（精心整理）相似三角形(難度題)

相似三角形填空題1．（2005?北京）在△ABC中，∠B=25°，AD是BC邊上的高，并且AD2=BD?DC，則∠BCA的度數(shù)為_(kāi)________．2．（2001?重慶）已知：如圖，在△ABC中，AB=15m，AC=12m，AD是∠BAC的外角平分線(xiàn)，DE∥AB交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，那么CE=_________m．3．如圖，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，過(guò)直角頂點(diǎn)C作CA1⊥AB，垂足為A1，再過(guò)A1作A1C1⊥BC，垂足為C1，過(guò)C1作C1A2⊥AB，垂足為A2，再過(guò)A2作A2C2⊥BC，垂足為C2，…，這樣一直做下去，得到了一組線(xiàn)段CA1，A1C1，C1A2，…，則CA1=_________4．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于點(diǎn)O，S△AOD：S△COB=1：9，則S△DOC：S△BOC=_________．5．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊BC上的點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，如果，那么=_________．6．如圖，在△ABD中，∠ADB=90°，C是BD上一點(diǎn)，若E、F分別是AC、AB的中點(diǎn)，△DEF的面積為3.5，則△ABC的面積為_(kāi)________．7．在矩形ABCD中，E、F分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、H在DC邊上，且GH=DC．若AB=10，BC=12，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)________．8．如圖，在?ABCD中，E為CD中點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)O，S△DOE=12cm2，則S△AOB等于_________cm2．9．如圖，在△ABC中，EF∥BC，AE=2BE，則△AEF與梯形BCFE的面積比_________．10．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，CB=6，在斜邊AB上取一點(diǎn)M，使MB=CB，過(guò)M作MN⊥AB交AC于N，則MN=．11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，BD=4，則CD=_________．12．如圖，在△ABC中，M、N是AB、BC的中點(diǎn)，AN、CM交于點(diǎn)O，那么△MON與△AOC面積的比是_________．13．如圖，AD=DF=FB，DE∥FG∥BC，則SⅠ：SⅡ：SⅢ=_________．14．如圖，已知點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，AF∥BC，CG：GA=3：1，BC=8，則AF=_________．解答題15．（2008?黃岡）已知：如圖，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（8，0），B（8，10），C（0，4），點(diǎn)D為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿折線(xiàn)OABD的路線(xiàn)移動(dòng)，移動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）求直線(xiàn)BC的解析式；（2）若動(dòng)點(diǎn)P在線(xiàn)段OA上移動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OPDC的面積是梯形COAB面積的；（3）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿折線(xiàn)OABD的路線(xiàn)移動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△OPD的面積為S，請(qǐng)直接寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；（4）試探究：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上移動(dòng)時(shí)，能否在線(xiàn)段OA上找到一點(diǎn)Q，使四邊形CQPD為矩形？并求出此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)．16．（2005?重慶）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A（0，6）、點(diǎn)B（8，0），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始在線(xiàn)段AO上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始在線(xiàn)段BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）求直線(xiàn)AB的解析式；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？（3）當(dāng)t=2秒時(shí)，四邊形OPQB的面積多少個(gè)平方單位？17．（2003?南寧）如圖所示，已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（28，0）和（0，28）．動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開(kāi)始在線(xiàn)段AO上以每秒3個(gè)單位的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)直線(xiàn)EF從x軸開(kāi)始每秒1個(gè)單位的速度向上平行移動(dòng)（即EF∥x軸），并且分別與y軸，線(xiàn)段AB交于E，F(xiàn)點(diǎn)，連接FP，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線(xiàn)EF同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t=1秒時(shí)，求梯形OPFE的面積，當(dāng)t為何值時(shí)，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？（2）當(dāng)梯形OPFE的面積等于三角形APF的面積時(shí)，求線(xiàn)段PF的長(zhǎng)；（3）設(shè)t的值分別取t1，t2時(shí)（t1≠t2），所對(duì)應(yīng)的三角形分別為△AF1P1和△AF2P2．試判斷這兩個(gè)三角形是否相似，請(qǐng)證明你的判斷．18．（2009?蘭州）如圖①，正方形ABCD中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，10），（8，4），點(diǎn)C在第一象限．動(dòng)點(diǎn)P在正方形ABCD的邊上，從點(diǎn)A出發(fā)沿A?B?C?D勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以相同速度在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)P點(diǎn)在邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)x（長(zhǎng)度單位）關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)圖象如圖②所示，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)Q開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)的坐標(biāo)及點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度；（2）求正方形邊長(zhǎng)及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）在（1）中當(dāng)t為何值時(shí)，△OPQ的面積最大，并求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）如果點(diǎn)P、Q保持原速度不變，當(dāng)點(diǎn)P沿A?B?C?D勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP與PQ能否相等？若能，寫(xiě)出所有符合條件的t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（2008?孝感）銳角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，兩動(dòng)點(diǎn)M，N分別在邊AB，AC上滑動(dòng)，且MN∥BC，以MN為邊向下作正方形MPQN，設(shè)其邊長(zhǎng)為x，正方形MPQN與△ABC公共部分的面積為y（y＞0）（1）△ABC中邊BC上高AD=_________；（2）當(dāng)x=_________時(shí)，PQ恰好落在邊BC上（如圖1）；（3）當(dāng)PQ在△ABC外部時(shí)（如圖2），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（注明x的取值范圍），并求出x為何值時(shí)y最大，最大值是多少？20．（2008?青島）已知：如圖①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；連接PQ．若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0＜t＜2），解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BC；（2）設(shè)△AQP的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時(shí)刻t，使線(xiàn)段PQ恰好把Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由；（4）如圖②，連接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，那么是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形PQP′C為菱形？若存在，求出此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．21．（2008?