最值問題解題思路奧數(shù)

馬到成功奧數(shù)專題:離散最值引言：在國內(nèi)外數(shù)學(xué)競賽中，常出現(xiàn)一些在自然數(shù)范圍內(nèi)變化的量的最值問題，我們稱之為離散最值問題。解決這類非常規(guī)問題，尚無統(tǒng)一的方法，對不同的題目要用不同的策略和方法，就具體的題目而言，大致可從以下幾個方面著手：著眼于極端情形；分析推理——確定最值；枚舉比較——確定最值；估計并構(gòu)造。離散最值問題滲透到小升初的各個奧數(shù)專題中，學(xué)好它可為解決數(shù)論，計數(shù)，應(yīng)用問題等打下扎實的基礎(chǔ)。一、從極端情形入手從極端情形入手，著眼于極端情形，是求解最值問題的有效手段。題目1.10個，這些小球的大小均相同，紅色一個布袋中有紅、黃、綠三種顏色的小球各小球上標(biāo)有數(shù)字“4”，黃色小球上標(biāo)有數(shù)字“5”，綠色小球上標(biāo)有數(shù)字“6”。小明從袋8個球，它們的數(shù)字和是39，其中最多可能有多少個球是紅色的？中摸出解：假設(shè)摸出的8個球全是紅球，則數(shù)字之和為(4X8=)32,與實際的和39相差7，這是因為將摸出的黃球、綠球都當(dāng)成是紅球的緣故。6－4=)2，用一個黃球換一個紅球，數(shù)字和可增加用一個綠球換一個紅球，數(shù)字和可增加(7一2=3,,1，因此可用(5-4=)1。為了使紅球盡可能地多，應(yīng)該多用綠球換紅球，現(xiàn)在3839。所以要使個8個球的數(shù)字之和正好等于個綠球換紅球，再用一個黃球換紅球，這樣8-3-1=)4個是紅球。球的數(shù)字之和為39，其中最多可能有(有題目2.13個不同正整數(shù)，它們的和是100。問其中偶數(shù)最多有多少個？最少有多少個？100是偶數(shù)，所以只能少解：①2+4+6+8+10+12+14+16=72還要有5個奇數(shù)，但和是奇數(shù)，一個偶數(shù)，2+4+6+8+10+12+14=56100-56=4242=1+3+5+7+9+17，最多有7個偶數(shù)。②1+3+5+7+9+11+13+15=64還要5個偶數(shù)，100-64=3636=2+4+6+8+16最少有5個偶數(shù)。題目3.一種小型天平稱備有1克、3克、5克、7克、9克5種砝碼。為了能稱出1克到91克的任意一種整數(shù)克重量，如果只允許在天平的一端放砝碼，那么最少需要準(zhǔn)備砝碼多少個。解：要能稱出1克到91克的任意一種整數(shù)克重量，要有9個9克、1個5克、1個3克、2個1克，它們的和是91，這樣即可。需要9+1+1+2=13個。4.7”和“0”以及加法鍵尚能使用，因此一臺計算器大部分按鍵失靈，只有數(shù)字“題目77，7077和0的數(shù)，并且進行加法運算。為了顯示出222222，最這樣只含數(shù)字可以輸入”鍵多少次？少要按“7222222-70000*3=122227個713個12222-7000*1=5222按下了按下了5222-700*7=322322-70*4=4267個77個442-7*6=0按下了按下了按下了3+1+7+4+6=21。個7次二、枚舉法與逐步調(diào)整當(dāng)我們在有限數(shù)中求最大（或最小）值時，枚舉法是常用基本方法之一。這種方法的大意是：將問題所涉及的對象一一列出，逐一比較從中找出最值；或者將與問題相關(guān)的各種情況逐一考察，最后歸納出需要的結(jié)論。題目5.將6，7，8，9，10按任意次序?qū)懺谝粋€圓周上，每相鄰兩數(shù)相乘，并將所得得5個乘積相加，那么所得和數(shù)的最小值是多少？10，旁邊添6和7，這樣積小一些。于是有解：要使乘積最小，就要每個數(shù)盡可能小。