拉格朗日插值法

拉格朗日（Lagrange）插值可對(duì)插值函數(shù)伊3）選擇多種不同的函數(shù)類型，由于代數(shù)多項(xiàng)式具有簡(jiǎn)單和一些良好的特性，例如，多項(xiàng)式是無(wú)窮光滑的，容易計(jì)算它的導(dǎo)數(shù)和積分，故常選用代數(shù)多項(xiàng)式作為插值函數(shù)。線性插值問(wèn)題給定兩個(gè)插值點(diǎn)如巧）其中勺芥卅，怎樣做通過(guò)這兩點(diǎn)的一次插值函數(shù)過(guò)兩點(diǎn)作一條直線，這條直線就是通過(guò)這兩點(diǎn)的一次多項(xiàng)式插值函數(shù)，簡(jiǎn)稱線性插值。如圖所示。圖線性插值函數(shù)在初等數(shù)學(xué)中，可用兩點(diǎn)式、點(diǎn)斜式或截距式構(gòu)造通過(guò)兩點(diǎn)的一條直線。下面先用待定系數(shù)法構(gòu)造插值直線。設(shè)直線方程為L(zhǎng)3）=沔十。1七將（知扃）心"1）分別代入直線方程L"）得：+=期1xD'MQ當(dāng)W1時(shí)，因1卅，所以方程組有解，而且解是唯一的。這也表明，平面上兩個(gè)點(diǎn)，有且僅有一條直線通過(guò)。用待定系數(shù)法構(gòu)造插值多項(xiàng)式的方法簡(jiǎn)單直觀，容易看到解的存在性和惟一性，但要解一個(gè)方程組才能得到插值函數(shù)的系數(shù)，因工作量較大和不便向高階推廣，故這種構(gòu)造方法通常不宜采用。當(dāng)而*”1時(shí)，若用兩點(diǎn)式表示這條直線，則有：

L3）=——"—光

沔-知有-將L3）=——"—光

沔-知有-將()這種形式稱為拉格朗日插值多項(xiàng)式。記g=,L3）="自有-而W，稱為插值基函數(shù)，計(jì)算*W，?的值，易見(jiàn)()在拉格朗日插值多項(xiàng)式中可將3）看做兩條直線為——7c瓦而的疊加，并可拉格朗日插值多項(xiàng)式型式免除了解方程組的計(jì)算，易于向高次插值多項(xiàng)式型式推廣。線性插值誤差定理記L3）為以（曲/）皿少）為插值點(diǎn)的插值函數(shù)F。這里ySvg），設(shè)‘3）一階連續(xù)可導(dǎo)，'⑴在心）上存在，則對(duì)任意給定的0"］，至少存在一點(diǎn)共心］，使R0=⑴-孔⑴fN{E）【以］習(xí)（）證明令心ns，因％■）=%］）“月幣是急）的根，所以可設(shè)衣⑴"⑴（L而）3F）對(duì)任何一個(gè)固定的點(diǎn)X，引進(jìn)輔助函數(shù)*'）：w供m雙fD則乎3）=SL。，1。由定義可得YW=0，這樣*?至少有3個(gè)零點(diǎn)，不失一般性，假定W有，分別在'扃'司和'^^打上應(yīng)用洛爾定理，可知*'⑴在每個(gè)區(qū)間至少存在一個(gè)零點(diǎn)，不妨記為羞和公即中％）=。和中'⑸罰對(duì)嚀）在【庭］上應(yīng)用洛爾定理，得到"雄【露］上至少有一個(gè)零點(diǎn)w=?！，F(xiàn)在對(duì)*"）求二次導(dǎo)數(shù)，其中wzw加的線性函數(shù)），故有"均=廣偵一2戚時(shí)代入￡得&）-?、帕P所以*婦5即二次插值問(wèn)題給定三個(gè)插值點(diǎn)（％「W））,i=SL2,其中7互不相等，怎樣構(gòu)造函數(shù)/⑴的二次的（拋物線）插值多項(xiàng)式平面上的三個(gè)點(diǎn)能確定一條次曲線，如圖所示。仿造線性插值的拉格朗日插值，即用插值基函數(shù)的方法構(gòu)造插值多項(xiàng)式。設(shè)&3）=L（x）山扁）+』心）丁3）+如）每個(gè)基函數(shù)心）是一個(gè)二次函數(shù)，對(duì)如）來(lái)說(shuō)，要求沔，片是它的零點(diǎn)，因此可設(shè)上⑴=』豚一瓦）3一追）同理也相對(duì)應(yīng)的形式，得&3）=網(wǎng)（盜一再）3-枝）了（而）頊（兀-藥）（L免仃（瓦）Y（xf（xfg）將"f代入小對(duì),得&3）=&而-再）（而-毛）j（布）;.A=1（沔一為）（L）一*43）=酒偵-瓦）偵-專）〔知—X］）〔叱一吟）同理將X=X1^=X2代入勺（司得到君和C的值，以及g）和如）的表達(dá)式?！?Jd—（再一弗）（電一形）c=5（七-叱）〔電-珀玳、“FUF）偵F（fJn滬&^E（XfgfE一氣）o_再）〔母—沖）（叱—瓦）2=￡43）m）3）2-0也容易驗(yàn)證：上（地）=1,4（再）=0,4（旬）=。Hw）=0,』1（A）=1,H免）=。小沔）=s項(xiàng)心）=饑上（\）=1插值基函數(shù)仍然滿足:

