人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-第2課時(shí)-直線與橢圓的位置關(guān)系

第2課時(shí)直線與橢圓的位置關(guān)系第三章3.1.2人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件RENJIAOBANXINJIAOCAIGAOZHONGSHUXUEYOUZHIKEJIAN2019普通高中教科書第2課時(shí)直線與橢圓的位置關(guān)系第三章人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂練習(xí)內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.進(jìn)一步掌握橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用.2.會(huì)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系.3.能運(yùn)用直線與橢圓的位置關(guān)系解決相關(guān)的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦問(wèn)題.4.培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.進(jìn)一步掌握橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用.自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系【問(wèn)題思考】1.回想點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,思考點(diǎn)P(x0,y0)與圓C:x2+y2=a2的位置關(guān)系有哪些?怎樣判斷?一、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系2.類似點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,你能得出點(diǎn)P(x0,y0)與橢圓(a>b>0)的位置關(guān)系有哪些?怎樣判斷?2.類似點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,你能得出點(diǎn)P(x0,y0)與橢圓人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-第2課時(shí)-直線與橢圓的位置關(guān)系人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-第2課時(shí)-直線與橢圓的位置關(guān)系二、直線與橢圓的位置關(guān)系【問(wèn)題思考】1.回想一下,直線與圓的位置關(guān)系有哪些?我們?cè)鯓优袛嘀本€與圓的位置關(guān)系?提示:直線與圓的位置關(guān)系有相離、相交、相切三種.判斷方法有幾何法:利用圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系判斷;代數(shù)法:聯(lián)立直線與圓的方程,轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的一元二次方程,利用判別式Δ判斷.2.類比直線與圓的位置關(guān)系,思考直線與橢圓有幾種位置關(guān)系?怎樣判斷其位置關(guān)系?提示:直線與橢圓的位置關(guān)系有相離、相交、相切三種.判斷方法是聯(lián)立直線與橢圓方程,轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的一元二次方程,利用判別式Δ判斷.二、直線與橢圓的位置關(guān)系3.填空:直線與橢圓的位置關(guān)系

3.填空:直線與橢圓的位置關(guān)系A(chǔ).相離 B.相切C.相交 D.無(wú)法確定Δ=22+12=16>0,故直線與橢圓相交.答案:CA.相離 B.相切Δ=22+12=16>0,【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(2)在判斷直線與橢圓的位置關(guān)系,聯(lián)立直線方程與橢圓方程時(shí),只能消去y得到關(guān)于x的一元二次方程.(×)(3)過(guò)橢圓外一點(diǎn)只能作一條直線與橢圓相切.(×)(6)直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)?直線與橢圓相切.(√)【思考辨析】(2)在判斷直線與橢圓的位置關(guān)系,聯(lián)立直線方合作探究釋疑解惑合作探究釋疑解惑探究一直線與橢圓的位置關(guān)系【例1】

已知直線y=x+m與橢圓,當(dāng)直線和橢圓相離、相切、相交時(shí),分別求m的取值范圍.分析:將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用判別式Δ判斷.探究一直線與橢圓的位置關(guān)系【例1】已知直線y=x+m與橢圓故Δ=(32m)2-4×25×(16m2-144)=9×43(25-m2).當(dāng)Δ>0,即-5<m<5時(shí),直線和橢圓相交;當(dāng)Δ=0,即m=±5時(shí),直線和橢圓相切;當(dāng)Δ<0,即m>5或m<-5時(shí),直線和橢圓相離.綜上所述,當(dāng)m>5或m<-5時(shí)直線與橢圓相離;當(dāng)m=±5時(shí),直線與橢圓相切;當(dāng)-5<m<5時(shí),直線與橢圓相交.故Δ=(32m)2-4×25×(16m2-144)=9×43反思感悟

