流體運動學基礎(chǔ)課件

第三章流體運動學基礎(chǔ)3.1描述流體運動的兩種方法3.2物質(zhì)導數(shù)3.3跡線、流線和染色線，流管3.4流體微團的運動和變形第三章流體運動學基礎(chǔ)3.1描述流體運動的兩種方法3.1

在流體靜力學中，我們討論了流體處于平衡狀態(tài)下的一些力學規(guī)律，如壓力分布規(guī)律，及流體對固體壁的作用力等。但實際上，流體的靜止總是相對的，運動才是絕對的。流體最基本的特性就是它的流動性，因此，進一步研究流體的運動規(guī)律便更為重要。

流體運動學主要是研究運動參數(shù)（速度、加速度等）隨空間位置和時間的變化規(guī)律。在流體靜力學中，我們討論了流體處于平衡狀態(tài)下的一些力2流場

——充滿運動流體的空間稱為流場

流體只能在固體壁面所限制的空間內(nèi)外進行運動；流場中流體質(zhì)點的連續(xù)性決定表征流體質(zhì)點運動和物性的參數(shù)（速度、加速度、壓強、密度等）在流場中也是連續(xù)的。并且隨時間和空間而變化。連續(xù)介質(zhì)模型的引入，使我們可以把流體看作為由無數(shù)個流體質(zhì)點所組成的連續(xù)介質(zhì)，并且無間隙地充滿它所占據(jù)的空間。描述流體運動的方法流場——充滿運動流體的空間稱為流場

流體只能在固體壁面所3

假如你是一名籃球教練，防守中該如何掌控整個籃球場？

二.描述流體運動的方法盯人戰(zhàn)術(shù)

聯(lián)防戰(zhàn)術(shù)

用五名己方球員分別對對方球員進行一對一的跟蹤防守。用己方五名球員對防守半場進行分區(qū)監(jiān)管，一人負責一片區(qū)域的防守。布哨跟蹤？？？請問如何獲取某對方球員的行蹤？

假如你是一名籃球教練，防守中該如何掌控整個籃球場？

二.4拉格朗日法

歐拉法

著眼于流體質(zhì)點，跟蹤質(zhì)點描述其運動歷程著眼于空間點，研究質(zhì)點流經(jīng)空間各固定點的運動特性布哨跟蹤根據(jù)著眼點的不同，流體力學中研究流體的運動也有兩種不同的方法，一種是拉格朗日（Lagrange）方法，另一種是歐拉（Euler）方法。拉格朗日法歐拉法5拉格朗日法著眼于流體質(zhì)點跟蹤個別流體質(zhì)點研究其位移、速度、加速度等隨時間的變化情況綜合流場中所有流體質(zhì)點的運動流場分布又稱隨體法拉格朗日法著眼于流體質(zhì)點跟蹤個別流體質(zhì)點研究其位移、速度、6跟蹤個別流體質(zhì)點(a,b,c)質(zhì)點從(a,b,c)運動到（x,y,z）t0時刻:t時刻:流場中全部質(zhì)點都包含在（a,b,c）的變數(shù)中(a,b,c)

是拉格朗日變數(shù)，即

t=t0

時刻質(zhì)點的空間位置，用來對連續(xù)介質(zhì)中無窮多個質(zhì)點進行編號，作為質(zhì)點標簽。跟蹤個別流體質(zhì)點(a,b,c)質(zhì)點從(a,b,c)運動到（x7當（a,b,c）變化時，這就表示全部質(zhì)點隨時間的位置變動函數(shù)。當t變化時，便是質(zhì)點（a,b,c）運動軌道的參數(shù)方程

自變量（a,b,c,t）稱為拉格朗日變數(shù)流體在運動過程中其它運動要素和物理量的時間歷程也可用拉格朗日法描述，如速度、密度等：注意：當（a,b,c）變化時，這就表示全部質(zhì)點隨時間的位置變動函數(shù)8在使用拉格朗日法時必須找到x(a,b,c,t);y(a,b,c,t);z(a,b,c,t)等的函數(shù)形式，即跟蹤每一個質(zhì)點進行研究。由于流體具有易流動性，對每一個質(zhì)點進行跟蹤是十分困難的。因此，除了在一些特殊情況（波浪運動。水滴等的運動時），很少采用拉格朗日法。拉格朗日法的缺陷在使用拉格朗日法時必須找到x(a,b,c,t);9歐拉法著眼于研究空間固定點的情況選定某一空間固定點記錄其位移、速度、加速度等隨時間的變化情況綜合流場中許多空間點隨時間的變化情況通過描述物理量在空間的分布來研究流體運動的方法。

