計(jì)算方法課件-第四章

1第4章數(shù)值積分和數(shù)值微分§4.1數(shù)值積分概論§4.2牛頓-柯特斯公式§4.3復(fù)合求積公式§4.4龍貝格求積公式§4.5自適應(yīng)積分方法§4.6高斯求積公式§4.7多重積分§4.8數(shù)值微分2§4.1數(shù)值積分概論

我們知道,若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且其原函數(shù)為F(x),則可用Newton-Leibnitz公式求得定積分求定積分的值,Newton-Leibnitz公式無論在理論上還是在解決實(shí)際問題上都起了很大作用，但它并不能完全解決定積分的計(jì)算問題，因?yàn)榉e分學(xué)涉及的實(shí)際問題極為廣泛，而且極其復(fù)雜，在實(shí)際計(jì)算中經(jīng)常遇到以下三種情況：3

(1)被積函數(shù)f(x)并不一定能夠找到用初等函數(shù)的有限形式表示的原函數(shù)F(x)，例如：

Newton-Leibnitz公式就無能為力了。無法用初等函數(shù)表示4(2)還有被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表示，但表達(dá)式太復(fù)雜，例如函數(shù)并不復(fù)雜，但積分后其表達(dá)式卻很復(fù)雜，積分后其原函數(shù)F(x)為：表達(dá)式太復(fù)雜5(3)被積函數(shù)f(x)沒有具體的解析表達(dá)式,其函數(shù)關(guān)系由表格或圖形表示。

無解析表達(dá)式6對(duì)于這些情況,要計(jì)算積分的準(zhǔn)確值都是十分困難的。由此可見,通過原函數(shù)來計(jì)算積分有它的局限性,因而研究一種新的積分方法來解決Newton-Leibniz公式所不能或很難解決的積分問題,這時(shí)需要用數(shù)值解法來建立積分的近似計(jì)算方法。

數(shù)值積分將積分區(qū)間細(xì)分,在每一個(gè)小區(qū)間內(nèi)用簡(jiǎn)單函數(shù)代替復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行積分，這就是數(shù)值積分的思想，用代數(shù)插值多項(xiàng)式去代替被積函數(shù)f(x)進(jìn)行積分是本章討論數(shù)值積分的主要內(nèi)容。

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數(shù)值微分同樣對(duì)于函數(shù)f(x)的求導(dǎo)問題，因?yàn)樵谖⒎謱W(xué)中，函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)是通過極限定義的。若函數(shù)是以表格形式給出，或函數(shù)的表達(dá)式過于復(fù)雜時(shí)，也需要研究其數(shù)值計(jì)算方法。這是本章介紹的另一個(gè)內(nèi)容—數(shù)值微分。8

數(shù)值積分的基本思想

積分值在幾何上可以解釋為由x=a,x=b,y=0以及y=f(x)這四條邊所圍成的曲邊梯形面積。如圖1所示，而這個(gè)面積之所以難于計(jì)算是因?yàn)樗幸粭l曲邊y=f(x)。建立數(shù)值積分公式的途徑比較多,其中最常用的有兩種：圖1數(shù)值積分的幾何意義

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（1）由積分中值定理可知，對(duì)于連續(xù)函數(shù)f(x)，在積分區(qū)間[a,b]內(nèi)存在一點(diǎn)，使得即所求的曲邊梯形的面積恰好等于底為(b-a)，高為的矩形面積。但是點(diǎn)的具體位置一般是未知的,因而的值也是未知的,稱為f(x)在區(qū)間[a,b]上的平均高度。那么只要對(duì)平均高度提供一種算法，相應(yīng)地就獲得一種數(shù)值求積方法?；诜e分中值定理10中矩形公式按照這種思想，可構(gòu)造出一些求積分值的近似公式。取,得到中矩形公式①中矩形公式y(tǒng)=f(x)ab中矩形公式把[a,b]

的中點(diǎn)處函數(shù)值作為平均高度f()的近似值而獲得的一種數(shù)值積分方法。圖2中矩形公式11梯形公式取,則得到梯形公式②梯形公式xaby=f(x)ab梯形公式是把f(a),f(b)的加權(quán)平均值作為平均高度f()的近似值而獲得的一種數(shù)值積分方法。圖3梯形公式12y③Simpson公式by=f(x)a(a+b)/2a(a+b)/2Simpson公式Simpson公式是以函數(shù)f(x)在a,b,(a+b)/2這三點(diǎn)的函數(shù)值f(a),f(b),的加權(quán)平均值作為平均高度f()的近似值而獲得的一種數(shù)值積分方法。圖4Simpson公式13（2）先用某個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)近似逼近f(x),用代替原被積函數(shù)f(x)，即

基于逼近思想以此構(gòu)造數(shù)值算法。14多項(xiàng)式逼近從數(shù)值計(jì)算的角度考慮,函數(shù)應(yīng)對(duì)f(x)有充分的逼近程度,并且容易計(jì)算其積分。由于多項(xiàng)式能很好地逼近連續(xù)函數(shù),且又容易計(jì)算積分,因此將選取為插值多項(xiàng)式,這樣f(x)的積分就可以用其插值多項(xiàng)式的積分來近似代替。15設(shè)已知f(x)在節(jié)點(diǎn)有函數(shù)值,作n次拉格朗日插值多項(xiàng)式式中這里插值求積公式16其中