s"''二二次插值函數(shù)誤差：&5）=匕宰（我一行乂&一瓦）（我一地），*［擊11〔氣/］,碼m，maz（如工"＞可］上式證明完全類似于線性插值誤差的證明，故省略。插值作為函數(shù)逼近方法，常用來(lái)作函數(shù)的近似計(jì)算。當(dāng)計(jì)算點(diǎn)落在插值點(diǎn)區(qū)間之內(nèi)時(shí)叫做內(nèi)插，否則叫做外插。內(nèi)插的效果一般優(yōu)于外插。..^sinll^=0.190809,511112^=0.2079124^、止34gw中例給定’。構(gòu)造線性插值函數(shù)并用插值函數(shù)計(jì)算血11軟和而10%解：構(gòu)造線性插值函數(shù)：L偵）=饋一'2）0.1如弗9+0.207912f11-1212-11T-115T-105分別將1代入上式，得4(11.5)=0.199361，準(zhǔn)確值而11%=皿9368鳥(10.5)=0-182258，準(zhǔn)確值^10^0=0.182236-sin=-⑵氏⑴冒(1技-11)(11.5-1坦=0.125例給定sin11'=0.190309,sin12J=0.207912例給定sin11'=0.190309,sin12J=0.207912nsin=0.224951。構(gòu)造二次插值函解：(卉-12If?r-13)"'、，(11—12)(11—13)^-n^-13h.207912L"'、，(11—12)(11—13)^-n^-13h.207912馬（1技）=0.199369，準(zhǔn)確值mim海M.199祝例要制做三角函數(shù)的函數(shù)sin"值表，已知表值有四位小數(shù)，要求用線性插值引起的截?cái)嗾`差不超過(guò)表值的舍入誤差，試決定其最大允許步長(zhǎng)。解：設(shè)最大允許步長(zhǎng)內(nèi)=&=給_互_]促⑴|=萼|>-玲一=誓（天_丙一1）（二_&）西|3-4）（工—時(shí)結(jié)/3</3<0.02珂次拉格朗日插值多項(xiàng)式問(wèn)題給定平面上兩個(gè)互不相同的插值點(diǎn)3"3〉）"=°」，有且僅有一條通過(guò)這兩點(diǎn)的直線；給定平面上三個(gè)互不相同的插值點(diǎn)（號(hào)'3】）湛=°」衛(wèi)，有且僅有一條通過(guò)這三個(gè)點(diǎn)的二次曲線；給定平面上七+1個(gè)互不相同的插值點(diǎn)3■?挪，互不相同是指沔互不相等，是否有且僅有一條不高于理次的插值多項(xiàng)式曲線，如果曲線存在,那么如何簡(jiǎn)單地作出這條淤次插值多項(xiàng)式曲線八4■匕M（了）="n十%工十”■十天*人土戎+1人，■■'，%、+^分析：理次多項(xiàng)式八JDL”，它完全由個(gè)系數(shù)"1”決定。若曲線^⑴通過(guò)給定平面上必1個(gè)互不相同的插值點(diǎn)3”僉脆=。,12…M，則

比⑴應(yīng)滿足*3滬了3"="1,，?5，事實(shí)上一個(gè)插值點(diǎn)就是一個(gè)插值條件。將（原『3））"=偵2…/依次代入烏⑴中得到線性方程組:&十叩口十嗎是十…十氣#=六盤灼+氣％+氣工；+'''灼+氣％+氣工；+'''+以=心】（）TOC\o"1-5"\h\z方程組的系數(shù)行列式是范德蒙（Vandermonde）行列式：1%…*S"i，…K='X西"=「［（欠F）,"o<j<i<K-H2?1&%'''碼f￡fC點(diǎn)n（耳f氣當(dāng)石互異時(shí)，Mjy鮑”，所以方程組（）的解存在且惟一。即問(wèn)題的解存在而且惟一。通過(guò)求解（）得到插值多項(xiàng)式*（"，因其計(jì)算量太大而不可取，仿照線性以及二次插值多項(xiàng)式的拉格朗日形式，我們可構(gòu)造珂次拉格朗日插值多項(xiàng)式。對(duì)于孫7個(gè)互不相同的插值節(jié)點(diǎn)咯，由M次插值多項(xiàng)式的惟一性，可對(duì)每個(gè)插值節(jié)點(diǎn)西作出相應(yīng)的T次插值基函數(shù)4必）盤=0」點(diǎn)廣'5。要求如知…知是43），的零點(diǎn)，因此可設(shè)4（>）=%（匯一福）（匯一而西-1）（匯一丐+1）??’（應(yīng)一孔）由（球=L將KF代入43），得到43)=^(x-x^)(x-x^---(x-xi_；)(x-xi^)--(x~xn)=\（盜一Kq）'''（不一定_1）（決一無(wú)+1）'''〔X一我皿）

