最新6年高考4年模擬-第三章導數(shù)及其應用

PAGE第三章導數(shù)及其應用第一部分六年高考薈萃2010年高考題1..（2010全國卷2理）（10）若曲線在點處的切線與兩個坐標圍成的三角形的面積為18，則（A）64（B）32（C）16（D）8【答案】A【命題意圖】本試題主要考查求導法則、導數(shù)的幾何意義、切線的求法和三角形的面積公式，考查考生的計算能力..【解析】，切線方程是，令，，令，，∴三角形的面積是，解得.故選A.2.（2010遼寧文）（12）已知點在曲線上，為曲線在點處的切線的傾斜角，則的取值范圍是(A)[0,)(B)（C）(D)答案D解析：選D.，，即，3.（2010遼寧理）(1O)已知點P在曲線y=上，a為曲線在點P處的切線的傾斜角，則a的取值范圍是(A)[0,)(B)(D)【答案】D【命題立意】本題考查了導數(shù)的幾何意義，求導運算以及三角函數(shù)的知識。【解析】因為，即tana≥-1,所以4.（2010全國卷2文）（7）若曲線在點處的切線方程是，則（A）(B)(C)(D)【解析】A：本題考查了導數(shù)的幾何意思即求曲線上一點處的切線方程∵，∴，在切線，∴5.（2010江西理）12.如圖，一個正五角星薄片（其對稱軸與水面垂直）勻速地升出水面，記t時刻五角星露出水面部分的圖形面積為，則導函數(shù)的圖像大致為【答案】A【解析】本題考查函數(shù)圖像、導數(shù)圖、導數(shù)的實際意義等知識，重點考查的是對數(shù)學的探究能力和應用能力。最初零時刻和最后終點時刻沒有變化，導數(shù)取零，排除C；總面積一直保持增加，沒有負的改變量，排除B；考察A、D的差異在于兩肩位置的改變是否平滑，考慮到導數(shù)的意義，判斷此時面積改變?yōu)橥蛔儯a(chǎn)生中斷，選擇A。6.（2010江蘇卷）14、將邊長為1m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記,則S的最小值是________?！窘馕觥靠疾楹瘮?shù)中的建模應用，等價轉(zhuǎn)化思想。一題多解。設(shè)剪成的小正三角形的邊長為，則：（方法一）利用導數(shù)求函數(shù)最小值。，，當時，遞減；當時，遞增；故當時，S的最小值是。（方法二）利用函數(shù)的方法求最小值。令，則：故當時，S的最小值是。7.（2010湖南文）21．（本小題滿分13分）已知函數(shù)其中a<0,且a≠-1.（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)（e是自然數(shù)的底數(shù)）。是否存在a，使在[a,-a]上為減函數(shù)？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由。8.（2010浙江理）(22)(本題滿分14分)已知是給定的實常數(shù)，設(shè)函數(shù)，，是的一個極大值點．(Ⅰ)求的取值范圍；(Ⅱ)設(shè)是的3個極值點，問是否存在實數(shù)，可找到，使得的某種排列(其中=)依次成等差數(shù)列?若存在，求所有的及相應的；若不存在，說明理由．解析：本題主要考查函數(shù)極值的概念、導數(shù)運算法則、導數(shù)應用及等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力、分類討論等綜合解題能力和創(chuàng)新意識。（Ⅰ）解：f’(x)=ex(x-a)令于是，假設(shè)當x1=a或x2=a時，則x=a不是f(x)的極值點，此時不合題意。當x1a且x2a時，由于x=a是f(x)的極大值點，故x1<a<x即即所以b＜-a所以b的取值范圍是（-∞，-a）此時或（2）當時，則或于是此時綜上所述，存在b滿足題意，當b=-a-3時，時，時，9.（2010全國卷2理）（22）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）證明：當時，；（Ⅱ）設(shè)當時，，求a的取值范圍．【命題意圖】本題主要考查導數(shù)的應用和利用導數(shù)證明不等式，考查考生綜合運用知識的能力及分類討論的思想，考查考生的計算能力及分析問題、解決問題的能力.【參考答案】【點評】導數(shù)常作為高考的壓軸題，對考生的能力要求非常高，它不僅要求考生牢固掌握基礎(chǔ)知識、基本技能，還要求考生具有較強的分析能力和計算能力.估計以后對導數(shù)的考查力度不會減弱。作為壓軸題，主要是涉及利用導數(shù)求最值解決恒成立問題，利用導數(shù)證明不等式等，常伴隨對參數(shù)的討論，這也是難點之所在.10.（2010陜西文）21、(本小題滿分14分)已知函數(shù)f（x）=，g（x）=alnx，aR。若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)相交，且在交點處有相同的切線，求a的值及該切線的方程；設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),當h(x)存在最小之時，求其最小值（a）的解析式；對（2）中的（a），證明：當a（0，+）時，（a）1.解（1）f’(x)=,g’(x)=(x>0),由已知得=alnx，=，解德a=,x=e2,兩條曲線交點的坐標為（e2,e）切線的斜率為k=f’(e2)=,切線的方程為y-e=(x-e2).（2）由條件知Ⅰ當a.>0時，令h(x)=0,解得x=,所以當0<x<時h(x)<0，h(x)在（0，）上遞減；當x>時，h(x)>0，h(x)在（0，）上遞增。所以x>是h(x)在（0，+∞）上的唯一極致點，且是極小值點，從而也是h(x)的最小值點。所以Φ

（a）=h()=2a-aln=2Ⅱ當a

≤

0時，h(x)=(1/2-2a)/2x>0,h(x)在（0，+∞）遞增，無最小值。故h(x)的最小值Φ

（a）的解析式為2a(1-ln2a)(a>o)（3）由（2）知Φ

（a）=2a(1-ln2a)則Φ

1（a）=-2ln2a，令Φ

1（a）=0解得a=1/2當0<a<1/2時，Φ

1（a）>0，所以Φ

（a）在(0,1/2)上遞增當a>1/2時，Φ

1（a）<0，所以Φ（a）在(1/2,+∞)上遞減。所以Φ（a）在(0,+∞)處取得極大值Φ（1/2）=1因為Φ（a）在(0,+∞)上有且只有一個極致點，所以Φ（1/2）=1也是Φ（a）的最大值所當a屬于(0,+∞)時，總有Φ（a）

≤

111.（2010遼寧文）（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)，證明：對任意，.解：(Ⅰ)f(x)的定義域為(0,+)，.當a≥0時，＞0，故f(x)在(0,+)單調(diào)增加；當a≤－1時，＜0,故f(x)在(0,+)單調(diào)減少；當－1＜a＜0時，令＝0,解得x=.當x∈(0,)時,＞0；x∈(，+)時，＜0,故f(x)在（0,）單調(diào)增加，在（，+）單調(diào)減少.(Ⅱ)不妨假設(shè)x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）單調(diào)減少.所以等價于≥4x1－4x2,即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.令g(x)=f(x)+4x,則+4＝. 于是≤＝≤0.從而g(x)在（0，+）單調(diào)減少，故g(x1)≤g(x2)，即f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2，故對任意x1,x2∈(0,+)，.12.（2010遼寧理）（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；（II）設(shè).如果對任意，，求的取值范圍。解：（Ⅰ）的定義域為（0，+∞）..當時，＞0，故在（0，+∞）單調(diào)增加；當時，＜0，故在（0，+∞）單調(diào)減少；當-1＜＜0時，令=0，解得.則當時，＞0；時，＜0.故在單調(diào)增加，在單調(diào)減少.（Ⅱ）不妨假設(shè)，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）單調(diào)減少，從而，等價于，①令，則①等價于在（0，+∞）單調(diào)減少，即.從而故a的取值范圍為（-∞，-2].……12分13.（2010全國卷2文）（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)f（x）=x-3ax+3x+1。（Ⅰ）設(shè)a=2，求f（x）的單調(diào)期間；（Ⅱ）設(shè)f（x）在區(qū)間（2,3）中至少有一個極值點，求a的取值范圍?！窘馕觥勘绢}考查了導數(shù)在函數(shù)性質(zhì)中的應用，主要考查了用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值及函數(shù)與方程的知識。（1）求出函數(shù)的導數(shù)，由導數(shù)大于0，可求得增區(qū)間，由導數(shù)小于0，可求得減區(qū)間。（2）求出函數(shù)的導數(shù)，在（2，3）內(nèi)有極值，即為在（2，3）內(nèi)有一個零點，即可根據(jù)，即可求出a的取值范圍。14.（2010江西理）19.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)。（1）當a=1時，求的單調(diào)區(qū)間。（2）若在上的最大值為，求a的值?！窘馕觥靠疾楹瘮?shù)導數(shù)運算、利用導數(shù)處理函數(shù)最值等知識。解：對函數(shù)求導得：，定義域為（0，2）單調(diào)性的處理，通過導數(shù)的零點進行穿線判別符號完成。當a=1時，令當為增區(qū)間；當為減函數(shù)。