稱為求積系數(shù)。插值求積公式多項(xiàng)式P(x)易于求積,所以可取作為的近似值，即17定義1求積公式其系數(shù)時(shí)，則稱求積公式為插值求積公式。插值求積公式18設(shè)插值求積公式的余項(xiàng)為,由插值余項(xiàng)定理得其中

當(dāng)f(x)是次數(shù)不高于n的多項(xiàng)式時(shí)，有,求積公式才能成為準(zhǔn)確的等式。插值求積公式19§4.2牛頓-柯特斯公式

在插值求積公式中,當(dāng)所取節(jié)點(diǎn)是等距時(shí)稱為牛頓-柯特斯公式其中插值多項(xiàng)式求積系數(shù)這里是插值基函數(shù)。即有20將積分區(qū)間[a,b]

劃分為n等分,步長(zhǎng)求積節(jié)點(diǎn)為為了計(jì)算系數(shù)Ak,由于,所以區(qū)間n等分21求積系數(shù)作變量代換當(dāng)時(shí),有,于是可得

22

(k=0,1…,n)

代入插值求積公式,有

稱為牛頓-柯特斯求積公式,Ck

稱為柯特斯系數(shù)。引進(jìn)記號(hào)

(k=0,1…,n)

則柯特斯系數(shù)23容易驗(yàn)證

∵

∴

柯特斯系數(shù)性質(zhì)24顯然,Ck是不依賴于積分區(qū)間[a,b]以及被積函數(shù)f(x)的常數(shù),只要給出n,就可以算出柯特斯系數(shù)。當(dāng)n=1時(shí)低階柯特斯系數(shù)當(dāng)n=2時(shí)

25表1給出了n從1～8的柯特斯系數(shù)。

當(dāng)n=8時(shí)，從表中可以看出出現(xiàn)了負(fù)系數(shù)，從而影響穩(wěn)定性和收斂性，因此實(shí)用的只是低階公式?？绿厮瓜禂?shù)26

表1柯特斯系數(shù)表27梯形公式

在牛頓-柯特斯求積公式中n=1,2,4時(shí)，就分別得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。(1)

梯形公式當(dāng)n=1時(shí)，牛頓-柯特斯公式就是梯形公式定理

（梯形公式的誤差）設(shè)f(x)在[a,b]上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則梯形公式的誤差（余項(xiàng)）為28證:由插值型求積公式的余項(xiàng)其中可知梯形公式的誤差為

由于(x-a)(x-b)在[a,b]中不變號(hào),在[a,b]上連續(xù),根據(jù)高等數(shù)學(xué)中的積分中值定理,在[a,b]上存在一點(diǎn)η，使因此

梯形公式2329（2）辛卜生公式當(dāng)n=2時(shí)，牛頓-柯特斯公式就是辛卜生公式（或稱拋物線公式）定理（辛卜生公式的誤差）設(shè)在[a,b]上具有連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù)，則辛卜生求積公式的誤差為定理證明從略。

辛卜生公式30（3）柯特斯公式當(dāng)n=4時(shí)，牛頓-柯特斯公式為

定理（柯特斯公式的誤差）設(shè)在[a,b]上具有連續(xù)的6階導(dǎo)數(shù)，則柯特斯求積公式的誤差為

定理的證明從略。

柯特斯公式31例1分別用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式計(jì)算定積分的近似值(計(jì)算結(jié)果取5位有效數(shù)字)(1)用梯形公式計(jì)算(2)用辛卜生公式例題32(3)用柯特斯公式計(jì)算，系數(shù)為

積分的準(zhǔn)確值為

可見，三個(gè)求積公式的精度逐漸提高。

例題33例2用辛卜生公式和柯特斯公式計(jì)算定積分的近似值,并估計(jì)其誤差(計(jì)算結(jié)果取5位小數(shù))解:辛卜生公式由于由辛卜生公式余項(xiàng)例題34柯特斯公式

知其誤差為例題知其誤差為

35

該定積分的準(zhǔn)確值,這個(gè)例子告訴我們，對(duì)于同一個(gè)積分，當(dāng)n≥2時(shí)，公式卻是精確的，這是由于辛卜生公式具有三次代數(shù)精度，柯特斯公式具有五次代數(shù)精度，它們對(duì)被積函數(shù)為三次多項(xiàng)式當(dāng)然是精確成立的。例題36§4.3復(fù)合求積公式由梯形、辛卜生和柯特斯求積公式余項(xiàng)可知，隨著求積節(jié)點(diǎn)數(shù)的增多，對(duì)應(yīng)公式的精度也會(huì)相應(yīng)提高。但由于n≥8時(shí)的牛頓-柯特斯求積公式開始出現(xiàn)負(fù)值的柯特斯系數(shù)。根據(jù)誤差理論的分析研究，當(dāng)積分公式出現(xiàn)負(fù)系數(shù)時(shí)，可能導(dǎo)致舍入誤差增大，并且往往難以估計(jì)。因此不能用增加求積節(jié)點(diǎn)數(shù)的方法來提高計(jì)算精度。37復(fù)合求積公式在實(shí)際應(yīng)用中，通常將積分區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上采用低階求積公式，然后把所有小區(qū)間上的計(jì)算結(jié)果加起來得到整個(gè)區(qū)間上的求積公式，這就是復(fù)合求積公式的基本思想。常用的復(fù)合求積公式有復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛卜生公式。

