高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第3節(jié) 簡易邏輯復(fù)習(xí) 新人教

第3節(jié)簡易邏輯整理ppt1．命題可以

叫命題，命題由

和

兩部分構(gòu)成．判斷真假的語句條件結(jié)論整理ppt2．邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)常用的邏輯聯(lián)結(jié)詞有

、

、

．(2)真值表或且非pq非pp或qp且q真真

真假假真假假假真真假假真假假真真真假整理ppt3.四種命題及其相互關(guān)系(1)四種命題一般地，用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用綈p和綈q分別表示p、q的否定，于是四種命題形式為：原命題：________________；逆命題：________________；否命題：________________；逆否命題：__________________.整理ppt(2)四種命題的關(guān)系整理ppt(3)四種命題的真假性(1)兩個命題互為________命題，它們有相同的真假性．(2)兩個命題為________或________，它們的真假性沒有關(guān)系．整理ppt4．充分條件、必要條件與充要條件的判定(1)從邏輯推理關(guān)系上看①若________，則p是q的充分不必要條件；②若________，則p是q的必要不充分條件；③若________，則p是q的充要條件；④若________，則p是q的既不充分也不必要條件．且且且且整理ppt(2)從集合與集合之間關(guān)系上看記法A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}關(guān)系圖示結(jié)論p是q的充分不必要條件p是q的必要不充分條件p是q的充要條件p是q的既不充分又不必要條件整理ppt(3)從命題真假性上看把p與q分別記作命題的條件與結(jié)論，則原命題與逆命題的真假同p與q之間的關(guān)系如下：①若原命題

逆命題

，則p是q的充分不必要條件；②若原命題

逆命題

，則p是q的必要不充分條件；③若原命題與逆命題都

，則p是q的充要條件；④若原命題與逆命題都

，則p是q的既不充分又不必要條件．真假假真真假整理ppt1．集合A＝{x||x－2|<1}，B＝{x|x2－4x<0}，那么“a∈A”是“a∈B”的 ()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】由已知得A＝{x|1<x<3}，B＝{x|0<x<4}，因為A?B，所以a∈A是a∈B的充分不必要條件．【答案】A整理ppt2．有下列四個命題：①“若x＋y＝0，則x、y互為相反數(shù)”的逆命題；②“若a>b，則a2>b2”的逆否命題；③“若x≤－3，則x2＋x－6>0”的否命題；④“對頂角相等”的逆命題．其中真命題的個數(shù)是 ()A．0 B．1C．2 D．3【解析】

①逆命題“若x、y互為相反數(shù)，則x＋y＝0”為真；②原命為假，如a＝－1，b＝－2，則其逆否命題為假；③否命題“若x>－3，則x2＋x－6≤0”為假，如x＝3時；④逆命題“相等的角是對頂角”為假．【答案】B整理ppt3．命題“若x2<1，則－1<x<1”的逆否命題是 ()A．若x2≥1，則x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，則x2<1C．若x>1或x<－1，則x2>1D．若x≥1或x≤－1，則x2≥1【解析】原命題的條件與結(jié)論分別否定后再交換位置．故選D.【答案】D整理ppt4．存在一個實數(shù)，使得x2＋x＋1≤0的否定是____________；否命題是____________．【解析】原命題的否定是“不存在實數(shù)x，使得x2＋x＋1≤0”，即“對所有的實數(shù)x，有x2＋x＋1>0”；否命題是“不存在實數(shù)x，使得x2＋x＋1>0”，即“對所有的實數(shù)x，有x2＋x＋1≤0”．【答案】對所有的實數(shù)x，有x2＋x＋1>0”對所有的實數(shù)x，有x2＋x＋1≤0”整理ppt已知命題p：方程x2＋mx＋1＝0有兩個不等的負(fù)實數(shù)根，命題q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0無實數(shù)根．若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求m的取值范圍．【思路點撥】由題意知“p或q”為真，“p且q”為假推出p、q一真一假，再分類求解．整理ppt【解析】由p得則m>2.由q知，Δ′＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0，則1<m<3.∵“p或q”為真，“p且q”為假，∴p為真，q為假，或p為假，q為真．則或，解得m≥3或1<m≤2.∴m的取值范圍為m≥3或1<m≤2.整理ppt【答案】

m≥3或1<m≤2【方法技巧】復(fù)合命題是由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的，簡單命題的真假決定了復(fù)合命題的真假，復(fù)合命題的真假用真值表來判斷．對于“p或q”，只有p，q都為假時，才為假，其它情況為真；對于“p且q”，只有p，q都為真時才為真，其它情況為假，非p的真假與p的真假相反．