區(qū)間上的最值問題，通過導數(shù)得到單調(diào)性，結(jié)合極值點和端點的比較得到，確定待定量a的值。當有最大值，則必不為減函數(shù)，且>0，為單調(diào)遞增區(qū)間。最大值在右端點取到。。15.（2010安徽文）20.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)，，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值?！久}意圖】本題考查導數(shù)的運算，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值的方法，考查綜合應用數(shù)學知識解決問題的能力.【解題指導】（1）對函數(shù)求導，對導函數(shù)用輔助角公式變形，利用導數(shù)等于0得極值點，通過列表的方法考查極值點的兩側(cè)導數(shù)的正負，判斷區(qū)間的單調(diào)性，求極值.【思維總結(jié)】對于函數(shù)解答題，一般情況下都是利用導數(shù)來研究單調(diào)性或極值，利用導數(shù)為0得可能的極值點，通過列表得每個區(qū)間導數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而得出極值點.16.（2010重慶文）(19)(本小題滿分12分),(Ⅰ)小問5分，(Ⅱ)小問7分.)已知函數(shù)(其中常數(shù)a,b∈R),是奇函數(shù).(Ⅰ)求的表達式;(Ⅱ)討論的單調(diào)性，并求在區(qū)間[1,2]上的最大值和最小值.17.（2010浙江文）（21）（本題滿分15分）已知函數(shù)（a-b）<b)。（I）當a=1，b=2時，求曲線在點（2，）處的切線方程。（II）設(shè)是的兩個極值點，是的一個零點，且，證明：存在實數(shù)，使得按某種順序排列后的等差數(shù)列，并求18.（2010重慶理）（18）（本小題滿分13分，（I）小問5分，（II）小問8分）已知函數(shù)其中實數(shù)。若a=-2，求曲線在點處的切線方程；若在x=1處取得極值，試討論的單調(diào)性。19.（2010山東文）（21）（本小題滿分12分） 已知函數(shù) （I）當時，求曲線在點處的切線方程； （II）當時，討論的單調(diào)性.20.（2010北京理）(18)(本小題共13分)已知函數(shù)()=In(1+)-+(≥0)。(Ⅰ)當=2時，求曲線=()在點(1，(1))處的切線方程；(Ⅱ)求()的單調(diào)區(qū)間。解：（I）當時，，由于，，所以曲線在點處的切線方程為即（II），.當時，.所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，.故得單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.當時，由，得，所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.當時，故得單調(diào)遞增區(qū)間是.當時，，得，.所以沒在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是21.（2010天津文）（20）（本小題滿分12分）已知函數(shù)f（x）=，其中a>0.（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；（Ⅱ）若在區(qū)間上，f（x）>0恒成立，求a的取值范圍.【解析】本小題主要考查曲線的切線方程、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及分類討論的思想方法.滿分12分.（Ⅰ）解：當a=1時，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=,f’(2)=6.所以曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-3=6（x-2），即y=6x-9.（Ⅱ）解：f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.以下分兩種情況討論：若，當x變化時，f’(x)，f（x）的變化情況如下表：X0f’(x)+0-f(x)極大值當?shù)葍r于解不等式組得-5<a<5.因此.若a>2，則.當x變化時，f’(x),f（x）的變化情況如下表：X0f’(x)+0-0+f(x)極大值極小值當時，f（x）>0等價于即解不等式組得或.因此2<a<5.綜合（1）和（2），可知a的取值范圍為0<a<5.22.（2010天津理）（21）（本小題滿分14分）已知函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，證明當時，（Ⅲ）如果，且，證明【解析】本小題主要考查導數(shù)的應用，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力，滿分14分（Ⅰ）解：f’令f’(x)=0,解得x=1當x變化時，f’(x)，f(x)的變化情況如下表X()1()f’(x)+0-f(x)極大值所以f(x)在()內(nèi)是增函數(shù)，在()內(nèi)是減函數(shù)。函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=（Ⅱ）證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是當x>1時，2x-2>0,從而’(x)>0,從而函數(shù)F（x）在[1,+∞)是增函數(shù)。又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).（Ⅲ)證明：（1）若（2）若根據(jù)（1）（2）得由（Ⅱ）可知，>,則=，所以>,從而>.因為，所以，又由（Ⅰ）可知函數(shù)f(x)在區(qū)間（-∞，1）內(nèi)事增函數(shù)，所以>,即>2.23.（2010福建文）22．（本小題滿分14分）已知函數(shù)f（x）=的圖像在點P（0,f(0)）處的切線方程為y=3x-2(Ⅰ)求實數(shù)a,b的值；(Ⅱ)設(shè)g（x）=f(x)+是[]上的增函數(shù)。（i）求實數(shù)m的最大值；(ii)當m取最大值時，是否存在點Q，使得過點Q的直線若能與曲線y=g(x)圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等?若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由。24.（2010全國卷1理）(20)(本小題滿分12分)已知函數(shù).（Ⅰ）若，求的取值范圍；（Ⅱ）證明：.25.（2010湖北文）21.（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)，其中a＞0，曲線在點P（0，）處的切線方程為y=1（Ⅰ）確定b、c的值（Ⅱ）設(shè)曲線在點（）及（）處的切線都過點（0,2）證明：當時，（Ⅲ）若過點（0,2）可作曲線的三條不同切線，求a的取值范圍。26.（2010湖南理）20.（本小題滿分13分）已知函數(shù)對任意的，恒有。（Ⅰ）證明：當時，；（Ⅱ）若對滿足題設(shè)條件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值。解析：27.（2010福建理）20．（本小題滿分14分）（Ⅰ）已知函數(shù)，。（i）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（ii）證明：若對于任意非零實數(shù)，曲線C與其在點處的切線交于另一點，曲線C與其在點處的切線交于另一點，線段（Ⅱ）對于一般的三次函數(shù)（Ⅰ）（ii）的正確命題，并予以證明?！久}意圖】本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)、定積分等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力、運算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想。【解析】（Ⅰ）（i）由得=，當和時，；當時，，因此，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為。28.（2010湖北理數(shù)）29.（2010安徽理）17、（本小題滿分12分）設(shè)為實數(shù)，函數(shù)。(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間與極值；(Ⅱ)求證：當且時，。30.（2010江蘇卷）20、（本小題滿分16分）設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導函數(shù)為。如果存在實數(shù)和函數(shù)，其中對任意的都有>0，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì)。(1)設(shè)函數(shù)，其中為實數(shù)。(i)求證：函數(shù)具有性質(zhì)；(ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。(2)已知函數(shù)具有性質(zhì)。給定設(shè)為實數(shù)，，，且，若||<||，求的取值范圍。【解析】本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及導數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查靈活運用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分16分。