381復(fù)合梯形公式及其誤差將積分區(qū)間[a,b]劃分為n等分,步長(zhǎng)求積節(jié)點(diǎn)為在每個(gè)小區(qū)間上應(yīng)用梯形公式

求出積分值Ik,然后將它們累加求和,用作為所求積分I的近似值。復(fù)合梯形公式及其誤差39記

上式稱為復(fù)合梯形公式。復(fù)合梯形公式及其誤差40當(dāng)f(x)在[a,b]上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),在子區(qū)間上梯形公式的余項(xiàng)已知為復(fù)合梯形公式及其誤差在[a,b]上的余項(xiàng)41設(shè)在[a,b]上連續(xù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的中值定理知，存在，使

因此,余項(xiàng)

復(fù)合梯形公式及其誤差422

復(fù)合辛卜生公式及其誤差將積分區(qū)間[a,b]劃分為n等分,記子區(qū)間

的中點(diǎn)為在每個(gè)小區(qū)間上應(yīng)用辛卜生公式，則有復(fù)合辛卜生公式及其誤差43記

稱為復(fù)合辛卜生公式復(fù)合辛卜生公式及其誤差

類似于復(fù)合梯形公式余項(xiàng)的討論，復(fù)合辛卜生公式

的求積余項(xiàng)為

44如果把每個(gè)子區(qū)間四等分,內(nèi)分點(diǎn)依次記同理可得復(fù)合柯特斯公式求積余項(xiàng)為

復(fù)合柯特斯公式及其誤差45復(fù)合求積公式的余項(xiàng)表明，只要被積函數(shù)發(fā)f(x)所涉及的各階導(dǎo)數(shù)在[a,b]上連續(xù)，那么復(fù)合梯形公式、復(fù)合辛卜生公式與復(fù)合柯特斯公式所得近似值的余項(xiàng)和步長(zhǎng)的關(guān)系依次為。因此當(dāng)h→0(即n→∞)時(shí),都收斂于積分真值，且收斂速度一個(gè)比一個(gè)快。復(fù)合辛卜生公式及其誤差46例3依次用n=8的復(fù)合梯形公式、n=4的復(fù)合辛卜生公式計(jì)算定積分解:首先計(jì)算出所需各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值,n=8時(shí)，

由復(fù)合梯形公式可得如下計(jì)算公式：例題47由復(fù)合辛卜生公式可得如下計(jì)算公式（積分準(zhǔn)確值I=0.9460831）

這兩種方法都需要提供9個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，計(jì)算量基本相同，然而精度卻差別較大，同積分的準(zhǔn)確值（是指每一位數(shù)字都是有效數(shù)字的積分值）比較，復(fù)合梯形法只有兩位有效數(shù)字(T8=0.9456909),而復(fù)合辛卜生法卻有六位有效數(shù)字。例題48例4用復(fù)合梯形公式計(jì)算定積分,問區(qū)間才能使誤差不超過解:取,則,又區(qū)間長(zhǎng)度b-a=1，對(duì)復(fù)合梯形公式有余項(xiàng)即,n≥212.85，取n=213，即將區(qū)間[0,1]分為213等份時(shí)，用復(fù)合梯形公式計(jì)算誤差不超過。[0,1]應(yīng)分多少等份例題49§4.4龍貝格求積公式

復(fù)合求積方法對(duì)于提高計(jì)算精度是行之有效的方法，但復(fù)合公式的一個(gè)主要缺點(diǎn)在于要先估計(jì)出步長(zhǎng)。若步長(zhǎng)太大，則難以保證計(jì)算精度，若步長(zhǎng)太小，則計(jì)算量太大，并且積累誤差也會(huì)增大。在實(shí)際計(jì)算中通常采用變步長(zhǎng)的方法，即把步長(zhǎng)逐次分半，直至達(dá)到某種精度為止。50變步長(zhǎng)的梯形公式1變步長(zhǎng)的梯形公式變步長(zhǎng)復(fù)合求積法的基本思想是在求積過程中，通過對(duì)計(jì)算結(jié)果精度的不斷估計(jì)，逐步改變步長(zhǎng)（逐次分半），直至滿足精度要求為止。即按照給定的精度實(shí)現(xiàn)步長(zhǎng)的自動(dòng)選取。

51變步長(zhǎng)的梯形公式設(shè)將積分區(qū)間[a,b]n等分，即分成n個(gè)子區(qū)間，一共有n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，即x=a+kh,k=0,1,…，n，步長(zhǎng)。對(duì)于某個(gè)子區(qū)間,利用梯形公式計(jì)算積分近似值有

對(duì)整個(gè)區(qū)間[a,b]有52變步長(zhǎng)的梯形公式將子區(qū)間再二等份,取其中點(diǎn)作新節(jié)點(diǎn),此時(shí)區(qū)間數(shù)增加了一倍為2n,對(duì)某個(gè)子區(qū)間,利用復(fù)合梯形公式計(jì)算其積分近似值。對(duì)整個(gè)區(qū)間[a,b]有53比較和有變步長(zhǎng)的梯形公式當(dāng)把積分區(qū)間分成n等份，用復(fù)合梯形公式計(jì)算積分I的近似值時(shí)，截?cái)嗾`差為

