2022-2023學(xué)年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)專題《一元二次方程中的增長(zhǎng)率問題》含答案解析

專題一元二次方程優(yōu)選提升題：實(shí)際問題與一元二次方程增長(zhǎng)率問題一、單選題1．（2022·河南平頂山·九年級(jí)期末）某鋼鐵廠一月份生產(chǎn)鋼鐵560噸，從二月份起，由于改進(jìn)操作技術(shù)，使得第一季度共生產(chǎn)鋼鐵1850噸，問二、三月份平均每月的增長(zhǎng)率是多少？若設(shè)二、三月份平均每月的增長(zhǎng)率為x，則可得方程（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】第一個(gè)月是560，第二個(gè)月是560（1+x），第三月是560（1+x）2，所以第一季度總計(jì)560+560（1+x）+560（1+x）2=1850，故答案為：D.2．（2022·四川成都·九年級(jí)期末）個(gè)稅改革新政出臺(tái)后，錦江稅務(wù)迅速組織干部多形式多途徑進(jìn)行個(gè)稅專項(xiàng)培訓(xùn)，對(duì)個(gè)稅新政進(jìn)行講解和輔導(dǎo)．2019年全年某企業(yè)員工享受個(gè)稅紅利共計(jì)約200萬，2021年全年該企業(yè)員工享受個(gè)稅紅利共計(jì)約450萬，且該企業(yè)員工享受個(gè)稅紅利總額的年增長(zhǎng)率相同．設(shè)該企業(yè)員工享受個(gè)稅紅利總額的年增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列方程，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)該企業(yè)員工享受個(gè)稅紅利總額的年增長(zhǎng)率為x，然后根據(jù)增長(zhǎng)率問題列方程即可.【詳解】解：設(shè)該企業(yè)員工享受個(gè)稅紅利總額的年增長(zhǎng)率為x，由題意得：.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程方程的應(yīng)用-增長(zhǎng)率問題，審清題意、找準(zhǔn)等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.二、解答題3．（2022·江西·定南縣教學(xué)研究室九年級(jí)期末）某地2015年為做好“精準(zhǔn)扶貧”，投入資金1280萬元用于異地安置，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2017年在2015年的基礎(chǔ)上增加投入資金1600萬元．（1）從2015年到2017年，該地投入異地安置資金的年平均增長(zhǎng)率為多少？（2）在2017年異地安置的具體實(shí)施中，該地計(jì)劃投入資金不低于500萬元用于優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定前1000戶（含第1000戶）每戶每天獎(jiǎng)勵(lì)8元，1000戶以后每戶每天補(bǔ)助5元，按租房400天計(jì)算，試求今年該地至少有多少戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)？【答案】（1）50%；（2）今年該地至少有1900戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)．【分析】（1）設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)“2015年投入資金×（1+增長(zhǎng)率）2=2017年投入資金”列出方程，解方程即可；（2）設(shè)今年該地有a戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)，根據(jù)“前1000戶獲得的獎(jiǎng)勵(lì)總數(shù)+1000戶以后獲得的獎(jiǎng)勵(lì)總和≥500萬”列不等式求解即可．【詳解】（1）設(shè)該地投入異地安置資金的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，得：1280（1+x）2=1280+1600，解得：x=0.5或x=﹣2.5（舍），答：從2015年到2017年，該地投入異地安置資金的年平均增長(zhǎng)率為50%；（2）設(shè)今年該地有a戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)，根據(jù)題意，得：1000×8×400+（a﹣1000）×5×400≥5000000，解得：a≥1900，答：今年該地至少有1900戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)．考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用.4．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市一中雙語實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期末）現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，催生了快遞行業(yè)的高度發(fā)展，據(jù)調(diào)查，長(zhǎng)沙市某家小型“大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)”的快遞公司，今年三月份與五月份完成投遞的快遞總件數(shù)分別為10萬件和12.1萬件，現(xiàn)假定該公司每月投遞的快遞總件數(shù)的增長(zhǎng)率相同．（1）求該快遞公司投遞總件數(shù)的月平均增長(zhǎng)率；（2）如果平均每人每月最多可投遞0.6萬件，那么該公司現(xiàn)有的21名快遞投遞業(yè)務(wù)員能否完成今年6月份的快遞投遞任務(wù)？如果不能，請(qǐng)問至少需要增加幾名業(yè)務(wù)員？