整理ppt1．命題p：若a，b∈R，則|a|＋|b|>1是|a＋b|>1的充要條件．命題q：函數(shù)y＝的定義域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，則 ()A．“p或q”為假B．“p且q”為真C．p真q假 D．p假q真整理ppt【解析】命題p的判斷可舉反例：a＝2，b＝－3，則|a|＋|b|>1，但|a＋b|＝1，故命題p是假命題．命題q：由函數(shù)解析式知|x－1|－2≥0，解得x≤－1或x≥3，所以命題q是真命題．故選D.【答案】D整理ppt判斷命題“若a≥0，則x2＋x－a＝0有實根”的逆否命題的真假．【思路點撥】可先寫出該命題的逆否命題，再判斷其真假性；也可利用命題間的關(guān)系，判斷其等價命題的真假性；還可利用充要條件與集合的包含、相等關(guān)系來解決．整理ppt【解析】解法一寫出逆否命題，再判斷其真假．原命題：若a≥0，則x2＋x－a＝0有實根．逆否命題：若x2＋x－a＝0無實根，則a<0.判斷如下：∵x2＋x－a＝0無實根，∴Δ＝1＋4a<0，∴a<－<0，∴“若x2＋x－a＝0無實根，則a<0”為真命題．整理ppt解法二利用命題之間的關(guān)系：原命題與逆否命題同真同假(即等價關(guān)系)證明．∵a≥0，∴4a≥0，∴4a＋1>0，∴方程x2＋x－a＝0的判斷式Δ＝4a＋1>0，∴方程x2＋x－a＝0有實根，故原命題“若a≥0，則x2＋x－a＝0有實根”為真命題．又因原命題與其逆否命題等價，所以“若a≥0，則x2＋x－a＝0有實根”的逆否命題為真命題．整理ppt解法三利用充要條件與集合的包含、相等關(guān)系．命題p：a≥0，q：x2＋x－a＝0有實根，∴p：A＝{a|a≥0}，q：B＝{a|方程x2＋x－a＝0有實根}＝{a|a≥－}．即A?B，∴“若p則q”為真．∴“若p則q”的逆否命題“若綈q則綈p”為真．∴“若a≥0，則x2＋x－a＝0有實根”的逆否命題為真．整理ppt解法四設(shè)p：a≥0，q：x2＋x－a＝0有實根，則綈p：a<0，綈q：x2＋x－a＝0無實根，∴綈p：A＝{a|a<0}，綈q：B＝{a|方程x2＋x－a＝0無實根}＝{a|a<－}．∵B?A，∴“若綈q則綈p”為真，即“若方程x2＋x－a＝0無實根，則a<0”為真．整理ppt【方法技巧】(1)判斷命題的真假，可先寫出命題，分清條件與結(jié)論，直接判斷；(2)如果不易判斷，可根據(jù)互為逆否命題的等價性來判斷；(3)當(dāng)命題有大前提時，寫該命題的逆命題、否命題、逆否命題時應(yīng)保持大前提不變．【溫馨提示】

①“否命題”與“命題的否定”是兩個不同的概念，若p表示命題，“綈p”叫做命題p的否定．如果原命題是“若p，則q”，那么這個原命題的否定是“若p，則綈q”，即只否定命題的結(jié)論，而原命題的否命題是“若綈p，則綈q”，即既否定命題的條件，又否定命題的結(jié)論．整理ppt②一些常見詞語及其否定詞語是都是大于(>)所有的任一個至少一個至多一個詞語的否定不是不都是不大于(≤)某些某個一個也沒有至少兩個整理ppt2．設(shè)原命題是“已知a，b，c，d是實數(shù)，若a＝b，c＝d，則a＋c＝b＋d”．寫出它的逆命題、否命題和逆否命題，并分別說明它們的真假．【解析】逆命題為“已知a，b，c，d是實數(shù)，若a＋c＝b＋d，則a＝b，c＝d”．否命題為“已知a，b，c，d是實數(shù)，若a≠b或c≠d，則a＋c≠b＋d”．逆否命題為“已知a，b，c，d是實數(shù)，若a＋c≠b＋d，則a≠b或c≠d”．整理ppt由等式性質(zhì)知，原命題為真；由3＋5＝2＋6，但3≠2,5≠6說明逆命題為假；由5≠7,4≠2，但5＋4＝7＋2，說明否命題為假(由否命題與逆命題互為逆否命題，可知否命題為假)；逆否命題為真也可如下說明：若a＋c≠b＋d，可分為兩種情況(1)a≠b，于是命題為真．(2)a＝b，從而推出c≠d(否則a＋c＝b＋d)，命題也為真.