梅州）如圖所示，E是正方形ABCD的邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，EF⊥DE交BC于點(diǎn)F．（1）求證：△ADE∽△BEF；（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4，AE=x，BF=y．當(dāng)x取什么值時(shí)，y有最大值？并求出這個(gè)最大值．22．（2007?溫州）在△ABC中，∠C=Rt∠，AC=4cm，BC=5cm，點(diǎn)D在BC上，并且CD=3cm，現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以1cm/s的速度，沿AC向終點(diǎn)C移動(dòng)；點(diǎn)Q以1.25cm/s的速度沿BC向終點(diǎn)C移動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作PE∥BC交AD于點(diǎn)E，連接EQ，設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．（1）用含x的代數(shù)式表示AE、DE的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在BD（不包括點(diǎn)B、D）上移動(dòng)時(shí)，設(shè)△EDQ的面積為y（cm2），求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；（3）當(dāng)x為何值時(shí)，△EDQ為直角三角形？23．（2006?南平）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)A沿AD向D運(yùn)動(dòng)，以BE為邊，在BE的上方作正方形BEFG，連接CG．請(qǐng)?zhí)骄浚海?）線(xiàn)段AE與CG是否相等請(qǐng)說(shuō)明理由：（2）若設(shè)AE=x，DH=y，當(dāng)x取何值時(shí)，y最大？（3）連接BH，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AD的何位置時(shí)，△BEH∽△BAE？24．（2001?上海）已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．（1）如圖，P為AD上的一點(diǎn)，滿(mǎn)足∠BPC=∠A，求AP的長(zhǎng)；（2）如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合），且滿(mǎn)足∠BPE=∠A，PE交直線(xiàn)BC于點(diǎn)E，同時(shí)交直線(xiàn)DC于點(diǎn)Q．①當(dāng)點(diǎn)Q在線(xiàn)段DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，設(shè)AP=x，CQ=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；②當(dāng)CE=1時(shí)，寫(xiě)出AP的長(zhǎng)．（不必寫(xiě)解答過(guò)程）25．已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、B（0，3）、C（4，﹣5）三點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式及其圖象的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，除點(diǎn)A外的另一個(gè)交點(diǎn)設(shè)為E，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．在△AOB、△BOE、△ABE和△BDE著四個(gè)三角形中，是否有相似三角形？如果有，指出哪幾對(duì)三角形相似，并加以證明；如果沒(méi)有，要說(shuō)明理由．26．如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=CD=．點(diǎn)M從點(diǎn)B開(kāi)始，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)N從點(diǎn)D開(kāi)始，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)M，N同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M與點(diǎn)C不重合，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）．過(guò)點(diǎn)N作NP垂直于BC，交BC于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)Q，連接MQ．（1）用含t的代數(shù)式表示QP的長(zhǎng)；（2）設(shè)△CMQ的面積為S，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）求出t為何值時(shí)，△CMQ為等腰三角形？27．如圖，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，AB=．將三角板中30°角的頂點(diǎn)D放在AB邊上移動(dòng)，使這個(gè)30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC，BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE、DF、EF，且使DE始終與AB垂直，設(shè)AD=x，△DEF的面積為y．（1）畫(huà)出符合條件的圖形，寫(xiě)出與△ADE一定相似的三角形并說(shuō)明理由；（2）EF與AB可能平行嗎？若能，請(qǐng)求出此時(shí)AD的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式并求出自變量的取值范圍；當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，最大值為多少？28．（2009?青島）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，點(diǎn)P由B出發(fā)沿BD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，線(xiàn)段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，交BD于Q，連接PE．若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PE∥AB；（2）設(shè)△PEQ的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時(shí)刻t，使S△PEQ=S△BCD？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由；（4）連接PF，在上述運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，五邊形PFCDE的面積是否發(fā)生變化？說(shuō)明理由．29．（2008?湖州）如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線(xiàn)BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．解答下列問(wèn)題：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖乙，線(xiàn)段CF，BD之間的位置關(guān)系為_(kāi)________，數(shù)量關(guān)系為_(kāi)________．②當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)．試探究：當(dāng)△ABC滿(mǎn)足一個(gè)什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C，F(xiàn)重合除外）畫(huà)出相應(yīng)圖形，并說(shuō)明理由．（畫(huà)圖不寫(xiě)作法）（3）若AC=4，BC=3，在（2）的條件下，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線(xiàn)段CF相交于點(diǎn)P，求線(xiàn)段CP長(zhǎng)的最大值．30．（2008?恩施州）如圖1，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長(zhǎng)為2，若△ABC固定不動(dòng)，△AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D、E（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），設(shè)BE=m，CD=n．（1）請(qǐng)?jiān)趫D中找出兩對(duì)相似而不全等的三角形，并選取其中一對(duì)進(jìn)行證明；（2）求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫(xiě)出自變量n的取值范圍；（3）以△ABC的斜邊BC所在的直線(xiàn)為x軸，BC邊上的高所在的直線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖2）．在邊BC上找一點(diǎn)D，使BD=CE，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，并通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證BD2+CE2=DE2；（4）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，（3）中的等量關(guān)系BD2+CE2=DE2是否始終成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．第4章《相似三角形》?？碱}集（09）：4.3兩個(gè)三角形相似的判定參考答案與試題解析填空題1．（2005?北京）在△ABC中，∠B=25°，AD是BC邊上的高，并且AD2=BD?DC，則∠BCA的度數(shù)為65°或115°．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)。專(zhuān)題：分類(lèi)討論。分析：根據(jù)已知可得到△BDA∽△ADC，注意∠C可以是銳角也可是鈍角，故應(yīng)該分情況進(jìn)行分析，從而確定∠BCA度數(shù)．解答：解：（1）當(dāng)∠C為銳角時(shí)，由AD2=BD?DC，AD是BC邊上的高得，△BDA∽△ADC，∴∠CAD=∠B=25，∴∠BCA=65°；（2）當(dāng)∠C為鈍角時(shí)，同理可得，△BDA∽△ADC∴∠BCA=25°+90°=115°．點(diǎn)評(píng)：本題涉及相似三角形的性質(zhì)以及分類(lèi)討論思想．2．（2001?