對于兩種添法：題目6.某公共汽車從起點開往終點站，中途共有13個停車站。如果這輛公共汽車從起點站開出，除終點站外，每一站上車的乘客中，正好各有一位乘客從這一站到以后的每一站，那么為了使每位乘客都有座位，這輛公共汽車至少應(yīng)有多少個座位？解法1：只需求車上最多有多少人。依題意列表如下：由上表可見，車上最多有56人，這就是說至少應(yīng)有56個座位。說明：本題問句出現(xiàn)了“至少”二字是就座位而言的，座位最少有多少，取決于什么時候車上人數(shù)最多，要保證乘客中每人都有座位，應(yīng)準(zhǔn)備的座位至少應(yīng)當(dāng)?shù)扔诔丝妥疃鄷r的人數(shù)。所以，我們不能只看表面現(xiàn)象，誤認為有了“至少”就是求最小數(shù)，而應(yīng)該把題意分析清楚后再作判斷。解法2：因為車從某一站開出時，以前各站都有同樣多的人數(shù)到以后各站（每站1人），這一人數(shù)也和本站上車的人數(shù)一樣多，因此車開出時人數(shù)二（以前的站數(shù)+1）X以后站數(shù)二站號X（15-站號）。因此只要比較下列數(shù)的大?。?X14,2X13,3X12,4X11,5X10,6X9,7X8,8X7,9X6,10X5,,X2X4,1311OX112X3,1456人，所以是最大值，也就是車上乘客最多時的人數(shù)是X7X8和87由這些數(shù)，得知個座位。它應(yīng)有56說明：此題的兩種解法都是采用的枚舉法，枚舉法是求解離散最值問題的基本方法。這種方法的大意是：將問題所涉及的對象一一列出，逐一比較從中找出最值；或者將與問題相關(guān)的各種情況逐一考察，最后歸納出需要的結(jié)論。題目7.18-2所示得2*8方格表中，第一行得8個方格內(nèi)依次寫著1、2、3、4、5、6、7、8。在如圖88按適當(dāng)?shù)庙樞蚍謩e填入第二行的個方格內(nèi)，使得每列51、2、3、4、、6、7、如果再把兩數(shù)的個差數(shù)兩兩不同，那么第二行所顯示的八位數(shù)最大可能值是多少？8個差分別是0，1，2，3，4，5，6，7，和為28，分成兩組，每組14。8和7必然解：這8填在1，2兩個方格內(nèi)。前兩列的差是和5，第3個如果填6那么7+5+3超過14，所以74，填6就會有重復(fù)。數(shù)字5，此時3個差為7、5、2，和為14，第4個格子只能填只能填6只能填在第7格，再湊一湊即可得出87541362。三、從簡單情形入手解決復(fù)雜問題可以從簡單問題入手，經(jīng)過分析得出規(guī)律，也就找到了解決復(fù)雜問題的方法。題目8.從1234567891011,99100中劃去100個數(shù)字，其他數(shù)字順序不變，求剩下數(shù)中的最大數(shù)和與最大數(shù)位數(shù)相同的最小數(shù)。將此題簡化為從12345678910中劃去9個數(shù)字.利用枚舉法不難得出剩下的兩分析與解10，也就是在求最大數(shù)時，高位上的數(shù)字盡可能取大數(shù)字；求位數(shù)最大數(shù)為91，最小數(shù)為；從912345678910中劃去10個數(shù)字剩下最小數(shù)時，高位上盡可能取小數(shù)字。本題中從111213,484950中劃去76個數(shù)字剩下4個9；再從51525354555657585960中劃去14個數(shù)785960，從而得到所求的最大數(shù)9999978596061,99100。求最小值字剩下盡可能大的數(shù)是時，從12345678910中劃去9個數(shù)字剩下10，從11121314,484950中劃去76個數(shù)字剩下4個0，再從51525354555657585960中劃去15個數(shù)字剩下盡可能小的數(shù)12340，從而得到所。