直線與圓、橢圓等封閉曲線的位置關(guān)系有相離、相切、相交三種情形,判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí),將直線方程代入曲線方程,消元后得關(guān)于x(或y)的方程,當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí),可由判別式Δ來(lái)判斷.當(dāng)Δ>0時(shí),直線與曲線相交;當(dāng)Δ=0時(shí),直線與曲線相切;當(dāng)Δ<0時(shí),直線與曲線相離.提醒:注意方程組的解與交點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的等價(jià)關(guān)系.反思感悟直線與圓、橢圓等封閉曲線的位置關(guān)系有相離、相切、相【變式訓(xùn)練1】

若直線y=kx+1(k∈R)與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

總有公共點(diǎn),求m的取值范圍.∴Δ=100k2-20(m+5k2)(1-m)=20m(5k2+m-1).∵直線與橢圓總有公共點(diǎn),∴Δ≥0對(duì)任意k∈R都成立.∵m>0,∴5k2≥1-m恒成立,∴1-m≤0,即m≥1.又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,∴0<m<5,∴1≤m<5.【變式訓(xùn)練1】若直線y=kx+1(k∈R)與焦點(diǎn)在x軸上的解法二:∵直線y=kx+1過(guò)定點(diǎn)M(0,1),∴要使直線與該橢圓總有公共點(diǎn),則點(diǎn)M(0,1)必在橢圓內(nèi)或橢圓上,解法二:∵直線y=kx+1過(guò)定點(diǎn)M(0,1),探究二弦長(zhǎng)問(wèn)題【例2】

已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m.(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)求被橢圓截得的最長(zhǎng)弦所在的直線方程.分析:(1)將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)判別式Δ的符號(hào),建立關(guān)于m的不等式求解;(2)利用弦長(zhǎng)公式建立關(guān)于m的函數(shù)解析式,通過(guò)函數(shù)的最值求得m的值,從而得到直線方程.探究二弦長(zhǎng)問(wèn)題【例2】已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x(2)設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)知,5x2+2mx+m2-1=0.(2)設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).反思感悟

1.求直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)的方法:(1)是求出兩交點(diǎn)坐標(biāo),用兩點(diǎn)間距離公式求解;(2)是用弦長(zhǎng)公式

求解,其中k為直線AB的斜率,A(x1,y1),B(x2,y2).2.有關(guān)直線與橢圓相交弦長(zhǎng)的最值問(wèn)題,要特別注意判別式的限制.反思感悟1.求直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)的方法:【變式訓(xùn)練2】

(1)已知橢圓4x2+5y2=20的左焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為45°的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),求弦長(zhǎng)|AB|.(2)橢圓有兩個(gè)頂點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),過(guò)其焦點(diǎn)F(0,1)的直線l與橢圓交于C,D兩點(diǎn),若|CD|=,求直線l的方程.【變式訓(xùn)練2】(1)已知橢圓4x2+5y2=20的左焦點(diǎn)為人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-第2課時(shí)-直線與橢圓的位置關(guān)系當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),與題意不符,設(shè)直線l的方程為y=kx+1,將其代入橢圓方程,化簡(jiǎn),得(k2+2)x2+2kx-1=0.當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),與題意不符,探究三中點(diǎn)弦問(wèn)題【例3】

過(guò)橢圓

內(nèi)一點(diǎn)P(2,1)作一條直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),使線段AB被點(diǎn)P平分,求此直線的方程.分析:由于弦所在直線過(guò)定點(diǎn)P(2,1),所以可設(shè)出弦所在直線的方程為y-1=k(x-2),與橢圓方程聯(lián)立,通過(guò)中點(diǎn)為P,得出k的值,也可以通過(guò)設(shè)而不求的思想求直線的斜率.探究三中點(diǎn)弦問(wèn)題【例3】過(guò)橢圓解法一:如圖,設(shè)所求直線的方程為y-1=k(x-2),代入橢圓方程并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0,(*)又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),解法一:如圖,設(shè)所求直線的方程為y-1=k(x-2),代入橢解法二:設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),∵P為弦AB的中點(diǎn),∴x1+x2=4,y1+y2=2.解法二:設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2本例條件不變,求弦長(zhǎng)|AB|.解:設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),本例條件不變,求弦長(zhǎng)|AB|.反思感悟

