第1練 小集合大功能

第1練小集合，大功能[題型分析·高考展望]集合是高考每年必考內(nèi)容，題型基本都是選擇題、填空題，題目難度大多數(shù)為低檔，有時(shí)候在填空題中以創(chuàng)新題型出現(xiàn)，難度稍高，在二輪復(fù)習(xí)中，本部分應(yīng)該重點(diǎn)掌握集合的表示、集合的性質(zhì)、集合的運(yùn)算及集合關(guān)系在常用邏輯用語(yǔ)、函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等方面的應(yīng)用.同時(shí)注意研究有關(guān)集合的創(chuàng)新問(wèn)題，研究問(wèn)題的切入點(diǎn)及集合知識(shí)在相關(guān)問(wèn)題中所起的作用.體驗(yàn)高考1.(2015·重慶)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，則()A.A＝B B.A∩B＝?C.AB D.BA答案D解析由于2∈A，2∈B，3∈A，3∈B，1∈A，1?B，故A，B，C均錯(cuò)，D是正確的，選D.2.(2015·福建)若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虛數(shù)單位)，B＝{1，－1}，則A∩B等于()A.{－1} B.{1}C.{1，－1} D.?答案C解析集合A＝{i，－1，1，－i}，B＝{1，－1}，A∩B＝{1，－1}，故選C.3.(2016·山東)設(shè)集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，則A∪B等于()A.(－1，1) B.(0，1)C.(－1，＋∞) D.(0，＋∞)答案C解析A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，則A∪B＝(－1，＋∞)，故選C.4.(2015·四川)設(shè)集合A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，則A∪B等于()A.{x|－1＜x＜3} B.{x|－1＜x＜1}C.{x|1＜x＜2} D.{x|2＜x＜3}答案A解析∵A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，∴A∪B＝{x|－1＜x＜3}.5.(2016·北京)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－1，0，1，2，3}，則A∩B等于()A.{0，1} B.{0，1，2}C.{－1，0，1} D.{－1，0，1，2}答案C解析由A＝{x|－2＜x＜2}，得A∩B＝{－1，0，1}.高考必會(huì)題型題型一單獨(dú)命題獨(dú)立考查常用的運(yùn)算性質(zhì)及重要結(jié)論：(1)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A；(2)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A；(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U；(4)A∩B＝A?A?B?A∪B＝B.例1(1)(2015·廣東)若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，則M∩N等于()A.? B.{－1，－4}C.{0} D.{1，4}(2)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(c，＋∞)，其中c＝________.答案(1)A(2)4解析(1)因?yàn)镸＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4，－1}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}＝{1，4}，所以M∩N＝?，故選A.(2)由log2x≤2，得0＜x≤4，即A＝{x|0＜x≤4}，而B(niǎo)＝(－∞，a)，由A?B，如圖所示，則a＞4，即c＝4.點(diǎn)評(píng)(1)弄清集合中所含元素的性質(zhì)是集合運(yùn)算的關(guān)鍵，這主要看代表元素，即“|”前面的表述.(2)當(dāng)集合之間的關(guān)系不易確定時(shí)，可借助Venn圖或列舉實(shí)例.變式訓(xùn)練1(1)(2015·浙江)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，則(?RP)∩Q等于()A.[0，1)B.(0，2]C.(1，2)D.[1，2]答案C解析∵P＝{x|x≥2或x≤0}，?RP＝{x|0＜x＜2}，∴(?RP)∩Q＝{x|1＜x＜2}，故選C.(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|0≤ax＋1≤3}，若A∪B＝B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，又∵B＝{x|0≤ax＋1≤3}＝{x|－1≤ax≤2}，∵A∪B＝B，∴A?B.①當(dāng)a＝0時(shí)，B＝R，滿(mǎn)足題意.②當(dāng)a＞0時(shí)，B＝{x|－eq\f(1,a)≤x≤eq\f(2,a)}，∵A?B，∴eq\f(2,a)≥2，解得0＜a≤1.③當(dāng)a＜0時(shí)，B＝{x|eq\f(2,a)≤x≤－eq\f(1,a)}，∵A?B，∴－eq\f(1,a)≥2，解得－eq\f(1,2)≤a＜0.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)).題型二集合與其他知識(shí)的綜合考查集合常與不等式、向量、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)綜合考查.集合運(yùn)算的常用方法：(1)若已知集合是不等式的解集，用數(shù)軸求解；(2)若已知集合是點(diǎn)集，用數(shù)形結(jié)合法求解；(3)若已知集合是抽象集合，用Venn圖求解.