重慶）已知：如圖，在△ABC中，AB=15m，AC=12m，AD是∠BAC的外角平分線(xiàn)，DE∥AB交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，那么CE=48m．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)。專(zhuān)題：綜合題。分析：根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可推得△ABC∽△EDC，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得出一關(guān)系式AB：DE=AC：CE，由外角平分線(xiàn)可推出DE=AE，則可求解．解答：解：∵DE∥AB∴∠BAC=∠E，∠B=∠EDC∴△ABC∽△EDC∴AB：DE=AC：CE∵AD是∠BAC的外角平分線(xiàn)，DE∥AB∴∠EDA=∠EAD∴DE=AE=AC+CE∴AB：（AC+CE）=AC：CE即15：（12+CE）=12：CE∴CE=48m．點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)及相似三角形的判定及性質(zhì)，注意相似三角形中對(duì)應(yīng)邊成比例．3．如圖，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，過(guò)直角頂點(diǎn)C作CA1⊥AB，垂足為A1，再過(guò)A1作A1C1⊥BC，垂足為C1，過(guò)C1作C1A2⊥AB，垂足為A2，再過(guò)A2作A2C2⊥BC，垂足為C2，…，這樣一直做下去，得到了一組線(xiàn)段CA1，A1C1，C1A2，…，則CA1=，=考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積；勾股定理。專(zhuān)題：規(guī)律型。分析：由于在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，所以AB=5，利用等面積法，可以求出CA1=；由于△BA5C4∽△BCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即，所以==．解答：解：在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴AB=，又因?yàn)镃A1⊥AB，∴AB?CA1=AC?BC，即CA1===．∵C4A5∴△BA5C4∴，∴==．所以應(yīng)填和．點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，其中相似三角形的性質(zhì)“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上高的比等于相似比”是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于點(diǎn)O，S△AOD：S△COB=1：9，則S△DOC：S△BOC=1：3．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；梯形。分析：根據(jù)在梯形ABCD中，AD∥BC，AC，易得△AOD∽△COB，且S△AOD：S△COB=1：9，可求=，則S△AOD：S△DOC=1：3，所以S△DOC：S△BOC=1：3．解答：解：根據(jù)題意，AD∥BC∴△AOD∽△COB∵S△AOD：S△COB=1：9∴=則S△AOD：S△DOC=1：3所以S△DOC：S△BOC=3：9=1：3．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，相似三角形面積的比等于相似比的平方．5．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊BC上的點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，如果，那么=．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)。分析：由平行四邊形的性質(zhì)可證△BEF∽△DAF，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得BE：DA=BF：DF即可解．解答：解：ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，BC=AD∴△BEF∽△DAF∴BE：DA=BF：DF∵BC=AD∴BF：DF=BE：BC=2：3．點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定定理和性質(zhì)．6．如圖，在△ABD中，∠ADB=90°，C是BD上一點(diǎn)，若E、F分別是AC、AB的中點(diǎn)，△DEF的面積為3.5，則△ABC的面積為14．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線(xiàn)；三角形中位線(xiàn)定理。分析：根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理和直角三角形的性質(zhì)，可得△DEF和△ABC的對(duì)應(yīng)邊的比都是1：2，從而得到兩個(gè)三角形相似，再根據(jù)相似三角形的面積比是相似比的平方進(jìn)行求解．解答：解：∵∠ADB=90°，E、F分別為AC、AB的中點(diǎn)，∴EF=BC=EF，DF=AB=AF，DE=AC=AE．∴△DEF∽△ABC，且相似比為1：2，則S△ABC=4S△DEF=4×3.5=14．點(diǎn)評(píng)：用到的知識(shí)點(diǎn)有：直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半；三條對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；相似三角形的面積比等于相似比的平方，三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)．可以直接根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例證明△DFE和△ABC相似，再利用相似三角形面積的比等于相似比的平方求解．7．在矩形ABCD中，E、F分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、H在DC邊上，且GH=DC．若AB=10，BC=12，則圖中陰影部分的面積為35．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)。分析：連接EF，由于EF分別是ADBC上的中點(diǎn)，所以EF∥AB∥CD，而四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，所以四邊形EFCD是矩形，再過(guò)M作MQ⊥EF，同樣也垂直于CD，再利用GH=DC，可得相似比，那么可求出NM，MQ，以及EF，CD的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式可求出△EFM和△MGH的面積，用矩形EFCD的面積減去△EFM的面積減去△GHM的面積，即可求陰影部分面積．解答：解：連接EF，過(guò)M作MQ⊥EF，交EF于N，交CD于Q，∵△EFM∽△HGM，相似比是EF：GH=2：1，∴MN：MQ=EF：GH=2：1，又∵NQ=?BC=6，∴MN=4，MQ=2，∴S△EFG=×10×4=20，∴S△GHM=×5×2=5，S矩形EFCD=6×10=60，∴S陰影=60﹣20﹣5=35．故答案為：35．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，求出陰影部分的面積可以轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則圖形的面積的和或差的關(guān)系．8．如圖，在?ABCD中，E為CD中點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)O，S△DOE=12cm2，則S△AOB等于48cm2考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)。分析：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，先證△DOE∽△BOA，求出相似比為，故面積比為，即可求S△AOB=4S△DOE．解答：解：∵在?ABCD中，E為CD中點(diǎn)，∴DE∥AB，DE=AB，在△DOE與△BOA中，∠DOE=∠BOA，∠OBA=∠ODE，∴△DOE∽△BOA，相似比為=，故面積比為，即S△AOB=4S△DOE=4×12=48cm2．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)．9．如圖，在△ABC中，EF∥BC，AE=2BE，則△AEF與梯形BCFE的面積比4：5．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)。分析：先證△AEF∽△ABC，相似比是2：3，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，可求面積的比是4：9，故可求△AEF與梯形BCFE的面積比．解答：解：AE=2BE，則，根據(jù)EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，相似比是2：3，面積的比是相似比的平方，因而面積的比是4：9，設(shè)△AEF的面積是4a，則△ABC的面積是9a，則梯形BCFE的面積是5a，因而△AEF與梯形BCFE的面積比4：5．點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)相似三角形性質(zhì)的理解，相似三角形面積的比等于相似比的平方．10．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，CB=6，在斜邊AB上取一點(diǎn)M，使MB=CB，過(guò)M作MN⊥AB交AC于N，則MN=3．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理。分析：首先證明△ACB∽△AMN，可得AC：CB=AM：MN，代入數(shù)值求解即可．解答：解：∵∠C=∠AMN=90°，∠A為△ACB和△AMN的公共角，∴△ACB∽△AMN，∴AC：CB=AM：MN，在直角△ABC中，由勾股定理得AB2=AC2+BC2，即AB=10；又∵AC=8，CB=6，AM=AB﹣6=4，∴=，即MN=3．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，涉及到勾股定理的運(yùn)用．11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，BD=4，則CD=2．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)。分析：首先證△ACD∽△CBD，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出CD的長(zhǎng)．