泰勒公式課件

二、幾個(gè)函數(shù)的麥克勞林公式第三節(jié)一、泰勒公式三、泰勒公式的應(yīng)用泰勒(Taylor)公式

第三章二、幾個(gè)函數(shù)的麥克勞林公式第三節(jié)一、泰勒公式三、泰勒公式的一、泰勒公式當(dāng)一個(gè)函數(shù)f(x)相當(dāng)復(fù)雜時(shí),為了計(jì)算它在一點(diǎn)x=x0時(shí)，是比高階的無窮小.附近的函數(shù)值或描繪曲線f(x)在一點(diǎn)P(x0,f(x0))附近的形狀時(shí),我們希望找出一個(gè)關(guān)于(x-x0)的n次多項(xiàng)式函數(shù)近似表示f(x)且當(dāng)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、泰勒公式當(dāng)一個(gè)函數(shù)f(x)相當(dāng)復(fù)雜時(shí),為了計(jì)算它在一點(diǎn)首先確定多項(xiàng)式函數(shù)的系數(shù)假定f(x)在含有點(diǎn)x0的某個(gè)開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到這樣,對(duì)Pn(x)

求各階導(dǎo)數(shù),然后分別代入以上等式得即得(n+1)階的導(dǎo)數(shù)，并且要求滿足條件：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束首先確定多項(xiàng)式函數(shù)的系數(shù)假定f(x)在含有點(diǎn)x0的某個(gè)開區(qū)把所求得的系數(shù)代入得其次證明是較顯然,Rn(x)在(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù)，且據(jù)此重復(fù)使用洛必達(dá)法則，可推得高階無窮小機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束把所求得的系數(shù)代入得其次證明是較顯然,Rn(x)在(a,b)時(shí)，是比高階的無窮小.即當(dāng)Rn(x)于是f(x)可表示機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束時(shí)，是比高階的無窮小.即當(dāng)Rn(x)于是f(x)可表示機(jī)動(dòng)一、問題的提出機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、問題的提出機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回（如下圖）機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束（如下圖）機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回不足之處問題:1、精確度不高2、誤差不能估計(jì)。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束不足之處問題:1、精確度不高2、誤差不能估計(jì)。機(jī)動(dòng)目錄機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在點(diǎn)相交機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束分析機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、泰勒(Taylor)中值定理機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、泰勒(Taylor)中值定理機(jī)動(dòng)目錄上頁定理:泰勒(Taylor)中值定理有①其中②則對(duì)于任一

如果f(x)在含有點(diǎn)x0的某個(gè)開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)階的導(dǎo)數(shù)，機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理:泰勒(Taylor)中值定理有①其中②則對(duì)于任一如特例:當(dāng)n=0

時(shí),泰勒公式變成拉格朗日中值定理公式①稱為f(x)按(x-x0)的冪展開的帶有拉格朗日型公式②稱為拉格朗日型余項(xiàng)

.余項(xiàng)的n

階泰勒公式

.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束特例:當(dāng)n=0時(shí),泰勒公式變成拉格朗日中值定理公式拉格朗日形式的余項(xiàng)皮亞諾形式的余項(xiàng)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束拉格朗日形式的余項(xiàng)皮亞諾形式的余項(xiàng)機(jī)動(dòng)目錄上頁注:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、幾個(gè)函數(shù)的麥克勞林公式上述公式稱為f(x)的麥克勞林(Maclaurin)公式.因此可令在泰勒公式中取從而泰勒公式變?yōu)檩^簡單的形式,即其中機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、幾個(gè)函數(shù)的麥克勞林公式上述公式稱為f(x)的麥克勞林(故例1:求函數(shù)解:因?yàn)榈膎階麥克勞林展開式.所以機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束故例1:求函數(shù)解:因?yàn)榈膎階麥克勞林展開式.所以機(jī)動(dòng)其中令n=2m，于是有例2:求函數(shù)解:因?yàn)榈膎階麥克勞林展開式.所以

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束其中令n=2m，于是有例2:求函數(shù)解:因?yàn)榈膎階麥克勞林展開類似地,可得其中其中機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束類似地,可得其中其中機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁其中以上介紹的幾個(gè)函數(shù)的麥克勞林展開式，在應(yīng)用中經(jīng)常遇到，應(yīng)該熟記！機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束其中以上介紹的幾個(gè)函數(shù)的麥克勞林展開式，在應(yīng)用中經(jīng)常遇到，應(yīng)三、泰勒公式的應(yīng)用1.求較為復(fù)雜的函數(shù)的麥克勞林展開式或泰勒展開式例3:求解:因?yàn)橛?/p>

的麥克勞林展開式.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、泰勒公式的應(yīng)用1.求較為復(fù)雜的函數(shù)的麥克勞林展開式或泰機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4:求函數(shù)解:因?yàn)?/p>

