13第十三章-達(dá)朗貝爾原理(動靜法)解析

第三篇《動力學(xué)》★第九章質(zhì)點動力學(xué)的基本方程第十章動量定理第十一章動量矩定理第十二章動能定理第十三章達(dá)朗貝爾原理第十四章虛位移原理第十四章達(dá)朗伯原理本章介紹動力學(xué)的一個重要原理——達(dá)朗貝爾原理。應(yīng)用這一原理，就將動力學(xué)問題從形式上轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)問題，從而依據(jù)關(guān)于平衡的理論來求解。這種用靜力學(xué)解答動力學(xué)問題的方法，也稱為動靜法。動力學(xué)達(dá)朗貝爾----J.leR.d’Alembert,1717~1783。達(dá)朗貝爾原理：1743年提出。3§13–1慣性力·質(zhì)點的達(dá)朗貝爾原理

§13–2質(zhì)點系的達(dá)朗貝爾原理§13–3剛體慣性力系的簡化§13–4繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力

第十三章達(dá)朗貝爾原理FN動力學(xué)§13-1慣性力·質(zhì)點的達(dá)朗貝爾原理設(shè)質(zhì)點M，質(zhì)量為m，受主動力，約束反力。根據(jù)質(zhì)點動力學(xué)第二定律：可改寫成：假想FI是一個力，上式在形式上是一個平衡方程。FIFI稱為質(zhì)點的慣性力，大小等于質(zhì)點的質(zhì)量與加速度的乘積，方向與質(zhì)點加速度的方向相反。5動力學(xué)質(zhì)點的達(dá)朗貝爾原理：假如在質(zhì)點上除了作用有真實的主動力和約束反力外，再假想地加上慣性力，則這些力在形式上組成一平衡力系。FNFI6動力學(xué)[注]質(zhì)點慣性力不是作用在質(zhì)點上的真實力，它是質(zhì)點對施力體反作用力的合力。該方程對動力學(xué)問題來說只是形式上的平衡，并沒有變更動力學(xué)問題的實質(zhì)。接受動靜法解決動力學(xué)問題的最大優(yōu)點，可以利用靜力學(xué)供應(yīng)的解題方法，給動力學(xué)問題一種統(tǒng)一的解題格式。7動力學(xué)列車在水平軌道上行駛，車廂內(nèi)懸掛一單擺，當(dāng)車廂向右作勻加速運動時，單擺左偏角度，相對于車廂靜止。求車廂的加速度。[例1]影片14018動力學(xué)選單擺的擺錘為探討對象虛加慣性力