解答：解：Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB；∴∠ACD=∠B=90°﹣∠A；又∵∠ADC=∠CDB=90°，∴△ACD∽△CBD；∴CD2=AD?BD=4，即CD=2．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)．12．如圖，在△ABC中，M、N是AB、BC的中點(diǎn)，AN、CM交于點(diǎn)O，那么△MON與△AOC面積的比是1：4．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線(xiàn)定理。分析：由于M、N是AB、BC的中點(diǎn)，那么MN是△ABC的中位線(xiàn)，由中位線(xiàn)所得MN、AC的位置關(guān)系，可判定△MNO∽△CAO，根據(jù)中位線(xiàn)得到的數(shù)量關(guān)系，可得到兩個(gè)相似三角形的相似比，再由相似三角形的面積比等于相似比即可得解．解答：解：∵M(jìn)、N是AB、BC的中點(diǎn)，∴MN∥AC，且MN=AC；∴△MON∽△COA，∴S△MON：S△COA=MN2：AC2=1：4．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)以及三角形中位線(xiàn)定理的綜合應(yīng)用．13．如圖，AD=DF=FB，DE∥FG∥BC，則SⅠ：SⅡ：SⅢ=1：3：5．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行線(xiàn)的性質(zhì)。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)先證明△ADE∽△AFG∽△ABC，再根據(jù)已知及相似三角形的性質(zhì)求出S△ADE：S△AFG：S△ABC的值，從而得出SⅠ：SⅡ：SⅢ的值．解答：解：∵DE∥FG∥BC，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，∵AD=DF=FB，∴AD：AF：AB=1：2：3，∴S△ADE：S△AFG：S△ABC=1：4：9，∴SⅠ：SⅡ：SⅢ=1：3：5．點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)．相似三角形的面積比等于相似比的平方．14．如圖，已知點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，AF∥BC，CG：GA=3：1，BC=8，則AF=4．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)。分析：根據(jù)已知可推出△AFG∽△CEG，△ADF∽△BDE，根據(jù)相似三角形的相似比不難求得AF的長(zhǎng)．解答：解：∵AF∥BC，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，∴∠F=∠E，∠ADF=∠EDB，AD=BD，∴△ADF≌△BDE∴AF=BE設(shè)AF=BE=x．∵AF∥EC∴△AGF∽△CGE∴==即∴BE=EC，BC=8=EC，∴EC=12，∴BE=4，∴AF=4．故答案為：4．點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；若平行于三角形一邊的直線(xiàn)與另兩邊或另兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)所組成的三角形與原三角形相似．解答題15．（2008?黃岡）已知：如圖，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（8，0），B（8，10），C（0，4），點(diǎn)D為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿折線(xiàn)OABD的路線(xiàn)移動(dòng)，移動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）求直線(xiàn)BC的解析式；（2）若動(dòng)點(diǎn)P在線(xiàn)段OA上移動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OPDC的面積是梯形COAB面積的；（3）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿折線(xiàn)OABD的路線(xiàn)移動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△OPD的面積為S，請(qǐng)直接寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；（4）試探究：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上移動(dòng)時(shí)，能否在線(xiàn)段OA上找到一點(diǎn)Q，使四邊形CQPD為矩形？并求出此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)．考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題；矩形的判定；直角梯形；相似三角形的判定與性質(zhì)。專(zhuān)題：綜合題；壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型；分類(lèi)討論。分析：（1）可根據(jù)點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法來(lái)求出直線(xiàn)BC的解析式；（2）可先計(jì)算出梯形面積的，也就求出了四邊形COPD的面積．有OC的長(zhǎng)，D是BC的中點(diǎn)，如果過(guò)D作梯形的中位線(xiàn)，可求出三角形OCD中，OC邊上的高應(yīng)該是4，由此可求出三角形OCD的面積，也就能表示出OPD的面積，然后再用OP的值表示出三角形OPD的面積，得出關(guān)于t的方程，即可求出此時(shí)t的值；（3）本題要分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)P在OA上時(shí)，即0＜t＜8時(shí)，如果過(guò)D作OA的垂線(xiàn)DE，垂直為E，那么DE就是梯形的中位線(xiàn)，即DE=7，要表示三角形OPD的面積，還需知道OP的長(zhǎng)，可以根據(jù)P點(diǎn)的速度，用時(shí)間t表示出OP，這樣可根據(jù)三角形的面積公式求出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式．②當(dāng)P在AD上時(shí)，即8≤t＜18時(shí)，三角形OPD的面積可以用四邊形OAPD的面積﹣三角形OAP的面積來(lái)表示，而四邊形OAPD的面積可分成梯形DEAP和三角形OED兩部分來(lái)求，而OE，AE，DE，AB都是定值，因此可求出四邊形OAPDD的面積，三角形OAP中，可用t表示出AP的長(zhǎng)，進(jìn)而可用t表示出三角形OAP的面積，然后根據(jù)三角形OPD的面積S=四邊形OAPD的面積﹣三角形OAP的面積，即可得出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式；③當(dāng)P在BD上時(shí)，即18＜t＜23時(shí)，三角形OPD的面積可用三角形OCP的面積﹣三角形OCD的面積來(lái)求，三角形OPC中，可過(guò)P作OC的垂線(xiàn)PH，可根據(jù)AB∥OC，得出∠BCH的正弦值，然后用t表示出CP，那么在直角三角形OPH中可以求出OC邊上的高PH的表達(dá)式，那么就能表示出三角形OPC的面積，三角形OCD中，OC的值已知，而OC邊上的高就是OE，那么也可求出三角形OCD的面積，然后可根據(jù)三角形OPD的面積=三角形OPC的面積﹣三角形OCD的面積來(lái)求出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式；（4）先假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，那么四邊形CQPD是矩形，可得出CD=QP=BD=5，∠QPD=∠PDC=90°，要求此時(shí)t的值，首先就要求出AP的長(zhǎng)，根據(jù)∠QPD=∠BDP=∠QAP=90°，不難得出三角形AQP與三角形DPB相似，那么可得出關(guān)于BD，BP，AP，OP的比例關(guān)系，而B(niǎo)D，OP的長(zhǎng)已求出，AP+PB=AB=10，因此可求出此時(shí)AP，PB的長(zhǎng)，然后判定一下此時(shí)四邊形QPDC是矩形的結(jié)論是否成立，如果成立可根據(jù)AP的長(zhǎng)求出t的長(zhǎng)．解答：解：（1）設(shè)BC所在直線(xiàn)的解析式為y=kx+b，因?yàn)橹本€(xiàn)BC過(guò)B（8，10），C（0，4）兩點(diǎn)，可得：，解得k=，b=4，因此BC所在直線(xiàn)的解析式是y=x+4；（2）過(guò)D作DE⊥OA，則DE為梯形OABC的中位線(xiàn)，OC=4，AB=10，則DE=7，又OA=8，得S梯形OABC=56，則四邊形OPDC的面積為16，S△COD=8，∴S△POD=8，即?t×7=8，得t=；（3）分三種情況①0＜t≤8，（P在OA上）S三角形OPD=t②8＜t≤18，（P在AB上）S三角形OPD=S梯形OCAB﹣S三角形OCD﹣S三角形OAP﹣S三角形PBD=56﹣8﹣4（t﹣8）﹣2（18﹣t）=44﹣2t（此時(shí)AP=t﹣8，BP=18﹣t）③過(guò)D點(diǎn)作DM垂直y軸與M點(diǎn)∴CM=3DM=4CD=5∴∠BCH的正弦值為CP長(zhǎng)為28﹣t∴PH=22.4﹣0.8tS三角形OPD=S三角形OPC﹣S三角形ODC=×4（22.4﹣0.8t）﹣8=﹣t；（4）不能．理由如下：作CM⊥AB，則CM=OA=8，AM=OC=4，∴MB=6．∴在Rt△BCM中，BC=10，∴CD=5，若四邊形CQPD為矩形，則PQ=CD=5，且PQ∥CD，∴Rt△PAQ∽R(shí)t△BDP，設(shè)BP=x，則PA=10﹣x，∴，化簡(jiǎn)得x2﹣10x+25=0，x=5，即PB=5，∴PB=BD，這與△PBD是直角三角形不相符因此四邊形CQPD不可能是矩形．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了梯形的性質(zhì)，矩形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意的是（3）中，要根據(jù)P點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類(lèi)求解．16．（2005?重慶）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A（0，6）、點(diǎn)B（8，0），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始在線(xiàn)段AO上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始在線(xiàn)段BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）求直線(xiàn)AB的解析式；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？