函數(shù)的冪級數(shù)展開課件

§2函數(shù)的冪級數(shù)展開由泰勒公式知道,可以將滿足一定條件的函數(shù)表示為一個多項式與一個余項的和.如果能將一個滿足適當條件的函數(shù)在某個區(qū)間上表示成一個冪級數(shù),就為函數(shù)的研究提供了一種新的方法.返回二、初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式一、泰勒級數(shù)§2函數(shù)的冪級數(shù)展開由泰勒公式知道,可以將滿足一定一、泰勒級數(shù)在第六章§3的泰勒定理中曾指出,

若函數(shù)f在點x0

的某鄰域內(nèi)存在直至n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),則這里為拉格朗日型余項一、泰勒級數(shù)在第六章§3的泰勒定理中曾指出,若函數(shù)f在點x由于余項是關(guān)于的高階無窮小,因此

在點附近f可用(1)式右邊的多項式來近似代替,這是泰勒公式帶來的重要結(jié)論.再進一步,設(shè)函數(shù)f在處存在任意階導(dǎo)數(shù),就

可以由函數(shù)f得到一個冪級數(shù)其中在x與x0之間,稱(1)式為f在點的泰勒公式.由于余項是關(guān)于的高階無窮小,因此在點附近f可用通常稱(3)式為f在處的泰勒級數(shù).對于級數(shù)(3)是否能在點附近確切地表達f,或者說級數(shù)(3)

在點附近的和函數(shù)是否就是f本身,這就是本節(jié)所要著重討論的問題.請先看一個例子.例1由于函數(shù)在處的任意階導(dǎo)數(shù)都等于0(見第六章§4第二段末尾),即通常稱(3)式為f在處的泰勒級數(shù).對于級數(shù)(因此f在的泰勒級數(shù)為顯然它在上收斂,且其和函數(shù).由

此看到,對一切都有.上例說明,具有任意階導(dǎo)數(shù)的函數(shù),其泰勒級數(shù)并不都能收斂于該函數(shù)本身,哪怕在很小的一個鄰域內(nèi).那么怎樣的函數(shù),其泰勒級數(shù)才能收斂于它本身呢?因此f在的泰勒級數(shù)為顯然它在上收斂,且其和函數(shù)定理14.11

設(shè)f在點具有任意階導(dǎo)數(shù),那么f在

區(qū)間上等于它的泰勒級數(shù)的和函數(shù)的

充分條件是:對一切滿足不等式的,有

這里是f在點泰勒公式的余項.本定理的證明可以直接從第六章§3泰勒定理推出.如果f能在點的某鄰域上等于其泰勒級數(shù)的和函

數(shù),則稱函數(shù)f在點的這一鄰域內(nèi)可以展開成泰勒級數(shù),并稱等式定理14.11設(shè)f在點具有任意階導(dǎo)數(shù),那么f的右邊為f在處的泰勒展開式,或冪級數(shù)展

開式.由級數(shù)的逐項求導(dǎo)性質(zhì)可得:若f

為冪級數(shù)在收斂區(qū)間上的和函數(shù),則

就是f

在上的泰勒展開式,的右邊為f在處的泰勒展開式,或冪級數(shù)展開式.由即冪級數(shù)展開式是惟一的.在實際應(yīng)用上,主要討論函數(shù)在處的展開式,

這時(3)式就變成稱為麥克勞林級數(shù).從定理14.11知道,余項對確定函數(shù)能否展開為冪級數(shù)是極為重要的,下面我們重新寫出當時的

即冪級數(shù)展開式是惟一的.在實際應(yīng)用上,主要討論函數(shù)在處的積分型余項、拉格朗日型余項和柯西型余項,以便于后面的討論.它們分別是積分型余項、拉格朗日型余項和柯西型余項,以便于后面的討論二、初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式例2求k次多項式函數(shù)的冪級數(shù)展開式.解由于二、初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式例2求k次多項式函數(shù)的冪級數(shù)展開即多項式函數(shù)的冪級數(shù)展開式就是它本身.例3求函數(shù)f(x)=ex的冪級數(shù)展開式.解