求最小數(shù)100000123406162,99100將1，2，3，題目9.,，49，5010組，每組5個數(shù)。在每一組中，數(shù)值居中的任意分成10個中位數(shù)之和的最大值與最小值。那個數(shù)稱為“中位數(shù)”。求這解：{1，2，3，49，50}{4，5，6，47，48},,{2829，30，31，32}，（最小值）3+6+,,+30=165{1，2，48，49，50}{3，4，45，46，47},,{1920，21，22，23}，最大值）48+45+,,+21=345四、和一定問題1+9=10-1X9=910的兩個自然數(shù)，它們的積的最大值是什么？我們知例如，和為2+8=10-2X8=165個不同道和為10的自然數(shù)共有5對，每對自然數(shù)乘積后又得到3+7=10-3X7=21的數(shù)，如下表：4+6=10-4X6=245+5=10-5X5=25由此我們得到，當(dāng)這兩個自然數(shù)都取5時積有最大值25。成立。也就是和一定時差最小乘積越大。題目10.有3條線段a,b,c，線段a長2.12米，線段b場2.71米，線段c長3.53米。如圖18-1，以它們作為上底、下底和高，可以作出3個相同的梯形。問第幾號梯形的面積最大？解：由于梯形體積=（上底+下底）*高/2在和一定的情況下，要使乘積最大，讓兩個數(shù)越接近?？梢奱+b與c十分接近，所以③的面積最大。題目11.如果將進貨單價為40元的商品按50元售出，那么每個的利潤是10元，但只能賣出500個。當(dāng)這種商品每個漲價1元時，其銷售量就減少10個。為了賺得最多的利潤，售價應(yīng)定為多少？解：設(shè)每個商品售價為（50+x）元，則銷量為（500T0X）個?？偣部梢垣@利（50+X-40）X（500-10X）=10X（10+X）X（50-X）（元）。因（10+x）+（50-x）=60為一定值，故當(dāng)10+X=50-X即X=20時，它們的積最大。此時，每個的銷售價為50+20=70（元）題目12.用3，4，5，6，7，8六個數(shù)字排成三個兩位數(shù)相乘要求它們的乘積最大。應(yīng)該怎樣排列？【分析與解】十位數(shù)字分別是8、7、6，8>7>6,個位數(shù)字分別是5，4，3，5>4>3，依據(jù)“接近原則”大小搭配可得83X74X65,三個數(shù)最接近因而它們的乘積最大。綜上數(shù)例,可以歸納出這樣的規(guī)律:較大數(shù)后配較小的數(shù),較小的數(shù)后配較大的數(shù),這樣才能使數(shù)之間更為接近,從而保證乘積最大。簡單地說就是：數(shù)越接近,乘積越大。這樣才較小的數(shù)后配較大的數(shù),較大數(shù)后配較小的數(shù),能:綜上數(shù)例,可以歸納出這樣的規(guī)律數(shù)越接近，乘積越大。使數(shù)之間更為接近，從而保證乘積最大。簡單地說就是：．．五、積一定的問題兩個變化著的量，如果在變化的過程中，它們的乘積始終保持不變，那么它們的差與和之間有什么關(guān)系呢？觀察下面的表：我們不難得出如下的規(guī)律：兩個變化著的量，如果在變化的過程中，乘積始終保持不變，那么它們的差越小，和就越小。若它們能夠相等，則當(dāng)它們相等時，和最小。2144cm，當(dāng)它的長和寬分別為多少時，它的周長最短？題目13.長方形的面積為xcm和ycm，則有解：設(shè)長方形的長和寬分別為xy=144。x=y=12時，x+y2(x+y)也有最小值。有最小值，從而長方形周長故當(dāng)題目14.農(nóng)場計劃挖一個面積為432m的長方形養(yǎng)魚池，魚池周圍兩側(cè)分別有3m4m的2和堤堰如下圖所示，要想占地總面積最小，水池的長和寬應(yīng)為多少？