不等式恒成立,求參數(shù)的取值范圍-洛必達法則

洛必達法則簡介:法則1若函數(shù)f(x)和法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，f(x)limfxUOx)a與g(x)可導(dǎo)且g'(x)豐0;及l(fā)imgx=0 ;xa那么limiA=|imlA.|。x卡g(x)XTg,(x)⑴limfx=0及l(fā)imgx=0;法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：⑵A>0,f(x)和g(x)在-：：,-A與A,：：上可導(dǎo)，且g'(x)豐0;⑶lim那么lim那么lim?=lim匚上二lx；：gxx$:gx法則3若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：⑴limfx-:及l(fā)imgx二：(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)豐0;f(x)(3)liml,x舊gX北/f(X)f"(X)那么lim=liml。XTg(x)XTg,(x)利用洛必達法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點之一，在解題中應(yīng)注意:CD將上面公式中的Xia,Xis換成Xi+s,XT-a,x-a,x-a洛必達法則也成立。0A0QQ00CC洛必達法則可處理一，一，0二,5型000IUO0C在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足—，一，0■二,1，::,0，型定式，0O0IU否則濫用洛必達法則會出錯。當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。C若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。洛必達法則應(yīng)用：1.(2010年全國新課標理)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2。若a=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；若當x_0時f(x)_0,求a的取值范圍原解：(1)a=0時，f(x)=ex-1-x,f(x)=ex-1.當x?(一二,0)時，f(x):::0;當x?(0,;州寸，f(x).0?故取)在(一：：，0)單調(diào)減少，在(0,二)單調(diào)增加f'(x)二ex-1-2ax由⑴知ex_1x,當且僅當x=0時等號成立？故f'(x)_x-2ax=(1-2a)x,1從而當1-2a—0,即a時，f'(x)_0(x_0),而f(0)=0,2于是當x_0時，f(x)_0.TOC\o"1-5"\h\zxV1由e1x(x=0)可得e-1-x(x=0).從而當a時，2x_x_xXXf(x)：:e-12a(e-1)=e(e-1)(e-2a),故當x(0,ln2a)時，f(x)::0,而f(0)=0，于是當x(0,ln2a)時，f(x)::0.綜合得a的取值范圍為一己"-2/原解在處理第(II)時較難想到，現(xiàn)利用洛必達法則處理如下：另解：(II)當x=0時，f(x)=0,對任意實數(shù)a,均在f(x)_0;xx-1當x0時，f(x)_0等價于a乞一2—X—1令gx2xxx(x>0),則”g(x)xe—2e+x+2e3hx二xe-2ex〔x2,則h0x>=xe~e1,hxi=xe，令x0，知hx在0,牡卻上為增函數(shù)，hxh0=0;知hx在0,牡卻上為增函數(shù),gx0,g(x)在0,?::上為增函數(shù)。由洛必達法則知，limex由洛必達法則知，limex]0-Txm+故am1綜上，知a的取值范圍為-二，12.(2011年全國新課標理2.(2011年全國新課標理)已知函數(shù)，曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為x2y-3=0x2y-3=0。(I)求a、b的值；(n)如果當x0,且x=1時，f(x)Inxk,求k的取值范圍x1x原解：(I)X-1:(原解：(I)X-1:(Inx)

(x1)2由于直線x?2y-3=0的斜率為x21 f(1) “一，且過點(1,1)，故＜ 1即2 [f(1八--,b=1,122Inx1(n)由(I)(n)由(I)知f(x)二X+1xInxkx—1x1(2lnx1-x2.(k-1)(x2-1))考慮函數(shù)h(x)=21nx22⑴設(shè)k乞。,由h'(x)=k(x"-(xT)2(x0),則h'(x)=2(k-1)(x2知，當時，h'(x):::01)2x,h(x)遞減。而h(1)=0故當x(0,1)時，h(x)0,可得-A?(x)01-xh(x)>0h(x)>0當x?(1,+：：)時，h(x)<0,可得」Inxk從而當x>0,且x嚴1時，f(x)-(1-xInxk(ii)設(shè)0<k<1.由于(k-1)(xT)?2x=(k-1)x2x的圖像開口向下，且—1)”對稱軸x=A>1當-(1代)時，(k-1)(x2+1)+2x>0故h(x)>0,而h(1)=0,故當x?(1,州寸,h(x)>0,可得2h(x)<0,與題設(shè)矛盾。(iii)設(shè)k_1.此時x21_2x,(k1-k1-x-1)(x21)2x0=h'(x)>0,而h(1)1-x1-x2221故當(1,+::)時，h(x)>0,可得2h(x)<0,與題設(shè)矛盾。1-x綜合彳k的取值范圍為(-0,0]原解在處理第(心時非常難想到，現(xiàn)利用洛必達法則處理如下:另解：(II)由題設(shè)可得，當x.0,x"時，k<空也x1恒成立。(x+1)1nx_x+1(1-x(x+1)1nx_x+1(1-x2)2x1nx令g(x)=廠1(x0,x=1)，則gx=21llx再令hx=x21lnxh"乂=2lnx1「x21(x0,x=112,易知x)，貝Uhx=2xnx1-,xx1hx;=2lnx1飛在上為增函數(shù)，且oo,當x(1,+：：)時，hx0;h1=0;故當x(0,1)時，hx::-hx在0,1上為減函數(shù)，在1,上為增函數(shù)；故hx>h1=0hx在0,上為增函數(shù)h1=0當x(0,1)時，hx<0,當x(1,+::州寸，hx0x(0,1)時，gx：：0，當x(1,+：：)時，gx0-gx在0,1上為減函數(shù)，在1「：：上為增函數(shù)呵9呵9x胡ixm黑仁2呵-2x.k_0,即k的取值范圍為(-：：,0]通過以上例題的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)應(yīng)用洛必達法則解決的試題應(yīng)滿足①可以分離變M；②用導(dǎo)數(shù)可以確定分離變M后一端新函數(shù)的單調(diào)性；③出現(xiàn)“0”型式子.0課后練習(xí)12010大綱全國2卷