處的泰勒展開式.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4:求函數(shù)解:因?yàn)榧礄C(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束即機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.在近似計(jì)算中的應(yīng)用例5:利用的8階麥克勞林展開式計(jì)算e的近似值,并估計(jì)誤差.解:取n=8，進(jìn)行計(jì)算得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.在近似計(jì)算中的應(yīng)用例5:利用的8階麥克勞林展開式計(jì)算其誤差機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束其誤差機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回五、小結(jié)五、小結(jié)五、小結(jié)五、小結(jié)五、小結(jié)五、小結(jié)五、小結(jié)五、小結(jié)五、小結(jié)五、小結(jié)泰勒公式課件泰勒公式課件泰勒公式課件泰勒公式課件泰勒公式課件泰勒公式課件泰勒公式課件泰勒公式課件泰勒公式課件泰勒公式課件泰勒公式課件泰勒公式課件泰勒公式課件泰勒公式課件泰勒公式課件泰勒公式課件習(xí)題3-3（P91)1(2)、2習(xí)題3-3（P91)1(2)、2二、幾個(gè)函數(shù)的麥克勞林公式第三節(jié)一、泰勒公式三、泰勒公式的應(yīng)用泰勒(Taylor)公式

第三章二、幾個(gè)函數(shù)的麥克勞林公式第三節(jié)一、泰勒公式三、泰勒公式的一、泰勒公式當(dāng)一個(gè)函數(shù)f(x)相當(dāng)復(fù)雜時(shí),為了計(jì)算它在一點(diǎn)x=x0時(shí)，是比高階的無窮小.附近的函數(shù)值或描繪曲線f(x)在一點(diǎn)P(x0,f(x0))附近的形狀時(shí),我們希望找出一個(gè)關(guān)于(x-x0)的n次多項(xiàng)式函數(shù)近似表示f(x)且當(dāng)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、泰勒公式當(dāng)一個(gè)函數(shù)f(x)相當(dāng)復(fù)雜時(shí),為了計(jì)算它在一點(diǎn)首先確定多項(xiàng)式函數(shù)的系數(shù)假定f(x)在含有點(diǎn)x0的某個(gè)開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到這樣,對(duì)Pn(x)

求各階導(dǎo)數(shù),然后分別代入以上等式得即得(n+1)階的導(dǎo)數(shù)，并且要求滿足條件：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束首先確定多項(xiàng)式函數(shù)的系數(shù)假定f(x)在含有點(diǎn)x0的某個(gè)開區(qū)把所求得的系數(shù)代入得其次證明是較顯然,Rn(x)在(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù)，且據(jù)此重復(fù)使用洛必達(dá)法則，可推得高階無窮小機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束把所求得的系數(shù)代入得其次證明是較顯然,Rn(x)在(a,b)時(shí)，是比高階的無窮小.即當(dāng)Rn(x)于是f(x)可表示機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束時(shí)，是比高階的無窮小.即當(dāng)Rn(x)于是f(x)可表示機(jī)動(dòng)一、問題的提出機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、問題的提出機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回（如下圖）機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束（如下圖）機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回不足之處問題:1、精確度不高2、誤差不能估計(jì)。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束不足之處問題:1、精確度不高2、誤差不能估計(jì)。機(jī)動(dòng)目錄機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在點(diǎn)相交機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束分析機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、泰勒(Taylor)中值定理機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、泰勒(Taylor)中值定理機(jī)動(dòng)目錄上頁定理:泰勒(Taylor)中值定理有①其中②則對(duì)于任一

如果f(x)在含有點(diǎn)x0的某個(gè)開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)階的導(dǎo)數(shù)，機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理:泰勒(Taylor)中值定理有①其中②則對(duì)于任一如特例:當(dāng)n=0

時(shí),泰勒公式變成拉格朗日中值定理公式①稱為f(x)按(x-x0)的冪展開的帶有拉格朗日型公式②稱為拉格朗日型余項(xiàng)

.余項(xiàng)的n

階泰勒公式

.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束特例:當(dāng)n=0時(shí),泰勒公式變成拉格朗日中值定理公式拉格朗日形式的余項(xiàng)皮亞諾形式的余項(xiàng)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束拉格朗日形式的余項(xiàng)皮亞諾形式的余項(xiàng)機(jī)動(dòng)目錄上頁注:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、幾個(gè)函數(shù)的麥克勞林公式上述公式稱為f(x)的麥克勞林(Maclaurin)公式.因此可令在泰勒公式中取從而泰勒公式變?yōu)檩^簡單的形式,即其中機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、幾個(gè)函數(shù)的麥克勞林公式上述公式稱為f(x)的麥克勞林(故例1:求函數(shù)解:因?yàn)榈膎階麥克勞林展開式.所以機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束故例1:求函數(shù)解:因?yàn)榈膎階麥克勞林展開式.所以機(jī)動(dòng)其中令n=2m，于是有例2:求函數(shù)解:因?yàn)榈膎階麥克勞林展開式.所以

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束其中令n=2m，于是有例2:求函數(shù)解:因?yàn)榈膎階麥克勞林展開類似地,可得其中其中機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束類似地,可得其中其中機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁其中以上介紹的幾個(gè)函數(shù)的麥克勞林展開式，在應(yīng)用中經(jīng)常遇到，應(yīng)該熟記！機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束其中以上介紹的幾個(gè)函數(shù)的麥克勞林展開式，在應(yīng)用中經(jīng)常遇到，應(yīng)三、泰勒公式的應(yīng)用1.求較為復(fù)雜的函數(shù)的麥克勞林展開式或泰勒展開式例3:求解:因?yàn)橛?/p>

的麥克勞林展開式.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、泰勒公式的應(yīng)用1.求較為復(fù)雜的函數(shù)的麥克勞林展開式或泰機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4:求函數(shù)解:因?yàn)?/p>