解：如圖所示，設(shè)水池的長和寬分別為xm和ym，則有xy=432。占地總面積為S=(x+6)(y+8)cm。于是2S=Xy+6y+8X+48=6y+8X+480。6yX8X=48X4326y=8X時，S最小，此時有6y=8X=144,故為一定值，故當(dāng)我們知道。y=24，x=18六、從整體入手從整體抓住數(shù)據(jù)的本質(zhì)特征進行分析，較易突破難點。題目15.在10，9，8，7，6，5，4，3，2，1這10個數(shù)的每相鄰兩個數(shù)之間都添上一個加號或一個減號，組成一個算式。要求：（1）算式的結(jié)果等于37；（2）這個算式中的所有減數(shù)（前面添了減號的數(shù)）的乘積盡可能地大。那么，這些減數(shù)的最大乘積是多少？題目16.在10，9，8，7，6，5，4，3，2，1這10個數(shù)的每相鄰兩個數(shù)之間都添上一個加號或一個減號，組成一個算式。要求：（1）算式的結(jié)果等于37；（2）這個算式中的所有減數(shù)（前面添了減號的數(shù)）的乘積盡可能地大。那么，這些減數(shù)的最大乘積是多少？解：把10個數(shù)都添上加號，它們的和是55，如果把其中一個數(shù)的前面的加號換成減號，使這個數(shù)成為減數(shù)，那么和數(shù)將要減少這個數(shù)的2倍。18一2=9。對于大于2的數(shù)來說，因為55-37=18，所以我們變成減數(shù)的這些數(shù)之和是兩數(shù)之和總是比兩數(shù)乘積小，（不包括為了使這些減數(shù)的乘積盡可能大，減數(shù)越多越好）。19最多可拆成三數(shù)之和2+32X3X4=24,添上加、減+4=9,因此這些減數(shù)的最大乘積是號的算式是75-4-3-2+1=37。8++9++610+七、抓不等關(guān)系題目17.某校決定出版“作文集”，費用是30冊以內(nèi)為80元，超過30冊的每冊增加1.20元。當(dāng)印刷多少冊以上時，每冊費用在1.50元以內(nèi)？解：顯然印刷的冊數(shù)應(yīng)該大于30。設(shè)印刷了(30+x)冊，于是總用費為(80+1.2x)元。故有80+1.2XW1.530+X),X(答案:117+30=147以內(nèi)。3袋的總和都超過60塊。那么這418.有4袋糖塊，其中任意袋糖塊的總和最少有多題目少塊？解：要使其中任意3袋的總和都超過61，先在每袋中放20個糖塊，塊，那么至少也是60但任意3袋中至少一個21，否則就無法超過3袋中至少一個21，這4個袋子。要使任意60的糖塊分別是20，20，21，21。和為20+20+21+21=82八、抓相等關(guān)系米的，他們的平均身高是米。其中有一些低于1.519.10位小學(xué)生的平均身高是1.5題目1.5米。那么最多有多少位同學(xué)的身高恰好是1.5米的平均身高是1.71.2米；另一些高于米？米的人越少，設(shè)高于米，就要使低于和高于1.5:要最多有多少位同學(xué)的身高恰好是1.5解那么最多有至少是5人和低于的人分別為a,b。可得：1.2a+1.7b=1.5(a+b)2b=3a米。1.510-5=5位同學(xué)的身高恰好是個是偶數(shù)，而且個奇數(shù)、個不同的真分數(shù)的分子都是22題目20.4，它們的分母只有12個分母是偶數(shù)的分數(shù)之和相等。個分母是奇數(shù)的分數(shù)之和與2小明這樣的奇數(shù)和偶數(shù)很多，希望這樣的偶數(shù)盡量地小，那么這個和的最小可能值是多少？)/+偶偶/奇二(偶偶1/解：奇+1/奇=1/偶+1/X偶偶8，**奇(偶+偶)=偶*偶偶。