【答案】（1）該快遞公司投遞總件數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為10%；（2）該公司現(xiàn)有的21名快遞投遞業(yè)務(wù)員不能完成今年6月份的快遞投遞任務(wù)，至少需要增加2名業(yè)務(wù)員．【分析】（1）設(shè)該快遞公司投遞總件數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)“今年三月份與五月份完成投遞的快遞總件數(shù)分別為10萬件和12.1萬件，現(xiàn)假定該公司每月投遞的快遞總件數(shù)的增長(zhǎng)率相同”建立方程，解方程即可；（2）首先求出今年6月份的快遞投遞任務(wù)，再求出21名快遞投遞業(yè)務(wù)員能完成的快遞投遞任務(wù)，比較得出該公司不能完成今年6月份的快遞投遞任務(wù)，進(jìn)而求出至少需要增加業(yè)務(wù)員的人數(shù)．【詳解】解：（1）設(shè)該快遞公司投遞快遞總件數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x，由題意，得10(1＋x)2＝12.1，，(不合題意，舍去)．答：該快遞公司投遞總件數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為10%；（2）∵0.6×21＝12.6(萬件)，12.1×(1＋0.1)＝13.31(萬件)，12.6萬件＜13.31萬件，∴該公司現(xiàn)有的21名快遞投遞業(yè)務(wù)員不能完成今年6月份的快遞投遞任務(wù)．設(shè)需要增加y名業(yè)務(wù)員，根據(jù)題意，得0.6(y＋21)≥13.31，解得y≥≈1.183，∵y為整數(shù)，∴y≥2．答：至少需要增加2名業(yè)務(wù)員．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出相應(yīng)的方程及不等式，然后求解．5．（2022·江西·上猶縣教學(xué)研究室九年級(jí)期末）今年以來，我市接待的游客人數(shù)逐月增加，據(jù)統(tǒng)計(jì)，游玩某景區(qū)的游客人數(shù)三月份為4萬人，五月份為5.76萬人．（1）求四月和五月這兩個(gè)月中，該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長(zhǎng)百分之幾；（2）若該景區(qū)僅有兩個(gè)景點(diǎn)，售票處出示的三種購票方式如表所示：購票方式甲乙丙可游玩景點(diǎn)和門票價(jià)格100元/人80元/人160元/人據(jù)預(yù)測(cè)，六月份選擇甲、乙、丙三種購票方式的人數(shù)分別有2萬、3萬和2萬．并且當(dāng)甲、乙兩種門票價(jià)格不變時(shí)，丙種門票價(jià)格每下降1元，將有600人原計(jì)劃購買甲種門票的游客和400人原計(jì)劃購買乙種門票的游客改為購買丙種門票．①若丙種門票價(jià)格下降10元，求景區(qū)六月份的門票總收入；②問：將丙種門票價(jià)格下降多少元時(shí)，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值？最大值是多少萬元？【答案】（1）20%；（2）①798萬元，②當(dāng)丙種門票價(jià)格降低24元時(shí)，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值，為817.6萬元【分析】（1）設(shè)四月和五月這兩個(gè)月中，該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為，則四月份的游客為人，五月份的游客為人，再列方程，解方程可得答案；（2）①分別計(jì)算購買甲，乙，丙種門票的人數(shù)，再計(jì)算門票收入即可得到答案；②設(shè)丙種門票價(jià)格降低元，景區(qū)六月份的門票總收入為萬元，再列出與的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最大利潤(rùn)即可得到答案．【詳解】解：（1）設(shè)四月和五月這兩個(gè)月中，該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為，由題意，得解這個(gè)方程，得（舍去）答：四月和五月這兩個(gè)月中，該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長(zhǎng)20%．（2）①由題意，丙種門票價(jià)格下降10元，得：購買丙種門票的人數(shù)增加：（萬人），購買甲種門票的人數(shù)為：（萬人），購買乙種門票的人數(shù)為：（萬人），所以：門票收入問；（萬元）答：景區(qū)六月份的門票總收入為798萬元．②設(shè)丙種門票價(jià)格降低元，景區(qū)六月份的門票總收入為萬元，由題意，得化簡(jiǎn)，得，，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，為817.6萬元．答：當(dāng)丙種門票價(jià)格降低24元時(shí)，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值，為817.6萬元．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解利潤(rùn)的最大值是解題的關(guān)鍵．6．（2022·山西臨汾·九年級(jí)期末）“雜交水稻之父”——袁隆平先生所率領(lǐng)的科研團(tuán)隊(duì)在增產(chǎn)攻堅(jiān)第一階段實(shí)現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量700公斤的目標(biāo)，第三階段實(shí)現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量1008公斤的目標(biāo)．