福建省2023屆高三上學(xué)期12月聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試題

2023屆12月高三聯(lián)合測評（福建）數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時間120分鐘。注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回。4.本卷主要考查內(nèi)容：高考范圍（除概率）。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則集合的真子集的個數(shù)為A.16 B.15 C.32 D.312.已知向量，滿足，，且，則向量，夾角的余弦值為A. B. C. D.3.在前項和為的等比數(shù)列中，，，則A.80 B.85 C.90 D.954.“”是“直線：與直線：之間的距離為2”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知雙曲線：與雙曲線：的離心率分別為，.則的最小值為A. B. C. D.6.已知函數(shù)（其中）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為A. B. C. D.7.在正三棱錐中，為的中心，已知，，則該正三棱錐的外接球的表面積為A. B. C. D.8.已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).若直線與曲線相切于不同的兩點A，B，且A，B的橫坐標分別為，則實數(shù)的值為A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)滿足，則下列說法中正確的是A.復(fù)數(shù)的模為B.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第四象限C.復(fù)數(shù)的共輒復(fù)數(shù)為D.10.已知，滿足，且，，則A. B.C. D.11.已知函數(shù)的定義域為，對于任意的實數(shù)x，y，都有.且當時，.則下列結(jié)論正確的是A.B.對于任意的，有C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.若，則不等式的解集為12.已知拋物線與拋物線在第一象限內(nèi)的交點為，若點在圓：上，則A.的取值范圍為B.當直線與圓C相切時，的值為C.的最大值為D.的最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知菱形的邊長為2，.將該菱形繞AB旋轉(zhuǎn)一周，所形成幾何體的體積為_________.14.已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則函數(shù)的解析式可以為_________.（寫出一個符合題意的函數(shù)即可）15.若函數(shù)（其中）存在最小值，則實數(shù)的取值范圍為_________.16.已知數(shù)列，若一個新數(shù)列的前項和為，則稱該數(shù)列為數(shù)列的“一階衍生數(shù)列”，記作數(shù)列；同樣的，若再有一個新數(shù)列的前項和為，則稱該數(shù)列為數(shù)列的“二階衍生數(shù)列”，記作數(shù)列；以此類推…….記為數(shù)列的“階衍生數(shù)列”中的第項.已知，則__________；設(shè)數(shù)列的前項和為，則__________.（本題第一空2分，第二空3分）四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.（本小題滿分10分）從①；②；③三個選項中，任選一個填入下列空白處，并求解.已知數(shù)列，滿足，且，，__________，求數(shù)列的前項和.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18.（本小題滿分12分）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，.（1）若，求的值；（2）求的最小值.19.（本小題滿分12分）已知等軸雙曲線：的虛軸長為.（1）求雙曲線的標準方程；（2）過雙曲線的右焦點的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，請問軸上是否存在一定點P，使得?若存在，請求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.20.（本小題滿分12分）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中點，E是AB上一點，且.將沿著DE折起，形成四棱錐，其中點A對應(yīng)的點為點P，如圖2.（1）在圖2中，在線段PB上是否存在一點F，使得平面PDE?若存在，請求出的值，并說明理由；若不存在，請說明理由；（2）在圖2中，平面PBE與平面PCD所成的銳二面角的大小為，求四棱錐的體積.21.