江蘇省泰州市2020屆高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試試題

2020屆高三年級第一次模擬考試數(shù)學(xué)(滿分160分，考試時間120分鐘)參考公式：柱體的體積V=Sh，錐體的體積V=*h一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．TOC\o"1-5"\h\z函數(shù)f(x)=sin2x的最小正周期為.已知集合A={4,a2},B={—1,16}，若AQBH，則實數(shù)8=.復(fù)數(shù)z滿足zi=4+3i(i是虛數(shù)單位)，貝V|z|=.函數(shù)y=^1—x2的定義域是.從1,2,3,4,5這五個數(shù)中隨機取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)的和為6的概率為一個算法的偽代碼如圖所示，執(zhí)行此算法，最后輸出的T的值是.AWhileUEndWhileAPrint(第6題)T^-TX2AWhileUEndWhileAPrint(第6題)T^-TX2}i1(第y題］O―I—已知數(shù)列{a}滿足loga—loga=1,則=3=.n2n＋12na＋a31&若拋物線y2=2px(p〉0)的準(zhǔn)線與雙曲線x2—y2=1的一條準(zhǔn)線重合，則p=.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C］中，M為棱AA』勺中點，記三棱錐A』BC的體積，四V棱錐A1BB1C1C的體積為V2，則V1的值是.2已知函數(shù)f(x)=2x4+4x2，若f(a+3)〉f(a—1),則實數(shù)a的取值范圍為.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過圓q：(x—k)2+(y+k—4)2=1上任一點P作圓CjX2+y2=1的一條切線，切點為Q,貝y當(dāng)線段PQ的長最小時，k=.2已知P為平行四邊形ABCD所在平面上任一點，且滿足PA+PB+2PD=0,入PA+uPB+pc=o,貝y入卩=X3—3x~|~2axa13?已知函數(shù)f(x)={x3+3x—4a,x：「若存在x0<0,使得f(x0)=0,則實數(shù)a的取值范圍是14.在厶ABC中,已知sinAsinBsin(C—0)=入sin2S，其中tan0=|14.在厶ABC中,]tanAtan]tanAtanb+2

tanC為定值，則實數(shù)入二、解答題：本大題共6小題，共計90分．解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．(本小題滿分14分)已知向量a=(sinx,1),b=g，cosxj，其中xW(0,n).若a〃b，求x的值；若tanx=—2，求|a+b|的值.(本小題滿分14分)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，0為對角線BD的中點，E，F(xiàn)分別為棱PC，PD的中點，已知PA丄AB,PA丄AD.求證：直線PB〃平面0EF；平面OEF丄平面ABCD.（本小題滿分14分）如圖，三個小區(qū)分別位于扇形0AB的三個頂點上，Q是弧AB的中點，現(xiàn)欲在線段0Q上找一處開挖工作坑P（不與點0,Q重合），為小區(qū)鋪設(shè)三條地下電纜管線PO，PA,PB,已知n0A=2千米，ZA0B=§，記ZAPQ=9rad，地下電纜管線的總長度為y千米.（1）將y表示成9的函數(shù)，并寫出9的范圍；(本小題滿分16分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：'+右=l(a〉b〉O)的左頂點為A,B是橢圓Ca2b2上異于左、右頂點的任意一點，P是AB的中點，過點B且與AB垂直的直線與直線0P交于點Q,已知橢圓C的離心率為2，點A到右準(zhǔn)線的距離為6.求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)點Q的橫坐標(biāo)為x0，求x0的取值范圍.(本小題滿分16分)設(shè)A,B為函數(shù)y=f(x)圖象上相異兩點，且點A,B的橫坐標(biāo)互為倒數(shù)，過點A,B分別作函數(shù)y=f(x)的切線，若這兩條切線存在交點，則稱這個交點為函數(shù)f(x)的“優(yōu)點”「lnx，O〈x〈l,若函數(shù)f(x)={不存在“優(yōu)點”求實數(shù)a的值;ax2,x>1⑵求函數(shù)f(x)=x2的“優(yōu)點”的橫坐標(biāo)的取值范圍；求證：函數(shù)f(x)=lnx的“優(yōu)點”一定落在第一象限.(本小題滿分16分)已知首項不為0的數(shù)列｛a｝的前n項和為S,2a+a=a，且對任意的n^N,n±2都有nn1232nS—(2n+5)S+S=ra.n＋1nn－11若a2=3ai，求r的值；數(shù)列｛an｝能否是等比數(shù)列？說明理由；當(dāng)r=1時，求證：數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列.2020屆高三年級第一次模擬考試數(shù)學(xué)附加題（本部分滿分40分，考試時間30分鐘）【選做題】本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩小題，并作答.若多做，則按作答的前兩小題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．［選修42：矩陣與變換］（本小題滿分10分）1x=2_t1

1x=2_t1

ly=2+t（t為參數(shù)），曲線c的<在平面直角坐標(biāo)系（t為參數(shù)），曲線c的fx=一1+2cos。,參數(shù)方程為（A（0為參數(shù)）?若直線l與曲線c相交于A,B兩點，求線段、y=2sin0AB的長.［選修45:不等式選講］（本小題滿分10分）設(shè)正數(shù)a,b,c滿足3a+2b+c=1,求舌+卄匕+匕+。的最小值?

