2021年高考數(shù)學(xué)經(jīng)典例題專題九計數(shù)原理概率統(tǒng)計【含答案】

專題九計數(shù)原理概率統(tǒng)計一、單選題1．算盤是中國傳統(tǒng)的計算工具，是中國人在長期使用算籌的基礎(chǔ)上發(fā)明的，是中國古代一項偉大的、重要的發(fā)明，在阿拉伯?dāng)?shù)字出現(xiàn)前是全世界廣為使用的計算工具．“珠算”一詞最早見于東漢徐岳所撰的《數(shù)術(shù)記遺》，其中有云：“珠算控帶四時，經(jīng)緯三才．”北周甄鸞為此作注，大意是：把木板刻為3部分，上、下兩部分是停游珠用的，中間一部分是作定位用的．下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別是個位、十位、百位……，上面一顆珠（簡稱上珠）代表5，下面一顆珠（簡稱下珠）代表1，即五顆下珠的大小等于同組一顆上珠的大?。F(xiàn)在從個位和十位這兩組中隨機(jī)選擇往下?lián)芤活w上珠，從個位、十位和百位這三組中隨機(jī)往上撥2顆下珠，算盤表示的數(shù)能被5整除的概率是（）A． B． C． D．B根據(jù)珠算的運(yùn)算法則，把題干描述的操作所得到的數(shù)都列出來，找出其中能被5整除的即可.【詳解】由題意可知，若上珠下?lián)艿氖莻€位，表示5，下珠上的兩個都在個位、十位、百位，這時表示的數(shù)是，，；若上珠下?lián)艿氖鞘?，表?0，下珠上的兩個都在個位、十位、百位，這時表示的數(shù)是算盤所表示的數(shù)是，，；若上珠下?lián)艿氖莻€位，表示5，下珠上的兩個分別在個位、十位，或者個位、百位，或者十位、百位，這時表示的數(shù)是，，；若上珠下?lián)艿氖鞘?，表?0，下珠上的兩個分別在個位、十位，或者個位、百位，或者十位、百位，這時表示的數(shù)是，，，所以表示的數(shù)可能有7，16，25，52，61，70，106，115，151，160，205，250，其中能被5整除的有6個，故所求事件的概率為.故選：B．2．國慶節(jié)期間，小明在中下載了兩首歌曲：《今天是你的生日》和《我和我的祖國》，他選擇的是隨機(jī)播放的形式，每4分鐘變化一次，其中出現(xiàn)《今天是你的生日》的概率為，出現(xiàn)《我和我的祖國》的概率為．若在前8次播放中出現(xiàn)《今天是你的生日》有5次、出現(xiàn)《我和我的祖國》有3次，則前2次出現(xiàn)《今天是你的生日》，其余6次可任意出現(xiàn)《今天是你的生日》3次的概率為（）A． B． C． D．C利用相互獨(dú)立事件的概率公式和獨(dú)立重復(fù)試驗的概率公式求解即可【詳解】解：由題意得，出現(xiàn)《今天是你的生日》的概率為，出現(xiàn)《我和我的祖國》的概率為，所以前兩次出現(xiàn)《今天是你的生日》的概率為，其余6次出現(xiàn)《今天是你的生日》3次的概率，所以所求概率為，故選：C．3．如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為a1，a2，…，a12.設(shè)1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦．用這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為（）A．5 B．8 C．10 D．15C根據(jù)原位大三和弦滿足，原位小三和弦滿足從開始，利用列舉法即可解出．【詳解】根據(jù)題意可知，原位大三和弦滿足：．∴；；；；．原位小三和弦滿足：．∴；；；；．故個數(shù)之和為10．故選：C．4．的展開式中x3y3的系數(shù)為（）A．5 B．10C．15 D．20C求得展開式的通項公式為（且），即可求得與展開式的乘積為或形式，對分別賦值為3，1即可求得的系數(shù)，問題得解.【詳解】展開式的通項公式為（且）所以的各項與展開式的通項的乘積可表示為：和在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為，在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為所以的系數(shù)為故選：C5．設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為（）A．0.01 B．0.1 C．1 D．10C根據(jù)新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)關(guān)系確定方差關(guān)系，即得結(jié)果.【詳解】因為數(shù)據(jù)的方差是數(shù)據(jù)的方差的倍，所以所求數(shù)據(jù)方差為故選：C6．在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是（）A． B．C． D．B計算出四個選項中對應(yīng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，由此可得出標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組.