角隨著加速度的變化而變化，當(dāng)不變時，角也不變。只要測出角，就能知道列車的加速度。擺式加速計的原理。解：由動靜法,有解得9動力學(xué)對整個質(zhì)點系，作用于質(zhì)點系上全部的主動力、約束反力與假想的加在質(zhì)點系上各質(zhì)點的慣性力，在形式上組成一平衡力系。這就是質(zhì)點系的達(dá)朗貝爾原理?？捎梅匠瘫硎緸椋涸O(shè)有一質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，對每一個質(zhì)點，有如將質(zhì)點系受力按內(nèi)力、外力劃分,又因為§13-2質(zhì)點系的達(dá)朗貝爾原理則：10[例2]滑輪的半徑為r，物塊A、B的質(zhì)量分別為m1、m2，滑輪上作用一力偶M，設(shè)繩子不行伸長，不計繩子和滑輪的質(zhì)量，求物塊A的加速度和軸承O的約束反力。ArBO解：取滑輪和物塊A、B為探討對象：aam1gm2gFIAFIBMFOxFOy慣性力ArBMOaam1gm2gFIAFIBFOxFOy在本題中不計滑輪的質(zhì)量，假如要考慮滑輪的質(zhì)量，則如何計算？加上滑輪的慣性力和重力。動力學(xué)§13-3剛體慣性力系的簡化應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理求解質(zhì)點系動力學(xué)問題必需給各質(zhì)點虛加上它的慣性力。對于運動的剛體每個質(zhì)點加上它的慣性力，這些慣性力組成一慣性力系。因為剛體有無限個質(zhì)點，在每個質(zhì)點上加慣性力是不行能的，為了應(yīng)用便利，依據(jù)靜力學(xué)中力系的簡化方法將剛體的慣性力系加以簡化，這樣在解題時就可以干脆施加其簡化結(jié)果，使動靜法切實可行。常見的剛體運動有平動、定軸轉(zhuǎn)動和平面運動。13動力學(xué)這個慣性力系簡化為通過質(zhì)心C的合力：剛體內(nèi)各點的加速度都與質(zhì)心C的加速度aC相等，任一質(zhì)點的慣性力，組成一同向的平行力系。一、剛體作平動FInFI1FI2aCFIRaC14動力學(xué)結(jié)論：平動剛體的慣性力系可以簡化為通過質(zhì)心的合力，其大小等于剛體的質(zhì)量與加速度的乘積，合力的方向與加速度方向相反。FInFI1FI2aCFIRaC15二、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動質(zhì)點的慣性力為：定軸轉(zhuǎn)動剛體，角速度，角加速度。取簡化中心：轉(zhuǎn)軸上一點O。坐標(biāo)系oxyz如圖示，O點為轉(zhuǎn)軸上的一點。取質(zhì)點，其坐標(biāo)分別為：切向慣性力：法向慣性力：慣性力系向O點簡化的主矢為：慣性力系的主矢在o點，垂直z軸。慣性力系對x軸的矩為：因為故記（13-9）稱其為對于Z軸的慣性積，取決于剛體質(zhì)量對于坐標(biāo)軸的分布。慣性力系對x軸的矩為：（13-10）同理可得慣性力系對y軸的矩為：（13-11）慣性力系對z軸的矩為：（13-12）綜上，剛體定軸轉(zhuǎn)動時，慣性力系向轉(zhuǎn)軸上一點O簡化的主矩為：（13-13）假如剛體有質(zhì)量對稱平面且該平面與轉(zhuǎn)軸z垂直，簡化中心o取為此平面與轉(zhuǎn)軸z的交點，則則慣性力系簡化的主矩為：（13-13-1）工程中繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體常常有質(zhì)量對稱平面。于是得結(jié)論：當(dāng)剛體有質(zhì)量對稱平面且繞垂直于此對稱平面的軸作定軸轉(zhuǎn)動時，慣性力系向轉(zhuǎn)軸與對稱平面交點簡化時，得位于此平面內(nèi)的一個力和一個力偶。這個力等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度的方向相反，作用線通過轉(zhuǎn)軸；這個力偶的矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度相反，動力學(xué)主矢：設(shè)剛體有質(zhì)量對稱平面，且轉(zhuǎn)軸垂直于該對稱平面，如皮帶輪、齒輪、砂輪等。三、有質(zhì)量對稱平面的剛體繞定軸轉(zhuǎn)動此慣性力系為空間力系，利用對稱性可以簡化為在對稱平面內(nèi)的平面力系，再向轉(zhuǎn)軸z與對稱平面的交點O點簡化：主矩：αFIi21FIi向O點簡化結(jié)果為：動力學(xué)向質(zhì)心C點簡化：23動力學(xué)假設(shè)剛體具有對稱平面，并且平行于該平面作平面運動。此時，剛體的慣性力系可先簡化為對稱平面內(nèi)的平面力系。剛體平面運動可分解為隨基點（質(zhì)心C）的平動和繞基點的轉(zhuǎn)動。α四、剛體作平面運動慣性力系向質(zhì)心C點簡化：得24α動力學(xué)A端鉸支的均質(zhì)桿長l,質(zhì)量m,桿由與水平面成0角位置靜止落下。求起先落下時桿AB的角加速度及A點支座反力。選桿AB為探討對象向A點虛加慣性力系：解：依據(jù)動靜法，有[例3]αFFFIRFIRI25動力學(xué)αFFFIRFIRI26動力學(xué)用動量矩定理+質(zhì)心運動定理再求解此題：解：選AB為探討對象由得：由質(zhì)心運動定理：αFF27動力學(xué)牽引車的主動輪質(zhì)量為m，半徑為R，沿水平直線軌道滾動，設(shè)車輪所受的主動力可簡化為作用于質(zhì)心的兩個力及驅(qū)動力偶矩M，車輪對于通過質(zhì)心C并垂直于輪盤的軸的回轉(zhuǎn)半徑為，輪與軌道間摩擦系數(shù)為f,試求在車輪滾動而不滑動的條件下，驅(qū)動力偶矩M之最大值。取輪為探討對象虛加慣性力系：解：由動靜法，得：[例4]OαFIRICmg28動力學(xué)由(1)得由(2)得N=mg+S，要保證車輪不滑動，必需F<fN=f(mg+S)(5)可見，f越大越不易滑動。