若把區(qū)間再分半為2n等份，計(jì)算出定積分的近似值

，則截?cái)嗾`差為54

當(dāng)在區(qū)間[a,b]上變化不大時(shí),有所以變步長(zhǎng)的梯形公式

可見,當(dāng)步長(zhǎng)二分后誤差將減至,將上式移項(xiàng)整理，可得事后誤差估計(jì)式上式說明，只要二等份前后兩個(gè)積分值和相當(dāng)接近，就可以保證計(jì)算結(jié)果的誤差很小，使接近于積分值I。55例5用變步長(zhǎng)梯形求積法計(jì)算定積分解:先對(duì)整個(gè)區(qū)間0,1用梯形公式,對(duì)于

所以有然后將區(qū)間二等份,由于,故有

進(jìn)一步二分求積區(qū)間,并計(jì)算新分點(diǎn)上的函數(shù)值

例題56有

這樣不斷二分下去。積分的準(zhǔn)確值為0.9460831。xif(xi)011/80.99739782/80.98961583/80.97672674/80.95885105/80.93615566/80.90885167/80.877192510.8414709例題572龍貝格求積公式

變步長(zhǎng)梯形求積法算法簡(jiǎn)單，但精度較差，收斂速度較慢，但可以利用梯形法算法簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)，形成一個(gè)新算法，這就是龍貝格求積公式。龍貝格公式又稱逐次分半加速法。根據(jù)積分區(qū)間分成n等份和2n等份時(shí)的誤差估計(jì)式，可得龍貝格求積公式58龍貝格求積公式由于積分值的誤差大致等于,如果用對(duì)進(jìn)行修正時(shí)，與之和比更接近積分真值,所以可以將看成是對(duì)誤差的一種補(bǔ)償,因此可得到具有更好效果的式子。59考察與n等份辛卜生公式之間的關(guān)系。將復(fù)合梯形公式

梯形變步長(zhǎng)公式龍貝格求積公式代入60故龍貝格求積公式這就是說，用梯形法二分前后兩個(gè)積分值和作線性組合，結(jié)果卻得到復(fù)合辛卜生公式計(jì)算得到的積分值。61再考察辛卜生法。其截?cái)嗾`差與成正比，因此，如果將步長(zhǎng)折半，則誤差減至，即有

由此可得

可以驗(yàn)證,上式右端的值其實(shí)等于Cn，就是說，用辛卜生公式二等份前后的兩個(gè)積分值Sn和S2n

作線性組合后，可得到柯特斯公式求得的積分值Cn，即有龍貝格求積公式62用同樣的方法，根據(jù)柯特斯公式的誤差公式，可進(jìn)一步導(dǎo)出龍貝格公式

龍貝格求積公式63在變步長(zhǎng)的過程中運(yùn)用龍貝格求積公式就能將粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度較高的辛卜生值Sn、柯特斯值Cn和龍貝格值Rn。64龍貝格求積公式或者說，將收斂緩慢的梯形值序列Tn加工成收斂迅速的龍貝格值序列Rn，這種加速方法稱為龍貝格算法（龍貝格公式）。65例6用龍貝格算法計(jì)算定積分要求相鄰兩次龍貝格值的偏差不超過例題解:由題意

66例題67例題68例題69由于，于是有

例題70（1）龍貝格求積法計(jì)算步驟用梯形公式計(jì)算積分近似值按變步長(zhǎng)梯形公式計(jì)算積分近似值將區(qū)間逐次分半,令區(qū)間長(zhǎng)度

計(jì)算龍貝格求積算法實(shí)現(xiàn)3龍貝格求積算法實(shí)現(xiàn)71③按加速公式求加速值梯形加速公式：龍貝格求積算法實(shí)現(xiàn)龍貝格求積公式：辛卜生加速公式：

72龍貝格求積算法實(shí)現(xiàn)④精度控制；直到相鄰兩次積分值

（其中ε為允許的誤差限）則終止計(jì)算并取Rn作為積分的近似值，否則將區(qū)間再對(duì)分，重復(fù)②，③，④的計(jì)算，直到滿足精度要求為止。73§4.5自適應(yīng)積分方法

略74§4.6高斯求積公式1求積公式代數(shù)精度

定義（代數(shù)精度）設(shè)求積公式對(duì)于一切次數(shù)小于等于m的多項(xiàng)式或是準(zhǔn)確的，而對(duì)于次數(shù)為m+1的多項(xiàng)式是不準(zhǔn)確的，則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度。75代數(shù)精度由定義可知，若求積公式的代數(shù)精度為n，則求積系數(shù)應(yīng)滿足線性方程組：76這是關(guān)于的線性方程組，其系數(shù)矩陣是梵得蒙矩陣,當(dāng)互異時(shí)非奇異,故有唯一解。代數(shù)精度77定理n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式為插值型求積公式的充要條件是公式至少具有n次代數(shù)精度。插值型求積公式78證:充分性設(shè)n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式為插值型求積公式,求積系數(shù)為又

當(dāng)f(x)為不高于n次的多項(xiàng)式時(shí),f(x)=P(x),其余項(xiàng)R(f)=0。因而這時(shí)求積公式至少具有n次代數(shù)精度。插值型求積公式79必要性若求積公式至少具有n次代數(shù)精度,則對(duì)n次多項(xiàng)式精確成立,即而取時(shí)所以有,即求積公式為插值型求積公式插值型求積公式80例7