（3）當(dāng)t=2秒時(shí)，四邊形OPQB的面積多少個(gè)平方單位？考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；相似三角形的判定與性質(zhì)。專(zhuān)題：動(dòng)點(diǎn)型。分析：（1）已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B就可以利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式．（2）以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形△AOB相似，應(yīng)分△APQ∽△AOB和△AQP∽△AOB兩種情況討論，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，就可以求出t的值．（3）過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥OA于M，△AMQ∽△AOB就可以求出QM的值，就可以求出面積．解答：解：（1）設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A（0，6）、點(diǎn)B（8，0）代入得，解得，直線(xiàn)AB的解析式為：y=﹣x+6．（2）設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒，OA=6，OB=8，∴勾股定理可得，AB=10，∴AP=t，AQ=10﹣2t．分兩種情況，①當(dāng)△APQ∽△AOB時(shí)，，，t=，②當(dāng)△AQP∽△AOB時(shí)，，，t=，綜上所述，當(dāng)t=或時(shí)，以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形△AOB相似．（3）當(dāng)t=2秒時(shí)，四邊形OPQB的面積，AP=2，AQ=6，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥OA于M，△AMQ∽△AOB，∴，QM=4.8△APQ的面積為：AP×QM=×2×4.8=4.8（平方單位），∴四邊形OPQB的面積為：S△AOB﹣S△APQ=24﹣4.8=19.2（平方單位）．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等．17．（2003?南寧）如圖所示，已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（28，0）和（0，28）．動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開(kāi)始在線(xiàn)段AO上以每秒3個(gè)單位的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)直線(xiàn)EF從x軸開(kāi)始每秒1個(gè)單位的速度向上平行移動(dòng)（即EF∥x軸），并且分別與y軸，線(xiàn)段AB交于E，F(xiàn)點(diǎn)，連接FP，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線(xiàn)EF同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t=1秒時(shí)，求梯形OPFE的面積，當(dāng)t為何值時(shí)，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？（2）當(dāng)梯形OPFE的面積等于三角形APF的面積時(shí)，求線(xiàn)段PF的長(zhǎng)；（3）設(shè)t的值分別取t1，t2時(shí)（t1≠t2），所對(duì)應(yīng)的三角形分別為△AF1P1和△AF2P2．試判斷這兩個(gè)三角形是否相似，請(qǐng)證明你的判斷．考點(diǎn)：二次函數(shù)的最值；勾股定理；梯形；相似三角形的判定。專(zhuān)題：壓軸題。分析：（1）要求梯形的面積就要知道兩底和高的值，根據(jù)動(dòng)直線(xiàn)的速度，可以用時(shí)間表示出OE的長(zhǎng)，也就表示出了梯形的高，根據(jù)P的速度可用時(shí)間t表示出AP，然后根據(jù)AO的長(zhǎng)得出OP的長(zhǎng)，現(xiàn)在關(guān)鍵是底EF的長(zhǎng)，由于△AOB是個(gè)等腰直角三角形，那么△BEF也應(yīng)該是個(gè)等腰直角三角形，那么BE=EF，有了OB，OE的長(zhǎng)，就可以表示出BE，EF的長(zhǎng)，這樣可根據(jù)梯形的面積公式求出梯形的面積，也就求出了梯形的面積與t的函數(shù)關(guān)系式，就能求出當(dāng)t=1時(shí)梯形的面積，也能求出梯形的最大面積以及對(duì)應(yīng)的t的值；（2）三角形的面積就是AP?OE÷2，由于（1）中我們得出了梯形的面積與t的函數(shù)式，當(dāng)梯形的面積與三角形的面積相等時(shí)，那么這兩個(gè)式子就相等，可求出此時(shí)時(shí)間的值．有了時(shí)間的直角就求出了OE，PA的值，可通過(guò)F引OA的垂線(xiàn)，用直角三角形和勾股定理求出PF的長(zhǎng)；（3）當(dāng)時(shí)間不同時(shí)，AP1：AP2=t1：t2，而此時(shí)AF1：AF2也正好是t1：t2，那么這兩條線(xiàn)段對(duì)應(yīng)成比例而兩三角形又共用了這里兩組對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的夾角，故兩三角形相似．解答：解：（1）S梯形OPFE=（OP+EF）?OE=（25+27）×1=26．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，梯形OPFE的面積為y，則y=（28﹣3t+28﹣t）t=﹣2t2+28t=﹣2（t﹣7）2+98，所以當(dāng)t=7秒時(shí)，梯形OPFE的面積最大，最大面積為98；（2）當(dāng)S梯形OPFE=S△APF時(shí)，﹣2t2+28t=，解得t1=8，t2=0（舍去）．當(dāng)t=8秒時(shí)，F(xiàn)P=8；（3）由，且∠OAB=∠OAB，可證得△AF1P1∽△AF2P2．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了梯形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的各特殊角得出線(xiàn)段間的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．18．（2009?蘭州）如圖①，正方形ABCD中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，10），（8，4），點(diǎn)C在第一象限．動(dòng)點(diǎn)P在正方形ABCD的邊上，從點(diǎn)A出發(fā)沿A?B?C?D勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以相同速度在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)P點(diǎn)在邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)x（長(zhǎng)度單位）關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)圖象如圖②所示，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)Q開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)的坐標(biāo)及點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度；（2）求正方形邊長(zhǎng)及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）在（1）中當(dāng)t為何值時(shí)，△OPQ的面積最大，并求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）如果點(diǎn)P、Q保持原速度不變，當(dāng)點(diǎn)P沿A?B?C?D勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP與PQ能否相等？若能，寫(xiě)出所有符合條件的t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；一次函數(shù)的圖象；三角形的面積；直角三角形全等的判定；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)。專(zhuān)題：壓軸題。分析：（1）根據(jù)題意，觀(guān)察圖象可得x與t的關(guān)系，進(jìn)而可得答案；（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥y軸于點(diǎn)F，BE⊥x軸于點(diǎn)E，易得BF=8，OF=BE=4，進(jìn)而在Rt△AFB中，由勾股定理可得AB=10；進(jìn)一步易得△ABF≌△BCH，再根據(jù)BH與OG的關(guān)系，可得C的坐標(biāo)；（3）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，PN⊥x軸于點(diǎn)N，易得△APM∽△ABF；進(jìn)而可得對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系，解可得AM、PM與t的關(guān)系，由三角形面積公式，可得答案．解答：解：（1）Q（1，0）（1分）Q的圖象是一條直線(xiàn)，且過(guò)點(diǎn)（10，11）．且點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度每秒鐘1個(gè)單位長(zhǎng)度．（2分）（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥y軸于點(diǎn)F，BE⊥x軸于點(diǎn)E，則BF=8，OF=BE=4．∴AF=10﹣4=6．在Rt△AFB中，AB==10，（3分）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，與FB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)H．∵∠ABC=90°，AB=BC，∴△ABF≌△BCH．∴BH=AF=6CH=BF=8．∴OG=FH=8+6=14，CG=8+4=12．∴所求C點(diǎn)的坐標(biāo)為（14，12）．（4分）（3）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，PN⊥x軸于點(diǎn)N，則△APM∽△ABF．