（1）如果第二階段、第三階段畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率相同，求畝產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率；（2）按照（1）中畝產(chǎn)量增長(zhǎng)率，科研團(tuán)隊(duì)期望第四階段水稻畝產(chǎn)量達(dá)到1200公斤，請(qǐng)通過計(jì)算說明他們的目標(biāo)能否實(shí)現(xiàn)．【答案】（1）20%；（2）能【分析】（1）設(shè)畝產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率為x，依題意列出關(guān)于x的一元二次方程，求解即可；（2）根據(jù)（1）求出的平均增長(zhǎng)率計(jì)算第四階段畝產(chǎn)量即可．【詳解】解：（1）設(shè)畝產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得：，解得：，（舍去），答：畝產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率為20%．（2）第四階段的畝產(chǎn)量為（公斤），∵，∴他們的目標(biāo)可以實(shí)現(xiàn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，掌握2次變化的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．7．（2022·內(nèi)蒙古包頭·九年級(jí)期末）某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺(tái)燈以40元售出，一月份售出32臺(tái)，二、三月份這種臺(tái)燈銷售量連續(xù)增長(zhǎng)，其中三月份售出50臺(tái)．(1)求二月份、三月份兩個(gè)月這種臺(tái)燈銷售量的月均增長(zhǎng)率；(2)從四月份起商場(chǎng)決定采取降價(jià)促銷措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在三月份銷量的基礎(chǔ)上，如果這種臺(tái)燈的售價(jià)每降價(jià)2元，那么月銷售量增加4臺(tái)．當(dāng)每臺(tái)降價(jià)多少元時(shí)，四月份銷售這種臺(tái)燈可獲利348元？【答案】(1)二月份、三月份兩個(gè)月這種臺(tái)燈銷售量的月均增長(zhǎng)率為25%(2)當(dāng)每臺(tái)降價(jià)4元時(shí)，四月份銷售這種臺(tái)燈可獲利348元【分析】（1）設(shè)二月份、三月份兩個(gè)月這種臺(tái)燈銷售量的月均增長(zhǎng)率為x，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，求解即可；（2）設(shè)每臺(tái)降價(jià)y元，則四月份可售出臺(tái)，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，求解即可．(1)設(shè)二月份、三月份兩個(gè)月這種臺(tái)燈銷售量的月均增長(zhǎng)率為x，依題意，得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：二月份、三月份兩個(gè)月這種臺(tái)燈銷售量的月均增長(zhǎng)率為25%．(2)設(shè)每臺(tái)降價(jià)y元，則四月份可售出臺(tái)，依題意，得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：當(dāng)每臺(tái)降價(jià)4元時(shí)，四月份銷售這種臺(tái)燈可獲利348元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．8．（2022·甘肅白銀·九年級(jí)期末）白銀市各級(jí)公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個(gè)，6月份銷售216個(gè)，且從4月份到6月份銷售量的月增長(zhǎng)率相同．(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率；(2)若此種頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，測(cè)算在市場(chǎng)中，當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為600個(gè)，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲0.5元/個(gè)，則月銷售量將減少5個(gè)，為使月銷售利潤(rùn)達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？【答案】(1)該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為20%．(2)該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為50元/個(gè)．【分析】(1)設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為x，根據(jù)該品牌頭盔4月份及6月份的月銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；(2)根據(jù)月銷售利潤(rùn)=每個(gè)頭盔的利潤(rùn)×月銷售量，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)即可求出結(jié)論．（1）解：（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為，依題意得：，解得，（不合題意，舍去）．答：該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為20%；（2）設(shè)該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)為y元/個(gè)，依題意得：，整理得，解得（不合題意，舍去），，答：該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為50元/個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9．