設(shè)積分區(qū)間[a,b]為[0,2]，取時(shí),

分別用梯形和辛卜生公式

計(jì)算其積分結(jié)果并與準(zhǔn)確值進(jìn)行比較例題81解:梯形公式和辛卜生的計(jì)算結(jié)果與準(zhǔn)確值比較如下表所示例題

f(x)1xx2x3x4ex

準(zhǔn)確值222.6746.406.389

梯形公式計(jì)算值2248168.389

辛卜生公式計(jì)算值222.6746.676.42182從表中可以看出,當(dāng)f(x)是時(shí),辛卜生公式比梯形公式更精確。

一般說來，代數(shù)精度越高，求積公式越精確。梯形公式和中矩形公式具有1次代數(shù)精度，辛卜生公式有3次代數(shù)精度。下面以梯形公式為例進(jìn)行驗(yàn)證例題83取f(x)=1時(shí)，

兩端相等取f(x)=x時(shí),取f(x)=x2時(shí),兩端不相等所以梯形公式只有1次代數(shù)精度。兩端相等例題84例8試確定一個(gè)至少具有2次代數(shù)精度的公式

例題85解:要使公式具有2次代數(shù)精度,則對(duì)f(x)=1,x,x2

求積公式準(zhǔn)確成立，即得如下方程組。

解之得，所求公式為：例題86例9試確定求積系數(shù)A,B,C使具有最高的代數(shù)精度。例題87解:分別取f(x)=1,x,x2

使求積公式準(zhǔn)確成立,即得如下方程組所得求積公式為：對(duì)于f(x)=1,x,x2,x3都準(zhǔn)確成立,對(duì)于f(x)=x4

就不準(zhǔn)確了，所以此求積公式3次代數(shù)精度。例題88由于n+1節(jié)點(diǎn)的插值求積公式至少有n次代數(shù)精度，所以構(gòu)造求積公式后應(yīng)該驗(yàn)算所構(gòu)造求積公式的代數(shù)精度。例如插值求積公式

有三個(gè)節(jié)點(diǎn)至少有2次代數(shù)精度，是否有3次代數(shù)精度呢？將f(x)=x3代入公式兩端，左端和右端都等于(b4-a4)/4,公式兩端嚴(yán)格相等，再將f(x)=x4代入公式兩端，兩端不相等，所以該求積公式具有3次代數(shù)精度。驗(yàn)算求積公式的代數(shù)精度89

的代數(shù)精度。例10考察求積公式例題90解：可以驗(yàn)證,對(duì)于f(x)=1,x時(shí)公式兩端相等,再將f(x)=x2代入公式左端兩端不相等,所以該求積公式具有1次代數(shù)精度.三個(gè)節(jié)點(diǎn)卻不具有2次代數(shù)精度，因?yàn)椴皇遣逯敌偷?。右端例題91例11給定求積公式如下：

試證此求積公式是插值型的求積公式。例題92證:設(shè),則以這三點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的

Lagrange插值基函數(shù)為例題93例題94由插值型求積公式的定義知，所給的求積公式是插值型求積公式。插值型求積公式為例題95

例12求證不是插值型的。例題96例題證：設(shè)

x0=-1,x1=0,x2=1,

A0=1/2,A1=1,A2=1/2

則以這三點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)為97例題積分，得98例題∴插值型求積系數(shù)為與原求積公式系數(shù)不一致（原求積公式系數(shù)若與原求積系數(shù)一致，則是插值型的）∴原公式不是插值型的。證畢。99例13給定求積公式試確定求積系數(shù)A-1,A0,A1,使其有盡可能高的代數(shù)精度，并指出其代數(shù)精度。例題100解：令求積公式對(duì)f(x)=1,x,x2準(zhǔn)確成立，則有例題解之得101其代數(shù)精度至少為2,將f(x)=x3代入求積公式兩端相等,而將將f(x)=x4代入求積公式兩端不相等,所以其代數(shù)精度為3次。例題102例14確定求積公式使其具有盡可能高的代數(shù)精度。例題103解：不妨設(shè)a=0,b=h,b-a=h,設(shè)所求公式的代數(shù)精度為2,則當(dāng)f(x)=1,x,x2時(shí)公式變成等式,即例題解之得：其中h=b-a,令f(x)=x3代入上式,兩端不等,說明求積公式只有2次代數(shù)精度。104構(gòu)造插值求積公式有如下特點(diǎn)：復(fù)雜函數(shù)f(x)的積分轉(zhuǎn)化為計(jì)算多項(xiàng)式的積分求積系數(shù)Ak只與積分區(qū)間及節(jié)點(diǎn)xk有關(guān)，而與被積函數(shù)f(x)無關(guān)，可以不管f(x)如何，預(yù)先算出Ak的值

n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值求積公式至少具有n次代數(shù)精度求積系數(shù)之和可用此檢驗(yàn)計(jì)算求積系數(shù)的正確性

插值求積公式的特點(diǎn)105例15求證當(dāng)節(jié)點(diǎn)為n+1個(gè)時(shí),插值求積系數(shù)之和為例題106

例題證：當(dāng)節(jié)點(diǎn)為n+1個(gè)時(shí)，插值求積公式有n次代數(shù)精度，對(duì)于

，上式嚴(yán)格相等，所以取f(x)=1時(shí)，上式也嚴(yán)格相等，因此有即107

(1)在積分區(qū)間[a,b]上選取節(jié)點(diǎn)xk(2)求出f(xk)及利用或解關(guān)于Ak的線性方程組求出Ak，這樣就得到了(3)利用f(x)=xn,…驗(yàn)算代數(shù)精度