（1）(i)∵時，恒成立，∴函數(shù)具有性質(zhì)；(ii)（方法一）設(shè)，與的符號相同。當時，，，故此時在區(qū)間上遞增；當時，對于，有，所以此時在區(qū)間上遞增；當時，圖像開口向上，對稱軸，而，對于，總有，，故此時在區(qū)間上遞增；（方法二）當時，對于，所以，故此時在區(qū)間上遞增；當時，圖像開口向上，對稱軸，方程的兩根為：，而當時，，，故此時在區(qū)間上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增。綜上所述，當時，在區(qū)間上遞增；當時，在上遞減；在上遞增。(2)（方法一）由題意，得：又對任意的都有>0，所以對任意的都有，在上遞增。又。當時，，且，綜合以上討論，得：所求的取值范圍是（0，1）。（方法二）由題設(shè)知，的導函數(shù)，其中函數(shù)對于任意的都成立。所以，當時，，從而在區(qū)間上單調(diào)遞增。①當時，有，，得，同理可得，所以由的單調(diào)性知、，從而有||<||，符合題設(shè)。②當時，，，于是由及的單調(diào)性知，所以||≥||，與題設(shè)不符。③當時，同理可得，進而得||≥||，與題設(shè)不符。因此綜合①、②、③得所求的的取值范圍是（0，1）。2009年高考題一、選擇題1.(2009年廣東卷文)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ()A.B.(0,3)C.(1,4)D.答案D解析,令,解得,故選D2.（2009全國卷Ⅰ理）已知直線y=x+1與曲線相切，則α的值為()A.1B.2C.-1D.-答案B解:設(shè)切點，則,又.故答案選B3.（2009安徽卷理）已知函數(shù)在R上滿足，則曲線在點處的切線方程是()A.B.C.D.答案A解析由得幾何，即，∴∴，∴切線方程，即選A4.（2009江西卷文）若存在過點的直線與曲線和都相切，則等于 ()A．或B．或C．或D．或答案A解析設(shè)過的直線與相切于點，所以切線方程為即，又在切線上，則或，當時，由與相切可得，當時，由與相切可得，所以選.5.（2009江西卷理）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為，則曲線在點處切線的斜率為 ()A．B．C．D．答案A解析由已知，而，所以故選A力。6.（2009全國卷Ⅱ理）曲線在點處的切線方程為()A.B.C.D.答案B解,故切線方程為,即故選B.7.（2009湖南卷文）若函數(shù)的導函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是 ()yabyababaoxoxybaoxyoxybA．B．C．D．解析因為函數(shù)的導函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，即在區(qū)間上各點處的斜率是遞增的，由圖易知選A.注意C中為常數(shù)噢.8.（2009遼寧卷理）若滿足2x+=5,滿足2x+2(x－1)=5,+＝ ()A.B.3C.D.4答案C解析由題意①②所以,即2令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)∴5－2t＝2log2(t－1)與②式比較得t＝x2

于是2x1＝7－2x29.（2009天津卷理）設(shè)函數(shù)則 ()A在區(qū)間內(nèi)均有零點。B在區(qū)間內(nèi)均無零點。C在區(qū)間內(nèi)有零點，在區(qū)間內(nèi)無零點。D在區(qū)間內(nèi)無零點，在區(qū)間內(nèi)有零點?！究键c定位】本小考查導數(shù)的應用，基礎(chǔ)題。解析由題得，令得；令得；得，故知函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間為增函數(shù)，在點處有極小值；又，故選擇D。二、填空題10.（2009遼寧卷文）若函數(shù)在處取極值，則解析f’(x)＝f’(1)＝＝0a＝3答案311.若曲線存在垂直于軸的切線，則實數(shù)的取值范圍是.解析解析由題意該函數(shù)的定義域，由。因為存在垂直于軸的切線，故此時斜率為，問題轉(zhuǎn)化為范圍內(nèi)導函數(shù)存在零點。解法1（圖像法）再將之轉(zhuǎn)化為與存在交點。當不符合題意，當時，如圖1，數(shù)形結(jié)合可得顯然沒有交點，當如圖2，此時正好有一個交點，故有應填或是。解法2（分離變量法）上述也可等價于方程在內(nèi)有解，顯然可得12.（2009江蘇卷）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.解析考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性。，由得單調(diào)減區(qū)間為。亦可填寫閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間。13.（2009江蘇卷）在平面直角坐標系中，點P在曲線上，且在第二象限內(nèi)，已知曲線C在點P處的切線的斜率為2，則點P的坐標為.解析考查導數(shù)的幾何意義和計算能力。，又點P在第二象限內(nèi)，點P的坐標為（-2，15）答案:【命題立意】:本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與直線的位置關(guān)系,隱含著對指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的考查,根據(jù)其底數(shù)的不同取值范圍而分別畫出函數(shù)的圖象解答.14.（2009福建卷理）若曲線存在垂直于軸的切線，則實數(shù)取值范圍是_____________.答案解析由題意可知，又因為存在垂直于軸的切線，所以。15.(2009陜西卷理)設(shè)曲線在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標為,令，則的值為.答案-216.（2009四川卷文）設(shè)是已知平面上所有向量的集合，對于映射，記的象為。若映射滿足：對所有及任意實數(shù)都有，則稱為平面上的線性變換?，F(xiàn)有下列命題：①設(shè)是平面上的線性變換，，則②若是平面上的單位向量，對，則是平面上的線性變換；③對，則是平面上的線性變換；④設(shè)是平面上的線性變換，，則對任意實數(shù)均有。其中的真命題是（寫出所有真命題的編號）答案①③④解析①：令，則故①是真命題同理，④：令，則故④是真命題③：∵，則有是線性變換，故③是真命題②：由，則有∵是單位向量，≠0，故②是假命題【備考提示】本小題主要考查函數(shù)，對應及高等數(shù)學線性變換的相關(guān)知識，試題立意新穎，突出創(chuàng)新能力和數(shù)學閱讀能力，具有選拔性質(zhì)。17.（2009寧夏海南卷文）曲線在點（0,1）處的切線方程為。答案解析，斜率k＝＝3，所以，y－1＝3x，即三、解答題18.（2009全國卷Ⅰ理）本小題滿分12分。（注意：在試題卷上作答無效）設(shè)函數(shù)在兩個極值點，且（I）求滿足的約束條件，并在下面的坐標平面內(nèi)，畫出滿足這些條件的點的區(qū)域；(II)證明：分析（I）這一問主要考查了二次函數(shù)根的分布及線性規(guī)劃作可行域的能力。大部分考生有思路并能夠得分。由題意知方程有兩個根則有故有右圖中陰影部分即是滿足這些條件的點的區(qū)域。(II)這一問考生不易得分，有一定的區(qū)分度。主要原因是含字母較多，不易找到突破口。此題主要利用消元的手段，消去目標中的，（如果消會較繁瑣）再利用的范圍，并借助（I）中的約束條件得進而求解，有較強的技巧性。解析由題意有．．．．．．．．．．．．①又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②消去可得．又，且19.（2009浙江文）（本題滿分15分）已知函數(shù)．（I）若函數(shù)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是，求的值；（II）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍．解析（Ⅰ）由題意得又，解得，或（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，等價于導函數(shù)在既能取到大于0的實數(shù)，又能取到小于0的實數(shù)即函數(shù)在上存在零點，根據(jù)零點存在定理，有，即：整理得：，解得20.（2009北京文）（本小題共14分）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）若曲線在點處與直線相切，求的值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點.解析本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力．（Ⅰ）,∵曲線在點處與直線相切，∴（Ⅱ）∵,當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)沒有極值點.當時，由，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴此時是的極大值點，是的極小值點.21.（2009北京理）（本小題共13分）設(shè)函數(shù)（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍.解析本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力．（Ⅰ）,曲線在點處的切線方程為.