19河北省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷(高三年級(jí)組)-word版含答案

最新高中數(shù)學(xué)奧數(shù)競(jìng)賽競(jìng)賽試卷 (高三年級(jí)組)(時(shí)間：8月30日上午8:30-11:30)一、填空題 22 1.1、已知函數(shù)f(x)ln?1axax)1(a0),則f(lna)f(In-)a2、A,B兩點(diǎn)分別在拋物線(xiàn) y8、將10個(gè)小球(5個(gè)黑球和5個(gè)白球)排場(chǎng)一行，從左邊第一個(gè)小球開(kāi)始向右數(shù)小球，無(wú)論數(shù)幾個(gè)小球，黑球的個(gè)數(shù)總不少于白球個(gè)數(shù)的概率為.二、解答題9.(本小題滿(mǎn)分148、將10個(gè)小球(5個(gè)黑球和5個(gè)白球)排場(chǎng)一行，從左邊第一個(gè)小球開(kāi)始向右數(shù)小球，無(wú)論數(shù)幾個(gè)小球，黑球的個(gè)數(shù)總不少于白球個(gè)數(shù)的概率為.二、解答題9.(本小題滿(mǎn)分14分)在4ABC中，內(nèi)角A,B,C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a,b,c,向量psinAsinC,sinB,向量q(ac,ba),且滿(mǎn)足pq.(I)求△ABC的內(nèi)角C的值；(n)若c=2,2sin2A+sin(2B+C尸sinC,求MBC的面積.3、若tan3tan00 —,則 的最大值為 ^2 4、已知4ABC等腰直角三角形，其中/C為直角，AC=BC=1,過(guò)點(diǎn)B作平面ABC的垂線(xiàn)DB,使得DB=1,在DA、DC上分別取點(diǎn)E、F,則△BEF周長(zhǎng)的最小值為.5、已知函數(shù)f(x)x10.(本小題滿(mǎn)分14分)已知數(shù)列 an滿(mǎn)足：a1 2,an 1 10.(本小題滿(mǎn)分14分)已知數(shù)列 an滿(mǎn)足：a1 2,an 1 an 2an.(1)求證：數(shù)列l(wèi)g(an1)是等比數(shù)列，并求 an的通項(xiàng)公式； 1 1 一 ，…一，八， 八(2)若bn- ，且數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn,求證：Sn1.anan211.(本小題滿(mǎn)分14分)設(shè)f(x)exaxa.(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(I)若f(x)0對(duì)一切x1恒成立，求a的取值范圍;實(shí)契x的取值范圍為.f—， fff , —fr-fc- -f -9-—h............_._ _*..,...6、已知向量a,b,c滿(mǎn)足|a|:|b|:|c|2:k:3(kN),且ba2(cb),若為a,c的夾角，則cos的值為.(n)求證:(2015)100820167、現(xiàn)有一個(gè)能容納 (n)求證:(2015)1008201612.(本小題滿(mǎn)分14分)已知：如圖，兩圓交于A(yíng)、分別為C12.(本小題滿(mǎn)分14分)已知：如圖，兩圓交于A(yíng)、分別為C、D.過(guò)A任意做一條直線(xiàn)分別交兩圓于求證：PB平分/EBF.B兩點(diǎn)，CD為他們的一條外公切線(xiàn)，切點(diǎn)E、F,EC交FD于P.最大值.3yy,求使x12入21恒成立的實(shí)數(shù) 的14.(本小題滿(mǎn)分2x15分)已知橢圓C:―即即mx8 2x2015年河北省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷(高三年級(jí)組)答案1.【解析】f(x)f(x)ln(1a2x2ax)ln(.1a2x2ax)2ln(1a22 22xax)22.2.【解析】由于A(yíng)B則只需要考慮AC的范圍.AC2(x2)2y(x2)26xx2x4(x1)23,又x0,故4 2,故AB的取值范圍為1,3.【解析】tanatantantantan2tan13tan2—―3tantantan—6TtOC一,24.【解析】由題意可知,CDB—,且/BDA與/CDA之4和為.2如圖，將側(cè)面BDA和側(cè)面CDB分別折起至面B1DA和B2DC,且與側(cè)面ADC位于同一個(gè)平面上.則4BEF周長(zhǎng)的最小值即面AB1DB2c上兩點(diǎn)B,B2之間的線(xiàn)段長(zhǎng).由前面的分析可知，. . 兀兀 3兀B1DB2 B1DA ADC CDB2 一一 一，24 4由余弦定理可得,BB2、,B1D2B2D22BDB2DcosB1DB21 2 一112 —— 2 2.2所以，^BEF周長(zhǎng)的最小值為42顯.5.【解析】f(x)x33x為奇函數(shù)且為增函數(shù)f(mx8)f(2x)0等價(jià)于f(mx8) f(2x)f(2x)即mx2x80對(duì)任意的m2,2成立即2x2 80,所以2x2x802r,即0vx<246.【解析】由ba2（cb）得bc所以b3—ac,9161664r * … …[—,—]，又kN，所以k=2,所以994024又|a|：|b|：|c|2:k:3,所以k2 cos9 9cosa的值為一.6.