流場分布歐拉法著眼于研究空間固定點的情況選定某一空間固定點記錄其位10分析流動空間某固定位置處，流體運動要素（速度、加速度）隨時間變化規(guī)律分析流體質(zhì)點從某一空間位置轉(zhuǎn)移到另一位置，運動要素隨位置變化的規(guī)律歐拉法并沒有直接給定流體質(zhì)點的運動軌跡同一流體質(zhì)點在不同時刻經(jīng)過空間不同點不同時刻不同的流體質(zhì)點通過空間某一點注意：分析流動空間某固定位置處，流體運動要素（速度、加速度）隨時間11歐拉法是流場法，它定義流體質(zhì)點的速度矢量場為：(x,y,z)

是空間點（場點）。流速V是在t

時刻占據(jù)(x,y,z)

的那個流體質(zhì)點的速度矢量。流體的其它運動要素和物理特性也都可用相應(yīng)的時間和空間域上的場的形式表達。如加速度場、壓力場等：歐拉法是流場法，它定義流體質(zhì)點的速度矢量場為：(x,12

歐拉法把流場的運動要素和物理量都用場的形式表達，為在分析流體力學問題時直接運用場論的數(shù)學知識創(chuàng)造了便利條件。采用歐拉法，加速度是一階導數(shù)，而拉格朗日法，加速度是二階導數(shù)（見下文），所得的運動微分方程分別是一階偏微分方程和二階偏微分方程，在數(shù)學上一階偏微分方程比二階偏微分方程求解容易。在工程實際中，并不關(guān)心每一質(zhì)點的來龍去脈。歐拉法在流體力學研究中廣泛被采用。兩種描述流體運動的方法之間可以相互轉(zhuǎn)換。歐拉法把流場的運動要素和物理量都用場的形式表達，為在分析流13定常流和非定常流若流場中各空間點上的任何運動要素均不隨時間變化，稱流動為定常（恒定）流。否則，為非定常（非恒定）流。恒定流中，所有物理量的歐拉表達式中將不顯含時間，它們只是空間位置坐標的函數(shù)，時變導數(shù)為零。例如，恒定流的流速場：恒定流的局部加速度為零，但位變加速度可以不為零。定常流和非定常流若流場中各空間點上的任何運動要素均不隨時間14流動是否恒定與所選取的參考坐標系有關(guān),因此是相對的概念。流動是否恒定與所選取的參考坐標系有關(guān),因此是相對的概念。15均勻流、非均勻流若某一時刻流場中各空間點上的物理量都相等，則稱均勻場（流），否則為非均勻場（流）。

判別：η為任意物理量梯度是場不均勻的度量也即梯度為0：均勻流、非均勻流若某一時刻流場中各空間點上的物理量都相等，則16一元、二元、三元流動模型用歐拉法描述流動，雖然經(jīng)過恒定流的簡化去掉了時間變量，但仍存在x，y，z三個空間變量。這種在流場中的速度和性能參量由三個坐標變量來描述的流動就叫三元流，也稱為空間流動。在實際情況下，多數(shù)的流動都是三元流，但是，這種流動模型太復(fù)雜了，我們是很難求解的。當流動中的速度和性能參量與坐標中某一方向的變量無關(guān)時，且在這個方向上的分量也不存在的流動,就叫二元流或稱為平面流。當流速和性能參量的變化僅與一個坐標變量有關(guān)的流動。u＝f（s）s：是流動方向上的位置坐標。這個模型的實質(zhì)是忽略流速和壓強參量等沿主流的橫向變化。三元流（三維流）二元流（二維流）一元流（一維流）一元、二元、三元流動模型用歐拉法描述流動17一維流動二維流動三維流動平面流動軸對稱流動任何實際流動從本質(zhì)上講都是在三維空間內(nèi)發(fā)生的，二維和一維流動是在一些特定情況下對實際流動的簡化和抽象，以便分析處理。演示動畫一維流動平面流動軸對稱流動任何實際流動從本質(zhì)上講都是在三維18流動要素只取決于一個空間坐標變量的流動在實際問題中，常把總流簡化為一維流動。s

一維流動其流場為s—空間曲線坐標元流是嚴格的一維流動，空間曲線坐標s

沿著流線。流動要素只取決于一個空間坐標19直角系中的平面流動：流場與某一空間坐標變量無關(guān)，且沿該坐標方向無速度分量的流動。xyoxyzou0u0大展弦比機翼繞流