（Ⅱ）由，得，若，則當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，若，則當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，則當且僅當，即時，函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增，若，則當且僅當，即時，函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增，綜上可知，函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增時，的取值范圍是.22.(2009山東卷文)（本小題滿分12分） 已知函數(shù),其中（1）當滿足什么條件時,取得極值?（2）已知,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,試用表示出的取值范圍.解:(1)由已知得,令,得,要取得極值,方程必須有解,所以△,即,此時方程的根為,,所以當時,x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f’(x)＋0－0＋f(x)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)所以在x1,x2處分別取得極大值和極小值.當時,x(-∞,x2)x2(x2,x1)x1(x1,+∞)f’(x)－0＋0－f(x)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)所以在x1,x2處分別取得極大值和極小值.綜上,當滿足時,取得極值.(2)要使在區(qū)間上單調(diào)遞增,需使在上恒成立.即恒成立,所以設(shè),,令得或(舍去),當時,,當時,單調(diào)增函數(shù);當時,單調(diào)減函數(shù),所以當時,取得最大,最大值為.所以當時,,此時在區(qū)間恒成立,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,當時最大,最大值為,所以綜上,當時,;當時,【命題立意】:本題為三次函數(shù),利用求導的方法研究函數(shù)的極值、單調(diào)性和函數(shù)的最值,函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù),則導函數(shù)在該區(qū)間上的符號確定,從而轉(zhuǎn)為不等式恒成立,再轉(zhuǎn)為函數(shù)研究最值.運用函數(shù)與方程的思想,化歸思想和分類討論的思想解答問題.22.設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)a>1(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;(Ⅱ)若當x≥0時，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍。解析本題考查導數(shù)與函數(shù)的綜合運用能力，涉及利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，第一問關(guān)鍵是通過分析導函數(shù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，第二問是利用導數(shù)及函數(shù)的最值，由恒成立條件得出不等式條件從而求出的范圍。解析（I）由知，當時，，故在區(qū)間是增函數(shù)；當時，，故在區(qū)間是減函數(shù)；當時，，故在區(qū)間是增函數(shù)。綜上，當時，在區(qū)間和是增函數(shù)，在區(qū)間是減函數(shù)。（II）由（I）知，當時，在或處取得最小值。由假設(shè)知即解得1<a<6故的取值范圍是（1，6）23.（2009廣東卷理）（本小題滿分14分）已知二次函數(shù)的導函數(shù)的圖像與直線平行，且在處取得極小值．設(shè)．（1）若曲線上的點到點的距離的最小值為，求的值；（2）如何取值時，函數(shù)存在零點，并求出零點．解析（1）依題可設(shè)()，則；又的圖像與直線平行，，設(shè)，則當且僅當時，取得最小值，即取得最小值當時，解得當時，解得（2）由()，得當時，方程有一解，函數(shù)有一零點；當時，方程有二解，若，，函數(shù)有兩個零點，即；若，，函數(shù)有兩個零點，即；當時，方程有一解,,函數(shù)有一零點綜上，當時,函數(shù)有一零點；當()，或（）時，函數(shù)有兩個零點；當時，函數(shù)有一零點.24.（2009安徽卷理）（本小題滿分12分）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.本小題主要考查函數(shù)的定義域、利用導數(shù)等知識研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的思想方法和運算求解的能力。本小題滿分12分。解析的定義域是(0,+),設(shè),二次方程的判別式.當，即時，對一切都有,此時在上是增函數(shù)。①當,即時，僅對有,對其余的都有,此時在上也是增函數(shù)。當，即時，方程有兩個不同的實根,,.+0_0+單調(diào)遞增極大單調(diào)遞減極小單調(diào)遞增此時在上單調(diào)遞增,在是上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.25.（2009安徽卷文）（本小題滿分14分）已知函數(shù)，a＞0，（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)a=3，求在區(qū)間{1，}上值域。期中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)?！舅悸贰坑汕髮Э膳袛嗟脝握{(diào)性，同時要注意對參數(shù)的討論，即不能漏掉，也不能重復。第二問就根據(jù)第一問中所涉及到的單調(diào)性來求函數(shù)在上的值域。解析(1)由于令①當,即時,恒成立.在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函數(shù).②當,即時由得或或或又由得綜上①當時,在上都是增函數(shù).②當時,在上是減函數(shù),在上都是增函數(shù).(2)當時,由(1)知在上是減函數(shù).在上是增函數(shù).又函數(shù)在上的值域為26.（2009江西卷文）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)．（1）對于任意實數(shù)，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且僅有一個實根，求的取值范圍．解析(1),因為,,即恒成立,所以,得，即的最大值為(2)因為當時,;當時,;當時,;所以當時,取極大值;當時,取極小值;故當或時,方程僅有一個實根.解得或.27.（2009江西卷理）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(1)若，求不等式的解集．解析(1),由,得.因為當時,；當時,；當時,；所以的單調(diào)增區(qū)間是:；單調(diào)減區(qū)間是:.(2)由,得：.故：當時,解集是：；當時，解集是：；當時,解集是：.28.（2009天津卷文）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)（Ⅰ）當曲線處的切線斜率（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；（Ⅲ）已知函數(shù)有三個互不相同的零點0，，且。若對任意的，恒成立，求m的取值范圍。答案（1）1（2）在和內(nèi)減函數(shù)，在內(nèi)增函數(shù)。函數(shù)在處取得極大值，且=函數(shù)在處取得極小值，且=解析解析當所以曲線處的切線斜率為1.（2）解析，令，得到因為當x變化時，的變化情況如下表：+0-0+極小值極大值在和內(nèi)減函數(shù)，在內(nèi)增函數(shù)。函數(shù)在處取得極大值，且=函數(shù)在處取得極小值，且=（3）解析由題設(shè)，所以方程=0由兩個相異的實根，故，且，解得因為若，而，不合題意若則對任意的有則又，所以函數(shù)在的最小值為0，于是對任意的，恒成立的充要條件是,解得綜上，m的取值范圍是【考點定位】本小題主要考查導數(shù)的幾何意義，導數(shù)的運算，以及函數(shù)與方程的根的關(guān)系解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析問題和解決問題的能力。30.(2009湖北卷理)(本小題滿分14分)（注意：在試題卷上作答無效）在R上定義運算（b、c為實常數(shù)）。記，，.令.如果函數(shù)在處有極什,試確定b、c的值；求曲線上斜率為c的切線與該曲線的公共點；記的最大值為.若對任意的b、c恒成立，試示的最大值。當?shù)脤ΨQ軸x=b位于區(qū)間之外此時由①若于是①若，則，于是綜上，對任意的b、c都有而當，時，在區(qū)間上的最大值故對任意的b，c恒成立的k的最大值為31.（2009四川卷文）（本小題滿分12分）已知函數(shù)的圖象在與軸交點處的切線方程是。（I）求函數(shù)的解析式；（II）設(shè)函數(shù)，若的極值存在，求實數(shù)的取值范圍以及函數(shù)取得極值時對應的自變量的值.解析（I）由已知,切點為(2,0),故有,即……①又，由已知得……②聯(lián)立①②，解得.所以函數(shù)的解析式為…………………4分（II）因為令當函數(shù)有極值時，則，方程有實數(shù)解，由，得.