運(yùn)動過程中，4EBF關(guān)于直線EF的對稱圖形是AEB'設(shè)點(diǎn)E.F.G運(yùn)動的時(shí)間為t(單位：s).(1)當(dāng)t等于多少s時(shí)，四邊形EBFB為正方形；(2)若以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F,C,G為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值；(3)是否存在實(shí)數(shù)t,使得點(diǎn)B'與點(diǎn)O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.【答案】 (1)解：若四邊形EBFB為正方形，則BE=BF,BE=5-t,BF=3t,即：5-t=3t,解得t=1.25;故答案為：1.25(2)解：分兩種情況，討論如下：①若△EBM"CGEB即5-/ 3t\則有FCCG,即G3tJ.,解得：t=1.4;②若△EBF^GCF,所毋5-/洪則有益一萬，即L5t-3~手,解得：t=-7-\癡(不合題意，舍去)或t=-7+耐.???當(dāng)t=1.4s或t=(-7+V晶')s時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F,C,G為頂點(diǎn)的三角形相似.(3)解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)t,使得點(diǎn)B'與點(diǎn)O重合.如圖，過點(diǎn)。作OMLBC于點(diǎn)M,

則在Rt^OFM中，OF=BF=3t,FM=1BC—BF=3—3t,OM=2.5,由勾股定理得：OM2+FM2=OF2,即：2.52+(3-3t)2=(3t)2冏解得：t=之；過點(diǎn)。作ON，AB于點(diǎn)N,則在Rt^OEN中，OE=BE=5-t,EN=BE-BN=5-t-2.5=2.5-t,ON=3,由勾股定理得：ON2+EN2=OE2,即：32+(2.5—t)2=(5—t)23b解得：t=:七.6139.三短，???不存在實(shí)數(shù)t,使得點(diǎn)B與點(diǎn)O重合【解析】【分析】(1)利用正方形的性質(zhì)，得到 BE=BF,列一元一次方程求解即可；(2)4EBF與4FCG相似，分兩種情況，需要分類討論，逐一分析計(jì)算；( 3)本問為存在型問題.假設(shè)存在，則可以分別求出在不同條件下的 t值，它們互相矛盾，所以不存在、圓的綜合B的切線AE與CD的延長9.如圖，CD為。。的直徑，點(diǎn)B在。。上，連接BCBD,過點(diǎn)線交于點(diǎn)A,ZAEO/C,OEB的切線AE與CD的延長(1)求證：OE//BD；2(2)當(dāng)OO的半徑為5,sinDBA—時(shí)，求EF的長.5【答案】(1)證明見解析；(2)EF的長為—2【解析】試題分析：(1)連接OB,利用已知條件和切線的性質(zhì)證明；(2)根據(jù)銳角三角函數(shù)和相似三角形的性質(zhì)，直接求解即可 .CBOOBD90ABDCBO.試題解析：(1)連接OB,.「CBOOBD90ABDCBO..AE是。。的切線， ABOABDOBD90.