【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．（本小題滿分10分）如圖，在正四棱柱ABCDA]B]C]D]中，AA〒3,AB=1.（1）求異面直線A1B與AC]所成角的余弦值；（2）求平面A1BC與平面AC1D所成二面角的正弦值.(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)=1—|2x—1|,0WxW1,設(shè)f(x)=f(f(x))，其中f(x)=f(x),方nn－111程f(x)=0和方程f(x)=1根的個數(shù)分別為g(0),g(1).nnnn求g2(1)的值；證明：g(0)=g(1)+1.nn2020屆高三年級第一次模擬考試（七）（泰州）數(shù)學(xué)參考答案1.n1.n2.±43.54.8615

]1—7.48.9.410.(—1,+^)11.2512.—413.[—1,0)14.10(1)因為a〃b,1所以sinxcosx=2,即卩sin2x=1.n因為xW(0,n),所以x=4.sinx(2)因為tanx=cosx=—2,所以sinx=—2cosx.1因為a+b=,1+cosx,93所以|a+b|=+(1+cosx)2=+sinx+2cosx=2.(1)0為BD的中點，F(xiàn)為PD的中點，所以PB〃FO.因為PB平面OEF,FOu平面OEF,所以PB〃平面OEF.(2)連結(jié)AC，因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以AC與BD交于點0,0為AC的中點.因為E為PC的中點，所以PA〃OE.因為PA丄AB,PAIAD,ABHAD=A,AB,ADu平面ABCD,所以PA丄平面ABCD,所以O(shè)E丄平面ABCD.因為OEu平面OEF,所以平面OEF丄平面ABCD.n(1)因為Q為弧AB的中點，由對稱性，知PA=PB,ZAOP=ZBOP=6,n又ZAPO=n—0,ZOAP=9—6,nOAn由正弦定理，得6=sin(n—0)=6,又OA=2,1所以PA=sin9,OP=6,3sin9—cos9+2所以y=PA+PB+OP=2PA+OP=6=sin9因為ZAPQ>ZAOP,n1n5n所以e〉6,Z0AQ=Z0QA=2(n—6)=12,5n所以ew12.3sin0—cos0+25n(2)令f(0)=sin0,0W12,1—2cos0nf'(0)=sin20=0,得0=3,nn5nf（0）在區(qū)間3上單調(diào)遞減，在區(qū)間（3,12）上單調(diào)遞增,n3所以當(dāng)0=3，即0P=3千米時，f（e）有唯一的極小值，即是最小值，貝f（e）mi〒2.3答：當(dāng)工作坑P與O的距離為3千米時，地下電纜管線的總長度最小．a(chǎn)2a=2，(1)依題意，得=6,解得c=1，所以b==，x2y2所以橢圓C的方程為4＋3=1.(2)由(1)知，A(—2，0)，設(shè)AB：x=my—2，mMO,x=my—2，聯(lián)立3x2+4y2=12,TOC\o"1-5"\h\z12mx=—2，解得3m2+4或y=0,6m2—812m—86m即B(3m2+4,3m2+4)，則P(3m2+4,3m2+4),3m3m所以k=—4，OP：y=—4x.OP6m3＋4m因為AB丄BQ,所以k=—m,所以直線BQ的方程為BQ：y=—mx+3m2+4,BQ6m3＋4m8(3m2＋2)16聯(lián)立，得x=3m2＋4=8—3m2＋4w(4，8)．1(1)由題意可知，f'(x)=fx對xW(0,1)U(1,+-)恒成立,12a11不妨取xW(0,1),則f'(x)=x=x=fzx恒成立，即a=2,1經(jīng)驗證，a=2符合題意.1(2)設(shè)A(t,t2),Bt2(tM0且tM±1),因為f'(x)=2x.所以A,B兩點處的切線方程分別為y=2tx—12,y=tx-t2,111令2tx—t2=tx—t2,解得x=2tW(—8,—l)U(l,+8),所以“優(yōu)點”的橫坐標(biāo)取值范圍為(一g,—i)u(i,+g).1設(shè)A(t,lnt),b,—lnt,tW(0,1),1因為f'(x)=x,1所以A,B兩點處的切線方程分別為y=tx+lnt—1,y=tx—lnt—1,1令tx+lnt—1=tx—lnt—1,1解得x=t〉O,1t2+1t2—1所以y=t?t+lnt—1=t2—1(lnt—12+1),m2—1設(shè)h(m)=lnm—m2+1,mW(O,1),(m2—1)2則hz(m)=m(m2+1)2>0,所以h(m)單調(diào)遞增，所以h(m)〈h(1)=0,t2—1即lnt—12+1<0.t2+1因為12—1<0,II所以y=t?t+lnt—1>0,所以“優(yōu)點”的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為正數(shù),在第一象限.