【詳解】對于A選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于B選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于C選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于D選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.因此，B選項這一組的標(biāo)準(zhǔn)差最大.故選：B.7．6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（）A．120種 B．90種C．60種 D．30種C分別安排各場館的志愿者，利用組合計數(shù)和乘法計數(shù)原理求解.【詳解】首先從名同學(xué)中選名去甲場館，方法數(shù)有；然后從其余名同學(xué)中選名去乙場館，方法數(shù)有；最后剩下的名同學(xué)去丙場館.故不同的安排方法共有種.故選：C8．設(shè)，則隨機(jī)變量的分布列是：則當(dāng)在內(nèi)增大時（）A．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大D方法1：由分布列得，則，則當(dāng)在內(nèi)增大時，先減小后增大.方法2：則故選D.9．從一批零件中抽取80個，測量其直徑（單位：），將所得數(shù)據(jù)分為9組：，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間內(nèi)的個數(shù)為（）

A．10 B．18 C．20 D．36B根據(jù)直方圖確定直徑落在區(qū)間之間的零件頻率，然后結(jié)合樣本總數(shù)計算其個數(shù)即可.【詳解】根據(jù)直方圖，直徑落在區(qū)間之間的零件頻率為：，則區(qū)間內(nèi)零件的個數(shù)為故選：B.10．要安排3名學(xué)生到2個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（）A．2種 B．3種 C．6種 D．8種C首先將3名學(xué)生分成兩個組，然后將2組學(xué)生安排到2個村即可.【詳解】第一步，將3名學(xué)生分成兩個組，有種分法第二步，將2組學(xué)生安排到2個村，有種安排方法所以，不同的安排方法共有種故選：C11．某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：°C）的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗，由實(shí)驗數(shù)據(jù)得到下面的散點(diǎn)圖：由此散點(diǎn)圖，在10°C至40°C之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（）A． B．C． D．D根據(jù)散點(diǎn)圖的分布可選擇合適的函數(shù)模型.【詳解】由散點(diǎn)圖分布可知，散點(diǎn)圖分布在一個對數(shù)函數(shù)的圖象附近，因此，最適合作為發(fā)芽率和溫度的回歸方程類型的是.故選：D.12．《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為（）A． B． C． D．C由題意得，閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=70，則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為70÷100=0.7．故選C．二、多選題13．氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為：“連續(xù)5天日平均溫度不低于22℃”．現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)都是正整數(shù)，單位℃）滿足以下條件：甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是24，眾數(shù)是22；乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是27，平均數(shù)是24；丙地：5個數(shù)據(jù)有1個是32，平均數(shù)是26，方差是10.2．則下列說法正確的是（）A．進(jìn)入夏季的地區(qū)有2個 B．丙地區(qū)肯定進(jìn)入了夏季C．乙地區(qū)肯定還未進(jìn)入夏季 D．不能肯定甲地區(qū)進(jìn)入了夏季ABC根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)，方差判斷三地數(shù)據(jù)中最低的溫度是否低于22℃，即可得．【詳解】甲地：設(shè)甲地的其他兩個數(shù)據(jù)分別為，，且，將5個數(shù)據(jù)由小到大排列得22，22，24，，，其中，滿足進(jìn)入夏季的標(biāo)志；乙地：設(shè)乙地其他四個數(shù)據(jù)分別為，，，，且，將5個數(shù)據(jù)由小到大排列得，，27，，，則，而，故，其中必有一個小于22，故不滿足進(jìn)入夏季的標(biāo)志；丙地：設(shè)5個數(shù)據(jù)分別為，，，，32，且，由方差公式可知，則，易知，，，均大于22，滿足進(jìn)入夏季的標(biāo)志綜上，ABC正確，故選：ABC．