因為偶*偶*偶是8的倍數(shù)所以偶+偶是8的倍數(shù)若是只能1/6+1/10=1/5+1/1516若是，有;1/2+1/6=1/3+1/3則和6為2因因為奇相等不符合題意，。16此本題答案是九、位值展開式21.題目一個兩位數(shù)被它的各位數(shù)字之和去除，問余數(shù)最大是多少？表示十位數(shù)字，ab解：設(shè)兩位數(shù)位(a表示個位數(shù)字)bab=(10a+b)/(a+b)=(9a)/(a+b)+19］最大是18，此時余數(shù)為a+bb=913余數(shù)為若余數(shù)為4a=9，若當(dāng)a+b=17a=9l22.個非零數(shù)字15b=9此時余數(shù)最大。3由若a+b=16當(dāng)，若余數(shù)為題目余數(shù)為的最大值是多少？K是整數(shù)，那么K個數(shù)字之和的商記為3。如果K組成的三位數(shù)與這表示百位數(shù)字，abc(a表示個位數(shù)字)c表示十位數(shù)字,b解：設(shè)這個數(shù)為盡可能大，二Ka+b+cabc/()a(100a+10b+c)/(a+b+c)二K那么就要讓要使這個算式最大，b,c)711/7+1+1(=81,,1(811/8+1+1)=82,,9)(911/試一下：盡可能的小。9+1+1，，最大是=79K，所以。7923.DE，再用ABC和一個兩位，，40，23，5，7，9這5個數(shù)組成一個三位數(shù)用1，題目數(shù)ABCXDE—FGHXIJ。求算式FGH和一個兩位IJ個數(shù)組成一個三位數(shù)6，8這5的計算結(jié)果數(shù)的最大值。ABC*DE-FGH*IJ這個算式最大就要使ABC*DE最大，F(xiàn)GH*IJ最小。那么前面最大是解：要使751*93-468*20=60483。那么算式的最小值是。后面最小是468*20751*93十、“估計+構(gòu)造”“估計+構(gòu)造”是解離散最值問題的一種常用方法，要求某個離散最值，先估計該量的上界或下界，然后構(gòu)造出一個實例說明此上界或下界能夠達到，這樣便求出了這個量的最大值或最小值。題目24.把1，2，3，,，12填在左下圖的12個圓圈里，然后將任意兩個相鄰的數(shù)相加，得到一些和，要使這些和都不超過整數(shù)n，n至少是多少？為什么？并請你設(shè)計一種填法，滿足你的結(jié)論。解：因為1+2+3+,+12=78,78X2一12=13,所以n213。又考慮到與12相鄰的數(shù)最小是1和2,所以n至少是14。右上圖是一種滿足要求的填法。十一、轉(zhuǎn)化與對稱思想.在轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)思想之一，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，從而達到解決問題的目的.在平面上有兩個點A、B,把A、B用線連結(jié)起來有許多種方法，可用線段、弧線、折線等AB的長叫A、B兩點間的距離。這無窮多種連結(jié)方法中,線段最短,因而我們也稱線段N點放上食品,在長方體側(cè)面我們可以做一個有趣的實驗：在一個長方體的上面ABCD4）,我們AD點放一只螞蟻（如圖3）,螞蟻從側(cè)面經(jīng)過棱到N有無窮多種走法（如圖上M關(guān)心的問題是螞蟻怎樣走路程最短？MN則不經(jīng)過棱AD,與條件不符.為在這個立體圖形中找出答案是很困難的,直接連結(jié)MN交AD于P.由公理,兩點之間線段最了使問題簡化,我們將長方體展成平面圖形,連結(jié)短,可知螞蟻從M點沿直線MP爬到P后,再由P點沿直線PN爬到N時走過的路程最短。題目25.如圖11某次劃船比賽規(guī)定從A點出發(fā),先到左岸然后到右岸然后再到B點,時間.少者取勝.請你設(shè)計一條航線,使船走的路程最短由于兩點間的距離線段最短,我們想辦法把問題轉(zhuǎn)化為求兩點距