①當時，有實數(shù)，在左右兩側(cè)均有，故函數(shù)無極值②當時，有兩個實數(shù)根情況如下表：+0-0+↗極大值↘極小值↗所以在時，函數(shù)有極值；當時，有極大值；當時，有極小值；…………………12分32.（2009全國卷Ⅱ理）(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)有兩個極值點，且（I）求的取值范圍，并討論的單調(diào)性；（II）證明：解:（I）令，其對稱軸為。由題意知是方程的兩個均大于的不相等的實根，其充要條件為，得⑴當時，在內(nèi)為增函數(shù)；⑵當時，在內(nèi)為減函數(shù)；⑶當時，在內(nèi)為增函數(shù)；（II）由（I），設(shè)，則⑴當時，在單調(diào)遞增；⑵當時，，在單調(diào)遞減。故．33.（2009湖南卷文）（本小題滿分13分）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）若在處取得最小值，記此極小值為，求的定義域和值域。解:（Ⅰ）.因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，所以，于是（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.（?。┊攃12時，，此時無極值。（ii）當c<12時，有兩個互異實根,.不妨設(shè)＜，則＜2＜.當x＜時，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；當＜x＜時，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù);當時，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù).所以在處取極大值，在處取極小值.因此，當且僅當時，函數(shù)在處存在唯一極小值，所以.于是的定義域為.由得.于是.當時，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，故的值域為35.（2009福建卷理）（本小題滿分14分）已知函數(shù),且(1)試用含的代數(shù)式表示b,并求的單調(diào)區(qū)間；（2）令,設(shè)函數(shù)在處取得極值，記點M(,)，N(,)，P(),,請仔細觀察曲線在點P處的切線與線段MP的位置變化趨勢，并解釋以下問題：（I）若對任意的m(,x)，線段MP與曲線f(x)均有異于M,P的公共點，試確定t的最小值，并證明你的結(jié)論；（II）若存在點Q(n,f(n)),xn<m,使得線段PQ與曲線f(x)有異于P、Q的公共點，請直接寫出m的取值范圍（不必給出求解過程）解法一:(Ⅰ)依題意,得由.從而令①當a>1時,當x變化時，與的變化情況如下表：x+－+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增由此得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為。②當時，此時有恒成立，且僅在處，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R③當時，同理可得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為綜上：當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.(Ⅱ)由得令得由（1）得增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極值，故M（）N（）。觀察的圖象，有如下現(xiàn)象：①當m從-1（不含-1）變化到3時，線段MP的斜率與曲線在點P處切線的斜率之差Kmp-的值由正連續(xù)變?yōu)樨?。②線段MP與曲線是否有異于H，P的公共點與Kmp－的m正負有著密切的關(guān)聯(lián)；③Kmp－=0對應的位置可能是臨界點，故推測：滿足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面給出證明并確定的t最小值.曲線在點處的切線斜率；線段MP的斜率Kmp當Kmp－=0時，解得直線MP的方程為令當時，在上只有一個零點，可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以在上沒有零點，即線段MP與曲線沒有異于M，P的公共點。當時，.所以存在使得即當MP與曲線有異于M,P的公共點綜上，t的最小值為2.（2）類似（1）于中的觀察，可得m的取值范圍為解法二：（1）同解法一.（2）由得，令，得由（1）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極值。故M().N()(Ⅰ)直線MP的方程為由得線段MP與曲線有異于M,P的公共點等價于上述方程在(－1,m)上有根,即函數(shù)上有零點.因為函數(shù)為三次函數(shù),所以至多有三個零點,兩個極值點.又.因此,在上有零點等價于在內(nèi)恰有一個極大值點和一個極小值點,即內(nèi)有兩不相等的實數(shù)根.等價于即又因為,所以m的取值范圍為(2,3)從而滿足題設(shè)條件的r的最小值為2.36.（2009遼寧卷文）（本小題滿分12分）設(shè)，且曲線y＝f（x）在x＝1處的切線與x軸平行。(2)求a的值，并討論f（x）的單調(diào)性；(1)證明：當解析（Ⅰ）.有條件知，，故.………2分于是.故當時，＜0；當時，＞0.從而在，單調(diào)減少，在單調(diào)增加.………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知在單調(diào)增加，故在的最大值為，最小值為.從而對任意，，有.………10分而當時，.從而………12分37.（2009遼寧卷理）（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=x－ax+(a－1)，。（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：若，則對任意x，x，xx，有。解析(1)的定義域為。2分（i）若即,則故在單調(diào)增加。(ii)若,而,故,則當時，;當及時，故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加。(iii)若,即,同理可得在單調(diào)減少，在單調(diào)增加.(II)考慮函數(shù)則由于1<a<5,故，即g(x)在(4,+∞)單調(diào)增加，從而當時有，即，故，當時，有·········12分38.（2009寧夏海南卷理）（本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）如，求的單調(diào)區(qū)間；（1）若在單調(diào)增加，在單調(diào)減少，證明＜6.（21）解析（Ⅰ）當時，，故當當從而單調(diào)減少.(Ⅱ)由條件得：從而因為所以將右邊展開，與左邊比較系數(shù)得，故又由此可得于是39.（2009陜西卷文）（本小題滿分12分）已知函數(shù)求的單調(diào)區(qū)間；若在處取得極值，直線y=my與的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍。解析（1）當時，對，有當時，的單調(diào)增區(qū)間為當時，由解得或；由解得，當時，的單調(diào)增區(qū)間為；的單調(diào)減區(qū)間為。（2）因為在處取得極大值，所以所以由解得。由（1）中的單調(diào)性可知，在處取得極大值，在處取得極小值。因為直線與函數(shù)的圖象有三個不同的交點，又，，結(jié)合的單調(diào)性可知，的取值范圍是。40.(2009陜西卷理)（本小題滿分12分）已知函數(shù)，其中若在x=1處取得極值，求a的值；求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若的最小值為1，求a的取值范圍。解（Ⅰ）∵在x=1處取得極值，∴解得（Ⅱ）∵∴①當時，在區(qū)間∴的單調(diào)增區(qū)間為②當時，由∴（Ⅲ）當時，由（Ⅱ）①知，當時，由（Ⅱ）②知，在處取得最小值綜上可知，若得最小值為1，則a的取值范圍是41.（2009四川卷文）（本小題滿分12分）已知函數(shù)的圖象在與軸交點處的切線方程是。（I）求函數(shù)的解析式；（II）設(shè)函數(shù)，若的極值存在，求實數(shù)的取值范圍以及函數(shù)取得極值時對應的自變量的值.解析（I）由已知,切點為(2,0),故有,即……①又，由已知得……②聯(lián)立①②，解得.所以函數(shù)的解析式為…………………4分（II）因為令當函數(shù)有極值時，則，方程有實數(shù)解，由，得.①當時，有實數(shù)，在左右兩側(cè)均有，故函數(shù)無極值②當時，有兩個實數(shù)根情況如下表：+0-0+↗極大值↘極小值↗所以在時，函數(shù)有極值；當時，有極大值；當時，有極小值；…………………12分42.（2009湖北卷文）（本小題滿分14分）已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝＋bx2＋cx＋bc,其導函數(shù)為f+(x).令g(x)＝∣f+(x)∣,記函數(shù)g(x)在區(qū)間[-1、1]上的最大值為M.(Ⅰ)如果函數(shù)f(x)在x＝1處有極值-，試確定b、c的值：（Ⅱ）若∣b∣>1,證明對任意的c,都有M>2:(Ⅲ)若M≧K對任意的b、c恒成立，試求k的最大值。