一維射影幾何學(xué)課件

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第三章一維射影幾何學(xué)3.1點(diǎn)列和線束3.2點(diǎn)列的交比11本章教材分析3.1點(diǎn)列和線束一、一維基本圖形二、一維基本圖形示例3.2點(diǎn)列的交比一、點(diǎn)列中四點(diǎn)的交比二、交比的性質(zhì)三、有關(guān)交比的例題2本章教材分析223第三章一維射影幾何學(xué)本章地位平面射影幾何的核心內(nèi)容之一本章內(nèi)容重點(diǎn)介紹一維射影幾何學(xué)，討論的是一維幾何圖形，即用一個(gè)獨(dú)立參數(shù)描寫(xiě)的幾何圖形（即點(diǎn)列和線束）；引進(jìn)射影不變量—交比；討論兩個(gè)基本圖形間的關(guān)系—一維射影幾何基本定理。此外，還要討論兩個(gè)特殊的一維射影對(duì)應(yīng)：透視對(duì)應(yīng)、對(duì)合對(duì)應(yīng)。本章教材分析3第三章一維射影幾何學(xué)本章地位平面射影幾何的核心內(nèi)容之一343.1點(diǎn)列和線束一、一維基本圖形(1)點(diǎn)列(同一直線上點(diǎn)的集合)記號(hào)l(A,B,C,…)或l(P)底元素(1)'線束(平面上過(guò)同一點(diǎn)的直線的集合)記號(hào)L(a,b,c,…)或L(p)束心元素43.1點(diǎn)列和線束一、一維基本圖形(1)4（2）點(diǎn)列和線束統(tǒng)稱為一維幾何圖形（流形），它們互為對(duì)偶圖形。5（4）設(shè)有兩線l(a)、m(b)，它們確定一個(gè)交點(diǎn)L，通過(guò)L的任意一條直線u可表為：（3）取定直線l上的兩點(diǎn)A(a)、B(b)[a=b=],則l上任一點(diǎn)M（x）可表為：3.1點(diǎn)列和線束一、一維基本圖形（2）點(diǎn)列和線束統(tǒng)稱為一維幾何圖形（流形），它們互為對(duì)偶圖形563.1點(diǎn)列和線束(5)在一維幾何基本圖形中，a,b稱為基底元素，為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，參數(shù)就用λ表示，λ=0時(shí)表示基底元素a，規(guī)定λ=∞時(shí)表示基底元素b.一、一維基本圖形63.1點(diǎn)列和線束(5)在一維幾何基本圖形中，a,b稱為6例：7二、一維基本圖形示例3.1點(diǎn)列和線束設(shè)有共線三點(diǎn)x=(-1,-1,1),y=(1,0,-2),z=(1,-2,-4),試將z表為x,y的線性組合。例：7二、一維基本圖形示例3.1點(diǎn)列和線束設(shè)有共線三點(diǎn)x783.2

點(diǎn)列的交比一、點(diǎn)列中四點(diǎn)的交比1.概念交比—

最根本的射影不變量

定義.設(shè)A,B,C,D為點(diǎn)列l(wèi)(P)中四點(diǎn),且A

≠

B.把(AB,CD)表示為這共線四點(diǎn)構(gòu)成的一個(gè)交比.定義為(3.1)易見(jiàn)，交比是簡(jiǎn)比的比：83.2點(diǎn)列的交比一、點(diǎn)列中四點(diǎn)的交比1.概念交比—8證明思路分析：由于交比是簡(jiǎn)比的比，而簡(jiǎn)比又是分割比的相反數(shù)，可以先將這四點(diǎn)的齊次坐標(biāo)化為非齊次坐標(biāo)，再用A,B的非齊次坐標(biāo)線性表示C,D的非齊次坐標(biāo)，利用定比分割公式，易求點(diǎn)C、D分割A(yù)、B的分割比分別是：93.2

點(diǎn)列的交比一、點(diǎn)列中四點(diǎn)的交比(3.2)

定理3.1.設(shè)取A,B為基底，將這四點(diǎn)的齊次坐標(biāo)順次表為a,b,則證明思路分析：由于交比是簡(jiǎn)比的比，而簡(jiǎn)比又是分割比的相反數(shù)，9103.2

點(diǎn)列的交比

定理3.2

設(shè)點(diǎn)列l(wèi)(P)中四點(diǎn)A、B、C、D的齊次坐標(biāo)為p+μiq(i=1,2,3,4).則(3.3)一、點(diǎn)列中四點(diǎn)的交比103.2點(diǎn)列的交比定理3.2設(shè)點(diǎn)列l(wèi)(P1011