∴，∴．∴AM=t，PM=t，∴PN=OM=10﹣t，ON=PM=t．設(shè)△OPQ的面積為S（平方單位），∴S=×（10﹣t）（1+t）=5+t﹣t2（0≤t≤10），（5分）說(shuō)明：未注明自變量的取值范圍不扣分．∵a=﹣，∴當(dāng)t=﹣=時(shí)，△OPQ的面積最大．（6分）此時(shí)P的坐標(biāo)為（，）．（7分）（4）OP與PQ相等，組成等腰三角形，即當(dāng)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)的一半時(shí)，當(dāng)P在BC上時(shí)，8+（t﹣10）=t，解得：t=﹣20（舍去）當(dāng)P在CD上時(shí)，14﹣（t﹣20）=t，解得：t=，即當(dāng)t=時(shí)，OP與PQ相等．當(dāng)P在BA上時(shí)，t=，（9分）點(diǎn)評(píng)：本題是一道動(dòng)態(tài)解析幾何題，對(duì)學(xué)生的運(yùn)動(dòng)分析，數(shù)形結(jié)合的思想作了重點(diǎn)的考查，有一定的難度．19．（2008?孝感）銳角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，兩動(dòng)點(diǎn)M，N分別在邊AB，AC上滑動(dòng)，且MN∥BC，以MN為邊向下作正方形MPQN，設(shè)其邊長(zhǎng)為x，正方形MPQN與△ABC公共部分的面積為y（y＞0）（1）△ABC中邊BC上高AD=4；（2）當(dāng)x=2.4時(shí)，PQ恰好落在邊BC上（如圖1）；（3）當(dāng)PQ在△ABC外部時(shí)（如圖2），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（注明x的取值范圍），并求出x為何值時(shí)y最大，最大值是多少？考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)。專(zhuān)題：壓軸題。分析：（1）本題利用矩形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)MN∥BC，得△AMN∽△ABC，求出△ABC中邊BC上高AD的長(zhǎng)度．（2）因?yàn)檎叫蔚奈恢迷谧兓?，但是△AMN∽△ABC沒(méi)有改變，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊上高的比等于相似比，得出等量關(guān)系，代入解析式，（3）用含x的式子表示矩形MEFN邊長(zhǎng)，從而求出面積的表達(dá)式．解答：解：（1）由BC=6，S△ABC=12，得AD=4；（2）當(dāng)PQ恰好落在邊BC上時(shí)，∵M(jìn)N∥BC，∴△AMN∽△ABC．∴，即=，x=2.4（或）；（3）設(shè)BC分別交MP，NQ于E，F(xiàn)，則四邊形MEFN為矩形．設(shè)ME=NF=h，AD交MN于G（如圖2）GD=NF=h，AG=4﹣h．∵M(jìn)N∥BC，∴△AMN∽△ABC．∴，即，∴．∴y=MN?NF=x（﹣x+4）=﹣x2+4x（2.4＜x＜6），配方得：y=﹣（x﹣3）2+6．∴當(dāng)x=3時(shí)，y有最大值，最大值是6．點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合相似三角形的性質(zhì)及矩形面積計(jì)算方法，考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)，要始終抓住相似三角形對(duì)應(yīng)邊上高的比等于相似比，表示相關(guān)邊的長(zhǎng)度．20．（2008?青島）已知：如圖①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；連接PQ．若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0＜t＜2），解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BC；（2）設(shè)△AQP的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時(shí)刻t，使線(xiàn)段PQ恰好把Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由；（4）如圖②，連接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，那么是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形PQP′C為菱形？若存在，求出此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)。專(zhuān)題：壓軸題。分析：（1）當(dāng)PQ∥BC時(shí)，我們可得出三角形APQ和三角形ABC相似，那么可得出關(guān)于AP，AB，AQ，AC的比例關(guān)系，我們觀(guān)察這四條線(xiàn)段，已知的有AC，根據(jù)P，Q的速度，可以用時(shí)間t表示出AQ，BP的長(zhǎng)，而AB可以用勾股定理求出，這樣也就可以表示出AP，那么將這些數(shù)值代入比例關(guān)系式中，即可得出t的值．（2）求三角形APQ的面積就要先確定底邊和高的值，底邊AQ可以根據(jù)Q的速度和時(shí)間t表示出來(lái)．關(guān)鍵是高，可以用AP和∠A的正弦值來(lái)求．AP的長(zhǎng)可以用AB﹣BP求得，而sinA就是BC：AB的值，因此表示出AQ和AQ邊上的高后，就可以得出x，y的函數(shù)關(guān)系式．（3）如果將三角形ABC的周長(zhǎng)和面積平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ，那么可以用t表示出CQ，AQ，AP，BP的長(zhǎng)，那么可以求出此時(shí)t的值，我們可將t的值代入（2）的面積與t的關(guān)系式中，求出此時(shí)面積是多少，然后看看面積是否是三角形ABC面積的一半，從而判斷出是否存在這一時(shí)刻．（4）我們可通過(guò)構(gòu)建相似三角形來(lái)求解．過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，那么PNCM就是個(gè)矩形，解題思路：通過(guò)三角形BPN和三角形ABC相似，得出關(guān)于BP，PN，AB，AC的比例關(guān)系，即可用t表示出PN的長(zhǎng)，也就表示出了MC的長(zhǎng)，要想使四邊形PQP'C是菱形，PQ=PC，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的特點(diǎn)，QM=MC，這樣有用t表示出的AQ，QM，MC三條線(xiàn)段和AC的長(zhǎng)，就可以根據(jù)AC=AQ+QM+MC來(lái)求出t的值．求出了t就可以得出QM，CM和PM的長(zhǎng)，也就能求出菱形的邊長(zhǎng)了．解答：解：（1）在Rt△ABC中，AB=，由題意知：AP=5﹣t，AQ=2t，若PQ∥BC，則△APQ∽△ABC，∴=，∴=，∴t=．所以當(dāng)t=時(shí)，PQ∥BC．（2）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于H．∵△APH∽△ABC，∴=，∴=，∴PH=3﹣t，∴y=×AQ×PH=×2t×（3﹣t）=﹣t2+3t．（3）若PQ把△ABC周長(zhǎng)平分，則AP+AQ=BP+BC+CQ．∴（5﹣t）+2t=t+3+（4﹣2t），解得t=1．若PQ把△ABC面積平分，則S△APQ=S△ABC，即﹣+3t=3．∵t=1代入上面方程不成立，∴不存在這一時(shí)刻t，使線(xiàn)段PQ把Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分．（4）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，若四邊形PQP'C是菱形，那么PQ=PC．∵PM⊥AC于M，∴QM=CM．∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．∴=，∴=，∴PN=，∴QM=CM=，∴t+t+2t=4，解得：t=．∴當(dāng)t=時(shí)，四邊形PQP'C是菱形．此時(shí)PM=3﹣t=，CM=t=，在Rt△PMC中，PC===，∴菱形PQP′C邊長(zhǎng)為．點(diǎn)評(píng)：本題圖形結(jié)合的動(dòng)態(tài)題，是近幾年考試熱點(diǎn)，同時(shí)考查三角形相似知識(shí)，是一道很好的綜合題．本題亮點(diǎn)是巧妙結(jié)合圖形綜合考查不同知識(shí)點(diǎn)．21．（2008?梅州）如圖所示，E是正方形ABCD的邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，EF⊥DE交BC于點(diǎn)F．（1）求證：△ADE∽△BEF；（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4，AE=x，BF=y．當(dāng)x取什么值時(shí)，y有最大值？并求出這個(gè)最大值．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)。專(zhuān)題：代數(shù)幾何綜合題。分析：（1）這兩個(gè)三角形中，已知的條件有∠A=∠B=90°，那么只要得出另外兩組對(duì)應(yīng)角相等即可得出兩三角形相似，因?yàn)椤螪EA+∠FEB=180﹣90=90°，而∠ADE+∠DEA=90°，因此∠ADE=∠FEB，同理可得出∠BFE=∠AED，那么就構(gòu)成了兩三角形相似的條件；（2）可用x表示出BE的長(zhǎng)，然后根據(jù)（1）中三角形ADE和FEB相似可得出關(guān)于AD，AE，BE，BF的比例關(guān)系式，然后就能得出一個(gè)關(guān)于x，y的函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出y的最大值及相應(yīng)的x的值．解答：（1）證明：∵ABCD是正方形，∴∠DAE=∠FBE=90°．∴∠ADE+∠DEA=90°．又∵EF⊥DE，∴∠AED+∠FEB=90°，∴∠ADE=∠FEB，∴△ADE∽△BEF．（2）解：由（1）△ADE∽△BEF，AD=4，BE=4﹣x，得：，得：y=（﹣x2+4x）=[﹣（x﹣2）2+4]=﹣（x﹣2）2+1，所以當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值，y的最大值為1．點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．22．（2007?溫州）在△ABC中，∠C=Rt∠，AC=4cm，BC=5cm，點(diǎn)D在BC上，并且CD=3cm，現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以1cm/s的速度，沿AC向終點(diǎn)C移動(dòng)；點(diǎn)Q以1.25cm/s的速度沿BC向終點(diǎn)C移動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作PE∥BC交AD于點(diǎn)E，連接EQ，設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．