二維流動二元翼型繞流資料直角系中的平面流動：流203.2物質(zhì)導數(shù)速度是同一流體質(zhì)點的位移對時間的變化率，加速度則是同一流體質(zhì)點的速度對時間的變化率。通過位移求速度或通過速度求加速度，必須跟定流體質(zhì)點，應(yīng)該在拉格朗日觀點下進行。3.2物質(zhì)導數(shù)速度是同一流體質(zhì)點的位移對時間的21拉格朗日法3.2物質(zhì)導數(shù)拉格朗日方法中，某一時刻，任一流體質(zhì)點的位置可表示為：式中a、b、c為初始時刻任意流體質(zhì)點的坐標，即不同的a、b、c代表不同的流體質(zhì)點。對于某個確定的流體質(zhì)點，a、b、c為常數(shù)，而t為變量，則得到流體質(zhì)點的運動規(guī)律。對于某個確定的時刻，t為常數(shù)，而a、b、c為變量，得到某一時刻不同流體質(zhì)點的位置分布。通常稱a、b、c為拉格朗日變量，它不是空間坐標的函數(shù)，而是流體質(zhì)點標號。拉格朗日法3.2物質(zhì)導數(shù)拉格朗日方法中，某一時刻，22質(zhì)點（a,b,c）的速度和加速度為：拉格朗日法注意，流體的密度、壓強和溫度也可寫成類似的函數(shù)形式。求導時a,b,c作為參數(shù)不變，意即跟定流體質(zhì)點質(zhì)點（a,b,c）的速度和加速度為：拉格朗日法注意，流體的密23歐拉法歐拉法中，任一空間點處速度場可表示為：其中變量x,y,z,t稱為歐拉變量，其中x，y，z有雙重意義，一方面它代表流場的空間坐標，另一方面它代表流體質(zhì)點在空間的位移。當參數(shù)x，y，z不變而改變時間t，則表示空間某固定點的速度隨時間的變化規(guī)律。當參數(shù)t不變，而改變x，y，z，則代表某一時刻，空間各點的速度分布。(1)歐拉法歐拉法中，任一空間點處速度場可表示為：24歐拉法根據(jù)流體連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，每一個空間點上都有流體質(zhì)點所占據(jù)。而占據(jù)每一個空間點上的流體質(zhì)點都有自己的速度，有速度必然產(chǎn)生位移。也就是說，空間坐標x，y，z也是流體質(zhì)點位移的變量，它也是時間t的函數(shù)：x=x(t)y=y(t)z=z(t)流體質(zhì)點的運動軌跡方程上式對時間求導就流體質(zhì)點沿運動軌跡的三個速度分量：(2)歐拉法根據(jù)流體連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，每一個空間點25歐拉法加速度定義為在dt時刻內(nèi)，流體質(zhì)點流經(jīng)某空間點附近運動軌跡上一段微小距離時的速度變化率，于是可按復(fù)合函數(shù)的求導法則，分別將(1)式中三個速度分量對時間取全導數(shù)，并將(2)式代入，即可得流體質(zhì)點在某一時刻經(jīng)過某空間點時的三個加速度分量：用歐拉法描述，處理拉格朗日觀點的問題。(3)歐拉法加速度定義為在dt時刻內(nèi)，流體質(zhì)點26=+質(zhì)

點

加

速

度位變

加速度由流速非均勻性引起局部加速度由流速

非恒定

性引起歐拉法V也可為流體密度、壓強和溫度等任一物理量（矢、標）。=+質(zhì)

點

加

速

度位變

加速度由流速非均勻性引起局部27物質(zhì)導數(shù)是反映流體質(zhì)點某一物理量對時間的變化率，即觀察者隨流體質(zhì)點一起運動時看到的物理量變化率。也可稱為質(zhì)點導數(shù)或隨體導數(shù)。物質(zhì)導數(shù)本質(zhì)上是拉格朗日觀點下的概念。例子◆流體不可壓是指流體質(zhì)點的密度運動過程中不變，即◆流體均質(zhì)，則◆若流體既均質(zhì)，同時不可壓，則流體密度場定常，其不是空間坐標和時間的函數(shù)，即物質(zhì)導數(shù)是反映流體質(zhì)點某一物理量對時間的變化率28【例】已知用拉格朗日變量表示得速度分布為u=(a+2)et-2，v=(b+2)et-2，且t=0時，x=a，y=b。求（1）t=3時質(zhì)點分布；（2）a=2，b=2質(zhì)點的運動規(guī)律；（3）質(zhì)點加速度?！窘狻扛鶕?jù)(2)式得將上式積分，得上式中c1、c2為積分常數(shù)，它仍是拉格朗日變量的函數(shù)。利用t=0時，x=a，y=b得c1=-2，c2=-2【例】已知用拉格朗日變量表示得速度分布29X=(a+2)et-2t-2y=(b+2)et-2t-2（1）將t=3代入上式得X=(a+2)e3-8y=(b+2)e3-8（2）a=2，b=2時x=4et-2t-2y=4et-2t-2(3)