14．某學(xué)校為研究高三學(xué)生的考試成績，根據(jù)高三第一次模擬考試在高三學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的思想政治考試成績繪制成頻率分布直方圖如圖所示，已知思想政治成績在的學(xué)生人數(shù)為15，把頻率看作概率，根據(jù)頻率分布直方圖，下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．本次思想政治考試平均分為80D．從高三學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，其中3人成績在內(nèi)的概率為ABD對于A，直接利用已知的數(shù)據(jù)可求出的值；對于B，利用所有頻率和為1求解；對于C，利用平均數(shù)的定義求解即可；對于D，由頻率分布直方圖可得內(nèi)的概率為0.16，從而可得結(jié)論【詳解】由題知，，選項A正確；，選項B正確；本次思想政治考試平均分估計值為，選項C錯誤；可知在內(nèi)的概率為0.16，從高三學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，其中3人成績在內(nèi)的概率為，選項D正確，故選：ABD．15．某高中2020年的高考考生人數(shù)是2010年高考考生人數(shù)的1.5倍，為了更好地比較該?？忌纳龑W(xué)情況，統(tǒng)計了該校2010年和2020年的高考升學(xué)率，得到如下柱狀圖：則下列說法中正確的有（）A．與2010年相比，2020年一本達(dá)線人數(shù)有所減少B．2020年二本達(dá)線率是2010年二本達(dá)線率的1.25倍C．2010年與2020年藝體達(dá)線人數(shù)相同D．與2010年相比，2020年不上線的人數(shù)有所增加BD根據(jù)柱狀圖中的數(shù)據(jù)求解.【詳解】設(shè)2010年高考考生人數(shù)為a，則2020年的高考考生人數(shù)是的1.5a，A.2010年一本達(dá)線人數(shù)為0.28a，2020年一本達(dá)線人數(shù)a，故錯誤；B.2020年二本達(dá)線率是，2010年二本達(dá)線率是，，故正確；C.2010年藝體達(dá)線人數(shù)0.08a，2020年藝體達(dá)線人數(shù)，故錯誤；D.與2010年不上線的人數(shù)0.32a,相比，2020年不上線的人數(shù),故正確；故選：BD16．據(jù)了解，到本世紀(jì)中葉中國人口老齡化問題將日趨嚴(yán)重，如圖是專家預(yù)測中國2050年人口比例圖，若從2050年開始退休年齡將延遲到65歲，則下列敘述正確的是（）A．到2050年已經(jīng)退休的人數(shù)將超過B．2050年中國46~55歲的人數(shù)比16~25歲的人數(shù)多C．2050年中國25歲以上未退休的人口數(shù)大約是已退休人口數(shù)的1.5倍D．若從中抽取10人，則抽到5人的年齡在36~45歲之間的概率為ACA：根據(jù)餅狀圖直接判斷即可；B：根據(jù)餅狀圖的數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算判斷即可；C：根據(jù)餅狀圖的數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算判斷即可；D：根據(jù)二項分布的概率公式進(jìn)行運(yùn)算判斷即可.【詳解】由餅狀圖知2050年中國將有約的人已經(jīng)退休，所以選項A正確；設(shè)46~55歲的人數(shù)為人，16~25歲的人數(shù)為人，則46~55歲的人數(shù)比16~25歲的人數(shù)多，所以選項B錯誤；25歲以上未退休的人口數(shù)占，已退休人口數(shù)占，所以25歲以上未退休的人口數(shù)大約是已退休人口數(shù)的1.5倍，所以選項C正確；年齡在36~45歲之間的概率為．從所有人中抽取10人，則抽到5人的年齡在36~45歲之間的概率為，所以選項D錯誤，故選：AC．17．我國新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推進(jìn)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，下面是某地連續(xù)11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖，下列說法正確的是A．這11天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均逐日增加;B．這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量;C．第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過80%;D．