材料力學(xué)重點(diǎn)及其公式

料力學(xué)重點(diǎn)及其公式、材料力學(xué)的任務(wù)：強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性;應(yīng)力單位面積上的內(nèi)力。（1.1）AF平均應(yīng)力p=--（1.1）圖1.2全應(yīng)力p=limp=lim—FdF（1.2）AAT0mmto-adA圖1.2正應(yīng)力垂直于截面的應(yīng)力分量，用符號(hào)b表示。切應(yīng)力相切于截面的應(yīng)力分量，用符號(hào)T表示。應(yīng)力的量綱：國際單位制：Pa（N/m2）、MPa、GPa工程單位制：kgf/m2、kgf/cm2線應(yīng)變單位長度上的變形量，無量綱，其物理意義是構(gòu)件上一點(diǎn)沿某一方向變形量的大小。外力偶矩傳動(dòng)軸所受的外力偶矩通常不是直接給出，而是根據(jù)軸的轉(zhuǎn)速n與傳遞的功率P來計(jì)算。當(dāng)功率P單位為千瓦（kW），轉(zhuǎn)速為n（r/min）時(shí)，外力偶矩為M_9549P（N.m）

en當(dāng)功率P單位為馬力（PS），轉(zhuǎn)速為n（r/min）時(shí)，外力偶矩為PM_7024—（N.m）拉（壓）桿橫截面上的正應(yīng)力拉壓桿件橫截面上只有正應(yīng)力b，且為平均分布，其計(jì)算公式為°=—（3-1）A式中Fn為該橫截面的軸力，A為橫截面面積。正負(fù)號(hào)規(guī)定拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。公式（3-1）的適用條件：（1）桿端外力的合力作用線與桿軸線重合，即只適于軸向拉（壓）桿件；（2）適用于離桿件受力區(qū)域稍遠(yuǎn)處的橫截面；（3）桿件上有孔洞或凹槽時(shí)，該處將產(chǎn)生局部應(yīng)力集中現(xiàn)象，橫截面上應(yīng)力分布很不均勻；（4）截面連續(xù)變化的直桿，桿件兩側(cè)棱邊的夾角aV200時(shí)拉壓桿件任意斜截面（a圖）上的應(yīng)力為平均分布，其計(jì)算公式為全應(yīng)力p=bcosa（3-2）正應(yīng)力ba=bcos2a（3-3）a1切應(yīng)力c=.in2a（3-4）a2式中b為橫截面上的應(yīng)力。正負(fù)號(hào)規(guī)定：a由橫截面外法線轉(zhuǎn)至斜截面的外法線，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù)。拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。b

拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。七對脫離體內(nèi)一點(diǎn)產(chǎn)生順時(shí)針力矩的為正，反之為負(fù)。兩點(diǎn)結(jié)論：(1)當(dāng)a=00時(shí)，即橫截面上，b達(dá)到最大值，即(。)=b。當(dāng)a=900時(shí)，即縱截面上，b=900=0。aamaxa"00(2)當(dāng)a=45時(shí)，即與桿軸成45的斜截面上，七達(dá)到最大值，即(匕)max=三1.2拉(壓)桿的應(yīng)變和胡克定律(1)變形及應(yīng)變桿件受到軸向拉力時(shí)，軸向伸長，橫向縮短；受到軸向壓力時(shí)，軸向縮短，橫向伸長。如圖3-2。軸向變形橫向線應(yīng)變(2)胡克定律軸向線應(yīng)變3-2軸向變形橫向線應(yīng)變(2)胡克定律軸向線應(yīng)變3-2橫向變形Ab=b-b1Ab正負(fù)號(hào)規(guī)定伸長為正，縮短為負(fù)。(3-5)當(dāng)應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。即0=(3-5)或用軸力及桿件的變形量表示為A1=N(3-6)EA式中EA稱為桿件的抗拉(壓)剛度，是表征桿件抵抗拉壓彈性變形能力的量。公式(3-6)的適用條件：(a)材料在線彈性范圍內(nèi)工作，即b〈b；p(b)在計(jì)算Al時(shí)，1長度內(nèi)其N、E、A均應(yīng)為常量。如桿件上各段不同，則應(yīng)分段計(jì)算，求其代數(shù)和得總變形。即(3-7)A1=京1.