證明定理3.2.重新選擇A,B,為基點(diǎn)，參數(shù)表示C,D.設(shè)從中解出p,q,得于是，A,B,C,D的坐標(biāo)可表示為p+μ1q=r,p+μ2q=s.由定理3.1，有3.2

點(diǎn)列的交比11證明定理3.2.重新選擇A,B,為基11推論：設(shè)點(diǎn)列上四點(diǎn)A、B、C、D的齊次坐標(biāo)為123.2

點(diǎn)列的交比一、點(diǎn)列中四點(diǎn)的交比推論：設(shè)點(diǎn)列上四點(diǎn)A、B、C、D的齊次坐標(biāo)為123.212例1（習(xí)題3.4）：求四點(diǎn)(2,1,-1),(1,-1,1),(1,0,0),(1,5,-5)順這次序的交比。133.2

點(diǎn)列的交比一、點(diǎn)列中四點(diǎn)的交比解：取(2,1,-1),(1,-1,1)為基點(diǎn)，將其余兩點(diǎn)表為它們的線性組合。易求

(1,0,0)∝(2,1,-1)+(1,-1,1)，

(1,5,-5)∝(2,1,-1)-3/2(1,-1,1)，故所求交比為：例1（習(xí)題3.4）：求四點(diǎn)(2,1,-1),(1,-1,1)13例2：已知A、B分別是y軸、x軸上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，C是斜率為1的直線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，且（AB,CD）=3,求D的坐標(biāo)。143.2

點(diǎn)列的交比一、點(diǎn)列中四點(diǎn)的交比解：按題設(shè)條件，點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為：

A(0,1,0),B(1,0,0),C(1,1,0).取A、B為基底，則由(1,1,0)∝(0,1,0)+(1,0,0)得出

λ=1.設(shè)D∝A+μB，于是

3=(AB,CD)=λ/μ=1/μ得μ=1/3，故D點(diǎn)的坐標(biāo)為（1/3，1，0）或(1，3，0).例2：已知A、B分別是y軸、x軸上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，C是斜率為1的14151.交比的組合性質(zhì)顯然，共線四點(diǎn)的交比值與這四點(diǎn)在交比記號(hào)中的次序有關(guān).改變次序一般會(huì)改變交比值.因此，依次序不同，共線四點(diǎn)可以構(gòu)成4!=24個(gè)交比.下面來(lái)探討這24個(gè)交比的規(guī)律.3.2

點(diǎn)列的交比二、交比的性質(zhì)定理3.3.將某兩點(diǎn)互換，同時(shí)互換其余兩點(diǎn)，則交比不變。

定理3.4.只限于一對(duì)點(diǎn)之間的交換，則交比值轉(zhuǎn)變?yōu)槠涞箶?shù)。即151.交比的組合性質(zhì)3.2點(diǎn)列的交比二、交比的性15定理3.5.交換中間兩點(diǎn)，則交比值轉(zhuǎn)化為1與原值之差:(AC,BD)=1-(AB,CD)163.2

點(diǎn)列的交比二、交比的性質(zhì)

定理3.3—定理3.5說(shuō)明：（1）共線四點(diǎn)的排列雖有4!=24個(gè)，但其互異之值只有6個(gè)，若記(AB,CD)=α，則6個(gè)互異交比值為

：1.交比的組合性質(zhì)定理3.5.交換中間兩點(diǎn)，則交比值轉(zhuǎn)化為1與原值之差:(A16（2）不考慮復(fù)點(diǎn)及四點(diǎn)重合的情況，當(dāng)且僅當(dāng)（AB,CD）=-1時(shí)，交比值為：-1,?,2.定義：若（AB,CD）=-1，則稱C、D調(diào)和分割線段AB，或稱C、D對(duì)線段AB成調(diào)和共軛點(diǎn)偶。注意：①在調(diào)和分割中，兩對(duì)點(diǎn)的關(guān)系是完全對(duì)等的。②C、D調(diào)和分割線段AB時(shí)，一為內(nèi)分點(diǎn)，另一為外分點(diǎn)。③調(diào)和分割是交比研究的一個(gè)重要特例，由此，可引出交比的幾何性質(zhì)。