第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量;CD注意到折線圖中有遞減部分，可判定A錯誤；注意考查第1天和第11天的復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)的差的大小，可判定B錯誤；根據(jù)圖象，結(jié)合復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)的意義和增量的意義可以判定CD正確.【詳解】由圖可知，第1天到第2天復(fù)工指數(shù)減少，第7天到第8天復(fù)工指數(shù)減少，第10天到第11復(fù)工指數(shù)減少，第8天到第9天復(fù)產(chǎn)指數(shù)減少，故A錯誤；由圖可知，第一天的復(fù)產(chǎn)指標(biāo)與復(fù)工指標(biāo)的差大于第11天的復(fù)產(chǎn)指標(biāo)與復(fù)工指標(biāo)的差，所以這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量小于復(fù)工指數(shù)的增量，故B錯誤;由圖可知，第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過80%，故C正確;由圖可知，第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量，故D正確;18．信息熵是信息論中的一個重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為，且，定義X的信息熵.（）A．若n=1，則H(X)=0B．若n=2，則H(X)隨著的增大而增大C．若，則H(X)隨著n的增大而增大D．若n=2m，隨機(jī)變量Y所有可能的取值為，且，則H(X)≤H(Y)AC對于A選項，求得，由此判斷出A選項的正確性；對于B選項，利用特殊值法進(jìn)行排除；對于C選項，計算出，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷出C選項的正確性；對于D選項，計算出，利用基本不等式和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷出D選項的正確性.【詳解】對于A選項，若，則，所以，所以A選項正確.對于B選項，若，則，，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，兩者相等，所以B選項錯誤.對于C選項，若，則，則隨著的增大而增大，所以C選項正確.對于D選項，若，隨機(jī)變量的所有可能的取值為，且（）..由于，所以，所以，所以，所以，所以D選項錯誤.故選：AC三、填空題19．已知二項式的展開式的二項式系數(shù)之和為64，且二項式的展開式中項的系數(shù)為15，則______．由題意可得，從而可求得，進(jìn)而可得二項式展開式的通項公式，再由已知條件列方程可求出的值【詳解】由展開式的二項式系數(shù)之和為64，可得，∴，則展開式的通項為，當(dāng)時，，∴，∴．故20．已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，則的值是_____.2根據(jù)平均數(shù)的公式進(jìn)行求解即可．【詳解】∵數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4∴，即.故2.21．在的展開式中，的系數(shù)是_________．10寫出二項展開式的通項公式，整理后令的指數(shù)為2，即可求出．【詳解】因為的展開式的通項公式為，令，解得．所以的系數(shù)為．故．22．已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為_________；甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為_________．根據(jù)相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率關(guān)系，即可求出兩球都落入盒子的概率；同理可求兩球都不落入盒子的概率，進(jìn)而求出至少一球落入盒子的概率.【詳解】甲、乙兩球落入盒子的概率分別為，且兩球是否落入盒子互不影響，所以甲、乙都落入盒子的概率為，甲、乙兩球都不落入盒子的概率為，所以甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為.故；.四、雙空題23．設(shè)，則________；________．利用二項式展開式的通項公式計算即可.【詳解】的通項為，令，則，故；.故；.24．盒子里有4個球，其中1個紅球，1個綠球，2個黃球，從盒中隨機(jī)取球，每次取1個，不放回，直到取出紅球為止.設(shè)此過程中取到黃球的個數(shù)為，則_______；______．先確定對應(yīng)事件，再求對應(yīng)概率得結(jié)果；第二空，先確定隨機(jī)變量，再求對應(yīng)概率，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求結(jié)果.【詳解】因為對應(yīng)事件為第一次拿紅球或第一次拿綠球，第二次拿紅球，所以，隨機(jī)變量，，，所以.故答案為五、解答題25．2020年新冠肺炎疫情肆虐全球，各個國家都翹首以盼疫苗上市.現(xiàn)在全球已經(jīng)有多款疫苗上市，并且陸續(xù)在各個國家開始接種.