i-i

EA

i=1ii(3-7)￡，⑶泊松比當(dāng)應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變之比的絕對值。即V=—(3-8)￡表1-1低碳鋼拉伸過程的四個(gè)階段階段圖1-5中線段特征點(diǎn)說明彈性階段oab比例極限bp彈性極限be0p為應(yīng)力與應(yīng)變成正比的最高應(yīng)力0e為不產(chǎn)生殘余變形的最高應(yīng)力屈服階段bc屈服極限bs0s為應(yīng)力變化不大而變形顯著增加時(shí)的最低應(yīng)力強(qiáng)化階段ce抗拉強(qiáng)度b.bbb為材料在斷裂前所能承受的最大名義應(yīng)力局部形變階段ef產(chǎn)生頸縮現(xiàn)象到試件斷裂表1-2主要性能指標(biāo)性能性能指標(biāo)說明彈性性能彈性模量Eb當(dāng)b<b時(shí)，E=—強(qiáng)度性能屈服極限bs材料出現(xiàn)顯著的塑性變形抗拉強(qiáng)度b.b材料的最大承載能力塑性性能延伸率8=1x100%l材料拉斷時(shí)的塑性變形程度A-A截面收縮率W=lx100%A材料的塑性變形程度強(qiáng)度計(jì)算許用應(yīng)力材料正常工作容許采用的最高應(yīng)力，由極限應(yīng)力除以安全系數(shù)求得。塑性材料[b]=L；脆性材料[b]=Zbnnsb其中氣，nb稱為安全系數(shù)，且大于1。強(qiáng)度條件：構(gòu)件工作時(shí)的最大工作應(yīng)力不得超過材料的許用應(yīng)力。對軸向拉伸（壓縮）桿件O=W〔b]（3-9）A按式（1-4）可進(jìn)行強(qiáng)度校核、截面設(shè)計(jì)、確定許克載荷等三類強(qiáng)度計(jì)算。2.1切應(yīng)力互等定理受力構(gòu)件內(nèi)任意一點(diǎn)兩個(gè)相互垂直面上，切應(yīng)力總是成對產(chǎn)生，它們的大小相等，方向同時(shí)垂直指向或者背離兩截面交線，且與截面上存在正應(yīng)力與否無關(guān)。2.2純剪切單元體各側(cè)面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力的受力狀態(tài)，稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。2.3切應(yīng)變切應(yīng)力作用下，單元體兩相互垂直邊的直角改變量稱為切應(yīng)變或切應(yīng)變，用C表示。2.4剪切胡克定律在材料的比例極限范圍內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，即匚=Gy（3-10）式中G為材料的切變模量，為材料的又一彈性常數(shù)（另兩個(gè)彈性常數(shù)為彈性模量E及泊松比V），其數(shù)值由實(shí)驗(yàn)決定。E對各向同性材料,E、V、g有下列關(guān)系G=2（^v（3-11）2.5.2切應(yīng)力計(jì)算公式橫截面上某一點(diǎn)切應(yīng)力大小為T=號(hào)（3-12）p式中Ip為該截面對圓心的極慣性矩，P為欲求的點(diǎn)至圓心的距離。圓截面周邊上的切應(yīng)力為T=—（3-13）max^Wt式中W=稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，R為圓截面半徑。tR