(1)令n=2,得4S—9S+S=ra,TOC\o"1-5"\h\z3211即4(a+a+a)—9(a+a)+a=ra,3212111化簡，得4a—5a—4a=ra.3211因^為2a+aa,a3a,12321所以4X5a]—5X3a]—4a]=ra],解得r=1.(2)假設(shè)數(shù)列｛a｝是等比數(shù)列，公比為q,則由2a+a=a得2a+aq=aq2，且aMO,n1231111解得q=2或q=—1,由2nS—(2n+5)S+S=ra,n+1nn—11得4S=2na—a—ra(n三2),nn+1n1所以4S=2(n—1)a—a—ra(n23)，兩式相減，整理得2na+a=(2n+3)a,n—1nn—11n+1n—1n兩邊同除以a，可得2n(q2—q)=3q—1.因為q=2或一1,所以q2—qM0,所以上式不可能對任意n±3恒成立,故數(shù)列｛a｝不可能是等比數(shù)列.nr=1時，令n=2,整理得一4a—5a+4a=a,TOC\o"1-5"\h\z1231又由2a+a=a可知a=3a,a=5a,1232131令n=3,可得6S—11S+S=a,4321解得a=7a,41由(2)可知4S=2na—a—a(n三2),nn＋1n1所以4S=2(n—1)a—a—a(n三3),TOC\o"1-5"\h\zn—1nn—11兩式相減，整理得2na+a=(2n+3)a(n三3),n＋1n—1n所以2(n—1)a+a=(2n+1)a(n三4),nn—2n—1兩式相減，可得2n[(a—a)—(a—a)]=(a—a)—(a—a)(n三4).n＋1nnn—1nn—1n—1n—2因為(a—a)—(a—a)=0,4332所以(a—a)—(a—a)=0(n三4),nn—1n—1n—2即a—a=a—a(n三4),nn—1n—1n—2^又因^為aaaa2a,32211所以數(shù)列｛a｝是以a為首項，2a為公差的等差數(shù)列.n1121.A.將入=—2代入2=^2—(x—1)入一(x+5)=0,得x=3.B.由題意得曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+y2=4.1將直線l的參數(shù)方程+t代入(x+1”+y2=4得11—t＋1＋＋t=4,即4t2—4t—3=0,13解得t]=一2,t2=2,則AB=|t—t|=2=2.12C.因為3a＋2b＋c=1所以a+a+b+b+c1=(2a+a+b+b+c)?b+c111=^(Xa+Xa+b+Xb+c)2=(+1+1)2=6+4,當(dāng)且僅當(dāng)a=a+b=b+c時,等號成立,111所以a+a+b+b+c的最小值為6+4.(1)以AB,AD,A%所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則A/0,0,3),B(1,0,0),C1(1,1,3),BA1AC1所以f=(一1,0,3),—=(1,1,3),BA1AC1一1+9110所以cos〈f,f〉=11=55.(2)由題意得C(1,1,0),D(0,1,0),A1BA1CAC1AD所以f=(1,0,一3),f=(1,1,一3),f=(1,1,3),f=(0,1,0),設(shè)平面A1BC的一個法向量為n1=(x1,y1,z),貝yA1Cx1—3z1=0,n1=0,即x1+y1—3z1=0,令z1=1,則氣=(3,0,1).設(shè)平面ACD的一個法向量為n=(x,y,z),貝y12222ADx2+y2+3z2=0,n2=0,即y2=0,令z2=1,則氣=(—3,0,1),n1?n2—9+14所以cos〈n1,n2〉=|n1||n2|=10=一5,3所以平面A1BC與平面AC1D所成二面角的正弦值為5.(1)當(dāng)n=2時，/)=甲1—公一1|)=玖1—公一1|)=1—|2(1—公一1|)—1|=1,所以2(1—|2x—1|)=1,所以1—|2x—1|=2,1所以2x—1=±2,13所以x=4或x=4,所以g2(l)=2.(2)因為f(O)=f(l)=O,所以fn(0)=fn(1)=0.nn因為f](x)=l—|2x—1|丘[0,1],1當(dāng)xW2時，f/x)單調(diào)遞增，且f](x)W(0,1],1當(dāng)xW,1時，f/x)單調(diào)遞減，且f](x)W[0,1).下面用數(shù)學(xué)