整理ppt已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R，對命題“若a＋b≥0，則f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”：(1)寫出逆命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論；(2)寫出其逆否命題，并證明你的結(jié)論．整理ppt【解析】(1)逆命題：已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R.“若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0”，假設(shè)a＋b<0，則a<－b，b<－a.因為f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，則f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，與條件矛盾，所以逆命題為真．整理ppt(2)逆否命題：若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，則a＋b<0.下面用反證法給出證明：假設(shè)a＋b≥0，則a≥－b且b≥－a；又f(x)為增函數(shù)，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)；兩式相加，得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．這與題設(shè)條件f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)矛盾，故假設(shè)不成立．∴a＋b<0.整理ppt【方法技巧】反證法的步驟：(1)假設(shè)結(jié)論的反面成立；(2)從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)推理論證，得出矛盾；(3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確．整理ppt【溫馨提示】反證法的適用題型：(1)當(dāng)“結(jié)論”的反面比“結(jié)論”本身更簡單、更具體、更明確時，考慮用反證法證明；(2)否定型命題(命題的結(jié)論是“不可能…”，“不能表示為…”“不是…”，“不存在…”“不等于…”“不具有某種性質(zhì)”等)、唯一性命題、存在性命題、“至少、至多”型命題、某些命題的逆命題等都可用反證法證明；(3)有的肯定此命題，由于已知或結(jié)論涉及到無限個元素，如“無限多個數(shù)”、“無窮多交點”等，由于直接證明無限的情形比較困難，因而也往往采用反證法．整理ppt3．已知實數(shù)a、b、c、d滿足條件：2bd－c－a＝0.命題p：二次方程ax2＋2bx＋1＝0有實根；命題q：二次方程cx2＋2dx＋1＝0有實根；求證：“p或q”為真命題．整理ppt【證明】假設(shè)“p或q”為假命題，則p與q均為假命題．即?∴b2＋d2<a＋c.又∵2bd－c－a＝0，∴2bd＝a＋c，∴b2＋d2<2bd，這是錯誤的，故假設(shè)不成立，從而“p或q”為真命題.整理ppt已知ab≠0，求證a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.【思路點撥】此類問題需證明兩個命題，即充分性與必要性，故應(yīng)分清誰是條件，誰是結(jié)論，然后再分別證明．整理ppt【證明】(必要性)∵a＋b＝1，∴a＋b－1＝0，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.整理ppt(充分性)∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0，又ab≠0，∴a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2＝(a－)2＋b2>0，∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1，綜上可知，當(dāng)ab≠0時a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.整理ppt【方法技巧】有關(guān)充要條件的證明問題，要分清哪個是條件，哪個是結(jié)論，由“條件”?“結(jié)論”是證明命題的充分性，由“結(jié)論”?“條件”是證明命題的必要性，證明要分兩個環(huán)節(jié)：一是充分性；二是必要性．整理ppt4．關(guān)于x的不等式或方程：(1)證明x2＋px＋q≤0的解集只含有一個元素的充要條件是p2＝4q；(2)求(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0(a∈R)有兩個正根的充要條件．整理ppt【證明】(1)先證明必要性：解x2＋px＋q≤0，若Δ＝p2－4q>0，則不等式的解集為{x|≤x≤}，與題意不符；若Δ<0，x2＋px＋q>0恒成立，則不等式的解集為?，也與題意不符； 所以只能Δ＝p2－4q＝0，即p2＝4q使得原不等式的解集中只含有一個元素{x|x＝}．整理ppt再證明充分性：由p2＝4q，則原不等式可以整理成x2＋px＋q＝x2＋px＋＝(x＋)2≤0，因此解集為{x|x＝－}，只有一個元素．綜上所述，x2＋px＋q≤0的解集只含有一個元素的充要條件是p2＝4q.