2.5.3切應(yīng)力公式討論（1）切應(yīng)力公式（3-12）和式（3-13）適用于材料在線彈性范圍內(nèi)、小變形時(shí)的等圓截面直桿；對小錐度圓截面直桿以及階梯形圓軸亦可近似應(yīng)用，其誤差在工程允許范圍內(nèi)。（2）極慣性矩I和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)嗎是截面幾何特征量，計(jì)算公式見料3。在面積不變情況下，材料離散程度高，其值愈大；反映出軸抵抗扭轉(zhuǎn)破壞和變形的能力愈強(qiáng)。因此，設(shè)計(jì)空心軸比實(shí)心軸更為合理。表3-3實(shí)心圓（外徑為d）丸d4I=p32丸d3W=t16空心圓（外徑為D，內(nèi)徑為d）丸D4、擠-a)4da=D丸D4W=J-a2.5.4強(qiáng)度條件IT\TOC\o"1-5"\h\z圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，全軸中最大切應(yīng)力不得超過材料允許極限值，否則將發(fā)生破壞。因此，強(qiáng)度條件為^max=|.—1<[^]tmax（3-14）對等圓截面直桿^='ma品]（3-15）式中[C]為材料的許用切應(yīng)力。max^Wt(3-16)3.1.1中性層的曲率與彎矩的關(guān)系L=MpEIz(3-16)式中，P是變形后梁軸線的曲率半徑；E是材料的彈性模量；Ie是橫截面對中性軸Z軸的慣性矩。(3-17)3.1.2橫截面上各點(diǎn)彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式°=MyIZ式中，M是橫截面上的彎矩；Iz的意義同上；y是欲求正應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸的距離最大正應(yīng)力出現(xiàn)在距中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)處°=Mmax?ym(3-17)最大正應(yīng)力出現(xiàn)在距中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)處°=Mmax?ymaxIz式中，W='七—稱為抗彎截面系數(shù)。對于龍X力的矩形截面，zymaxd丸34內(nèi)外徑之比為a=方的環(huán)形截面，W=苛（1-a）。M=—土（3-18）max^Wz1兀W=_bh2；對于直徑為D的圓形截面，W=_D3；對于z6z323.2梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的最大工作應(yīng)力不得超過材料的容許應(yīng)力，其表達(dá)式為b=max<[b]（3-19）

對于由拉、壓強(qiáng)度不等的材料制成的上下不對稱截面梁（如T字形截面、上下不等邊的工字形截面等）其強(qiáng)度條件應(yīng)blmaxMmaxI表達(dá)為（3-20a）（3-20b）式中，［。］’［。blmaxMmaxIQS*3.3梁的切應(yīng)力T=^-zb（3-21）z式中，Q是橫截面上的剪力；S*是距中性軸為y的橫線與外邊界所圍面積對中性軸的靜矩；I是整個(gè)橫截面對中性軸的慣性zz矩；b是距中性軸為y處的橫截面寬度。3.3.1矩形截面梁切應(yīng)力方向與剪力平行，大小沿截面寬度不變，沿高度呈拋物線分布。（3-22）切應(yīng)力計(jì)算公式T=如［#-（3-22）3Q最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸各點(diǎn)處，T=3號(hào)max2A3.3.2工字形截面梁切應(yīng)力主要發(fā)生在腹板部分，其合力占總剪力的95?97%，因此截面上的剪力主要由腹板部部分來承擔(dān)。Q丫B（22bl2hM切應(yīng)力沿腹板高度的分布亦為二次曲線。計(jì)算公式為T=__］-3-h）+冒-拓-y七（3-23）近似計(jì)算腹板上的最大切應(yīng)力：T=~dhd為腹板寬度為上下兩翼緣內(nèi)側(cè)距max1hi3.3.3圓形截面梁橫截面上同一高度各點(diǎn)的切應(yīng)力匯交于一點(diǎn)，其豎直分量沿截面寬度相等，沿高度呈拋物線變化。丸d22dQS*Q'~T~'3^_4Q最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，其大小為（3-25）TOC\o"1-5"\h\z—z—=最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，其大小為（3-25）maxIb丸d43AzXd64圓環(huán)形截面上的切應(yīng)力分布與圓截面類似。3.4切應(yīng)力強(qiáng)度條件［］梁的最大工作切應(yīng)力不得超過材料的許用切應(yīng)力，即T=F^nax（3-26）maxIbz式中，Q是梁上的最大切應(yīng)力值；S*是中性軸一側(cè)面積對中性軸的靜矩；I是橫截面對中性軸的慣性矩；b是匚處截面的寬度。對于等寬度截面，Tmax發(fā)生在中性軸上，對于寬度變化的截面，Tmax不一定發(fā)生在中性軸上。4.2剪切的實(shí)用計(jì)算