.OB、OC是。。的半徑， OB=OCCCBO.CABD.EC,EABD.OE//BD.一 2. . BD2(2)由(1)可得sin/C=/DBA=_,在Rt^OBE中，sin/C=一一,OC=55 CD5 'EBDBOEOEBDBOEOC,ACBD^AEBO.CDEO25.2?.OE//BD,CO=OD,.?.CF=FB.- 1OFBD2.221???EFOEOF—210.如圖，OO是^ABC的外接圓，AC為直徑，BD=BA,BEXDC交DC的延長線于點(diǎn)E⑴求證：BE是。O的切線(2)若(2)若EC=1,CD=3,求cos/DBA【答案】（1）證明見解析；（2）/DBA分析：（1）連接OB,OD,根據(jù)線段垂直平分線的判定，證得 BF為線段AD的垂直平分線，再根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得到/ADC=90,證得四邊形BEDF是矩形，即/EBF=90,°可得出結(jié)論.（2）根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)求出OF的長，進(jìn)而得到BF、DE、OB、OD的長，然后根據(jù)等角的三角函數(shù)求解即可.詳解：證明：（1）連接BO并延長交AD于F,連接OD?.BD=BA,OA=OD???BF為線段AD的垂直平分線.「AC為。O的直徑/ADC=90°?.BEXDC

???四邊形BEDF為矩形??/EBF^=90°?.BE是。O的切線(2);。、(2);。、F分別為AC、AD的中點(diǎn)1 3?OF=—CD=—2 2?.BF=DE=1+3=4，35?.OB=OD=4——223OF23cos/DBA=cos/DOF=——W—OD552點(diǎn)睛：此題主要考查了圓的切線的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是添加合適的輔助線，利用垂徑定理和圓周角定理進(jìn)行解答，注意相等角的關(guān)系的轉(zhuǎn)化 ^11.如圖，在ABC中，BAC90,ABACJ2,ADBC,垂足為D,過A,D的。。分別與AB,AC交于點(diǎn)E,F,連接EF,DE,DF.(1)求證：ADE^CDF;(2)當(dāng)BC與。。相切時(shí)，求。。的面積.【答案】(1)見解析；(2)—.4分析：(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)知 AD=CDZ1=ZC=45°,由/EAF=90°知EF是。O的直徑，據(jù)此知/2+/4=/3+/4=90。，得/2=/3,利用“ASAE明即可得；(2)當(dāng)BC與。。相切時(shí)，AD是直徑，根據(jù)/C=45°、AC=72可得AD=1,利用圓的面積公式可得答案.詳解：(1)如圖，--AB=AC,/BAC=90°, ZC=45°.

1又「AD，BC,AB=AC, /1=—/BAG=45BD=CD,ZADC=90：2又???/BAC=90°,BD=CD,「.AD=CD.又???/EAF=90：EF是。。的直徑，??./EDF=90：../2+/4=90又??/3+/4=90°,，/2=/3.在△ADE和△CDF中.C..ADCD, AADE^ACDF(ASA).3(2)當(dāng)BC與。。相切時(shí)，AD是直徑.在Rt^ADC中，ZC=45°,AC=J2,??.sin/仁世，AD=ACsinZC=1,，。0的半徑為工，，。0的面積為一.AC 2 4點(diǎn)睛：本題主要考查圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、與圓有關(guān)的位置關(guān)系等知識點(diǎn).12.如圖，AD是4ABC的角平分線，以AD為弦的。。交AB、AC于E、F,已知EF//BC.(1)求證：BC是。。的切線；(2)若已知AE=9,CF=4,求DE長；B【答案】(1)證明見解析(2)DE=6(3)(3)在(2)的條件下，若/BAC=60,求B【答案】(1)證明見解析(2)DE=6(3)18.36「5試題分析：(1)連接OD,由角平分線的定義得到/1=/2,得到DeDF，根據(jù)垂徑定理得到ODLEF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ODLBC,于是得到結(jié)論；(2)連接DE,由DEDF，得到DE=DF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/3=/4,等量代換得到/1=/4,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；(3)過F作FHI±BC于H,由已知條件得到/1=/2=/3=/4=30°,解直角三角形得到1 1 FH=-DF=-X6=3DH=3J3,CH=JcF2HF2后，根據(jù)二角函數(shù)的7E乂得到tan/AFE=tanZC=-HF邁；根據(jù)相似三角形到現(xiàn)在即可得到結(jié)論.CH7試題解析：(1)連接OD,「AD是△ABC的角平分線，/1=72,DeDf，??ODXEF,??EF//BC,??ODXBC,?.BC是。O的切線；(2)連接DE,DeDf，?.DE=DR??EF//BC,/3=Z4,??/1=/3,/1=Z4,??/DFC玄AED,?.