例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，點(diǎn)Q滿(mǎn)足eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\r(2)(a＋b).曲線(xiàn)C＝{P|eq\o(OP,\s\up6(→))＝acosθ＋bsinθ，0≤θ<2π}，區(qū)域Ω＝{P|0<r≤|eq\o(PQ,\s\up6(→))|≤R，r<R}.若C∩Ω為兩段分離的曲線(xiàn)，則()A.1<r<R<3 B.1<r<3≤RC.r≤1<R<3 D.1<r<3<R答案A解析∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0，又∵eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\r(2)(a＋b)，∴|eq\o(OQ,\s\up6(→))|2＝2(a＋b)2＝2(a2＋b2＋2a·b)＝4，∴點(diǎn)Q在以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓上.又eq\o(OP,\s\up6(→))＝acosθ＋bsinθ，∴|eq\o(OP,\s\up6(→))|2＝a2cos2θ＋b2sin2θ＝cos2θ＋sin2θ＝1.∴曲線(xiàn)C為單位圓.又∵Ω＝{P|0<r≤|eq\o(PQ,\s\up6(→))|≤R，r<R}，要使C∩Ω為兩段分離的曲線(xiàn)，如圖，可知1<r<R<3，其中圖中兩段分離的曲線(xiàn)是指與.故選A.點(diǎn)評(píng)以集合為載體的問(wèn)題，一定要弄清集合中的元素是什么，范圍如何.對(duì)于點(diǎn)集，一般利用數(shù)形結(jié)合，畫(huà)出圖形，更便于直觀形象地展示集合之間的關(guān)系，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.變式訓(xùn)練2函數(shù)f(x)＝x2＋2x，集合A＝{(x，y)|f(x)＋f(y)≤2}，B＝{(x，y)|f(x)≤f(y)}，則由A∩B的元素構(gòu)成的圖形的面積是________.答案2π解析集合A＝{(x，y)|x2＋2x＋y2＋2y≤2}，可得(x＋1)2＋(y＋1)2≤4，集合B＝{(x，y)|x2＋2x≤y2＋2y}，可得(x－y)·(x＋y＋2)≤0.在平面直角坐標(biāo)系上畫(huà)出A，B表示的圖形可知A∩B的元素構(gòu)成的圖形的面積為2π.題型三與集合有關(guān)的創(chuàng)新題與集合有關(guān)的創(chuàng)新題目，主要以新定義的形式呈現(xiàn)，考查對(duì)集合含義的深層次理解，在新定義下求集合中的元素、確定元素個(gè)數(shù)、確定兩集合的關(guān)系等.例3設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集，若對(duì)任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，則稱(chēng)S為封閉集.下列命題：①集合S＝{a＋bi|a，b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位}為封閉集；②若S為封閉集，則一定有0∈S；③封閉集一定是無(wú)限集；④若S為封閉集，則滿(mǎn)足S?T?C的任意集合T也是封閉集.其中的真命題是________.(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))答案①②解析①正確，當(dāng)a，b為整數(shù)時(shí)，對(duì)任意x，y∈S，x＋y，x－y，xy的實(shí)部與虛部均為整數(shù)；②正確，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，0∈S；③錯(cuò)誤，當(dāng)S＝{0}時(shí)，是封閉集，但不是無(wú)限集；④錯(cuò)，設(shè)S＝{0}?T，T＝{0，1}，顯然T不是封閉集，因此，真命題為①②.點(diǎn)評(píng)解決以集合為背景的新定義問(wèn)題，要抓住兩點(diǎn)：(1)緊扣新定義，首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過(guò)程之中，這是破解新定義型集合問(wèn)題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；(2)用好集合的性質(zhì)，解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的運(yùn)算與性質(zhì).變式訓(xùn)練3在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類(lèi)”，記為[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z，k＝0，1，2，3，4}.給出如下四個(gè)結(jié)論：①2016∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整數(shù)a，b屬于同一類(lèi)”的充要條件是“a－b∈[0]”.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.3D.4答案C解析對(duì)于①：2016＝5×403＋1，∴2016∈[1]，故①正確；對(duì)于②：－3＝5×(－1)＋2，∴－3∈[2]，故②不正確；對(duì)于③：∵整數(shù)集Z被5除，所得余數(shù)共分為五類(lèi).∴Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正確；對(duì)于④：若整數(shù)a，b屬于同一類(lèi)，則a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，∴a－b＝5n1＋k－(5n2＋k)＝5(n1－n2)＝5n，∴a－b∈[0]，若a－b＝[0]，則a－b＝5n，即a＝b＋5n，故a與b被5除的余數(shù)為同一個(gè)數(shù)，∴a與b屬于同一類(lèi)，∴“整數(shù)a，b屬于同一類(lèi)”的充要條件是“a－b∈[0]”，故④正確，∴正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是3.