構(gòu)造插值求積公式的步驟構(gòu)造插值求積公式的步驟1082高斯求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用在構(gòu)造形如

的兩點(diǎn)公式時(shí),如果限定求積節(jié)點(diǎn),那么所得插值求積公式高斯求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用的代數(shù)精度僅為1。109高斯求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用但是,如果對(duì)式中的系數(shù)和節(jié)點(diǎn)都不加限制，那么就可適當(dāng)選取和,使所得公式的代數(shù)精度。事實(shí)上，若要使求積公式對(duì)函數(shù)都準(zhǔn)確成立，只要和滿足方程組110高斯求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用這個(gè)例子告訴我們，只要適當(dāng)選擇求積節(jié)點(diǎn)，可使插值型求積公式的代數(shù)精度達(dá)到最高。這就是本節(jié)要介紹的高斯求積公式。可以驗(yàn)證，所得公式是具有3次代數(shù)精度的插值型求積公式。代入即得

解之得

111定義：若一組節(jié)點(diǎn)x0…xn

∈[a,b],是使插值型求積公式具有2n+1次代數(shù)精度。這樣的節(jié)點(diǎn)稱為Gauss點(diǎn)，Ak稱為Gauss系數(shù)，求積公式稱為Gauss型求積公式。高斯求積公式的定義112節(jié)點(diǎn)x0…xn

以及系數(shù)A0…An

都作為待定系數(shù)。是上的權(quán)函數(shù)。當(dāng)有限，時(shí)即為普通積分。高斯求積公式的定義113

可以證明，n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的高斯求積公式具有最高不超過2n+1次的代數(shù)精度，這就是我們所要討論的具有最高代數(shù)精度的插值型求積公式。高斯求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用要使求積公式具有2n+1

次代數(shù)精度，令f(x)=1,x,x2,…,x2n+1

代入求積公式精確成立，解出xk和

Ak.114高斯求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用像構(gòu)造兩點(diǎn)高斯求積公式一樣,對(duì)于插值型求積公式分別取用待定系數(shù)法來確定參數(shù)xk和從而構(gòu)造n+1個(gè)點(diǎn)高斯求積公式。但是，這種做法要解一個(gè)包含2n+2個(gè)未知數(shù)的非線性方程組，其計(jì)算工作量是相當(dāng)大的。一個(gè)較簡(jiǎn)單的方法是：115先利用區(qū)間a,b上的n+1次正交多項(xiàng)式確定高斯點(diǎn)

(2)然后利用高斯點(diǎn)確定求積系數(shù)正交多項(xiàng)式與高斯點(diǎn)求積系數(shù)可由Gauss點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)的n次插值基函數(shù)確定顯然，Gauss點(diǎn)的設(shè)置成為構(gòu)造Gauss求積公式的關(guān)鍵。116待定系數(shù)法（1）待定系數(shù)法設(shè)被積函數(shù)f（x）是任一2n＋1次代數(shù)多項(xiàng)式則Gauss型求積公式精確成立，即于是117待定系數(shù)法注意到的任意性，則得方程組即118例題例16求Gauss型求積公式的節(jié)點(diǎn)及系數(shù)。119例題解這里二個(gè)節(jié)點(diǎn)和二個(gè)系數(shù)待定，故以上求積公式具有最高3次代數(shù)精度。因此對(duì)于上式精確成立，從而得到關(guān)于和的方程組120例題解出節(jié)點(diǎn)及系數(shù)所以求積公式為121最高代數(shù)精度有而對(duì)任意的求積系數(shù)證明：對(duì)任意選擇的n＋1個(gè)節(jié)點(diǎn)可構(gòu)造2n+2次代數(shù)多項(xiàng)式定理Gauss型求積公式是具有最高代數(shù)精度的求積公式122最高代數(shù)精度可見插值求積公式不精確成立。123正交多項(xiàng)式（2）利用正交多項(xiàng)式確定求積節(jié)點(diǎn)及系數(shù)

則稱多項(xiàng)式序列{Sn(x)}為在[a,b]上帶權(quán)w(x)的正交，稱Sn(x)為[a,b]上帶權(quán)w(x)的n次正交多項(xiàng)式.

定義

設(shè)Sn(x)是[a,b]上首項(xiàng)系數(shù)an≠0的n次多項(xiàng)式，w(x)為[a,b]上權(quán)函數(shù)，如果多項(xiàng)式序列{Sn(x)}滿足關(guān)系式124正交多項(xiàng)式

正交多項(xiàng)式可由下面的遞推公式生成，即式中125勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式

當(dāng)區(qū)間[-1,1],權(quán)函數(shù)w(x)≡1時(shí),由{1,x,…,xn,…}正交化得到的多項(xiàng)式就稱為勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式,并用P0(x),P1(x),…,Pn(x),…表示.這是勒讓德于1785年引進(jìn)的.1814年羅德利克(Rodrigul)給出了簡(jiǎn)單的表達(dá)式為遞推關(guān)系126勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式由P0(x)=1,P1(x)=x，利用遞推關(guān)系就可推出127第一類切比雪夫多項(xiàng)式區(qū)間為[-1,1]時(shí),取權(quán)函數(shù)由序列{1,x,…,xn,…}正交化得到的多項(xiàng)式就是切比雪夫多項(xiàng)式，它可表示為若令x=cos，則Tn(x)=cosn，0≤≤π.