如今我國有一款疫苗，經(jīng)過三期臨床試驗以后，估計該款疫苗每次接種的有效率可達(dá)90%，并且已經(jīng)陸續(xù)接到其他國家的訂單.現(xiàn)已知該款疫苗需要接種兩次，假設(shè)前后兩次接種互不影響.（1）某人接種了我國的這款疫苗，則其可以接種成功的概率為多少？（2）已知某國家已經(jīng)有意向與我國簽訂疫苗訂單，買疫苗之后免費(fèi)為本國首批10萬人注射.但是由于部分人可能在兩次注射疫苗之后未接種成功，所以該國決定購買一批預(yù)備疫苗為之后沒有接種成功的人進(jìn)行第二輪注射，第二輪注射仍為注射兩次.根據(jù)以上信息，估計理想情況下該國需要從我國一共購買多少支疫苗？（1）99%；（2）購買20.2萬支疫苗.（1）利用概率的加法公式根據(jù)題意計算即可；（2）結(jié)合第（1）問，用頻率估計概率，再用概率估計總體..【詳解】（1）方法一：接種兩次的情況下接種成功，可能會出現(xiàn)“第一次接種成功?第二次接種不成功”“第一次接種不成功?第二次接種成功”“兩次都接種成功”3種情況.則其概率，∴此人可以接種成功的概率為99%.方法二：接種兩次的情況下接種成功，可以轉(zhuǎn)化為“1-兩次接種都不成功的概率”，因此所求概率，∴此人可以接種成功的概率為99%.（2）由（1）可得，接種該款疫苗可以接種成功的概率為99%，未接種成功的概率為1%，∴(人)，則有1000人需要進(jìn)行第二輪注射，∴(萬支)，∴估計理想情況下該國需要從我國一共購買20.2萬支疫苗.26．某通信公司為了更好地滿足不同層次的消費(fèi)者對流量的需求，準(zhǔn)備推出兩款流量包“普通版”和“自由版”．該通信公司選了某個城市作為試點(diǎn)，結(jié)果如下表，其中年齡低于40歲的總?cè)藬?shù)與不低于40歲的總?cè)藬?shù)之比為．年齡（單位：歲）自由版5912552普通版01356（Ⅰ）若以“年齡是否低于40歲為分界點(diǎn)”，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為選擇不同款式的流量包與人的年齡有關(guān)；年齡低于40歲的人數(shù)年齡不低于40歲的人數(shù)合計自由版普通版合計（Ⅱ）為制定合理的資費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，該公司以“年齡是否低于40歲為分界點(diǎn)”采用分層抽樣的方式從中抽取9人進(jìn)行市場調(diào)研，再從中選5人進(jìn)行電話咨詢，設(shè)其中40歲以下的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中．（Ⅰ）列聯(lián)表見解析，有的把握認(rèn)為選擇不同款式的流量包與人的年齡有關(guān)；（Ⅱ）分布列見解析，.（Ⅰ）首先利用年齡低于40歲的總?cè)藬?shù)與不低于40歲的總?cè)藬?shù)之比為，求出，由表中數(shù)據(jù)即可完善列聯(lián)表，由列聯(lián)表求出觀測值，根據(jù)獨(dú)立性檢驗的基本思想即可求解.（Ⅱ）利用分層抽樣可得低于40歲抽取6人，不低于40歲應(yīng)抽取3人，得出低于40歲的人數(shù)的可能取值，再根據(jù)超幾何分布得出分布列，求出數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（Ⅰ）由題中所給數(shù)據(jù)可得低于40歲共40人，不低于40歲的人數(shù)為．又年齡低于40歲的總?cè)藬?shù)與不低于40歲的總?cè)藬?shù)之比為，所以．由此可得年齡低于40歲的人數(shù)年齡不低于40歲的人數(shù)合計自由版31738普通版91322合計402060，所以有的把握認(rèn)為選擇不同款式的流量包與人的年齡有關(guān)．（Ⅱ）由已知得低于40歲共40人，不低于40歲共20人，由此可得低于40歲抽取6人，不低于40歲應(yīng)抽取3人，從9人中抽取5人，則其中低于40歲的人數(shù)的取值可能為2，3，4，5，，，，，所以的分布列為2345．27．下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖．為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型①：；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型②：．（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；（2）你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由．（1）利用模型①預(yù)測值為226.1，利用模型②預(yù)測值為256.5，（2）利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．（1）利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為=–30.4+13.5×19=226.1（億元）．利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為=99+17.5×9=256.5（億元）．