整理ppt(2)設(shè)(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0(a∈R)有兩個正根x1，x2，則Δ≥0且x1＋x2>0和x1·x2>0，即(a＋2)2＋16(1－a)≥0，>0，>0，解得1<a≤2或a≥10；反之若1<a≤2或a≥10，則判別式Δ與方程的兩個根x1，x2可以由韋達(dá)定理得到Δ＝(a＋2)2＋16(1－a)≥0，x1＋x2＝>0，x1·x2＝>0，即x1，x2為兩個正根，即(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0(a∈R)有兩個正根的充要條件是1<a≤2或a≥10.整理ppt1．“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【解析】由|x－1|<2得－2<x－1<2，－1<x<3；由x(x－3)<0得0<x<3.因此“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的必要不充分條件，選B.【答案】B整理ppt2．如果命題“p或q”與命題“非p”都是真命題，那么 ()A．命題p不一定是假命題B．命題q一定是真命題C．命題q不一定是真命題D．命題p與q的真假相同【解析】由“非p”是真命題，∴p是假命題，而“p或q”是真命題，故q一定是真命題．故選B.【答案】B整理ppt3．命題“若函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則loga2<0”的逆否命題是 ()A．若loga2<0，則函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)B．若loga2≥0，則函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)C．若loga2<0，則函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)D．若loga2≥0，則函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)整理ppt【解析】由原命題與其逆否命題的關(guān)系易知選B.【答案】B整理ppt4．用反證法證明“若x≠1且x≠2，則x2－3x＋2≠0”時的假設(shè)應(yīng)為 ()A．x＝1或x＝2 B．x2－3x＋2＝0C．x2－3x＋2≤0 D．x2－3x＋2>0【解析】用反證法證明命題中的假設(shè)是原命題結(jié)論的否定，“x2－3x＋2≠0”的否定為“x2－3x＋2＝0”，故選B.【答案】B整理ppt5．(2009年福建福州八中)“a＝1”是“函數(shù)f(x)＝|x－a|在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)”的 ()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】函數(shù)f(x)＝|x－a|在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，得出a≤1，所以“a＝1”是“函數(shù)f(x)＝|x－a|在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)”的充分不必要條件．故選A.【答案】A整理ppt6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負(fù)數(shù)根”的 ()A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】當(dāng)a<0時，由韋達(dá)定理知x1·x2＝<0，故此一元二次方程有一正根和一負(fù)根，符合題意；當(dāng)ax2＋2x＋1＝0至少有一個負(fù)數(shù)根時，a可以為0，因為當(dāng)a＝0時，該方程僅有一根為－，所以a不一定小于0.由上述推可理知，“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負(fù)數(shù)根”的充分不必要條件．【答案】B整理ppt二、填空題7．由命題p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3}構(gòu)成的“p或q”“p且q”“非p”形式的復(fù)合命題中，真命題有________個．【解析】

p：4∈{2,3}是假命題，q：2∈{2,3}是真命題，據(jù)真值表知“p或q”為真，“p且q”為假，“非p”為真，故答案為2.【答案】2整理ppt8．命題“若ab＝0，則a、b中至少有一個為零”的逆否命題是________．【答案】若a≠0且b≠0，則ab≠0.整理ppt9．(創(chuàng)新預(yù)測題)下列有關(guān)命題的說法正確的是________．①命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為：“若x2＝1，則x≠1”；②“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分條件；③命題“若x2<1，則－1<x<1”的否定是：“若x2≥1，則x≤－1或x≥1”；④命題“若x＝y(tǒng)，則sinx＝siny”的逆否命題為真命題．整理ppt【解析】

①正確的否命題為“若x2≠1，則x≠1”；②應(yīng)為充分不必要條件；③的否定是“若x2<1，則x≤－1或x≥1”．【答案】

④整理ppt10．已知p：|1－|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若綈p是綈q的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍為________．

整理ppt【解析】|1－