Tn(x)=cos(narccosx),

|x|

≤1.

128第一類切比雪夫多項(xiàng)式遞推關(guān)系可以推出于是得Tn(x)的首項(xiàng)系數(shù)為

an=2n-1(n1).129第一類切比雪夫多項(xiàng)式切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)和極值點(diǎn)

切比雪夫多項(xiàng)式Tn(x)在區(qū)間[-1,1]上有n個(gè)零點(diǎn).和n+1個(gè)極值點(diǎn)(包括端點(diǎn)).這兩組點(diǎn)稱為切比雪夫點(diǎn)。130第二類切比雪夫多項(xiàng)式區(qū)間為[-1,1]時(shí),取權(quán)函數(shù)由序列{1,x,…,xn,…}正交化得到的多項(xiàng)式就稱為第二類切比雪夫多項(xiàng)式，其表達(dá)式為遞推關(guān)系131拉蓋爾多項(xiàng)式區(qū)間為[0,+∞)時(shí),取權(quán)函數(shù)由序列{1,x,…,xn,…}正交化得到的多項(xiàng)式就稱為拉蓋爾(Laguerre)多項(xiàng)式，其表達(dá)式為遞推關(guān)系132埃爾米特多項(xiàng)式區(qū)間為(-∞,+∞)時(shí),取權(quán)函數(shù)由序列{1,x,…,xn,…}正交化得到的多項(xiàng)式就稱為埃爾米特(Hermite)多項(xiàng)式，其表達(dá)式為遞推關(guān)系133定理求積公式的節(jié)點(diǎn)為Gauss點(diǎn)的充要條件是這些節(jié)點(diǎn)為上帶權(quán)w(x)的n＋1次正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)。Gauss點(diǎn)的充要條件134證明必要性。設(shè)是Gauss點(diǎn)，于是求積公式具有2n＋1次代數(shù)精度。若記則對(duì)任何不高于n次的有于是是上帶權(quán)正交多項(xiàng)式，Gauss點(diǎn)是正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)。Gauss點(diǎn)的充要條件多項(xiàng)式135又設(shè)f(x)是任意的不高于2n＋1次的多項(xiàng)式，用充分性設(shè)是上帶權(quán)的n＋1次正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)，則去除f(x)，其商式記為余式記為于是Gauss點(diǎn)的充要條件136Gauss點(diǎn)的充要條件顯然均為不高于n次的多項(xiàng)式。對(duì)上式的兩邊作上帶權(quán)的積分，即由的正交性得知等式右端第一項(xiàng)積分為零，故有137Gauss點(diǎn)的充要條件

若令其中是關(guān)于零點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)的n＋1次插值基函數(shù)。由于是不高于n次的多項(xiàng)式，根據(jù)Lagrange插值公式，有等式于是求積公式138Gauss點(diǎn)的充要條件精確成立。又因所以139為節(jié)點(diǎn)作被積函數(shù)的Hermite插值多項(xiàng)式以n＋1個(gè)Gauss點(diǎn)Gauss型求積公式的截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差140截?cái)嗾`差141截?cái)嗾`差于是，Gauss型求積公式的截?cái)嗾`差為可以證明，當(dāng)時(shí)，即Gauss型求積公式收斂于連續(xù)函數(shù)的積分。142常用的Gauss型求積公式（1）高斯-勒讓德（Gauss-Legendre）公式積分區(qū)間權(quán)函數(shù)

相應(yīng)的正交多項(xiàng)式為L(zhǎng)egendre多項(xiàng)式。求積系數(shù)143高斯-勒讓德求積公式截?cái)嗾`差

144中矩形公式n＝0時(shí)，節(jié)點(diǎn)x0是一次正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)，即求積系數(shù)求積公式這就是中矩形公式，其截?cái)嗾`差為可知該求積公式具有1次代數(shù)精度。145兩點(diǎn)高斯-勒讓德公式n＝1時(shí)，節(jié)點(diǎn)是二次正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)，求積系數(shù)即146兩點(diǎn)高斯-勒讓德公式113求積公式稱為兩點(diǎn)Gauss－Legendre公式，其截?cái)嗾`差為因此該求積公式具有3次代數(shù)精度。147三點(diǎn)高斯-勒讓德公式n＝2時(shí)，得到三點(diǎn)Gauss－Legendre公式它具有2n＋1＝5次代數(shù)精度。148一般區(qū)間的高斯-勒讓德公式對(duì)于一般區(qū)間[a,b]上的積分，總能通過積分變量的代換化為[-1,1]上的積分，即從而能夠應(yīng)用Gauss－Legendre公式。149nxkAk00.00000002.00000001±0.57735031.00000002±0.77459670.00000000.55555560.88888893±0.8611363±0.33998100.34785480.65214524±0.9061798±0.53846930.00000000.23692690.47862870.5688889高斯-勒讓德求積公式的節(jié)點(diǎn)和系數(shù)150例題例17應(yīng)用Gauss-Legendre公式計(jì)算積分解先作變量代換化積分區(qū)間[0,]為[-1,1]，令則精確值為-12.0703463151例題應(yīng)用兩點(diǎn)Gauss－Legendre公式，得應(yīng)用五點(diǎn)Gauss－Legendre公式的計(jì)算結(jié)果為152例18利用三點(diǎn)高斯-勒讓德求積公式計(jì)算的近似值。精確值為2.399529