顯見即多項式函數(shù)的冪級數(shù)展開式就是它本身.例3求函數(shù)f(x對任何實數(shù)x,都有對任何實數(shù)x,都有例4

所以在上可以展開為麥克勞

林級數(shù):例4所以在上可以展開為麥克勞林級數(shù):函數(shù)的冪級數(shù)展開課件同樣可證(或用逐項求導(dǎo)),在上有例5

所以的麥克勞林級數(shù)是同樣可證(或用逐項求導(dǎo)),在上有例5所以的麥克勞林級數(shù)用比式判別法容易求得級數(shù)(5)的收斂半徑,且

當時收斂,時發(fā)散,故級數(shù)(5)的收斂域

是.下面討論在上它的余項的極限.當時,對拉格朗日型余項,有用比式判別法容易求得級數(shù)(5)的收斂半徑,且當時收斂,當時,因拉格朗日型余項不易估計,故改用柯西型余項.此時有當時,因拉格朗日型余項不易估計,故改用柯西型余項.此這就證得在上的冪級數(shù)展開式就是(5).將(5)式中x換成,就得到函數(shù)處的泰勒展開式:其收斂域為例6討論二項式函數(shù)的展開式.解

當為正整數(shù)時,由二項式定理直接展開,就得到f的展開式,這已在前面例2中討論過.這就證得在上的冪級數(shù)展開式就是(5).將(5)式中下面討論不等于正整數(shù)時的情形,這時于是的麥克勞林級數(shù)是運用比式法,可得(6)的收斂半徑.在內(nèi)

考察它的柯西型余項下面討論不等于正整數(shù)時的情形,這時于是的麥克勞林級數(shù)是由比式判別法,由比式判別法,于

1所以在于1所以在論如下:對于收斂區(qū)間端點的情形,與的取值有關(guān),其結(jié)論如下:對于收斂區(qū)間端點的情形,與的取值有一般來說,只有比較簡單的函數(shù),其冪級數(shù)展開式能直接從定義出發(fā),并根據(jù)定理14.11求得.

更多的情況是從已知的展開式出發(fā),通過變量代換、四則運一般來說,只有比較簡單的函數(shù),其冪級數(shù)展開式能直接從定義算或逐項求導(dǎo)、逐項求積等方法,間接地求得函數(shù)的冪級數(shù)展開式.注求一個函數(shù)的冪級數(shù)展開式就是確定該冪級數(shù)各項的系數(shù),根據(jù)展開式的惟一性,不管用什么方法得到的系數(shù)都是一樣的.這就是間接展開的根據(jù).例7以與分別代入(8)與(9)式,可得算或逐項求導(dǎo)、逐項求積等方法,間接地求得函數(shù)的冪級數(shù)展開對于(10)、(11)分別逐項求積可得函數(shù)與

的展開式:-11-2-112對于(10)、(11)分別逐項求積可得函數(shù)與的展開式:-1由此可見,熟練掌握某些初等函數(shù)的展開式,對求其他一些函數(shù)的冪級數(shù)展開式是非常方便和有用的,特別是例3～例7的結(jié)果,對于今后用間接方法求冪級數(shù)展開十分方便.由此可見,熟練掌握某些初等函數(shù)的展開式,對求其他解利用,得處連續(xù),在處無定義,

例8

求函數(shù)在處的冪級數(shù)展開

式.解利用,得處連續(xù),在處無定義,例8求函數(shù)在處的而級數(shù)的收斂域為,所以注

嚴格地說,上式中的冪級數(shù)在

上有和函數(shù),

而只是它在上的和函數(shù).

又因為,所以而級數(shù)的收斂域為,所以注嚴格地說,上式中的用類似方法可得.(13)大家一定非常熟悉三角函數(shù)表和對數(shù)表,但這些表是怎樣制作出來的呢?例9計算的近似值,精確到解

可以在展開式中令,得

.這是一個交錯級數(shù),故有

用類似方法可得.(13)大家一定非常熟悉三角函.為了誤差小于0.0001,就必須計算

級數(shù)前10000項的和,收斂得太慢.為此在(13)式中令,,代入(13)式,有估計余項:.為了誤差小于0.0001,就必須計算級數(shù)前100取,就有因此取,就有因此最后舉例說明怎樣用冪級數(shù)形式表示某些非初等函數(shù),這是冪級數(shù)特有的功能.例10用間接方法求非初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式.解以代替ex的展開式中的x,得最后舉例說明怎樣用冪級數(shù)形式表示某些非初等函數(shù),這是冪再逐項求積,就得到在上的展開式:F(x)用上述級數(shù)的部分和逐項逼近的過程,示于下圖:再逐項求積,就得到在上的展開式:F(x)用上述級數(shù)的-2-112O-1-0.50.51-2-112O-1-0.50.51復(fù)習(xí)思考題1.設(shè)冪級數(shù)在的和函數(shù)為,問