30【例】在任意時刻，流體質(zhì)點的位置是x=5t2，其跡線為雙曲線xy=25。質(zhì)點速度和加速度在x和y方向的分量為多少？【解】根據(jù)式(2)得由式(3)得【例】在任意時刻，流體質(zhì)點的位置是x=31

跡線是流體質(zhì)點運動的軌跡，是與拉格朗日觀點相對應(yīng)的概念。拉格朗日法中位移表達式即為跡線的參數(shù)方程。t是變數(shù)，a,b,c是參數(shù)。3.3跡線、流線和染色線，流管跡線跡線是流體質(zhì)點運動的軌跡，是與拉格朗日觀點相對應(yīng)的概念。32在歐拉觀點下求跡線，因須跟定流體質(zhì)點，此時歐拉變數(shù)x,y,z成為t的函數(shù)，所以跡線的微分方程為：這是由三個一階微分方程組成的方程組，未知變量為質(zhì)點位置坐標(x,y,z)，它是t的函數(shù)。給定初始時刻的位置坐標，就可以積分得到跡線在歐拉觀點下求跡線，因須跟定流體質(zhì)點，此時歐拉變數(shù)x,y,33●根據(jù)定義，流線的微分方程為：實際上這是兩個微分方程，其中t是參數(shù)?？汕蠼獾玫絻勺迩?，它們的交線就是流線族其中●根據(jù)定義，流線的微分方程為：實際上這是兩個微分方程34在非定常流情況下，流線一般會隨時間變化。在定常流情況下，流線不隨時間變，流體質(zhì)點將沿著流線走，跡線與流線重合。跡線和流線最基本的差別是：跡線是同一流體質(zhì)點在不同時刻的位移曲線，與拉格朗日觀點對應(yīng)，而流線是同一時刻、不同流體質(zhì)點速度矢量與之相切的曲線，與歐拉觀點相對應(yīng)。即使是在定常流中，跡線與流線重合，兩者仍是完全不同的概念。根據(jù)流線的定義，可以推斷：除非流速為零或無窮大處，流線不能相交，也不能轉(zhuǎn)折。在非定常流情況下，流線一般會隨時間變化。在定常流情況下，流35染色線染色線是指試驗中，利用流場顯示技術(shù)通過在流場中固定點連續(xù)不斷注入有色物質(zhì)所形成的色線（或煙線）。它實際是一段時間內(nèi)相繼經(jīng)過流場中同一空間點的流體質(zhì)點在某瞬時連接起來得到的一條曲線，其形狀和結(jié)構(gòu)可反映流場結(jié)構(gòu)和流動特點，也稱之為脈線。染色線既不是流線，也不是跡線。非定常流動條件下：染色線、流線、跡線互不重合。定常流動條件下：染色線與流線、跡線重合。染色線染色線是指試驗中，利用流場顯示技術(shù)通過在流場中固定點363.4流體微團的運動和變形★考察和分析流體質(zhì)點之間的相對運動◆談及相對運動就必須把討論問題的尺度從流體質(zhì)點擴大到流體微團●給出在同一時刻流體微團中任意兩點速度之間的關(guān)系▲分析流體微團的運動形式3.4流體微團的運動和變形★考察和分析流體質(zhì)點之間的相對運動37流體微團運動時，不像剛體那么簡單，除了可以平動和轉(zhuǎn)動外，還伴隨有變形運動。變形運動可分為體變形和角變形兩種。流體微團運動時，不像剛體那么簡單，除了可以平動和轉(zhuǎn)動外，還伴38所謂平動運動，是一個流體微團移動到另一個地方，微團內(nèi)各質(zhì)點的相對位置沒有發(fā)生變化，微團的形狀也沒有發(fā)生變化，也稱平移。（1）平動所謂平動運動，是一個流體微團移動到另一個地方，微團內(nèi)各質(zhì)點的39流體微團的轉(zhuǎn)動和剛體的轉(zhuǎn)動不同，如果在流體微團中引出若干條直線，它們的旋轉(zhuǎn)角速度可以各不相同。因此，要說流體微團的旋轉(zhuǎn)，只能是平均。（2）旋轉(zhuǎn)流體微團的轉(zhuǎn)動和剛體的轉(zhuǎn)動不同，如果在流體微團中引出若干條直40可見，在一般情況下，流體微團的運動總是可以分解成：整體平移運動、旋轉(zhuǎn)運動、線變形運動及角變形運動，與此相對應(yīng)的是平移速度、旋轉(zhuǎn)角速度、線變形速率和剪切（角）變形速率。平移速度旋轉(zhuǎn)角速度線變形速率剪切變形速率可見，在一般情況下，流體微團的運動總是可以分解成41流體微團的角速度矢量：依據(jù)場論的表示法：渦量：渦通量：渦量在一截面上的面積分速度環(huán)量：速度矢量沿封閉曲線的線積分斯托克斯公式速度的旋度有旋流動和無旋流動流體微團的角速度矢量：依據(jù)場論的表示法：渦量：渦通量：渦量在42沿封閉曲線的速度環(huán)量在封閉曲線k上的速度矢量