高考題型精練1.(2015·天津)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，則集合A∩(?UB)等于()A.{2，5} B.{3，6}C.{2，5，6} D.{2，3，5，6，8}答案A解析由題意知，?UB＝{2，5，8}，則A∩(?UB)＝{2，5}，選A.2.(2015·陜西)設(shè)集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，則M∪N等于()A.[0，1] B.(0，1]C.[0，1) D.(－∞，1]答案A解析由題意得M＝{0，1}，N＝(0，1]，故M∪N＝[0，1]，故選A.3.(2016·四川)集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z為整數(shù)集，則A∩Z中元素的個(gè)數(shù)是()A.3B.4C.5D.6答案C解析由題意，A∩Z＝{－2，－1，0，1，2}，故其中的元素個(gè)數(shù)為5，選C.4.設(shè)全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cosx，x∈R}，則圖中陰影部分表示的區(qū)間是()A.[0，1]B.[－1，2]C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.(－∞，－1]∪[2，＋∞)答案C解析因?yàn)锳＝{x|0≤x≤2}＝[0，2]，B＝{y|－1≤y≤1}＝[－1，1]，所以A∪B＝[－1，2]，所以?R(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞).5.已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x＜0}，則A∪(?RB)等于()A.[－1，0] B.[1，2]C.[0，1] D.(－∞，1]∪[2，＋∞)答案D解析∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，∴?RB＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，∴A∪(?RB)＝(－∞，1]∪[2，＋∞).6.若x∈A，則eq\f(1,x)∈A，就稱(chēng)A是伙伴關(guān)系集合，集合M＝{－1，0，eq\f(1,2)，2，3}的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合的個(gè)數(shù)是()A.1B.3C.7D.31答案B解析具有伙伴關(guān)系的元素組是－1，eq\f(1,2)，2，所以具有伙伴關(guān)系的集合有3個(gè)：{－1}，{eq\f(1,2)，2}，{－1，eq\f(1,2)，2}.7.在R上定義運(yùn)算?：x?y＝eq\f(x,2－y)，若關(guān)于x的不等式(x－a)?(x＋1－a)>0的解集是集合{x|－2≤x≤2}的子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.－2≤a≤2 B.－1≤a≤1C.－2≤a≤1 D.1≤a≤2答案C解析因?yàn)?x－a)?(x＋1－a)>0，所以eq\f(x－a,1＋a－x)>0，即a<x<a＋1，則a≥－2且a＋1≤2，即－2≤a≤1.8.已知集合A＝{x|x2－2017x＋2016＜0}，B＝{x|log2x＜m}，若A?B，則整數(shù)m的最小值是()A.0B.1C.11D.12答案C解析由x2－2017x＋2016＜0，解得1＜x＜2016，故A＝{x|1＜x＜2016}.由log2x＜m，解得0＜x＜2m，故B＝{x|0＜x＜2m}.由A?B，可得2m≥2016，因?yàn)?10＝1024，211＝2048，所以整數(shù)m的最小值為11.9.已知數(shù)集A＝{a1，a2，…，an}(1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2)具有性質(zhì)P：對(duì)任意的i，j(1≤i≤j≤n)，aiaj與eq\f(aj,ai)兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A，則稱(chēng)集合A為“權(quán)集”，則()A.{1，3，4}為“權(quán)集”B.{1，2，3，6}為“權(quán)集”C.“權(quán)集”中元素可以有0D.“權(quán)集”中一定有元素1答案B解析由于3×4與eq\f(4,3)均不屬于數(shù)集{1，3，4}，故A不正確；由于1×2，1×3，1×6，2×3，eq\f(6,2)，eq\f(6,3)，eq\f(1,1)，eq\f(2,2)，eq\f(3,3)，eq\f(6,6)都屬于數(shù)集{1，2，3，6}，故B正確；由“權(quán)集”的定義可知eq\f(aj,ai)需有意義，故不能有0，同時(shí)不一定有1，故C，D錯(cuò)誤.10.已知a，b均為實(shí)數(shù)，設(shè)集合A＝{x|a≤x≤a＋eq\f(4,5)}，B＝{x|b－eq\f(1,3)≤x≤b}，且A，B都是集合{x|0≤x≤1}的子集.如果把n－m叫做集合{x|m≤x≤n}的“長(zhǎng)度”，那么集合A∩B的“長(zhǎng)度”的最小值是________.答案eq\f(2,15)解析∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥0，,a＋\f(4,5)≤1，))∴0≤a≤eq\f(1,5)，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,3)≥0，,b≤1，))∴eq\f(1,3)≤b≤1，利用數(shù)軸分類(lèi)討論可得集合A∩B的“長(zhǎng)度”的最小值為eq\f(1,3)－eq\f(1,5)＝eq\f(2,15).11.設(shè)集合Sn＝{1，2，3，…，n}，若X?Sn，把X的所有元素的乘積稱(chēng)為X的容量(若X中只有一個(gè)元素，則該元素的數(shù)值即為它的容量，規(guī)定空集的容量為0).若X的容量為奇(偶)數(shù)，則稱(chēng)X為Sn的奇(偶)子