關(guān)于中點(diǎn)弦問(wèn)題,一般采用兩種方法解決(1)聯(lián)立方程組,消元,利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行設(shè)而不求,從而簡(jiǎn)化運(yùn)算.這樣就建立了中點(diǎn)坐標(biāo)與直線的斜率之間的關(guān)系,從而使問(wèn)題得以解決.反思感悟關(guān)于中點(diǎn)弦問(wèn)題,一般采用兩種方法解決這樣就建立了中【變式訓(xùn)練3】

(1)已知點(diǎn)P(4,2)是直線l被橢圓

所截得的線段的中點(diǎn),則直線l的方程為

.

(2)已知點(diǎn)P(4,2)是直線l:x+2y-8=0被焦點(diǎn)在x軸上的橢圓所截得的線段的中點(diǎn),則該橢圓的離心率為

.

【變式訓(xùn)練3】(1)已知點(diǎn)P(4,2)是直線l被橢圓解析:(1)由題意可設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-4),而橢圓的方程可以化為x2+4y2-36=0.將直線方程代入橢圓方程有(4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0.設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2),解析:(1)由題意可設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-4),(2)設(shè)橢圓方程為

(a>b>0),直線x+2y-8=0與橢圓交于A,B兩點(diǎn),且A(x1,y1),B(x2,y2),(2)設(shè)橢圓方程為(a>b【思想方法】

橢圓中的最值問(wèn)題【典例】

如圖,點(diǎn)A,B分別是橢圓

長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn),點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,且位于x軸上方,PA⊥PF.(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn),M到直線AP的距離等于|MB|,求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值.審題視角:(1)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)P在橢圓上以及PA⊥PF,建立方程組求解;(2)根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式,將橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d表示為點(diǎn)的坐標(biāo)的函數(shù),借助函數(shù)方法求得最值.【思想方法】橢圓中的最值問(wèn)題人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-第2課時(shí)-直線與橢圓的位置關(guān)系人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-第2課時(shí)-直線與橢圓的位置關(guān)系方法點(diǎn)睛

解決與橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題的三種方法(1)定義法:利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題處理.(2)數(shù)形結(jié)合法:利用數(shù)與形的結(jié)合,挖掘幾何特征,進(jìn)而求解.(3)函數(shù)法:探求函數(shù)模型,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理.方法點(diǎn)睛解決與橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題的三種方法人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-第2課時(shí)-直線與橢圓的位置關(guān)系人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-第2課時(shí)-直線與橢圓的位置關(guān)系人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-第2課時(shí)-直線與橢圓的位置關(guān)系隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)答案:C答案:C答案:C答案:C∵直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn),∴Δ=(4m)2-4m(m+3)=16m2-4m2-12m=12m2-12m>0,解得m>1或m<0.又m>0,且m≠3,∴m>1,且m≠3.答案:(1,3)∪(3,+∞)∵直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn),人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-第2課時(shí)-直線與橢圓的位置關(guān)系人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-第2課時(shí)-直線與橢圓的位置關(guān)系本課結(jié)束本課結(jié)束第2課時(shí)直線與橢圓的位置關(guān)系第三章3.1.2人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件RENJIAOBANXINJIAOCAIGAOZHONGSHUXUEYOUZHIKEJIAN2019普通高中教科書第2課時(shí)直線與橢圓的位置關(guān)系第三章人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂練習(xí)內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.進(jìn)一步掌握橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用.2.會(huì)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系.3.能運(yùn)用直線與橢圓的位置關(guān)系解決相關(guān)的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦問(wèn)題.4.培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.進(jìn)一步掌握橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用.自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系【問(wèn)題思考】1.回想點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,思考點(diǎn)P(x0,y0)與圓C:x2+y2=a2的位置關(guān)系有哪些?怎樣判斷?一、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系2.類似點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,你能得出點(diǎn)P(x0,y0)與橢圓(a>b>0)的位置關(guān)系有哪些?怎樣判斷?2.類似點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,你能得出點(diǎn)P(x0,y0)與橢圓人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-第2課時(shí)-直線與橢圓的位置關(guān)系人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-第2課時(shí)-直線與橢圓的位置關(guān)系二、直線與橢圓的位置關(guān)系【問(wèn)題思考】1.回想一下,直線與圓的位置關(guān)系有哪些?我們?cè)鯓优袛嘀本€與圓的位置關(guān)系?提示:直線與圓的位置關(guān)系有相離、相交、相切三種.判斷方法有幾何法:利用圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系判斷;代數(shù)法:聯(lián)立直線與圓的方程,轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的一元二次方程,利用判別式Δ判斷.2.類比直線與圓的位置關(guān)系,思考直線與橢圓有幾種位置關(guān)系?怎樣判斷其位置關(guān)系?提示:直線與橢圓的位置關(guān)系有相離、相交、相切三種.判斷方法是聯(lián)立直線與橢圓方程,轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的一元二次方程,利用判別式Δ判斷.二、直線與橢圓的位置關(guān)系3.填空:直線與橢圓的位置關(guān)系