在處的冪級數(shù)展開式是什么?2.設(shè)函數(shù)在上的冪級數(shù)展開式為若上式右邊的冪級數(shù)在(或)收斂,能否

得出上式在(或)成立?(結(jié)合例8進行討

論)復(fù)習(xí)思考題1.設(shè)冪級數(shù)在的和函數(shù)為,問在處的冪級數(shù)§2函數(shù)的冪級數(shù)展開由泰勒公式知道,可以將滿足一定條件的函數(shù)表示為一個多項式與一個余項的和.如果能將一個滿足適當條件的函數(shù)在某個區(qū)間上表示成一個冪級數(shù),就為函數(shù)的研究提供了一種新的方法.返回二、初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式一、泰勒級數(shù)§2函數(shù)的冪級數(shù)展開由泰勒公式知道,可以將滿足一定一、泰勒級數(shù)在第六章§3的泰勒定理中曾指出,

若函數(shù)f在點x0

的某鄰域內(nèi)存在直至n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),則這里為拉格朗日型余項一、泰勒級數(shù)在第六章§3的泰勒定理中曾指出,若函數(shù)f在點x由于余項是關(guān)于的高階無窮小,因此

在點附近f可用(1)式右邊的多項式來近似代替,這是泰勒公式帶來的重要結(jié)論.再進一步,設(shè)函數(shù)f在處存在任意階導(dǎo)數(shù),就

可以由函數(shù)f得到一個冪級數(shù)其中在x與x0之間,稱(1)式為f在點的泰勒公式.由于余項是關(guān)于的高階無窮小,因此在點附近f可用通常稱(3)式為f在處的泰勒級數(shù).對于級數(shù)(3)是否能在點附近確切地表達f,或者說級數(shù)(3)

在點附近的和函數(shù)是否就是f本身,這就是本節(jié)所要著重討論的問題.請先看一個例子.例1由于函數(shù)在處的任意階導(dǎo)數(shù)都等于0(見第六章§4第二段末尾),即通常稱(3)式為f在處的泰勒級數(shù).對于級數(shù)(因此f在的泰勒級數(shù)為顯然它在上收斂,且其和函數(shù).由

此看到,對一切都有.上例說明,具有任意階導(dǎo)數(shù)的函數(shù),其泰勒級數(shù)并不都能收斂于該函數(shù)本身,哪怕在很小的一個鄰域內(nèi).那么怎樣的函數(shù),其泰勒級數(shù)才能收斂于它本身呢?因此f在的泰勒級數(shù)為顯然它在上收斂,且其和函數(shù)定理14.11

設(shè)f在點具有任意階導(dǎo)數(shù),那么f在

區(qū)間上等于它的泰勒級數(shù)的和函數(shù)的

充分條件是:對一切滿足不等式的,有

這里是f在點泰勒公式的余項.本定理的證明可以直接從第六章§3泰勒定理推出.如果f能在點的某鄰域上等于其泰勒級數(shù)的和函

數(shù),則稱函數(shù)f在點的這一鄰域內(nèi)可以展開成泰勒級數(shù),并稱等式定理14.11設(shè)f在點具有任意階導(dǎo)數(shù),那么f的右邊為f在處的泰勒展開式,或冪級數(shù)展

開式.由級數(shù)的逐項求導(dǎo)性質(zhì)可得:若f

為冪級數(shù)在收斂區(qū)間上的和函數(shù),則

就是f

在上的泰勒展開式,的右邊為f在處的泰勒展開式,或冪級數(shù)展開式.由即冪級數(shù)展開式是惟一的.在實際應(yīng)用上,主要討論函數(shù)在處的展開式,