本小題主要考察函數(shù)、函數(shù)的導數(shù)和不等式等基礎(chǔ)知識，考察綜合運用數(shù)學知識進行推理論證的能力和份額類討論的思想（滿分14分）（I）解析，由在處有極值可得解得或若，則，此時沒有極值；若，則當變化時，，的變化情況如下表：10+0極小值極大值當時，有極大值，故，即為所求。（Ⅱ）證法1：當時，函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間之外。在上的最值在兩端點處取得故應是和中較大的一個即證法2（反證法）：因為，所以函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間之外，在上的最值在兩端點處取得。故應是和中較大的一個假設(shè)，則將上述兩式相加得：，導致矛盾，（Ⅲ）解法1：（1）當時，由（Ⅱ）可知；（2）當時，函數(shù)）的對稱軸位于區(qū)間內(nèi)，此時由有①若則，于是②若，則于是綜上，對任意的、都有而當時，在區(qū)間上的最大值故對任意的、恒成立的的最大值為。解法2：（1）當時，由（Ⅱ）可知；（2）當時，函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間內(nèi)，此時，即下同解法143.（2009寧夏海南卷文）（本小題滿分12分）已知函數(shù).設(shè)，求函數(shù)的極值；若，且當時，12a恒成立，試確定的取值范圍.請考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑。（21）解析（Ⅰ）當a=1時，對函數(shù)求導數(shù)，得令列表討論的變化情況：（-1，3）3+0—0+極大值6極小值-26所以，的極大值是，極小值是（Ⅱ）的圖像是一條開口向上的拋物線，關(guān)于x=a對稱.若上是增函數(shù)，從而上的最小值是最大值是由于是有由所以若a>1,則不恒成立.所以使恒成立的a的取值范圍是44.（2009天津卷理）（本小題滿分12分）已知函數(shù)其中(1)當時，求曲線處的切線的斜率；(2)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。本小題主要考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的運算、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及分類討論的思想方法。滿分12分。（I）解析（II）以下分兩種情況討論。（1）＞，則＜.當變化時，的變化情況如下表：+0—0+↗極大值↘極小值↗（2）＜，則＞，當變化時，的變化情況如下表：+0—0+↗極大值↘極小值↗45.（2009四川卷理）（本小題滿分12分）已知函數(shù)。（I）求函數(shù)的定義域，并判斷的單調(diào)性；（II）若（III）當（為自然對數(shù)的底數(shù)）時，設(shè)，若函數(shù)的極值存在，求實數(shù)的取值范圍以及函數(shù)的極值。本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列的極限、導數(shù)應用等基礎(chǔ)知識、考查分類整合思想、推理和運算能力。解析（Ⅰ）由題意知當當當….（4分）（Ⅱ）因為由函數(shù)定義域知>0,因為n是正整數(shù)，故0<a<1.所以（Ⅲ）令當m=0時，有實根，在點左右兩側(cè)均有故無極值當時，有兩個實根當x變化時，、的變化情況如下表所示：+0-0+↗極大值↘極小值↗的極大值為，的極小值為當時，在定義域內(nèi)有一個實根，同上可得的極大值為綜上所述，時，函數(shù)有極值；當時的極大值為，的極小值為當時，的極大值為46.（2009福建卷文）（本小題滿分12分）已知函數(shù)且（I）試用含的代數(shù)式表示；（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）令，設(shè)函數(shù)在處取得極值，記點，證明：線段與曲線存在異于、的公共點；解法一：（I）依題意，得由得（Ⅱ）由（I）得（故令，則或①當時，當變化時，與的變化情況如下表：+—+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增由此得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為②由時，，此時，恒成立，且僅在處，故函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為R③當時，，同理可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為綜上：當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為（Ⅲ）當時，得由，得由（Ⅱ）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為所以函數(shù)在處取得極值。故所以直線的方程為由得令易得，而的圖像在內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線，故在內(nèi)存在零點，這表明線段與曲線有異于的公共點解法二：（I）同解法一（Ⅱ）同解法一。（Ⅲ）當時，得，由，得由（Ⅱ）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極值，故所以直線的方程為由得解得所以線段與曲線有異于的公共點47.（2009重慶卷理）（本小題滿分13分，（Ⅰ）問5分，（Ⅱ）問8分）設(shè)函數(shù)在處取得極值，且曲線在點處的切線垂直于直線．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函數(shù)，討論的單調(diào)性．解（Ⅰ）因又在x=0處取得極限值，故從而由曲線y=在（1，f（1））處的切線與直線相互垂直可知該切線斜率為2，即（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令（1）當（2）當K=1時，g（x）在R上為增函數(shù)（3）方程有兩個不相等實根當函數(shù)當時，故上為減函數(shù)時，故上為增函數(shù)48.（2009重慶卷文）（本小題滿分12分，（Ⅰ）問7分，（Ⅱ）問5分）已知為偶函數(shù)，曲線過點，．（Ⅰ）求曲線有斜率為0的切線，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若當時函數(shù)取得極值，確定的單調(diào)區(qū)間．解:（Ⅰ）為偶函數(shù),故即有解得又曲線過點,得有從而,曲線有斜率為0的切線，故有有實數(shù)解.即有實數(shù)解.此時有解得所以實數(shù)的取值范圍:（Ⅱ）因時函數(shù)取得極值,故有即,解得又令,得當時,,故在上為增函數(shù)當時,,故在上為減函數(shù)當時,,故在上為增函數(shù)2005—2008年高考題一、選擇題1.（2008年全國一7）設(shè)曲線在點處的切線與直線垂直，則 （）A．2 B． C． D．答案D2.（2008年湖北卷7）若上是減函數(shù)，則的取值范圍是 （）A. B. C. D.答案C3.（2008年福建卷12)已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導函數(shù)的圖象如下圖，那么y=f(x),y=g(x)的圖象可能是 （）答案D4.（2008年遼寧卷6）設(shè)P為曲線C：上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為，則點P橫坐標的取值范圍為 （）A． B． C． D．答案A5.（2007年福建理11文）已知對任意實數(shù)，有，且時，，則時 （）A． B．C． D．答案B6.（2007年海南理10）曲線在點處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為 （）A． Ｂ． Ｃ． Ｄ．答案D7.（2007年江蘇9）已知二次函數(shù)的導數(shù)為，，對于任意實數(shù)都有，則的最小值為 （）A． B． C． D．答案C8.（2007年江西理9）設(shè)在內(nèi)單調(diào)遞增，，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案B9.（2007年遼寧理12）已知與是定義在上的連續(xù)函數(shù)，如果與僅當時的函數(shù)值為0，且，那么下列情形不可能出現(xiàn)的是 （）A．0是的極大值，也是的極大值B．0是的極小值，也是的極小值C．0是的極大值，但不是的極值D．0是的極小值，但不是的極值答案C10.（2006年天津卷）函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點（）A．1個B．2個 C．3個D．4個答案A解析函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值的點即函數(shù)由減函數(shù)變?yōu)樵龊瘮?shù)的點，其導數(shù)值為由負到正的點，只有1個，選A.二、填空題11.（2008年全國二14）設(shè)曲線在點處的切線與直線垂直，則．答案22BCAyx1O34562BCAyx1O34561234答案ln2－1．14.（2008年北京卷12）如圖，函數(shù)的圖象是折線段，其中的坐標分別為，則2；．（用數(shù)字作答） 答案－214.（2007年廣東文12）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是＿＿＿＿．答案15.（2007年江蘇13）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，則．答案3216.（2007年湖北文13）已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，則．