（本小題滿分12分）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，動直線：與橢圓相切，且當時，.（1）求橢圓的標準方程；（2）作，，垂足分別為P，Q，求四邊形的面積的最大值.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.2023屆12月高三聯(lián)合測評（福建）·數(shù)學(xué)參考答案.提示及評分細則1.【答案】B【解析】易知，則其真子集的個數(shù)為.故選B.2.【答案】C【解析】設(shè)夾角為，因為，所以，解得.故選C.3.【答案】B【解析】設(shè)公比為，有，可得，得，有.故選B.4.【答案】A【解析】兩條平行線間的距離，解得或，即“”是“兩直線間距離為2”的充分不必要條件.故選A.5.【答案】D【解析】易知，，則，故，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為.故選D.6.【答案】C【解析】當時，，所以，解得，當時，，因為，所以，所以，解得，綜上，.故選C.7.【答案】A【解析】設(shè)側(cè)棱長為，且易知，則，，因為，所以，解得，所以，設(shè)球心為，則，，因為，所以，解得，所以表面積.故選A.8.【答案】D【解析】由題意可知，，同時滿足方程和方程，因為，則，所以，因為，所以，滿足方程.又，滿足方程，所以，所以，所以，即，由①式可知，所以，所以，則，，，.故選D.9.【答案】AD【解析】由，有，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為，位于第一象限，，故AD是正確的.故選AD.10.【答案】BCD【解析】由題意可知，，，因為，且，所以，即A錯誤；因為，且，所以，即B正確；因為，所以，即C正確﹔因為，所以，又，所以，即D正確.故選BCD.11.【答案】ABD【解析】取，，有，由時，，可得，可得.故A選項正確；取，有，當時，，可得，可得對于任意的，有，故B選項正確；設(shè)有，由，有，又由，可得，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C選錯誤；由，可得，不等式可化為，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，有，解得，故D選項正確.故選ABD.12.【答案】AC【解析】因為，所以，又，，所以，解得，即A正確；因為，，所以，當OP與圓相切時，，所以，所以，所以，即B錯誤；因為，令，，則，，.得，所以，即C正確，D錯誤.故選AC.13.【答案】【解析】易知該菱形AB邊上的高為，由題意可知，所形成幾何體的體積等同于底面半徑為，高為2的圓柱體的體積，所以.14.【答案】（答案不唯一）【解析】因為，所以奇函數(shù)的周期為4，所以可取，由時，，可知此時在上單調(diào)遞減.15.【答案】【解析】，若，則，單調(diào)遞減，無最小值，不符合題意；若，則，單調(diào)遞增，無最小值，不符合題意；若，令，解得，列表可知，，符合題意，即.16.【答案】17【解析】因為，，，所以，，所以；由題意可知，，且，所以，所以，又，所以，所以，即，因為，所以，所以，所以，又，所以，即，所以.17.【答案】選①，；選②，；選③，【解析】因為，，所以，又因為，所以，所以，即，選①，，所以，選②，.所以；選③，，所以，，兩式相減，可得.18.【答案】（1）（2）【解析】（1）因為，且，所以，即，由正弦定理可知，，因為，所以，即，所以，整理得，所以；（2）因為，由余弦定理可知，，因為，且，所以，當時，的最小值為.19.【答案】（1）（2）滿足題意的定點Р存在，坐標為【解析】（1）由雙曲線C的虛軸長為，有，可得，又由雙曲線C是等軸雙曲線，可得，故雙曲線C的標準方程為；（2）由（1）可知雙曲線C的右焦點F的坐標為，假設(shè)存在這樣的點P，設(shè)點P的坐標為，設(shè)直線AB的方程為，點A，B的坐標分別為，聯(lián)立方程消去后整理為，有，，若，可知直線AP和直線BP的斜率互為相反數(shù)，有，又由，可得，有，由的任意性，可得，由上知滿足題意的定點Р存在，坐標為.20.【答案】（1）當時，平面PDE.理由略（2）【解析】（1）當時，平面PDE.理由如下：過點作，垂足為H，在PE上取一點M，使得，連接HM，F(xiàn)M，因為，，所以，因為D是AC的中點，且，所以，所以，所以四邊形CFMH是平行四邊形，即，又因為平面PDE，平面PDE，所以平面PDE；（2）易知，，且，作平面，以為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，設(shè)，則，，，則，，設(shè)平面的法向量為，則取，則，，所以，易知平面的法向量，設(shè)平面PBE與平面PCD所成銳二面角為，由題意可知，，整理得，解得或（舍去）.所以，所以四棱錐的高，又四邊形的面積，所以四棱錐的體積.21.【答案】（1）（2）【解析】（1）聯(lián)立得，∴，即，∴把，代入，得，∴橢圓的標準方程為；（2）由（1）可知，.∴，由（1）知，由，可知和同號，可知，設(shè)直線的傾斜角為，則，∴，由（1）可知，代入得，∵，∴當，時，取最大值.22.【答案】（1）極大值為，極小值為0（2）【解