【解析】這10個(gè)小球成棱錐形來(lái)放，第一層棱是3個(gè)小球，于是正四面體的一條棱長(zhǎng)就應(yīng)該是個(gè)，第2層3個(gè)，第3層6個(gè)，即每一條4倍的小球的半徑加上2倍的球心到四面3,正四面體的高和棱所成角3,正四面體的高和棱所成角的余弦值為—,故容器棱長(zhǎng)的最小值為 423—42.6.3 3.【解析】法1:如果只有2個(gè)小球（1黑1白），則黑球的個(gè)數(shù)總不少于白球個(gè)數(shù)的概率為1;如果只有4個(gè)小球（2黑2白），則黑球的個(gè)數(shù)總不少于白球個(gè)數(shù)的概率為 1;如果1 一」1 一」只有6個(gè)小球（3黑3白），則黑球的個(gè)數(shù)總不少于白球個(gè)數(shù)的概率為 一；以此類(lèi)推，可知4.無(wú)論數(shù)將10個(gè)小球（5個(gè)黑子^(guān)和5個(gè)白球）排成一行，從左邊第一個(gè)小球開(kāi)始向右數(shù)小球幾個(gè)小球，黑球的個(gè)數(shù)總不少于白球個(gè)數(shù)的概率為.無(wú)論數(shù)法2:直接從10個(gè)小球入手分類(lèi)討論9.【解析】（I）由題意q,所以,acsinAsinCbasinB0.由正弦定理,可得ab0.整理得a2c2b2ab由余弦定理可得,cosC2 -2ab2ab0,(n9.【解析】（I）由題意q,所以,acsinAsinCbasinB0.由正弦定理,可得ab0.整理得a2c2b2ab由余弦定理可得,cosC2 -2ab2ab0,(n)由2sin2Asin2BsinC可得，4sinAcosAsinB冗Asin整理得，4sinAcosAsinsinBA2sinBcosA..一 n當(dāng)cosA0時(shí)，A—,此時(shí)，b2花2cot—32-33 1所以4ABC的面積為SAabc -bc210分當(dāng)cosA0時(shí)，上式即為sinB2sinA,有正弦定理可得b=2a,又a2b2ab4,解之得，a空，當(dāng)cosA0時(shí)，上式即為sinB2sinA,有正弦定理可得b=2a,又a2b2ab4,解之得，a空，b小3 3…，一_ 1,- 2.3,所以Z\ABC的面積為Saabc—absinC2 3一 . 1 23綜上所述，4ABC的面積為S^abc—absinC2 314分10?【解析】(1)由已知得an1a22an,an11 an12,因?yàn)閍1 2,所以烝11,兩邊取對(duì)數(shù)得lg1%12lg1an，即JgJ_anJ_2,lg1an故lgan1為以lg3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)歹U,n1即lgan1 2n11g3,即an 32 1.1 1 1(2)法1：由an1 an 2an兩邊取倒數(shù)仔 ——an1 2an1an 2~ 1所以1an21 2 1 11——J,即bn21——L,10分an an1an an114分TOC\o"1-5"\h\z一1 114分故Sn 2-下一，故Sn 1.2 32 12n11 1 232 1 1 1 1江)% 3 1(佑2-bn _2"_ _2口_ _2“_ 2(2門(mén)1一2" ))則Sn2——例— 1.3 13 1 3 1 3 13 1 232 1x--一?，、一 e，11.【解析】(I)f(x)0x1aea x1,x1x x令h(x)-e：，則h(x) xe ,x1 (x1)x由h(x) -^e-20得x>0.(x1)所以h(x)在0, 上單調(diào)遞增，h(x)在(-1,0)單調(diào)遞減.所以h(x)h(0)1x1,由此得：a1所以，實(shí)數(shù)的最大值為所以，實(shí)數(shù)的最大值為2 22. 15分又x=-1時(shí)，xex即為0此時(shí)a取任意值都成立.綜上得：a1.（。需0081e2201520161c2016e1-L-201612016由（I）知,當(dāng)a=1時(shí)f（x）0對(duì)一切x1恒成立,即1（x=0時(shí)取等號(hào)）._ 1取x ,得12016120161c2016e即證得：（20竺）1008201614分12.【證明】如圖，連接BA,BC,BD.由A,B,E,C共圓有/1=/CBA,同理/2=/DBA;又/1+Z2+ZEPF=180°,所以/CBD+/CPD=/1+/2+/EPF=180°,故P,C,B,D四點(diǎn)共圓.貝U/CBP=/3=/4=/DBF(弦切角等于圓周角).10分同理/所以/此即為CBE=Z5=ZDBP.EBP=/EBC+/PBC=/DBP+ZFBD=ZFBP,PB平分/EBF.14分DEP313.【解析】由正數(shù)x,y滿(mǎn)足x不等式2入y1等價(jià)于等價(jià)于等價(jià)于等價(jià)于因?yàn)閒(t)等號(hào)僅當(dāng)3y2yyxy10分t2t1(t1)221(t1)t114.【解析】(1)設(shè)A(xi,y1)，B(x2,y2),Q(Xo,y°),則QA:國(guó)2X2XQB:—2y〔yy2y故直線(xiàn)AB:運(yùn)2血比1x2 2 。故Q的軌跡方程為1過(guò)Q,有X2X0y0yV。1過(guò)點(diǎn)X1X0yy。 1；……①y2y0 1， ②i1、P(1,2),則有X+y=2.(2)對(duì)直線(xiàn)AB,當(dāng)斜率不存在時(shí)，即為x=1,此時(shí)A(1,母，B(1,",。)SAABQ — 22斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB:y1k(X21)ykX1k