173.2

點(diǎn)列的交比二、交比的性質(zhì)1.交比的組合性質(zhì)（2）不考慮復(fù)點(diǎn)及四點(diǎn)重合的情況，當(dāng)且僅當(dāng)（AB,CD）=-17（1）三角形中一個(gè)角的內(nèi)角和外角平分線和對(duì)邊的交點(diǎn)，調(diào)和分割對(duì)邊。（2）一線段被它的中點(diǎn)和這直線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)所調(diào)和分割。（詳見(jiàn)教材P·37）183.2

點(diǎn)列的交比二、交比的性質(zhì)2.交比的幾何性質(zhì)（1）三角形中一個(gè)角的內(nèi)角和外角平分線和對(duì)邊的交點(diǎn)，調(diào)和分割18193.2

點(diǎn)列的交比二、交比的性質(zhì)2.交比的幾何性質(zhì)證明定理3.6：（必要性）193.2點(diǎn)列的交比二、交比的性質(zhì)19203.2

點(diǎn)列的交比二、交比的性質(zhì)2.交比的幾何性質(zhì)證明定理3.6：（充分性）203.2點(diǎn)列的交比二、交比的性質(zhì)20例3213.2

點(diǎn)列的交比三、有關(guān)交比的例題例3213.2點(diǎn)列的交比三、有關(guān)交比的例題2122

第三章一維射影幾何學(xué)3.1點(diǎn)列和線束3.2點(diǎn)列的交比122本章教材分析3.1點(diǎn)列和線束一、一維基本圖形二、一維基本圖形示例3.2點(diǎn)列的交比一、點(diǎn)列中四點(diǎn)的交比二、交比的性質(zhì)三、有關(guān)交比的例題23本章教材分析22324第三章一維射影幾何學(xué)本章地位平面射影幾何的核心內(nèi)容之一本章內(nèi)容重點(diǎn)介紹一維射影幾何學(xué)，討論的是一維幾何圖形，即用一個(gè)獨(dú)立參數(shù)描寫(xiě)的幾何圖形（即點(diǎn)列和線束）；引進(jìn)射影不變量—交比；討論兩個(gè)基本圖形間的關(guān)系—一維射影幾何基本定理。此外，還要討論兩個(gè)特殊的一維射影對(duì)應(yīng)：透視對(duì)應(yīng)、對(duì)合對(duì)應(yīng)。本章教材分析3第三章一維射影幾何學(xué)本章地位平面射影幾何的核心內(nèi)容之一24253.1點(diǎn)列和線束一、一維基本圖形(1)點(diǎn)列(同一直線上點(diǎn)的集合)記號(hào)l(A,B,C,…)或l(P)底元素(1)'線束(平面上過(guò)同一點(diǎn)的直線的集合)記號(hào)L(a,b,c,…)或L(p)束心元素43.1點(diǎn)列和線束一、一維基本圖形(1)25（2）點(diǎn)列和線束統(tǒng)稱為一維幾何圖形（流形），它們互為對(duì)偶圖形。26（4）設(shè)有兩線l(a)、m(b)，它們確定一個(gè)交點(diǎn)L，通過(guò)L的任意一條直線u可表為：（3）取定直線l上的兩點(diǎn)A(a)、B(b)[a=b=],則l上任一點(diǎn)M（x）可表為：3.1點(diǎn)列和線束一、一維基本圖形（2）點(diǎn)列和線束統(tǒng)稱為一維幾何圖形（流形），它們互為對(duì)偶圖形26273.1點(diǎn)列和線束(5)在一維幾何基本圖形中，a,b稱為基底元素，為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，參數(shù)就用λ表示，λ=0時(shí)表示基底元素a，規(guī)定λ=∞時(shí)表示基底元素b.一、一維基本圖形63.1點(diǎn)列和線束(5)在一維幾何基本圖形中，a,b稱為27例：28二、一維基本圖形示例3.1點(diǎn)列和線束設(shè)有共線三點(diǎn)x=(-1,-1,1),y=(1,0,-2),z=(1,-2,-4),試將z表為x,y的線性組合。例：7二、一維基本圖形示例3.1點(diǎn)列和線束設(shè)有共線三點(diǎn)x28293.2