答案317.（2007年湖南理13）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是．答案18.（2007年浙江文15）曲線在點處的切線方程是．答案19.（2006年湖北卷）半徑為r的圓的面積S(r)＝r2,周長C(r)=2r，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則＝2r①，①式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周長函數(shù)。對于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請你寫出類似于eq\o\ac(○,1)的式子：②②式可以用語言敘述為：。答案V球＝，又故eq\o\ac(○,2)式可填，用語言敘述為“球的體積函數(shù)的導數(shù)等于球的表面積函數(shù)?！?0.(2005年重慶卷)曲線y=x3在點(1,1)處的切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形的面積為__________。答案8/3三、解答題21.（2008年全國一19）已知函數(shù)，．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍．解析（1）求導：當時，，，在上遞增當，求得兩根為即在遞增，遞減，遞增（2），且解得：22.（2008年北京卷18）已知函數(shù)，求導函數(shù)，并確定的單調(diào)區(qū)間．解析．令，得．當，即時，的變化情況如下表：0當，即時，的變化情況如下表：0所以，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減．當，即時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減．23.（2008年天津卷21）（本小題滿分14分）已知函數(shù)（），其中．（Ⅰ）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)僅在處有極值，求的取值范圍；（Ⅲ）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最大值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力．滿分14分．（Ⅰ）解析．當時，．令，解得，，．當變化時，，的變化情況如下表：02－0＋0－0＋↘極小值↗極大值↘極小值↗所以在，內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)．（Ⅱ）解析，顯然不是方程的根．24.（2005年安徽卷）設(shè)函數(shù)，已知是奇函數(shù)。（Ⅰ）求、的值。（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間與極值。解（Ⅰ）∵，∴.從而＝是一個奇函數(shù)，所以得，由奇函數(shù)定義得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，從而，由此可知，和是函數(shù)是單調(diào)遞增區(qū)間；是函數(shù)是單調(diào)遞減區(qū)間；在時，取得極大值，極大值為，在時，取得極小值，極小值為。25.(2005年全國卷III)用長為90cm,寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器,先在四角分別截去一個小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角,再焊接而成(如圖),問該容器的高為多少時,容器的容積最大?最大容積是多少?解設(shè)容器的高為x，容器的體積為V，1分則V=(90-2x)(48-2x)x,(0<V<24) 5分=4x3-276x2+4320x∵V′=12x2-552x+4320…… 7分由V′=12x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36∵x<10時，V′>0,10<x<36時，V′<0,x>36時，V′>0,所以,當x=10,V有極大值V(10)=1960…………………10分又V(0)=0,V(24)=0,……………………11分所以當x=10,V有最大值V(10)=1960…………………12分第二部分四年聯(lián)考匯編2010年聯(lián)考題題組二（5月份更新）一、選擇題1.（安徽兩地三校國慶聯(lián)考）設(shè)曲線在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標為,則的值為（）A.B.C.D.1答案B2．（肥城市第二次聯(lián)考）如下圖，已知記則當?shù)拇笾聢D象為（）.答案AyAyoxDyoxyoxCyoxB解析：，由可知選C。3.（哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實驗中學）已知函數(shù)，對于滿足的任意，給出下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4），其中正確結(jié)論的序號是（）A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(4)D.(3)(4)答案C二、填空題4.（岳野兩校聯(lián)考）曲線上一點到直線的距離的最小值為.答案三、解答題5.（山東省樂陵一中2009屆高三考前回扣）已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）當時，若，均有，求實數(shù)的取值范圍；（3）若，，且，試比較與的大?。猓河深}意，………2分（1）當時，由得，解得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是；由得，解得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是∴當時，函數(shù)有極小值為．………6分（2）當時，由于，均有，即，恒成立，∴，，……………………8分由（1），函數(shù)極小值即為最小值，∴，解得．………………10分（3），∵且，∴，∴，……………12分又，∴，∴，即．…………14分6.（安徽兩地三校國慶聯(lián)考）（本小題滿分14分）．已知奇函數(shù)是定義在上的增函數(shù)（1）求b的取值范圍；（2）若對恒成立，求實數(shù)t的取值范圍。解：（1）是奇函數(shù)，所以，∴又在上是增函數(shù)，所以，在上橫為正值，∴。（2）要使對恒成立，由于在上是增函數(shù)，在上的最大值為，所以，只需，對任意恒成立，因此只要7.（岳野兩校聯(lián)考）（本小題滿分12分）對于三次函數(shù)。定義：（1）的導數(shù)（也叫一階導數(shù)）的導數(shù)為的二階導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”；定義：（2）設(shè)為常數(shù)，若定義在上的函數(shù)對于定義域內(nèi)的一切實數(shù)，都有恒成立，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱。（1）己知，求函數(shù)的“拐點”的坐標；（2）檢驗（1）中的函數(shù)的圖象是否關(guān)于“拐點”對稱;（3）對于任意的三次函數(shù)寫出一個有關(guān)“拐點”的結(jié)論（不必證明）。解：（1）依題意，得：，?！?分由，即?！?，又，∴的“拐點”坐標是?！?分（2）由(1)知“拐點”坐標是。而===，由定義(2)知：關(guān)于點對稱?！?分（3）一般地，三次函數(shù)的“拐點”是，它就是的對稱中心?！?2分或者：任何一個三次函數(shù)都有拐點；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心；任何一個三次函數(shù)平移后可以是奇函數(shù)………都可以給分8.（安徽兩地三校國慶聯(lián)考）（本小題滿分14分）函數(shù)（1）若是增函數(shù)，求a的取值范圍;（2）求上的最大值.解：（1）綜上，a的取值范圍是（2）①②當200904239．（池州市七校元旦調(diào)研）（本題滿分14分）已知函數(shù)，，20090423其中．（I）設(shè)函數(shù)．若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍；（II）設(shè)函數(shù)是否存在，對任意給定的非零實數(shù)，存在惟一的非零實數(shù)（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．.解：（I）因，，因在區(qū)間上不單調(diào)，所以在上有實數(shù)解，且無重根，由得，令有，記則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有，于是，得，而當時有在上有兩個相等的實根，故舍去，所以；（II）當時有；當時有，因為當時不合題意，因此，下面討論的情形，記A，B=，（?。┊敃r，在上，單調(diào)遞增，所以要使成立，只能且，因此有，（ⅱ）當時，在上單調(diào)遞減，所以要使成立，只能且，因此，綜合（ⅰ）（ⅱ）；當時A=B，則，即使得成立，因為在上單調(diào)遞增，所以的值是唯一的；同理，，即存在唯一的非零實數(shù)，要使成立，所以滿足題意．題組一（1月份更新）一、選擇題1.（山東省樂陵一中2009屆高三考前回扣）函數(shù)在上是（）.A．單調(diào)增函數(shù)B．單調(diào)減函數(shù)C．