這時(3)式就變成稱為麥克勞林級數(shù).從定理14.11知道,余項對確定函數(shù)能否展開為冪級數(shù)是極為重要的,下面我們重新寫出當時的

即冪級數(shù)展開式是惟一的.在實際應(yīng)用上,主要討論函數(shù)在處的積分型余項、拉格朗日型余項和柯西型余項,以便于后面的討論.它們分別是積分型余項、拉格朗日型余項和柯西型余項,以便于后面的討論二、初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式例2求k次多項式函數(shù)的冪級數(shù)展開式.解由于二、初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式例2求k次多項式函數(shù)的冪級數(shù)展開即多項式函數(shù)的冪級數(shù)展開式就是它本身.例3求函數(shù)f(x)=ex的冪級數(shù)展開式.解

顯見即多項式函數(shù)的冪級數(shù)展開式就是它本身.例3求函數(shù)f(x對任何實數(shù)x,都有對任何實數(shù)x,都有例4

所以在上可以展開為麥克勞

林級數(shù):例4所以在上可以展開為麥克勞林級數(shù):函數(shù)的冪級數(shù)展開課件同樣可證(或用逐項求導(dǎo)),在上有例5

所以的麥克勞林級數(shù)是同樣可證(或用逐項求導(dǎo)),在上有例5所以的麥克勞林級數(shù)用比式判別法容易求得級數(shù)(5)的收斂半徑,且

當時收斂,時發(fā)散,故級數(shù)(5)的收斂域

是.下面討論在上它的余項的極限.當時,對拉格朗日型余項,有用比式判別法容易求得級數(shù)(5)的收斂半徑,且當時收斂,當時,因拉格朗日型余項不易估計,故改用柯西型余項.此時有當時,因拉格朗日型余項不易估計,故改用柯西型余項.此這就證得在上的冪級數(shù)展開式就是(5).將(5)式中x換成,就得到函數(shù)處的泰勒展開式:其收斂域為例6討論二項式函數(shù)的展開式.解

當為正整數(shù)時,由二項式定理直接展開,就得到f的展開式,這已在前面例2中討論過.這就證得在上的冪級數(shù)展開式就是(5).將(5)式中下面討論不等于正整數(shù)時的情形,這時于是的麥克勞林級數(shù)是運用比式法,可得(6)的收斂半徑.在內(nèi)

考察它的柯西型余項下面討論不等于正整數(shù)時的情形,這時于是的麥克勞林級數(shù)是由比式判別法,由比式判別法,于

1所以在于1所以在論如下:對于收斂區(qū)間端點的情形,與的取值有關(guān),其結(jié)論如下:對于收斂區(qū)間端點的情形,與的取值有一般來說,只有比較簡單的函數(shù),其冪級數(shù)展開式能直接從定義出發(fā),并根據(jù)定理14.11求得.

更多的情況是從已知的展開式出發(fā),通過變量代換、四則運一般來說,只有比較簡單的函數(shù),其冪級數(shù)展開式能直接從定義算或逐項求導(dǎo)、逐項求積等方法,間接地求得函數(shù)的冪級數(shù)展開式.注求一個函數(shù)的冪級數(shù)展開式就是確定該冪級數(shù)各項的系數(shù),根據(jù)展開式的惟一性,不管用什么方法得到的系數(shù)都是一樣的.這就是間接展開的根據(jù).例7以與分別代入(8)與(9)式,可得算或逐項求導(dǎo)、逐項求積等方法,間接地求得函數(shù)的冪級數(shù)展開對于(10)、(11)分別逐項求積可得函數(shù)與

的展開式:-11-2-112對于(10)、(11)分別逐項求積可得函數(shù)與的展開式:-1由此可見,熟練掌握某些初等函數(shù)的展開式,對求其他一些函數(shù)的冪級數(shù)展開式是非常方便和有用的,特別是例3～例7的結(jié)果,對于今后用間接方法求冪級數(shù)展開十分方便.由此可見,熟練掌握某些初等函數(shù)的展開式,對求其他解利用,得處連續(xù),在處無定義,

例8

求函數(shù)在處的冪級數(shù)展開

式.解利用,得處連續(xù),在處無定義,例8求函數(shù)在處的而級數(shù)的收斂域為,所以注

嚴格地說,上式中的冪級數(shù)在

上有和函數(shù),

而只是它在上的和函數(shù).

又