點(diǎn)列的交比一、點(diǎn)列中四點(diǎn)的交比1.概念交比—

最根本的射影不變量

定義.設(shè)A,B,C,D為點(diǎn)列l(wèi)(P)中四點(diǎn),且A

≠

B.把(AB,CD)表示為這共線四點(diǎn)構(gòu)成的一個(gè)交比.定義為(3.1)易見(jiàn)，交比是簡(jiǎn)比的比：83.2點(diǎn)列的交比一、點(diǎn)列中四點(diǎn)的交比1.概念交比—29證明思路分析：由于交比是簡(jiǎn)比的比，而簡(jiǎn)比又是分割比的相反數(shù)，可以先將這四點(diǎn)的齊次坐標(biāo)化為非齊次坐標(biāo)，再用A,B的非齊次坐標(biāo)線性表示C,D的非齊次坐標(biāo)，利用定比分割公式，易求點(diǎn)C、D分割A(yù)、B的分割比分別是：303.2

點(diǎn)列的交比一、點(diǎn)列中四點(diǎn)的交比(3.2)

定理3.1.設(shè)取A,B為基底，將這四點(diǎn)的齊次坐標(biāo)順次表為a,b,則證明思路分析：由于交比是簡(jiǎn)比的比，而簡(jiǎn)比又是分割比的相反數(shù)，30313.2

點(diǎn)列的交比

定理3.2

設(shè)點(diǎn)列l(wèi)(P)中四點(diǎn)A、B、C、D的齊次坐標(biāo)為p+μiq(i=1,2,3,4).則(3.3)一、點(diǎn)列中四點(diǎn)的交比103.2點(diǎn)列的交比定理3.2設(shè)點(diǎn)列l(wèi)(P3132

證明定理3.2.重新選擇A,B,為基點(diǎn)，參數(shù)表示C,D.設(shè)從中解出p,q,得于是，A,B,C,D的坐標(biāo)可表示為p+μ1q=r,p+μ2q=s.由定理3.1，有3.2

點(diǎn)列的交比11證明定理3.2.重新選擇A,B,為基32推論：設(shè)點(diǎn)列上四點(diǎn)A、B、C、D的齊次坐標(biāo)為333.2

點(diǎn)列的交比一、點(diǎn)列中四點(diǎn)的交比推論：設(shè)點(diǎn)列上四點(diǎn)A、B、C、D的齊次坐標(biāo)為123.233例1（習(xí)題3.4）：求四點(diǎn)(2,1,-1),(1,-1,1),(1,0,0),(1,5,-5)順這次序的交比。343.2

點(diǎn)列的交比一、點(diǎn)列中四點(diǎn)的交比解：取(2,1,-1),(1,-1,1)為基點(diǎn)，將其余兩點(diǎn)表為它們的線性組合。易求

(1,0,0)∝(2,1,-1)+(1,-1,1)，

(1,5,-5)∝(2,1,-1)-3/2(1,-1,1)，故所求交比為：例1（習(xí)題3.4）：求四點(diǎn)(2,1,-1),(1,-1,1)34例2：已知A、B分別是y軸、x軸上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，C是斜率為1的直線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，且（AB,CD）=3,求D的坐標(biāo)。353.2

點(diǎn)列的交比一、點(diǎn)列中四點(diǎn)的交比解：按題設(shè)條件，點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為：

A(0,1,0),B(1,0,0),C(1,1,0).取A、B為基底，則由(1,1,0)∝(0,1,0)+(1,0,0)得出

λ=1.設(shè)D∝A+μB，于是

3=(AB,CD)=λ/μ=1/μ得μ=1/3，故D點(diǎn)的坐標(biāo)為（1/3，1，0）或(1，3，0).例2：已知A、B分別是y軸、x軸上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，C是斜率為1的35361.交比的組合性質(zhì)顯然，共線四點(diǎn)的交比值與這四點(diǎn)在交比記號(hào)中的次序有關(guān).改變次序一般會(huì)改變交比值.因此，依次序不同，共線四點(diǎn)可以構(gòu)成4!=24個(gè)交比.下面來(lái)探討這24個(gè)交比的規(guī)律.3.2

點(diǎn)列的交比二、交比的性質(zhì)定理3.3.將某兩點(diǎn)互換，同時(shí)互換其余兩點(diǎn)，則交比不變。

定理3.4.只限于一對(duì)點(diǎn)之間的交換，則交比值轉(zhuǎn)變?yōu)槠涞箶?shù)。即151.交比的組合性質(zhì)3.2點(diǎn)列的交比二、交比的性36定理3.5.交換中間兩點(diǎn)，則交比值轉(zhuǎn)化為1與原值之差:(AC,BD)=1-(AB,CD)373.2

點(diǎn)列的交比二、交比的性質(zhì)

定理3.3—定理3.5說(shuō)明：