速度與該點上切線之間的夾角速度環(huán)量的正負不僅與速度方向有關(guān)，而且與積分時所取的繞行方向有關(guān)。通常規(guī)定逆時針方向為K的正方向，即封閉曲線所包圍的面積總在前進方向的左側(cè)。沿封閉曲線的速度環(huán)量在封閉曲線k上的速度矢量速度與該43由此可見，在流體流動中，如果渦量的三個分量中有一個不等于零，即為有旋流動。如果在一個流動區(qū)域內(nèi)各處的渦量或它的分量都等于零，也就是沿任何封閉曲線的速度環(huán)量都等于零，則在這個區(qū)域內(nèi)的流動一定是無旋流動。旋度？

無旋流動有勢流動這個分類是很重要的！由此可見，在流體流動中，如果渦量的三個分量中有一44流體微團運動無旋流動有旋流動流體微團運動無旋流動有旋流動45

無旋流動有勢流動

等價

稱為速度勢函數(shù)無旋流動有勢流動等價稱為46本章作業(yè)3-3,3-9,3-11,3-13,3-17本章作業(yè)3-3,3-9,3-11,3-13,3-147第三章流體運動學基礎(chǔ)3.1描述流體運動的兩種方法3.2物質(zhì)導數(shù)3.3跡線、流線和染色線，流管3.4流體微團的運動和變形第三章流體運動學基礎(chǔ)3.1描述流體運動的兩種方法3.48

在流體靜力學中，我們討論了流體處于平衡狀態(tài)下的一些力學規(guī)律，如壓力分布規(guī)律，及流體對固體壁的作用力等。但實際上，流體的靜止總是相對的，運動才是絕對的。流體最基本的特性就是它的流動性，因此，進一步研究流體的運動規(guī)律便更為重要。

流體運動學主要是研究運動參數(shù)（速度、加速度等）隨空間位置和時間的變化規(guī)律。在流體靜力學中，我們討論了流體處于平衡狀態(tài)下的一些力49流場

——充滿運動流體的空間稱為流場

流體只能在固體壁面所限制的空間內(nèi)外進行運動；流場中流體質(zhì)點的連續(xù)性決定表征流體質(zhì)點運動和物性的參數(shù)（速度、加速度、壓強、密度等）在流場中也是連續(xù)的。并且隨時間和空間而變化。連續(xù)介質(zhì)模型的引入，使我們可以把流體看作為由無數(shù)個流體質(zhì)點所組成的連續(xù)介質(zhì)，并且無間隙地充滿它所占據(jù)的空間。描述流體運動的方法流場——充滿運動流體的空間稱為流場

流體只能在固體壁面所50

假如你是一名籃球教練，防守中該如何掌控整個籃球場？

二.描述流體運動的方法盯人戰(zhàn)術(shù)

聯(lián)防戰(zhàn)術(shù)

用五名己方球員分別對對方球員進行一對一的跟蹤防守。用己方五名球員對防守半場進行分區(qū)監(jiān)管，一人負責一片區(qū)域的防守。布哨跟蹤？？？請問如何獲取某對方球員的行蹤？