3.填空:直線與橢圓的位置關(guān)系A(chǔ).相離 B.相切C.相交 D.無(wú)法確定Δ=22+12=16>0,故直線與橢圓相交.答案:CA.相離 B.相切Δ=22+12=16>0,【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(2)在判斷直線與橢圓的位置關(guān)系,聯(lián)立直線方程與橢圓方程時(shí),只能消去y得到關(guān)于x的一元二次方程.(×)(3)過(guò)橢圓外一點(diǎn)只能作一條直線與橢圓相切.(×)(6)直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)?直線與橢圓相切.(√)【思考辨析】(2)在判斷直線與橢圓的位置關(guān)系,聯(lián)立直線方合作探究釋疑解惑合作探究釋疑解惑探究一直線與橢圓的位置關(guān)系【例1】

已知直線y=x+m與橢圓,當(dāng)直線和橢圓相離、相切、相交時(shí),分別求m的取值范圍.分析:將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用判別式Δ判斷.探究一直線與橢圓的位置關(guān)系【例1】已知直線y=x+m與橢圓故Δ=(32m)2-4×25×(16m2-144)=9×43(25-m2).當(dāng)Δ>0,即-5<m<5時(shí),直線和橢圓相交;當(dāng)Δ=0,即m=±5時(shí),直線和橢圓相切;當(dāng)Δ<0,即m>5或m<-5時(shí),直線和橢圓相離.綜上所述,當(dāng)m>5或m<-5時(shí)直線與橢圓相離;當(dāng)m=±5時(shí),直線與橢圓相切;當(dāng)-5<m<5時(shí),直線與橢圓相交.故Δ=(32m)2-4×25×(16m2-144)=9×43反思感悟

直線與圓、橢圓等封閉曲線的位置關(guān)系有相離、相切、相交三種情形,判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí),將直線方程代入曲線方程,消元后得關(guān)于x(或y)的方程,當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí),可由判別式Δ來(lái)判斷.當(dāng)Δ>0時(shí),直線與曲線相交;當(dāng)Δ=0時(shí),直線與曲線相切;當(dāng)Δ<0時(shí),直線與曲線相離.提醒:注意方程組的解與交點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的等價(jià)關(guān)系.反思感悟直線與圓、橢圓等封閉曲線的位置關(guān)系有相離、相切、相【變式訓(xùn)練1】

若直線y=kx+1(k∈R)與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

總有公共點(diǎn),求m的取值范圍.∴Δ=100k2-20(m+5k2)(1-m)=20m(5k2+m-1).∵直線與橢圓總有公共點(diǎn),∴Δ≥0對(duì)任意k∈R都成立.∵m>0,∴5k2≥1-m恒成立,∴1-m≤0,即m≥1.又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,∴0<m<5,∴1≤m<5.【變式訓(xùn)練1】若直線y=kx+1(k∈R)與焦點(diǎn)在x軸上的解法二:∵直線y=kx+1過(guò)定點(diǎn)M(0,1),∴要使直線與該橢圓總有公共點(diǎn),則點(diǎn)M(0,1)必在橢圓內(nèi)或橢圓上,解法二:∵直線y=kx+1過(guò)定點(diǎn)M(0,1),探究二弦長(zhǎng)問(wèn)題【例2】