（2）利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．理由如下：（i）從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y=–30.4+13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢．2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．（ii）從計算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠．28．（全國高三其他模擬）在年的新冠肺炎疫情影響下，國內(nèi)國際經(jīng)濟(jì)形勢呈現(xiàn)出前所未有的格局．某企業(yè)統(tǒng)計了年前個月份企業(yè)的利潤，如下表所示：月份企業(yè)的利潤（萬元）（1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)建立該企業(yè)所獲得的利潤（萬元）關(guān)于月份的回歸直線方程，并預(yù)測年月份該企業(yè)所獲得的利潤；（2）企業(yè)產(chǎn)品的質(zhì)量是企業(yè)的生命，該企業(yè)為了生產(chǎn)優(yōu)質(zhì)的產(chǎn)品投放市場，對于生產(chǎn)的每一件產(chǎn)品必須要經(jīng)過四個環(huán)節(jié)的質(zhì)量檢查，若每個環(huán)節(jié)中出現(xiàn)不合格產(chǎn)品立即進(jìn)行修復(fù)，且每個環(huán)節(jié)是相互獨(dú)立的，前三個環(huán)節(jié)中生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的概率為，每個環(huán)節(jié)中不合格產(chǎn)品所需要的修復(fù)費(fèi)用均為元，第四個環(huán)節(jié)中產(chǎn)品合格的概率為，不合格產(chǎn)品需要的修復(fù)費(fèi)用為元，設(shè)每件產(chǎn)品修復(fù)的費(fèi)用為元，寫出的分布列，并求出每件產(chǎn)品需要修復(fù)的平均費(fèi)用．參考公式：回歸直線方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，，，為樣本數(shù)據(jù)的平均值．（1）；萬元；（2）分布列見解析；修復(fù)的平均費(fèi)用為元．（1）根據(jù)給出的數(shù)值，計算出，，利用最小二乘法可得回歸直線的方程；（2）由題意可確定所有可能的取值，依次求出每個取值對應(yīng)的概率，進(jìn)而得到分布列，由數(shù)學(xué)期望計算公式可求出期望．【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)知：，，，由回歸直線經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心可知：，，則回歸直線方程為：．預(yù)測年月份該企業(yè)所獲得的利潤為：（萬元）．（2）根據(jù)題意知所有可能取值為：，，，，，，，，；；；；；；；；的分布列為：，即每件產(chǎn)品需要修復(fù)的平均費(fèi)用為元.29．2021年，福建、河北、遼寧、江蘇、湖北、湖南、廣東、重慶8省市將迎來“”新高考模式．“3”指的是：語文、數(shù)學(xué)、英語，統(tǒng)一高考；“1”指的是：物理和歷史，考生從中選一科；“2”指的是：化學(xué)、生物、地理和政治，考生從四種中選兩種．為了迎接新高考，某中學(xué)調(diào)查了高一年級1500名學(xué)生的選科傾向，隨機(jī)抽取了100人統(tǒng)計選考科目人數(shù)如下表：選考物理選考?xì)v史共計男生4050女生共計30（Ⅰ）補(bǔ)全列聯(lián)表；（Ⅱ）將此樣本的頻率視為總體的概率，隨機(jī)調(diào)查了本校的3名學(xué)生．設(shè)這3人中選考?xì)v史的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷是否有的把握認(rèn)為“選考物理與性別有關(guān)”？請說明理由．參考附表：0.1000.0500.0252.7063.8415.024參考公式：，其中．（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）分布列見解析，；（Ⅲ）有，理由見解析．（Ⅰ）根據(jù)題意補(bǔ)全列聯(lián)表；（Ⅱ）隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，服從二項分布，運(yùn)用獨(dú)立重復(fù)試驗公式求出概率后列出分布列，再根據(jù)二項分布求出期望；（Ⅲ）根據(jù)列聯(lián)表，利用公式計算出臨界值，與臨界值表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（Ⅰ）根據(jù)題意補(bǔ)全列聯(lián)表，如下：選考物理選考?xì)v史共計男生401050女生302050共計7030100（Ⅱ）的所有可能取值為0，1，2，3，隨機(jī)變量服從二項分布，由題意，學(xué)生選考?xì)v史的概率為，且，，，，，的分布列為0123．