假如你是一名籃球教練，防守中該如何掌控整個籃球場？

二.51拉格朗日法

歐拉法

著眼于流體質(zhì)點，跟蹤質(zhì)點描述其運動歷程著眼于空間點，研究質(zhì)點流經(jīng)空間各固定點的運動特性布哨跟蹤根據(jù)著眼點的不同，流體力學中研究流體的運動也有兩種不同的方法，一種是拉格朗日（Lagrange）方法，另一種是歐拉（Euler）方法。拉格朗日法歐拉法52拉格朗日法著眼于流體質(zhì)點跟蹤個別流體質(zhì)點研究其位移、速度、加速度等隨時間的變化情況綜合流場中所有流體質(zhì)點的運動流場分布又稱隨體法拉格朗日法著眼于流體質(zhì)點跟蹤個別流體質(zhì)點研究其位移、速度、53跟蹤個別流體質(zhì)點(a,b,c)質(zhì)點從(a,b,c)運動到（x,y,z）t0時刻:t時刻:流場中全部質(zhì)點都包含在（a,b,c）的變數(shù)中(a,b,c)

是拉格朗日變數(shù)，即

t=t0

時刻質(zhì)點的空間位置，用來對連續(xù)介質(zhì)中無窮多個質(zhì)點進行編號，作為質(zhì)點標簽。跟蹤個別流體質(zhì)點(a,b,c)質(zhì)點從(a,b,c)運動到（x54當（a,b,c）變化時，這就表示全部質(zhì)點隨時間的位置變動函數(shù)。當t變化時，便是質(zhì)點（a,b,c）運動軌道的參數(shù)方程

自變量（a,b,c,t）稱為拉格朗日變數(shù)流體在運動過程中其它運動要素和物理量的時間歷程也可用拉格朗日法描述，如速度、密度等：注意：當（a,b,c）變化時，這就表示全部質(zhì)點隨時間的位置變動函數(shù)55在使用拉格朗日法時必須找到x(a,b,c,t);y(a,b,c,t);z(a,b,c,t)等的函數(shù)形式，即跟蹤每一個質(zhì)點進行研究。由于流體具有易流動性，對每一個質(zhì)點進行跟蹤是十分困難的。因此，除了在一些特殊情況（波浪運動。水滴等的運動時），很少采用拉格朗日法。拉格朗日法的缺陷在使用拉格朗日法時必須找到x(a,b,c,t);56歐拉法著眼于研究空間固定點的情況選定某一空間固定點記錄其位移、速度、加速度等隨時間的變化情況綜合流場中許多空間點隨時間的變化情況通過描述物理量在空間的分布來研究流體運動的方法。

流場分布歐拉法著眼于研究空間固定點的情況選定某一空間固定點記錄其位57分析流動空間某固定位置處，流體運動要素（速度、加速度）隨時間變化規(guī)律分析流體質(zhì)點從某一空間位置轉(zhuǎn)移到另一位置，運動要素隨位置變化的規(guī)律歐拉法并沒有直接給定流體質(zhì)點的運動軌跡同一流體質(zhì)點在不同時刻經(jīng)過空間不同點不同時刻不同的流體質(zhì)點通過空間某一點注意：分析流動空間某固定位置處，流體運動要素（速度、加速度）隨時間58歐拉法是流場法，它定義流體質(zhì)點的速度矢量場為：(x,y,z)

是空間點（場點）。流速V是在t

時刻占據(jù)(x,y,z)

的那個流體質(zhì)點的速度矢量。流體的其它運動要素和物理特性也都可用相應(yīng)的時間和空間域上的場的形式表達。如加速度場、壓力場等：歐拉法是流場法，它定義流體質(zhì)點的速度矢量場為：(x,59

歐拉法把流場的運動要素和物理量都用場的形式表達，為在分析流體力學問題時直接運用場論的數(shù)學知識創(chuàng)造了便利條件。采用歐拉法，加速度是一階導數(shù)，而拉格朗日法，加速度是二階導數(shù)（見下文），所得的運動微分方程分別是一階偏微分方程和二階偏微分方程，在數(shù)學上一階偏微分方程比二階偏微分方程求解容易。在工程實際中，并不關(guān)心每一質(zhì)點的來龍去脈。歐拉法在流體力學研究中廣泛被采用。兩種描述流體運動的方法之間可以相互轉(zhuǎn)換。歐拉法把流場的運動要素和物理量都用場的形式表達，為在分析流60定常流和非定常流若流場中各空間點上的任何運動要素均不隨時間變化，稱流動為定常（恒定）流。否則，為非定常（非恒定）流。恒定流中，所有物理量的歐拉表達式中將不顯含時間，它們只是空間位置坐標的函數(shù)，時變導數(shù)為零。例如，恒定流的流速場：恒定流的局部加速度為零，但位變加速度可以不為零。定常流和非定常流若流場中各空間點上的任何運動要素均不隨時間61流動是否恒定與所選取的參考坐標系有關(guān),因此是相對的概念。流動是否恒定與所選取的參考坐標系有關(guān),因此是相對的概念。62均勻流、非均勻流若某一時刻流場中各空間點上的物理量都相等，則稱均勻場（流），否則為非均勻場（流）。