離問題。如圖，找到A點關(guān)于左岸的軸對稱點，B點關(guān)于右岸的軸對稱點，連結(jié)A，Bf,與左岸、右岸分別有交點C、D,沿折線ACDB航行就是最短航線。十二、學(xué)寫說理題題目26.23個不同的自然數(shù)的和是4845。問：這23個數(shù)的最大公約數(shù)可能達到的最大的值是多少？寫出你的結(jié)論，并說明理由。.17。解：設(shè)這23個彼此不同的自然數(shù)為a1，a1，a2，,，a22，a23，并且它們的最大公約數(shù)是d,則a1=db1，a2=db2，,，a22=db22，a23=db23。依題意,有4845=a1+a2+,+a22+a23=d(b1+b2+,+b22+b23)。因為b1,b2,,,b22,b23也是彼此不等的自然數(shù),所以b1+b2+,+b2321+2+,+23=276。因為4845二d(b1+b2+,+b22+b23)2276Xd,所以又因為4845=19X仃X15，因此d的最大值可能是17。當(dāng)a1=17,a2=17X2,a3=17X3,,,a21=17X21,a22=17X22，a23=17X32時，得a1+a2+,+a22+a23=17X(1+2+,+22)+仃X32=仃X253+仃X32=17X285=4845。而(a1，a2，,，a22，a23)=17。所以d的最大值等于17。解題在于實踐：題目27.設(shè)a，a，a，a，a，a是1到9中任意6個不同的正整數(shù)，并且avavavavava。試用這6個335141262數(shù)分別組成2個三位數(shù)，使它們的乘積最大。645分析與解：由于al,,,a6具體大小不清楚，因此先取特殊數(shù)1，2，3，4，5，6這6個不同的數(shù)考慮。要使2個三位數(shù)的乘積最大，必須使這2個數(shù)的百位數(shù)最大，應(yīng)分別是6，2，1。5；而十位數(shù)次大，應(yīng)分別為4，3，個位數(shù)最小，應(yīng)分別為因為當(dāng)2個數(shù)之和一定時，這2個數(shù)之差越小，它們的乘積越大，所以這2個數(shù)是631。和542題目28.8個互不相同的正整數(shù)的總和是56，如果去掉最大的數(shù)及最小的數(shù)，那么剩下的數(shù)的總和是44。問：剩下的數(shù)中，最小的數(shù)是多少？解：因為最大數(shù)與最小數(shù)的和是56－44=12，所以最大數(shù)不會超過11。去掉最大和最小2?10之間，且總和為44,這6個數(shù)只能是數(shù)后剩下的6個互不相同的自然數(shù)在，4，6，78，9，10。題目29.200塊花崗石料，其中有120塊各重7噸，其余的每塊各重9噸，采石場采出了每節(jié)火車車皮至多載重40噸，為了運出這批石料，至少需要多少節(jié)車皮？5塊，故車皮數(shù)不能少于200一5=40（節(jié)）而40節(jié)車皮解：每節(jié)車皮所裝石料不能超出9噸的石料，故知40可按如下辦法分裝石料：每節(jié)裝運3塊7噸的和兩塊節(jié)可以滿足要求。題目30.一個水池，底部安有一個常開的排水管，上部安有若干個同樣粗細的進水管，當(dāng)打開4個進水管時需要5小時才能注滿水池；當(dāng)打開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池；現(xiàn)在需要在2小時內(nèi)將水池注滿，那么至少要打開多少個進水管？分析本題沒給出排水管的排水速度，因此必須找出排水管與進水管之間的數(shù)量關(guān)系，才能確定至少要打開多少個進水管..解：本題是具有實際意義的工程問題，因沒給出注水速度和排