（Ⅲ）由表中數(shù)據(jù)，計算的觀測值，參照附表知，有的把握認(rèn)為“選考物理與性別有關(guān)”．30．甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為，（1）求甲連勝四場的概率；（2）求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率.（1）；（2）；（3）.（1）根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式可求得事件“甲連勝四場”的概率；（2）計算出四局以內(nèi)結(jié)束比賽的概率，然后利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）列舉出甲贏的基本事件，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式計算出甲贏的概率，由對稱性可知乙贏的概率和甲贏的概率相等，再利用對立事件的概率可求得丙贏的概率.【詳解】（1）記事件甲連勝四場，則；（2）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為，所以，需要進(jìn)行第五場比賽的概率為；（3）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，記事件甲贏，記事件丙贏，則甲贏的基本事件包括：、、、、、、、，所以，甲贏的概率為.由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，所以丙贏的概率為.31．某廠接受了一項加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A，B，C，D四個等級.加工業(yè)務(wù)約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級，整理如下：甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)40202020乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)28173421（1）分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率；（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)?（1）甲分廠加工出來的級品的概率為，乙分廠加工出來的級品的概率為；（2）選甲分廠，理由見解析.（1）根據(jù)兩個頻數(shù)分布表即可求出；（2）根據(jù)題意分別求出甲乙兩廠加工件產(chǎn)品的總利潤，即可求出平均利潤，由此作出選擇．【詳解】（1）由表可知，甲廠加工出來的一件產(chǎn)品為級品的概率為，乙廠加工出來的一件產(chǎn)品為級品的概率為；（2）甲分廠加工件產(chǎn)品的總利潤為元，所以甲分廠加工件產(chǎn)品的平均利潤為元每件；乙分廠加工件產(chǎn)品的總利潤為元，所以乙分廠加工件產(chǎn)品的平均利潤為元每件．故廠家選擇甲分廠承接加工任務(wù)．32．某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．（1）記件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為,求的最大值點(diǎn)；（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了件，結(jié)果恰有件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費(fèi)用為元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付元的賠償費(fèi)用．（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求;（ii）以檢驗費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？（1）；（2）（i）；（ii）應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗.（1）件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為.因此.令，得.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以的最大值點(diǎn)為；（2）由（1）知，.（i）令表示余下的件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，，即.所以.（ii）如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費(fèi)為400元.由于，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗.33．改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中