判別：η為任意物理量梯度是場不均勻的度量也即梯度為0：均勻流、非均勻流若某一時刻流場中各空間點上的物理量都相等，則63一元、二元、三元流動模型用歐拉法描述流動，雖然經(jīng)過恒定流的簡化去掉了時間變量，但仍存在x，y，z三個空間變量。這種在流場中的速度和性能參量由三個坐標變量來描述的流動就叫三元流，也稱為空間流動。在實際情況下，多數(shù)的流動都是三元流，但是，這種流動模型太復(fù)雜了，我們是很難求解的。當流動中的速度和性能參量與坐標中某一方向的變量無關(guān)時，且在這個方向上的分量也不存在的流動,就叫二元流或稱為平面流。當流速和性能參量的變化僅與一個坐標變量有關(guān)的流動。u＝f（s）s：是流動方向上的位置坐標。這個模型的實質(zhì)是忽略流速和壓強參量等沿主流的橫向變化。三元流（三維流）二元流（二維流）一元流（一維流）一元、二元、三元流動模型用歐拉法描述流動64一維流動二維流動三維流動平面流動軸對稱流動任何實際流動從本質(zhì)上講都是在三維空間內(nèi)發(fā)生的，二維和一維流動是在一些特定情況下對實際流動的簡化和抽象，以便分析處理。演示動畫一維流動平面流動軸對稱流動任何實際流動從本質(zhì)上講都是在三維65流動要素只取決于一個空間坐標變量的流動在實際問題中，常把總流簡化為一維流動。s

一維流動其流場為s—空間曲線坐標元流是嚴格的一維流動，空間曲線坐標s

沿著流線。流動要素只取決于一個空間坐標66直角系中的平面流動：流場與某一空間坐標變量無關(guān)，且沿該坐標方向無速度分量的流動。xyoxyzou0u0大展弦比機翼繞流

二維流動二元翼型繞流資料直角系中的平面流動：流673.2物質(zhì)導數(shù)速度是同一流體質(zhì)點的位移對時間的變化率，加速度則是同一流體質(zhì)點的速度對時間的變化率。通過位移求速度或通過速度求加速度，必須跟定流體質(zhì)點，應(yīng)該在拉格朗日觀點下進行。3.2物質(zhì)導數(shù)速度是同一流體質(zhì)點的位移對時間的68拉格朗日法3.2物質(zhì)導數(shù)拉格朗日方法中，某一時刻，任一流體質(zhì)點的位置可表示為：式中a、b、c為初始時刻任意流體質(zhì)點的坐標，即不同的a、b、c代表不同的流體質(zhì)點。對于某個確定的流體質(zhì)點，a、b、c為常數(shù)，而t為變量，則得到流體質(zhì)點的運動規(guī)律。對于某個確定的時刻，t為常數(shù)，而a、b、c為變量，得到某一時刻不同流體質(zhì)點的位置分布。通常稱a、b、c為拉格朗日變量，它不是空間坐標的函數(shù)，而是流體質(zhì)點標號。拉格朗日法3.2物質(zhì)導數(shù)拉格朗日方法中，某一時刻，69質(zhì)點（a,b,c）的速度和加速度為：拉格朗日法注意，流體的密度、壓強和溫度也可寫成類似的函數(shù)形式。求導時a,b,c作為參數(shù)不變，意即跟定流體質(zhì)點質(zhì)點（a,b,c）的速度和加速度為：拉格朗日法注意，流體的密70歐拉法歐拉法中，任一空間點處速度場可表示為：其中變量x,y,z,t稱為歐拉變量，其中x，y，z有雙重意義，一方面它代表流場的空間坐標，另一方面它代表流體質(zhì)點在空間的位移。當參數(shù)x，y，z不變而改變時間t，則表示空間某固定點的速度隨時間的變化規(guī)律。當參數(shù)t不變，而改變x，y，z，則代表某一時刻，空間各點的速度分布。(1)歐拉法歐拉法中，任一空間點處速度場可表示為：71歐拉法根據(jù)流體連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，每一個空間點上都有流體質(zhì)點所占據(jù)。而占據(jù)每一個空間點上的流體質(zhì)點都有自己的速度，有速度必然產(chǎn)生位移。也就是說，空間坐標x，y，z也是流體質(zhì)點位移的變量，它也是時間t的函數(shù)：x=x(t)y=y(t)z=z(t)流體質(zhì)點的運動軌跡方程上式對時間求導就流體質(zhì)點沿運動軌跡的三個速度分量：(2)歐拉法根據(jù)流體連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，每一個空間點72歐拉法加速度定義為在dt時刻內(nèi)，流體質(zhì)點流經(jīng)某空間點附近運動軌跡上一段微小距離時的速度變化率，于是可按復(fù)合函數(shù)的求導法則，分別將(1)式中三個速度分量對時間取全導數(shù)，并將(2)式代入，即可得流體質(zhì)點在某一時刻經(jīng)過某空間點時的三個加速度分量：用歐拉法描述，處理拉格朗日觀點的問題。(3)歐拉法加速度定義為在dt時刻內(nèi)，流體質(zhì)點73=+質(zhì)