（2022·江西南昌·九年級(jí)期末）香香豬肉鋪10月五花肉售價(jià)約30元/千克，后受市場(chǎng)供需關(guān)系影響，五花肉價(jià)格逐月上漲，12月五花肉售價(jià)約為36.3元/千克，若在此期間五花肉價(jià)格每月增長(zhǎng)率相同．(1)求此期間五花肉價(jià)格月增長(zhǎng)率．(2)11月某天小剛媽媽用99元在香香豬肉鋪買了一些五花肉包餃子，請(qǐng)問她買了多少五花肉．【答案】(1)(2)3千克【分析】（1）10月到12月共增長(zhǎng)了2個(gè)月，根據(jù)題意找等量關(guān)系列方程求解即可．（2）根據(jù)增長(zhǎng)率公式求出11月豬肉單價(jià)，根據(jù)題意找等量關(guān)系列方程求解即可．(1)設(shè)：價(jià)格的月增長(zhǎng)率為．由題意得：解得：(舍去)即價(jià)格的月增長(zhǎng)率為答：價(jià)格的月增長(zhǎng)率為．(2)由題知11月的豬肉價(jià)格為元千克設(shè)：小剛媽媽買了千克五花肉．得方程解得：答：小剛的媽媽買了千克五花肉．【點(diǎn)睛】此題考查了增長(zhǎng)率的理解及其運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找等量關(guān)系列方程求解．10．（2022·江蘇·蘇州市振華中學(xué)校九年級(jí)期末）2022年北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活潑、可愛，象征著冬奧會(huì)運(yùn)動(dòng)員強(qiáng)壯的身體、堅(jiān)韌的意志和鼓舞人心的奧林匹克精神．隨著北京冬奧會(huì)開幕日的臨近，某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆．據(jù)統(tǒng)計(jì)，該店2021年10月的銷量為3萬件，2021年12月的銷量為3.63萬件．(1)求該店“冰墩墩”銷量的月平均增長(zhǎng)率；(2)假設(shè)該店“冰墩墩”銷量的月平均增長(zhǎng)率保持不變，求2022年1月“冰墩墩”的銷量．【答案】(1)該店“冰墩墩”銷量的月平均增長(zhǎng)率為10%；(2)2022年1月“冰墩墩”的銷量為3.993萬件．【分析】（1）設(shè)該店“冰墩墩”銷量的月平均增長(zhǎng)率x，等量關(guān)系是12月銷量，兩用增長(zhǎng)率表示12月份銷量=3.63，列方程3（1+x）2=3.63，解方程即可；（2）列算式3.63（1+10%）計(jì)算即可．(1)解：設(shè)該店“冰墩墩”銷量的月平均增長(zhǎng)率x，根據(jù)題意，得：3（1+x）2=3.63,∴∴，或∵增長(zhǎng)率不能為負(fù)數(shù)，舍去，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意答該店“冰墩墩”銷量的月平均增長(zhǎng)率為10%；(2)解：3.63（1+10%）=3.993萬件，答2022年1月“冰墩墩”的銷量為3.993萬件．【點(diǎn)睛】本題考查列一元二次方程解增長(zhǎng)率問題應(yīng)用題，有理數(shù)乘法運(yùn)算，掌握列一元二次方程解增長(zhǎng)率問題應(yīng)用題方法與步驟，有理數(shù)乘法運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．11．（2022·福建泉州·九年級(jí)期末）魚卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜歡，還深受外來游客的贊賞．小張從事魚卷生產(chǎn)和批發(fā)多年，有著不少來自零售商和酒店的客戶，當(dāng)?shù)氐牧?xí)俗是農(nóng)歷正月沒有生產(chǎn)魚卷，客戶正月所需要的魚卷都會(huì)在農(nóng)歷十二月底進(jìn)行一次性采購．2018年年底小張的“熟客”們共向小張采購了5000箱魚卷，到2020年底“熟客”們采購了7200箱．(1)求小張的“熟客"們這兩年向小張采購魚卷的年平均增長(zhǎng)率；(2)2020年底小張“熟客”們采訂購魚卷的數(shù)量占小張年底總銷售量的，由于魚卷受到游客們的青睞，小張做了一份市場(chǎng)調(diào)查，決定今年年底是否在網(wǎng)上出售魚卷，若沒有在網(wǎng)上出售魚卷，則按去年的價(jià)格出售，每箱利潤(rùn)為15元，預(yù)計(jì)銷售量與去年持平；若計(jì)劃在網(wǎng)上出售魚卷，則需把每箱售價(jià)下4至5元，且每下調(diào)1元銷售量可增加1000箱，求小張?jiān)诮衲昴甑啄塬@得的最大利潤(rùn)是多少元？【答案】(1)(2)小張?jiān)诮衲昴甑啄塬@得的最大利潤(rùn)是元.【分析】（1）設(shè)小張的“熟客”們這兩年向小張采購魚卷的年平均增長(zhǎng)率為則可得方程再解方程即可得到答案；（2）先求解今年的總的銷量為箱，設(shè)今年總利潤(rùn)為元，價(jià)格下調(diào)元，則可建立二次函數(shù)為，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最大值即可.(1)解：設(shè)小張的“熟客”們這兩年向小張采購魚卷的年平均增長(zhǎng)率為則整理得：解得：（負(fù)根不合題意舍去）答：小張的“熟客”們這兩年向小張采購魚卷的年平均增長(zhǎng)率為(2)解：2020年底小張“熟客”們采訂購魚卷的數(shù)量占小張年底總銷售量的，

2020年小張年總銷量為：（箱），設(shè)今年總利潤(rùn)為元，價(jià)格下調(diào)元，則令則所以拋物線的對(duì)稱軸為：所以函數(shù)有最大值，當(dāng)時(shí)，（元），所以小張?jiān)诮衲昴甑啄塬@得的最大利潤(rùn)是元.【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二