Q名義切應(yīng)力：假設(shè)切應(yīng)力沿剪切面是均勻分布的，則名義切應(yīng)力為T=.剪切強(qiáng)度條件：剪切面上的工作切應(yīng)力不得超過材料的許用切應(yīng)力[匚]Q名義切應(yīng)力：假設(shè)切應(yīng)力沿剪切面是均勻分布的，則名義切應(yīng)力為T=.剪切強(qiáng)度條件：剪切面上的工作切應(yīng)力不得超過材料的許用切應(yīng)力[匚],即氣［d（3-27）（3-28）名義擠壓應(yīng)力假設(shè)擠壓應(yīng)力在名義擠壓面上是均勻分布的，則"A^[b舞]（3-29）bs式中，A.表示有效擠壓面積，即擠壓面面積在垂直于擠壓力作用線平面上的投影。當(dāng)擠壓面為平面時(shí)為接觸面面積，bs當(dāng)擠壓面為曲面時(shí)為設(shè)計(jì)承壓接觸面面積在擠壓力垂直面上的投影面積。擠壓強(qiáng)度條件擠壓面上的工作擠壓應(yīng)力不得超過材料的許用擠壓應(yīng)力b=￡f[b]（3-30）bs1，變形計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，任意兩個(gè)橫截面繞軸線相對轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生相對扭轉(zhuǎn)角。相距為l的兩個(gè)橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角為中=『dx

0GIP若等截面圓軸兩截面之間的扭矩為常數(shù)中=『dx

0GIP若等截面圓軸兩截面之間的扭矩為常數(shù)(rad)(4.4)小Tl中一GIP(rad)(4.5)則上式化為圖4.2式中GIp稱為圓軸的抗扭剛度。顯然，中的正負(fù)號(hào)與扭矩正負(fù)號(hào)相同。公式（4.4）的適用條件:（1）材料在線彈性范圍內(nèi)的等截面圓軸，艮（2）在長度l內(nèi)，T、G、Ip均為常量。當(dāng)以上參數(shù)沿軸線分段變化時(shí)，則應(yīng)分段計(jì)算扭轉(zhuǎn)角，然后求代數(shù)和得總扭轉(zhuǎn)角。即中空T'i(rad)(4.6)i=iG*I當(dāng)T、Ip沿軸線連續(xù)變化時(shí)，用式（4.4）計(jì)算中。2，剛度條件扭轉(zhuǎn)的剛度條件圓軸最大的單位長度扭轉(zhuǎn)角0不得超過許可的單位長度扭轉(zhuǎn)角"'],即max0=max:GpxV［甲］(rad/m)(4.7)式0p=TX180。＜［p］',°,(/m)(4.8)max—maxGI丸2,撓曲線的近似微分方程及其積分在分析純彎曲梁的正應(yīng)力時(shí)，得到彎矩與曲率的關(guān)系