（1）用含x的代數(shù)式表示AE、DE的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在BD（不包括點(diǎn)B、D）上移動(dòng)時(shí)，設(shè)△EDQ的面積為y（cm2），求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；（3）當(dāng)x為何值時(shí)，△EDQ為直角三角形？考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)。專(zhuān)題：壓軸題。分析：（1）可根據(jù)PE∥DC，來(lái)得出關(guān)于AE，AD，AP，AC的比例關(guān)系，AD可根據(jù)勾股定理求出，那么就能用x表示出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而可表示出DE的長(zhǎng)；（2）求三角形EDQ的面積可以QD為底邊，以PC為高來(lái)求，QD=BD﹣BQ，而B(niǎo)Q可根據(jù)Q的速度用時(shí)間表示出來(lái)，那么也就能用x表示出QD，而PC就是AC﹣AP，有了底和高，就可以根據(jù)三角形的面積公式得出關(guān)于x，y的函數(shù)關(guān)系式；（3）因?yàn)椤螦DB是鈍角，因此要想使三角形EDQ是直角三角形，那么Q就必須在CD上，可分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)∠EQD=90°時(shí)，四邊形EPCQ是個(gè)矩形，那么EQ=PC，DQ=BQ﹣BD，根據(jù)EQ∥AC可得出關(guān)于EQ，AC，DQ，DC的比例關(guān)系從而求出x的值．②當(dāng)∠DEQ=90°時(shí)，可用PC和∠DAC的正弦值來(lái)表示出EQ，然后用相似三角形EQD和ABC，得出關(guān)于EQ，AC，DQ，AD的比例關(guān)系，從而求出x的值．解答：解：（1）在Rt△ADC中，AC=4，CD=3，∴AD=5，∵EP∥DC，∴△AEP∽△ADC∴=，即=，∴EA=x，DE=5﹣x；（2）∵BC=5，CD=3，∴BD=2，當(dāng)點(diǎn)Q在BD上運(yùn)動(dòng)x秒后，DQ=2﹣1.25x，則y=×DQ×CP=（4﹣x）（2﹣1.25x）=x2﹣x+4，即y與x的函數(shù)解析式為：y=x2﹣x+4，其中自變量的取值范圍是：0＜x＜1.6；（3）分兩種情況討論：①當(dāng)∠EQD=90°時(shí)，顯然有EQ=PC=4﹣x，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC∴=，即=，解得x=2.5②當(dāng)∠QED=90°時(shí)，∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA，∴=，即=，解得x=3.1．綜上所述，當(dāng)x為2.5秒或3.1秒時(shí)，△EDQ為直角三角形．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，弄清相關(guān)線(xiàn)段的大小和比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．23．（2006?南平）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)A沿AD向D運(yùn)動(dòng)，以BE為邊，在BE的上方作正方形BEFG，連接CG．請(qǐng)?zhí)骄浚海?）線(xiàn)段AE與CG是否相等請(qǐng)說(shuō)明理由：（2）若設(shè)AE=x，DH=y，當(dāng)x取何值時(shí)，y最大？（3）連接BH，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AD的何位置時(shí)，△BEH∽△BAE？考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；直角三角形全等的判定；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)。專(zhuān)題：壓軸題。分析：（1）AE=CG，要證結(jié)論，必證△ABE≌△CBG，由正方形的性質(zhì)很快確定∠3=∠4，又AB=BC，BE=BG，符合SAS即證．（2）先證△ABE∽△DEH，所以，即可求出函數(shù)解析式y(tǒng)=﹣x2+x，繼而求出最值．（3）要使△BEH∽△BAE，需，又因?yàn)椤鰽BE∽△DEH，所以，即，所以當(dāng)E點(diǎn)是AD的中點(diǎn)時(shí)，△BEH∽△BAE．解答：解：（1）AE=CG．理由：正方形ABCD和正方形BEFG中，∠3+∠5=90°，∠4+∠5=90°，∴∠3=∠4．又AB=BC，BE=BG，∴△ABE≌△CBG．∴AE=CG．（2）∵正方形ABCD和正方形BEFG，∴∠A=∠D=∠FEB=90°．∴∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°．∴∠1=∠3．又∵∠A=∠D，∴△ABE∽△DEH．∴．∴．∴y=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+當(dāng)x=時(shí)，y有最大值為．（3）當(dāng)E點(diǎn)是AD的中點(diǎn)時(shí)，△BEH∽△BAE，理由：∵E是AD中點(diǎn)，∴AE=．∴DH=．又∵△ABE∽△DEH，∴．又∵，∴．又∠DAB=∠FEB=90°，∴△BEH∽△BAE．點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合正方形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，以及正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定24．（2001?上海）已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．（1）如圖，P為AD上的一點(diǎn)，滿(mǎn)足∠BPC=∠A，求AP的長(zhǎng)；（2）如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合），且滿(mǎn)足∠BPE=∠A，PE交直線(xiàn)BC于點(diǎn)E，同時(shí)交直線(xiàn)DC于點(diǎn)Q．①當(dāng)點(diǎn)Q在線(xiàn)段DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，設(shè)AP=x，CQ=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；②當(dāng)CE=1時(shí)，寫(xiě)出AP的長(zhǎng)．（不必寫(xiě)解答過(guò)程）考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；梯形；相似三角形的判定與性質(zhì)。專(zhuān)題：綜合題；壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型。分析：（1）當(dāng)∠BPC=∠A時(shí)，∠A+∠APB+∠ABP=180°，而∠APB+∠BPC+∠DPC=180°，因此∠ABP=∠DPC，此時(shí)三角形APB與三角形DPC相似，那么可得出關(guān)于AP，PD，AB，CD的比例關(guān)系式，AB，CD的值題中已經(jīng)告訴，可以先用AP表示出PD，然后代入上面得出的比例關(guān)系式中求出AP的長(zhǎng)．（2）①與（1）的方法類(lèi)似，只不過(guò)把DC換成了DQ，那么只要用DC+CQ就能表示出DQ了．然后按得出的關(guān)于AB，AP，PD，DQ的比例關(guān)系式，得出x，y的函數(shù)關(guān)系式．②和①的方法類(lèi)似，但是要多一步，要先通過(guò)平行得出三角形PDQ和CEQ相似，根據(jù)CE的長(zhǎng)，用AP表示出PD，然后根據(jù)PD，DQ，QC，CE的比例關(guān)系用AP表示出DQ，然后按①的步驟進(jìn)行求解即可．解答：解：（1）∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB=DC．∴∠A=∠D∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A∴∠ABP=∠DPC，∴△ABP∽△DPC∴，即：解得：AP=1或AP=4．（2）①由（1）可知：△ABP∽△DPQ∴，即：，∴（1＜x＜4）．②當(dāng)CE=1時(shí)，AP=2或．點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合梯形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，利用相似三角形得出線(xiàn)段間的比例關(guān)系是求解的關(guān)鍵．25．已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、B（0，3）、C（4，﹣5）三點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式及其圖象的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，除點(diǎn)A外的另一個(gè)交點(diǎn)設(shè)為E，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．在△AOB、△BOE、△ABE和△BDE著四個(gè)三角形中，是否有相似三角形？如果有，指出哪幾對(duì)三角形相似，并加以證明；如果沒(méi)有，要說(shuō)明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；相似三角形的判定。專(zhuān)題：幾何圖形問(wèn)題；綜合題。分析：（1）使用代入法可求解二次函數(shù)的解析式．（2）在坐標(biāo)軸上每一點(diǎn)的坐標(biāo)都是已知，則可根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得每一線(xiàn)段的長(zhǎng)，若在兩三角形中，三邊對(duì)應(yīng)成比例，而這兩三角形相似，可推得△AOB∽△DBE．解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0）．根據(jù)題意，得，解得a=﹣1，b=2，c=3．∴二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+2x+3．由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）答：頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）；（2）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)畫(huà)出圖形．