Mmax的值為上式右端的值。把(5)代入(4)得：OαFIRICmg29§13-4繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力機械在轉(zhuǎn)動起來之后，軸承的約束力可分為靜約束力和動約束力（附加動反力）。動約束力是機械產(chǎn)生破壞、振動與噪聲的主要因素。本節(jié)探討內(nèi)容：1求出繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承全約束力（包括靜約束力和附加動約束力）；2推出消退附加動約束力的條件。定軸轉(zhuǎn)動剛體，角速度，角加速度。取簡化中心：轉(zhuǎn)軸上一點O。所有主動力向O點簡化的結(jié)果：主矢：主矩：慣性力系向O點簡化的結(jié)果：主矢：主矩：A、B處的5個約束反力如圖所示：慣性力沒有Z方向的重量（Z方向無加速度重量）。坐標(biāo)系oxyz如圖示，o點為轉(zhuǎn)軸上的一點。依據(jù)質(zhì)點系的動靜法，列空間隨意力系的平衡方程如下：由上述5個方程解得軸承全反力為：止推軸承B沿Z軸的約束力與慣性力無關(guān)，與Z軸垂直的軸承約束力顯然與慣性力系的主矢和主矩有關(guān)。由于和引起的軸承給軸的約束力稱為附加動約束力，要使附加動約束力等于零，必須有：即要使軸承給軸的附加動約束力等于零的條件是：慣性力系的主矢等于零，慣性力系對于x軸和y軸的主矩等于零。由式（13－5）和式（13－10）、（13－11），應(yīng)有：由此可見，要使慣性力系的主矢等于零，必須，即轉(zhuǎn)軸必通過軸心。而要使，必須有，即剛體對于轉(zhuǎn)軸Z的慣性積必須等于零。結(jié)論：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，避開出現(xiàn)軸承附加動反力的條件是：轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心，剛體對轉(zhuǎn)軸的慣性積等于零。慣性主軸：如果剛體對于通過某點的Z軸的慣性積等于零，則稱此軸為過該點的慣性主軸。中心慣性主軸：通過質(zhì)心的慣性主軸，稱之。上述結(jié)論可敘述為：避開出現(xiàn)軸承附加動反力的條件是：剛體的轉(zhuǎn)軸應(yīng)是剛體的中心慣性主軸。靜平衡：剛體的轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心，且剛體除重力外沒有受到其它主動力作用，則剛體可以在隨意位置靜止不動，這種現(xiàn)象稱為靜平衡。動平衡：當(dāng)剛體的轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心且為慣性主軸時，剛體轉(zhuǎn)動時不出現(xiàn)軸承附加動約束力，這種現(xiàn)象稱為動平衡。

。

能夠靜平衡的定軸轉(zhuǎn)動剛體不確定能夠?qū)崿F(xiàn)動平衡，但動平衡的定軸轉(zhuǎn)動剛體確定能夠?qū)崿F(xiàn)靜平衡。[例13－8](P341)動力學(xué)依據(jù)達(dá)朗貝爾原理，以靜力學(xué)平衡方程的形式來建立動力學(xué)方程的方法，稱為動靜法。應(yīng)用動靜法既可求運動，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知運動，求質(zhì)點系運動時的動約束反力。應(yīng)用動靜法可以利用靜力學(xué)建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以隨意選取，二矩式，三矩式等等。因此當(dāng)問題中有多個約束反力時，應(yīng)用動靜法求解它們時就便利得多。達(dá)朗貝爾原理的應(yīng)用39動力學(xué)(1)選取探討對象－－原則與靜力學(xué)相同。(2)受力分析－－畫出全部主動力和外約束反力。應(yīng)用動靜法求動力學(xué)問題的步驟及要點：(4)虛加慣性力－－在受力圖上畫上慣性力和慣性力偶，確定要在正確進(jìn)行運動分析的基礎(chǔ)上。熟記剛體慣性力系的簡化結(jié)果。

(3)運動分析－－主要是剛體質(zhì)心加速度，剛體角加速度，標(biāo)出方向。40動力學(xué)