△AED^ADFC,TOC\o"1-5"\h\z.AE DE口u9 DE一 ，即 ，DF CFDE 4.?.DE2=36,.DE=6;(3)過F作Fhl±BC于H,??/BAC=60；.1./1=/2=Z3=Z4=30;-FH=1dF=16=3,DH=3石，2 2?ch=,cf2hf2 、.7,??EF//BC,/C=ZAFE,tan/AFE=tanZC=-^-3,?CH7?/4=/2./C=/C,?.△ADC^ADFC,ADCDDFCF??/5=/5,Z3=Z2,??.△ADF^AFDGJ,ADDFDFDGTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument".CDDF日口3,3 .7 6一 ,即 \o"CurrentDocument"CFDG 4DG.?.DG=1836。點(diǎn)睛：本題考查了切線的判定、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵 ^13.如圖，4ABC內(nèi)接于OO,/BAC的平分線交。。于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E(BE>EQ,且BD=2J3,過點(diǎn)D作DF//BC,交AB的延長線于點(diǎn)F.(1)求證：DF為。。的切線；(2)若/BAC=60°,DE=幣,求圖中陰影部分的面積.【答案】(1)詳見解析；(2)9J3-2兀.【解析】【分析】(1)連結(jié)OD,根據(jù)垂徑定理得到ODLBC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ODLDF,根據(jù)切線的判定定理證明；(2)連結(jié)OB,連結(jié)OD交BC于P,作BHLDF于H,證明^OBD為等邊三角形，得到/ODB=60；OB=BD=2V3,根據(jù)勾股定理求出PE,證明△AB&4AFD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AE,根據(jù)陰影部分的面積=4BDF的面積-弓形BD的面積計(jì)算.【詳解】證明：(1)連結(jié)OD,???AD平分/BAC交。。于D,ZBAD=ZCAD,Bd=Cd,???ODXBC,BC//DF,?.ODSF,?.DF為。O的切線；(2)連結(jié)OB,連結(jié)OD交BC于P,作BHXDFTH,Fro??/BAC=60,°AD平分/BAC,/BAD=30；/BOD=2/BAD=60,°?.△OBD為等邊三角形，/ODB=60；OB=BD=273,/BDF=30；.BC/DF/DBP=30；在Rt^DBP中，PD=1BD=W PB=V3PD=32 ' ' '在Rt^DEP中，?PD=^,DE=",??PE=.(/7)2(J3)2=2,.OPXBC,bp=cp=3.?.CE=3-2=1,??/DBE=ZCAE,/BED=ZAEC,.,.△BDE^AACE,?.AE:BE=CEDE,即AE:5=1:5.7.?.AE= 71.BE//DF,??.△ABE^AAFD,57-BE任，即工,DFADDF12/57解得DF=12,在Rt^BDH中，BH=1BD=B，陰影部分的面積二△BDF的面積-弓形BD的面積=4BDF的面積-（扇形BOD的面積-△BOD的面積）=112J360 （2同頁（273）2=973-2.2 360 4【點(diǎn)睛】考查的是切線的判定，扇形面積計(jì)算，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握切線的判定定理，扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.14.如圖，已知：AB是。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，CD是。。的切線，AD±CD于點(diǎn)D,E是AB延長線上一點(diǎn)，CE交。。于點(diǎn)F,連接OC、AC.（1）求證：AC平分/DAO.（2）若/DAO=105,/E=30°①求/OCE的度數(shù)；②若。。的半徑為2丘,求線段EF的長.【答案】（1）證明見解析；（2）①/OCE=45；②EF=2J3-2.【解析】【試題分析】（1）根據(jù)直線與。。相切的性質(zhì)，得OC,CD.又因?yàn)锳D±CD,根據(jù)同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線也平行，得：AD//OC./DAC=/OCA.又因?yàn)镺C=OA,根據(jù)等邊對等角，得/OAC=/OCA.等量代換得：/DAC=ZOAC根據(jù)角平分線的定義得： AC平分/DAO.（2）①因?yàn)锳D//OC,ZDAO=105,根據(jù)兩直線平行，同位角相等得，/EOC=ZDAO=105,°在OCE中，/E=30利用內(nèi)角和定理，得： ZOCE=45.°②作OGLCE于點(diǎn)G,根據(jù)垂徑定理可得FG=CG因?yàn)镺C=2J2，/OCE=45.等腰直角三角形的斜邊是腰長的&倍，得CG=OG=2.FG=2eRtAOGE中，ZE=30°,彳導(dǎo)GE=2J3,則EF=GE-FG=2V3-2.【試題解析】..?直線與。O相切,OCXCD.又;AD±CD,.-.AD/ZOC./DAC=ZOCA.又OC=OA /OAC=Z