點

加

速

度位變

加速度由流速非均勻性引起局部加速度由流速

非恒定

性引起歐拉法V也可為流體密度、壓強和溫度等任一物理量（矢、標）。=+質(zhì)

點

加

速

度位變

加速度由流速非均勻性引起局部74物質(zhì)導數(shù)是反映流體質(zhì)點某一物理量對時間的變化率，即觀察者隨流體質(zhì)點一起運動時看到的物理量變化率。也可稱為質(zhì)點導數(shù)或隨體導數(shù)。物質(zhì)導數(shù)本質(zhì)上是拉格朗日觀點下的概念。例子◆流體不可壓是指流體質(zhì)點的密度運動過程中不變，即◆流體均質(zhì)，則◆若流體既均質(zhì)，同時不可壓，則流體密度場定常，其不是空間坐標和時間的函數(shù)，即物質(zhì)導數(shù)是反映流體質(zhì)點某一物理量對時間的變化率75【例】已知用拉格朗日變量表示得速度分布為u=(a+2)et-2，v=(b+2)et-2，且t=0時，x=a，y=b。求（1）t=3時質(zhì)點分布；（2）a=2，b=2質(zhì)點的運動規(guī)律；（3）質(zhì)點加速度?！窘狻扛鶕?jù)(2)式得將上式積分，得上式中c1、c2為積分常數(shù)，它仍是拉格朗日變量的函數(shù)。利用t=0時，x=a，y=b得c1=-2，c2=-2【例】已知用拉格朗日變量表示得速度分布76X=(a+2)et-2t-2y=(b+2)et-2t-2（1）將t=3代入上式得X=(a+2)e3-8y=(b+2)e3-8（2）a=2，b=2時x=4et-2t-2y=4et-2t-2(3)

77【例】在任意時刻，流體質(zhì)點的位置是x=5t2，其跡線為雙曲線xy=25。質(zhì)點速度和加速度在x和y方向的分量為多少？【解】根據(jù)式(2)得由式(3)得【例】在任意時刻，流體質(zhì)點的位置是x=78

跡線是流體質(zhì)點運動的軌跡，是與拉格朗日觀點相對應(yīng)的概念。拉格朗日法中位移表達式即為跡線的參數(shù)方程。t是變數(shù)，a,b,c是參數(shù)。3.3跡線、流線和染色線，流管跡線跡線是流體質(zhì)點運動的軌跡，是與拉格朗日觀點相對應(yīng)的概念。79在歐拉觀點下求跡線，因須跟定流體質(zhì)點，此時歐拉變數(shù)x,y,z成為t的函數(shù)，所以跡線的微分方程為：這是由三個一階微分方程組成的方程組，未知變量為質(zhì)點位置坐標(x,y,z)，它是t的函數(shù)。給定初始時刻的位置坐標，就可以積分得到跡線在歐拉觀點下求跡線，因須跟定流體質(zhì)點，此時歐拉變數(shù)x,y,80●根據(jù)定義，流線的微分方程為：實際上這是兩個微分方程，其中t是參數(shù)?？汕蠼獾玫絻勺迩?，它們的交線就是流線族其中●根據(jù)定義，流線的微分方程為：實際上這是兩個微分方程81在非定常流情況下，流線一般會隨時間變化。在定常流情況下，流線不隨時間變，流體質(zhì)點將沿著流線走，跡線與流線重合。跡線和流線最基本的差別是：跡線是同一流體質(zhì)點在不同時刻的位移曲線，與拉格朗日觀點對應(yīng)，而流線是同一時刻、不同流體質(zhì)點速度矢量與之相切的曲線，與歐拉觀點相對應(yīng)。即使是在定常流中，跡線與流線重合，兩者仍