(5)列動靜方程－－選取適當(dāng)?shù)木匦暮屯队拜S。

(6)建立補充方程－－運動學(xué)補充方程（運動量之間的關(guān)系）。

(7)求解求知量。

[注]的方向及轉(zhuǎn)向已在受力圖中標(biāo)出，建立方程時，只需按 代入即可。留意：后面的例題中，慣性力的下標(biāo)I用g代替。41[例13-6]

(P337)絞車和梁合重P，絞盤的轉(zhuǎn)動慣量為J，以加速度a提升重物。重物的質(zhì)量為m，絞盤的半徑為r，求由于加速提升重物而對支座A、B的附加壓力。解：取梁、絞車和重物為探討對象，施加慣性力，列平衡方程：解得：附加反力：附加反力確定于慣性力系。[例13-7]

(P338)均質(zhì)圓盤質(zhì)量為mA，半徑為r，瘦長桿長l=2r，質(zhì)量為m，A點為光滑鉸鏈聯(lián)接，作用力F，輪子作純滾動。問：(1)F力多大能使桿的B端剛剛離開地面？（2）為保證純滾動，輪與地面間的靜滑動摩擦系數(shù)應(yīng)為多大？αa解：運動分析、受力分析和施加慣性力。[AB桿][整體]要求只滾不滑：動力學(xué)質(zhì)量為m1和m2的兩重物，分別掛在兩條繩子上，繩又分別繞在半徑為r1和r2并裝在同一軸的兩鼓輪上，已知兩鼓輪對于轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動慣量為J，系統(tǒng)在重力作用下發(fā)生運動，求鼓輪的角加速度。取整個系統(tǒng)為探討對象解：[方法1]用達(dá)朗貝爾原理求解

[例5]

48列補充方程： 動力學(xué)虛加慣性力和慣性力偶：由動靜法：gαFgR1FgR2代入上式得：49動力學(xué)[方法2]用動量矩定理求解依據(jù)動量矩定理：取系統(tǒng)為探討對象α50動力學(xué)取系統(tǒng)為探討對象，任一瞬時系統(tǒng)的兩邊除以dt，并求導(dǎo)數(shù)，得[方法3]用動能定理求解α51動力學(xué)在圖示機構(gòu)中，沿斜面對上作純滾動的圓柱體重為P，半徑均為R，質(zhì)量勻整分布；鼓輪O重為Q，半徑為R，質(zhì)量勻整分布；繩子不行伸長，其質(zhì)量不計，斜面傾角θ，如在鼓輪上作用一常力偶矩M，試求：(1)鼓輪的角加速度？(2)繩子的拉力？(3)軸承O處的支反力？(4)圓柱體與斜面間的摩擦力（不計滾動摩擦）？[例6]θ52動力學(xué)解：取輪O為探討對象，虛加慣性力偶列出動靜方程：取輪A為探討對象，虛加慣性力和慣性力偶MgA如圖示。[方法1]用達(dá)朗貝爾原理求解MgαFgRMgOαQ53動力學(xué)列出動靜方程：運動學(xué)關(guān)系：，將MgO、FgR、MgA及運動學(xué)關(guān)系代入到(1)和(4)式并聯(lián)立求解得：MgαFgR54動力學(xué)代入(2)、(3)、(5)式，得：55動力學(xué)(1)用動能定理求鼓輪角加速度。取系統(tǒng)為探討對象兩邊對t求導(dǎo)數(shù)：方法2用動力學(xué)普遍定理求解θ56動力學(xué)(2)用動量矩定理求繩子拉力（定軸轉(zhuǎn)動微分方程）取輪O為探討對象，由動量矩定理得(3)用質(zhì)心運動定理求解軸承O處支反力取輪O為探討對象，依據(jù)質(zhì)心運動定理：α57動力學(xué)(4)用剛體平面運動微分方程求摩擦力取圓柱體A為探討對象，依據(jù)剛體平面運動微分方程方法3：用動能定理求鼓輪的角加速度

用達(dá)朗伯原理求約束反力（繩子拉力、軸承O處反力和及摩擦力）。α58動力學(xué)均質(zhì)圓柱體重為P，半徑為R，無滑動地沿傾斜平板由靜止自O(shè)點起先滾動。平板對水平線的傾角為θ，試求OA=S時平板在O點的