解:由表可知，得到三點(diǎn)高斯型求積公式為由所求公式得例題153常用的Gauss型求積公式（2）高斯-切比雪夫公式積分區(qū)間權(quán)函數(shù)

相應(yīng)的正交多項(xiàng)式為第一類切比雪夫多項(xiàng)式。求積系數(shù)Tn(x)在區(qū)間[-1,1]上有n個(gè)零點(diǎn)154例19利用兩點(diǎn)高斯-切比雪夫求積公式計(jì)算的近似值。精確值為解:兩點(diǎn)高斯-切比雪夫求積公式的零點(diǎn)為例題求積系數(shù)為155常用的Gauss型求積公式（3）高斯-拉蓋爾公式積分區(qū)間權(quán)函數(shù)

相應(yīng)的正交多項(xiàng)式為拉蓋爾多項(xiàng)式。求積系數(shù)156nxkAk01.1.10.58578643763.0.0.146446609420.2.29428036036.28994508290.71109300990.27851773360.30.32254768961.74576110124.53662029699.39507091230.60315410430.35741869240.0.高斯-拉蓋爾求積公式的節(jié)點(diǎn)和系數(shù)157例20利用三點(diǎn)高斯-拉蓋爾求積公式計(jì)算的近似值。準(zhǔn)確值為0.00980757解:由表可知，得到三點(diǎn)高斯-拉蓋爾求積公式為例題158例題由所求公式得159常用的Gauss型求積公式（4）高斯-埃爾米特公式積分區(qū)間權(quán)函數(shù)

相應(yīng)的正交多項(xiàng)式為埃爾米特多項(xiàng)式。求積系數(shù)160nxkAk00.0000000001.77245385091±0.70710678120.2±1.22474487140.00000000.29540897521.1816359006

3±1.6506801239±0.52464762330.0.4±2.±0.95857246460.0000000000.0.39361932320.9453087205高斯-埃爾米特求積公式的節(jié)點(diǎn)和系數(shù)161例21計(jì)算積分。準(zhǔn)確值為解:運(yùn)用高斯-埃爾米特求積公式例題Ak及xk見表。現(xiàn)在f(x)=cosx,表中取節(jié)點(diǎn)數(shù)目n=4,則有162高斯求積公式是高精度求積公式，其求積系數(shù)

,求積公式也是數(shù)值穩(wěn)定的。但它明顯的缺點(diǎn)是當(dāng)n改變時(shí)，系數(shù)和節(jié)點(diǎn)幾乎都在改變，因而應(yīng)用起來十分不便。同時(shí)其余項(xiàng)涉及高階導(dǎo)數(shù)，要利用它們來控制精度也十分困難，因此在實(shí)際計(jì)算中較多采用復(fù)合求積的方法。高斯求積的優(yōu)缺點(diǎn)163譬如，先把積分區(qū)間a,b分成m個(gè)等長(zhǎng)的小區(qū)間

然后在每個(gè)小區(qū)間上使用同一低階（如兩點(diǎn)的、三點(diǎn)的…）高斯型求積公式算出積分的近似值，將它們相加即得積分的近似值。復(fù)合高斯求積164§4.7多重積分略165§4.8

數(shù)值微分

在微分學(xué)中，求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)通常是可以求得的，但有的比f(x)復(fù)雜的多。另外，有時(shí)f(x)僅由表格形式給出，則求也不容易。根據(jù)函數(shù)在若干個(gè)點(diǎn)處的函數(shù)值去求該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的近似值稱為數(shù)值微分。求數(shù)值導(dǎo)數(shù)也是實(shí)際問題經(jīng)常遇到的，特別當(dāng)該函數(shù)本身未知，但又需要對(duì)其求導(dǎo)數(shù)時(shí)，數(shù)值微分方法顯得更為重要。

166最簡(jiǎn)單的數(shù)值微分是用差商近似代替導(dǎo)數(shù)，即同樣，也可用向后差商近似代替導(dǎo)數(shù)，即或中心差商的方法，即差商可以看出中心差商是向前差商和向后差商的算術(shù)平均值。167可見弦BC的斜率更接近于切線AT的斜率，因此從精度方面看，用中心差商近似代替導(dǎo)數(shù)值更可取，則稱如右圖所示，前述三種導(dǎo)數(shù)的近似值分別表示弦線AB，AC和BC的斜率，將這三條通過A點(diǎn)的弦的斜率與切線AT的斜率進(jìn)行比較后,差商上述三種方法的截?cái)嗾`差分別為、和

168

利用中點(diǎn)公式計(jì)算導(dǎo)數(shù),首先必須選取合適的步長(zhǎng)，為此需要進(jìn)行誤差分析。分別將在x=a處泰勒展開，有

代入(1),得

差商為求的中點(diǎn)方法。(1)(2)169由式（2）知，當(dāng)h適當(dāng)小時(shí)：

差商由此可知,從截?cái)嗾`差的角度來看,步長(zhǎng)越小,計(jì)算結(jié)果越準(zhǔn)確。但從舍入誤差角度,h越小,f(a+h)與f(a-h)越接近,直