已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m.(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)求被橢圓截得的最長(zhǎng)弦所在的直線方程.分析:(1)將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)判別式Δ的符號(hào),建立關(guān)于m的不等式求解;(2)利用弦長(zhǎng)公式建立關(guān)于m的函數(shù)解析式,通過(guò)函數(shù)的最值求得m的值,從而得到直線方程.探究二弦長(zhǎng)問(wèn)題【例2】已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x(2)設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)知,5x2+2mx+m2-1=0.(2)設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).反思感悟

1.求直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)的方法:(1)是求出兩交點(diǎn)坐標(biāo),用兩點(diǎn)間距離公式求解;(2)是用弦長(zhǎng)公式

求解,其中k為直線AB的斜率,A(x1,y1),B(x2,y2).2.有關(guān)直線與橢圓相交弦長(zhǎng)的最值問(wèn)題,要特別注意判別式的限制.反思感悟1.求直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)的方法:【變式訓(xùn)練2】

(1)已知橢圓4x2+5y2=20的左焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為45°的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),求弦長(zhǎng)|AB|.(2)橢圓有兩個(gè)頂點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),過(guò)其焦點(diǎn)F(0,1)的直線l與橢圓交于C,D兩點(diǎn),若|CD|=,求直線l的方程.【變式訓(xùn)練2】(1)已知橢圓4x2+5y2=20的左焦點(diǎn)為人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-第2課時(shí)-直線與橢圓的位置關(guān)系當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),與題意不符,設(shè)直線l的方程為y=kx+1,將其代入橢圓方程,化簡(jiǎn),得(k2+2)x2+2kx-1=0.當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),與題意不符,探究三中點(diǎn)弦問(wèn)題【例3】

過(guò)橢圓

內(nèi)一點(diǎn)P(2,1)作一條直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),使線段AB被點(diǎn)P平分,求此直線的方程.分析:由于弦所在直線過(guò)定點(diǎn)P(2,1),所以可設(shè)出弦所在直線的方程為y-1=k(x-2),與橢圓方程聯(lián)立,通過(guò)中點(diǎn)為P,得出k的值,也可以通過(guò)設(shè)而不求的思想求直線的斜率.探究三中點(diǎn)弦問(wèn)題【例3】過(guò)橢圓解法一:如圖,設(shè)所求直線的方程為y-1=k(x-2),代入橢圓方程并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0,(*)又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),解法一:如圖,設(shè)所求直線的方程為y-1=k(x-2),代入橢解法二:設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),∵P為弦AB的中點(diǎn),∴x1+x2=4,y1+y2=2.解法二:設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2本例條件不變,求弦長(zhǎng)|AB|.解:設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),本例條件不變,求弦長(zhǎng)|AB|.反思感悟

關(guān)于中點(diǎn)弦問(wèn)題,一般采用兩種方法解決(1)聯(lián)立方程組,消元,利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行設(shè)而不求,從而簡(jiǎn)化運(yùn)算.這樣就建立了中點(diǎn)坐標(biāo)與直線的斜率之間的關(guān)系,從而使問(wèn)題得以解決.反思感悟關(guān)于中點(diǎn)弦問(wèn)題,一般采用兩種方法解決這樣就建立了中【變式訓(xùn)練3】

(1)已知點(diǎn)P(4,2)是直線l被橢圓

所截得的線段的中點(diǎn),則直線l的方程為

.

(2)已知點(diǎn)P(4,2)是直線l:x+2y-8=0被焦點(diǎn)在x軸上的橢圓所截得的線段的中點(diǎn),則該橢圓的離心率為

.

【變式訓(xùn)練3】(1)已知點(diǎn)P(4,2)是直線l被橢圓解析:(1)由題意可設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-4),而橢圓的方程可以化為x2+4y2-36=0.將直線方程代入橢圓方程有(4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0.設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(