△AOB∽△DBE，∵OA=1，OB=3，AB=，BD=，BE=3，DE=．得===．∴△AOB∽△DBE．點(diǎn)評(píng)：用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式時(shí)要靈活地根據(jù)已知條件選擇配方法和公式法．本題是一道難度較大的二次函數(shù)題，綜合考查了三角形相似的判定定理．26．如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=CD=．點(diǎn)M從點(diǎn)B開(kāi)始，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)N從點(diǎn)D開(kāi)始，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)M，N同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M與點(diǎn)C不重合，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）．過(guò)點(diǎn)N作NP垂直于BC，交BC于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)Q，連接MQ．（1）用含t的代數(shù)式表示QP的長(zhǎng)；（2）設(shè)△CMQ的面積為S，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）求出t為何值時(shí)，△CMQ為等腰三角形？考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；等腰三角形的性質(zhì)；等腰梯形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)。專(zhuān)題：動(dòng)點(diǎn)型。分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，在△ABE中，由等腰梯形性質(zhì)得BE=1，由勾股定理得AE=2，可推CE=3，ND=x，PC=1+x，由AE∥PQ得比例，表示線(xiàn)段PQ；（2）由已知可得BM=2t，CM=4﹣2t，△CMQ的底CM、高PQ都可表示，就可表示面積了；（3）△CMQ為等腰三角形，有三種可能，即：QM=QC，QC=CM，QM=CM，針對(duì)每一種情況，根據(jù)圖形特征，線(xiàn)段長(zhǎng)度，運(yùn)用勾股定理解答．解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，如圖，由AD=2，BC=4，AB=CD=，得AE=2．（1分）∵ND=t，∴PC=1+t．∴．即．∴．（2分）（2）∵點(diǎn)M以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)，∴BM=2t，CM=4﹣2t．（3分）∴S△CMQ==．即S=．（4分）（3）①若QM=QC，∵QP⊥MC，∴MP=CP．而MP=4﹣（1+t+2t）=3﹣3t，即1+t=3﹣3t，∴t=．（5分）②若CQ=CM，∵CQ2=CP2+PQ2=，∴CQ=．∵CM=4﹣2t，∴=4﹣2t．∴．（6分）③若MQ=MC，∵M(jìn)Q2=MP2+PQ2=，∴=（4﹣2t）2，即．解得t=或t=﹣1（舍去）．∴t=．（7分）∴當(dāng)t的值為，，時(shí)，△CMQ為等腰三角形．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形、等腰三角形、相似三角形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，有較強(qiáng)的綜合性．27．如圖，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，AB=．將三角板中30°角的頂點(diǎn)D放在AB邊上移動(dòng)，使這個(gè)30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC，BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE、DF、EF，且使DE始終與AB垂直，設(shè)AD=x，△DEF的面積為y．（1）畫(huà)出符合條件的圖形，寫(xiě)出與△ADE一定相似的三角形并說(shuō)明理由；（2）EF與AB可能平行嗎？若能，請(qǐng)求出此時(shí)AD的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式并求出自變量的取值范圍；當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，最大值為多少？考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；相似三角形的判定。專(zhuān)題：綜合題。分析：（1）由于AC=BC，根據(jù)等邊對(duì)等角，∠A=∠B=30°，又知道∠B也是30°，那么不難得出∠DFB就應(yīng)該是90°，在△ABC中，肯定相等的角是∠A=∠B=30°，∠ADE=∠DFB=90°，因此△ADE和△BFD一定相似．（2）如果EF∥AB，那么△DEF就是個(gè)直角三角形，如果設(shè)AD=x，那么根據(jù)AB的長(zhǎng)，可以用x表示出BD的長(zhǎng)，先在△ADE中，根據(jù)∠A的度數(shù)和AD的長(zhǎng)用x和三角形函數(shù)表示出DE同理在△DEF中，用DE表示出DF，先前我們用x表示出了BD的長(zhǎng)，那么可以在直角△BDF中，用x表示出DF，然后讓這兩個(gè)表示DF的式子相等，即可求出x即AD的長(zhǎng)．（3）求△DEF的高就要知道它的底邊和高分別是多少，在（2）中我們已經(jīng)得出了DE=，DE邊上的高=DF?sin30°=DF=（﹣），由此可根據(jù)三角形的面積公式來(lái)列出關(guān)于x，y的函數(shù)關(guān)系式．當(dāng)F與C重合時(shí)x最小，此時(shí)BF=2．那么BD=，x=2﹣BD=；當(dāng)E與C重合時(shí)，AD就是AB的一半，此時(shí)x=，x的值最大，因此x的取值范圍就是≤x≤．然后根據(jù)得出的函數(shù)式和自變量的取值求出y的最大值是多少．解答：解：（1）圖形舉例：△ADE∽△BFD∵DE⊥AB，∠EDF=30°，∴∠FDB=60°∵∠A=∠B，∠AED=∠FDB，∴△ADE∽△BFD．（2）EF可以平行于AB此時(shí)，在直角△ADE中，DE=，在直角△DEF中，EF=在直角△DBF中，∵BD=，∴DF=而DF=2EF，∴=，∴．（3）y=××（﹣）==（）當(dāng)時(shí)，y最大=．點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合梯形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，利用直角三角形的特殊角和直角三角形之間的公共邊求解是解題的關(guān)鍵．28．（2009?青島）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，點(diǎn)P由B出發(fā)沿BD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，線(xiàn)段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，交BD于Q，連接PE．若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PE∥AB；（2）設(shè)△PEQ的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時(shí)刻t，使S△PEQ=S△BCD？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由；（4）連接PF，在上述運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，五邊形PFCDE的面積是否發(fā)生變化？說(shuō)明理由．考點(diǎn)：平行線(xiàn)的判定；根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式；三角形的面積；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)。專(zhuān)題：壓軸題。分析：（1）若要PE∥AB，則應(yīng)有，故用t表示DE和DP后，代入上式求得t的值；（2）過(guò)B作BM⊥CD，交CD于M，過(guò)P作PN⊥EF，交EF于N．由題意知，四邊形CDEF是平行四邊形，可證得△DEQ∽△BCD，得到，求得EQ的值，再由△PNQ∽△BMD，得到，求得PN的值，利用S△PEQ=EQ?PN得到y(tǒng)與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）利用S△PEQ=S△BCD建立方程，求得t的值；（4）易得△PDE≌△FBP，故有S五邊形PFCDE=S△PDE+S四邊形PFCD=S△FBP+S四邊形PFCD=S△BCD，即五邊形的面積不變．解答：解：（1）∵PE∥AB，∴．而DE=t，DP=10﹣t，∴，∴，∴當(dāng)（s），PE∥AB．（2）∵線(xiàn)段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運(yùn)動(dòng)，∴EF平行且等于CD，∴四邊形CDEF是平行四邊形．∴∠DEQ=∠C，∠DQE=∠BDC．∵BC=BD=10，∴∠DEQ=∠C=∠DQE=∠BDC．∴△DEQ∽△BCD．∴．．∴．過(guò)B作BM⊥CD，交CD于M，過(guò)P作PN⊥EF，交EF于N，，∵ED=DQ=BP=t，∴PQ=10﹣2t．又△PNQ∽△BMD，∴．∴．∴．∴S△PEQ=EQ?PN=××．（3）S△BCD=CD?BM=×4×4=8，若S△PEQ=S△BCD，則有﹣t2+t=×8，解得t1=1，t2=4．（4）在△PDE和△FBP中，∵DE=BP=t，PD=BF=10﹣t，∠PDE=∠FBP，∴△PDE≌△FBP．∴S五邊形PFCDE=S△PDE+S四邊形PFCD=S△FBP+S四邊形PFCD=S△BCD=8．∴在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，五邊形PFCDE的面積不變．點(diǎn)評(píng)：本題利用了平行線(xiàn)的性質(zhì)，相似三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積公式求解．綜合性較強(qiáng)，難度較大．29．（2008?湖州）如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線(xiàn)BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．解答下列問(wèn)題：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖乙，線(xiàn)段CF，BD之間的位置