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；D．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.答案D2.（山東省樂陵一中2009屆高三考前回扣）函數(shù)的圖象經(jīng)過四個象限，則實數(shù)的取值范圍是A．B．C．D．答案D3.（山東省樂陵一中2009屆高三考前回扣）已知函數(shù)（a為常數(shù)），在區(qū)間上有最大值20，那么此函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（）A．B．C．D．答案B4.（山東省樂陵一中2009屆高三考前回扣）設(shè)，若函數(shù)，有大于零的極值點，則(A) (B) (C) (D)答案B5.（山東省樂陵一中2009屆高三考前回扣）設(shè)的圖象畫在同一直角坐標系中，不可能正確的是（）答案D二、填空題6.（山東省樂陵一中2009屆高三考前回扣）設(shè)為曲線上一點,曲線在點處的切線的斜率的范圍是,則點縱坐標的取值范圍是________.答案7.（山東省樂陵一中2009屆高三考前回扣）給出下列命題：①函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象一定不會重合；②函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為；③；④雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率是．其中正確命題的序號是（把你認為正確命題的序號都填上）．答案③8.（山東省樂陵一中2009屆高三考前回扣）已知函數(shù)則=_______________.答案1-cos19.（山東省樂陵一中2009屆高三考前回扣）由曲線圍成圖形的面積為。答案三、解答題1.（2009東北育才、天津耀華、大連育明、哈三中聯(lián)考）已知函數(shù)，若的單調(diào)減區(qū)間恰為（0，4）。（I）求的值：（Ⅱ）若對任意的，關(guān)于的方程總有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍。解：（1）又（Ⅱ）時時且8分解得2.（2009天津六校聯(lián)考）已知函數(shù)（1）若時，函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍；（2）在（1）的結(jié)論下，設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的最3.（2009漢沽一中第六次月考）已知，．（Ⅰ）當時，求證：在上是減函數(shù)；（Ⅱ）如果對不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（Ⅰ）當時， ∵ ∴在上是減函數(shù) （Ⅱ）∵不等式恒成立即不等式恒成立∴不等式恒成立 當時，不恒成立 當時，不等式恒成立 即∴ 當時，不等式不恒成立綜上所述，的取值范圍是 4.（2009和平區(qū)一模）已知函數(shù)(Ⅰ)求的值域；(Ⅱ)設(shè)，函數(shù)．若對任意，總存在，使，求實數(shù)的取值范圍．解：（Ⅰ）， 令，得或． 當時，在上單調(diào)遞增； 當時，在上單調(diào)遞減， 而， 當時，的值域是．(Ⅱ)設(shè)函數(shù)在上的值域是A，若對任意．總存在1,使，．．①當時，， 函數(shù)在上單調(diào)遞減． ，當時，不滿足；②當時，，令，得或(舍去)（i）時，的變化如下表：02-0+0．，解得．(ii)當時， 函數(shù)在上單調(diào)遞減．，當時，不滿．綜上可知，實數(shù)的取值范圍是．5.（2009河北區(qū)一模）已知函數(shù)（I）若是的極值點，求在上的最小值和最大值；（Ⅱ）若上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。解：（I）有極大值點，極小值點。此時在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。在上的最小值是-18，最大值是-6（Ⅱ）當時，是增函數(shù)，其最小值為時也符合題意，6.（2009河東區(qū)一模）設(shè)函數(shù)（1）求的最小值；（2）若對時恒成立，求實數(shù)的取值范圍解：（1）時，取得最小值，即（2）令由，得或（舍去）（0,1）1（1,2）0增極大值減在內(nèi)有最大值，對時恒成立等價于恒成立。即7.（2009廈門二中）已知函數(shù)f(x)=ln(x+)-x2-x在x=0處取得極值．(1)求實數(shù)的值；(2)若關(guān)于x的方程，f(x)=在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；(3)證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln都成立．解：(1)=…………………(2分)∵x=0時，f(x)取得極值，∴=0，……(3分)故=0，解得a=1.經(jīng)檢驗a=1符合題意.………………(4分)(2)由a=1知f(x)=ln(x+1)-x2-x，由f(x)=,得ln(x+1)-x2+x-b=0，令φ(x)=ln(x+1)-x2+x-b，則f(x)=+b在[0，2]上恰有兩個不同的實數(shù)根等價于φ(x)=0在[0，2]恰有兩個不同實數(shù)根．………(5分)，………………(7分)當x∈(0，1)時，>O，于是φ(x)在(0，1)上單調(diào)遞增；當x∈(1，2)時，<0，于是φ(x)在(1，2)上單調(diào)遞減．…………(8分)依題意有∴l(xiāng)n3-1≤b<ln2+.…………(9分)(Ⅲ)f(x)=ln(x+1)-x2–x的定義域為{x|x>-1}，………………(10分)由(Ⅰ)知，……………(11分)令=0得，x=0或x=-(舍去)，∴當-1<x<0時，>0，f(x)單調(diào)遞增；當x>0時，<0，f(x)單調(diào)遞減.∴f(0)為f(x)在(-1,+∞)上的最大值.…………………(12分)∴f(x)≤f(0)，故ln(x+1)-x2-x≤0(當且僅當x=0時，等號成立).…(13分)對任意正整數(shù)n，取x=>0得，ln(+1)<+，故ln()<.………(14分)8.（2009河西區(qū)一模）已知函數(shù)，其中實數(shù)，（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若與在區(qū)間內(nèi)均為增函數(shù)，求的取值范圍。解：（I）‘又令，得①若，則當或時。當時，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)，②若則當或時，當時，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)（Ⅱ）當時，在和內(nèi)是增函數(shù)，故在內(nèi)是增函數(shù)。由題意得解得當時，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)。由題意得解得綜上知實數(shù)的取值范圍為9.（2009杭州二中第六次月考）設(shè)，記的最大值為M．（Ⅰ）當時,求M的值；（Ⅱ）當取遍所有實數(shù)時，求M的最小值．（以下結(jié)論可供參考：對于，有，當且僅當同號時取等號）解：(1)求導可得,,當時取等號(2)，因此，。由（1）可知，當時，。。10.（2009廈門華僑中學）設(shè)函數(shù)在及時取得極值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若對于任意的，都有成立，求c的取值范圍．解：（Ⅰ），因為函數(shù)在及取得極值，則有，．即解得，．………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，．當時，；當時，；當時，．所以，當時，取得極大值，又，．則當時，的最大值為．因為對于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范圍為．………12分11.（2009杭州高中第六次月考）已知函數(shù)f(x)=其中a為實常數(shù)．（1）設(shè)當x∈(0，1)時，函數(shù)y=f(x)的圖象上任一點P處的切線的斜率為k，若,求a的取值范圍；（2）當x∈時，求函數(shù)y=f(x)的最大值．解：(1)∵k==3-2ax,x∈(0,1)1分 k≥1，得3-2ax+1≥0，即a≤恒成立．3分 ∴ 當且僅當x=等時取等號∴的取值范圍是(-∞，)6分（2） 得 ∴g(x)在[-1,-],[,1]上是增函數(shù)，在[-,]上是減函數(shù)。 ∴g(x)的極大值為g(-)=2, 3>當a≤0時，g’(x)≥0,從而g(x)在[-1，1]上是增函數(shù)， ∴ 綜上所述， （13分）12.（2009杭州學軍中學第七次月考）已知函數(shù)（1）求曲線在點處的切線方程（2）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（3）當時，若不等式恒成立，求的取值范圍。（1）所以切線方程為（2）當時，當時，（3）當時，1+0-0+增極大值減極小值增13.（2009嘉興一中一模）已知函數(shù)，其中為實數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)是否存在實數(shù)，使得對任意，恒成立?若不存在，請說明理由，若存在，求出的值并加以證明．（1）時，，，，………2分又所以切線方程為………2分（2）1°當時，，則令，，再令，當時，∴在上遞減，∴當時，，∴，所以在上遞增，，所以……5分2°時，，則由1°知當時，在上遞增當時，，所以在上遞增，∴∴；