對于跨度遠(yuǎn)大于截面高度的梁，略去剪力對彎曲變形的影響，由上式可得、=pUEIM(x)(4.9)①''=EI利用平面曲線的曲率公式，并忽略高階微量，得撓曲線的近似微分方程°MG)將上式積分一次得轉(zhuǎn)角萬程為0=?'=Jdx+CM)[EI再積分得撓曲線方程^=\V^^dx^dx+Cx+D在分析純彎曲梁的正應(yīng)力時(shí)，得到彎矩與曲率的關(guān)系(4.9)利用平面曲線的曲率公式，并忽略高階微量，得撓曲線的近似微分方程°MG)將上式積分一次得轉(zhuǎn)角萬程為0=?'=Jdx+CM)[EI再積分得撓曲線方程^=\V^^dx^dx+Cx+D口EIi(4.10)(4.11)限制梁的最大撓度與最大轉(zhuǎn)角不超過規(guī)定的許可數(shù)值，就得到梁的剛度條件，即域<[w]，p|<[0](4.12)3,軸向拉伸或壓縮桿件的應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi)，由功能原理得FlF2/當(dāng)桿件的橫截面面積A、軸力fn為常量時(shí)，由胡克定律M=/可得Vg=^2EA(4.14)桿單位體積內(nèi)的應(yīng)變能稱為應(yīng)變能密度，用V表示。線彈性范圍內(nèi)，得V=158882(4.15)4,圓截面直桿扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能1在線彈性范圍內(nèi)，由功能原V=W=1M中r2eTlT2l\o"CurrentDocument"將Me=T與中=寸代入上式得V=—(4.16)圖4.5根據(jù)微體內(nèi)的應(yīng)變能在數(shù)值上等于微體上的內(nèi)力功，得應(yīng)變能的密度V:r5,梁的彎曲應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi)，純彎曲時(shí)，由功能原理得V=W=1M082eIMlM2l將M=M與0=瓦代入上式得V8=-—-(4.18)圖4.6V=1Trr(4.17)橫力彎曲時(shí)，梁橫截面上的彎矩沿軸線變化，此時(shí)，對于微段梁應(yīng)用M2(x)dx式(4.18)，積分得全梁的彎曲應(yīng)變能"即V=j2EI(4.19)l2.截面幾何性質(zhì)的定義式列表于下:慣性矩慣性半徑慣性積極慣性矩I=I+b2A靜矩：平面圖形面積對某坐標(biāo)軸的一次矩，如圖I-1所示。S=jydAzA定義式：S=fzdAyA量綱為長度的三次方。由于均質(zhì)薄板的重心與平面圖形的形心有相同的坐標(biāo)(1-1)yc。則由此可得薄板重心的坐標(biāo)zc為SzA_S=,同理有所以形心坐標(biāo)七c或Sy=A?zc，由式（I-2）得知ycSy，Az?dA=SAdASyz=-^=^^cAA1-2)Sz=A?yc若某坐標(biāo)軸通過形心軸，則圖形對該軸的靜矩等于零，艮射c=0反之，若圖形對某一軸的靜矩等于零，則該軸必然通過圖形的形心。靜矩與所選坐標(biāo)軸有關(guān)，其值可能為正，負(fù)或零。Ai，形心坐標(biāo)為Sz=0；zc=0，則Sy=0；如一個(gè)平面圖形是由幾個(gè)簡單平面圖形組成，稱為組合平面圖形。設(shè)第I塊分圖形的面積為

yci，常，則其靜矩和形心坐標(biāo)分別為Sz=T：Ay

i=1CiS=YAzU以c7=1EAii=1(I-3)§1-2慣性矩和慣性半徑y(tǒng)Cs

i=1iCi(I-4)慣性矩：平面圖形對某坐標(biāo)軸的二次矩，如圖I-4所示。I=jz2dAyA=jy2dAA量綱為長度的四次方，恒為正。相應(yīng)定義iy=\21-4,成姓矩的概念(I-5)(I-6)揭Aii=1為圖形對y軸和對z軸的慣性半徑。組合圖形的慣性矩。設(shè)J,七為分圖形的慣性矩’則總圖形對同一軸慣性矩為y=U/i=iI=EIi=1(I-7)若以P表示微面積辦到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離，則定義圖形對坐標(biāo)原點(diǎn)。的極慣性矩I=jP2dA（I-8）因?yàn)镻2=產(chǎn)+z所以極慣性矩與（軸）慣性矩有