（無(wú)一瓦）…（孟一無(wú)一J3廣m…（無(wú)一練）（）作其組合:4W=云也3）/（布」口（）那么孔不高于以次且滿足頃珀f"=,故S就是關(guān)于插值點(diǎn)WL*的插值多項(xiàng)式，這種插值形式稱為拉格朗日插值多項(xiàng)式。稱為關(guān)于節(jié)點(diǎn)'沔｝的拉格朗日基函數(shù)。例給出下列插值節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)，做三次拉格朗日插值多項(xiàng)式，并計(jì)算了（）。了（矽解：拉格朗日插值基函數(shù)為：,林=〔&一瓦）小一西乂我一丐）0（荷一街）（商）一丐）（而一電）_^-0）（x-1.00）（x-2.00）~（-2.00-0）（-2.00-1.00）（-2.00-2.00）-（-2.00-0）（-2.00-1.00）（-2.00-2.00）一￡"廣鞏"2）J3=偵一而）偵一葩）廊一號(hào)）1（電一此）（電一羽）3-電）,《七=聳一苴）3一再）濟(jì)一丐）20廣而乂沔一迥）0「政=-&3+?。▇）”、攔一曲）偵一我1）偵一瞬3（厄-起乂恐一街）〔厄F=加+明（I）□三次拉格朗日插值多項(xiàng)式:171烏⑴。園"工T）（l2）=（e+2）（廠1）（匯-幻/（0.6）=0-2560n次插值多項(xiàng)式的誤差定理設(shè)烏⑴是R句上過(guò)（M⑴山日"LE」lu的推次插值多項(xiàng)式，巧互不相等，當(dāng)了劃時(shí)，則插值多項(xiàng)式的誤差：凡成）=——二（我一布）〔可一與）…頃一再j,（可頃其中共［*〕證明*:記*3）=了3）一烏⑴。由于43】='（&）J=o「L…/，因而如知…由是比"）的根，于是可設(shè)免（工）=-血）3-玷…3-上）下面的目標(biāo)是算出電礦為此引入變量為*的函數(shù)*"）：（）呼（f）=典）-九饋）-K（對(duì)（"微（￡-超）…『知）（）令得平&頊』=?！箯S5令亦由定產(chǎn)⑴二⑴*⑴（lr）m珀???（「、）"/（，）令，由定乂即1」至少有照+2個(gè)零點(diǎn)，由于山叵刻，由洛爾定理，*（'）在*⑴相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間至少有一個(gè)零點(diǎn)，即*⑴至少有根+1個(gè)零點(diǎn)。同理再對(duì)*（"應(yīng)用洛爾定理，即*"）甲"）s產(chǎn)至少有淤個(gè)零點(diǎn)，反復(fù)應(yīng)用洛爾定理得到LJ至少有一個(gè)零點(diǎn)弓。另一方面，對(duì)中"）求招階導(dǎo)數(shù)，有乎5（￡）=產(chǎn)⑴（分-技⑴（/1）|令X,有0=Y（H+1）（動(dòng)=產(chǎn)我傍）-底⑴饑+1）Ikm=-———得到3+1）'乩成）=^^（我一W版一我〕…偵一G興3刻（邛+D!（）由于"的零點(diǎn)亍與*們的零點(diǎn)WL占有關(guān)，因而旨為工的函數(shù)。若#3⑴則艮⑴〒圭干為石|可表示為（）由（）式可以看到，當(dāng)山的是不高于阿次的多項(xiàng)式時(shí)，免⑴=七即0W"對(duì)于函數(shù)了⑴*七SCUlU，關(guān)于節(jié)點(diǎn)如知…占的拉格朗日插值多項(xiàng)式就是其本身，故拉格朗日基函數(shù)泠滿足3-0,n京）日令*=U，得到頊。定理給出了當(dāng)被插函數(shù)充分光滑時(shí)的插值誤差或稱插值余項(xiàng)表達(dá)式，但是，在實(shí)際計(jì)算中，并不知道的具體表示，難以得到'°）的形式或較精確的界限跪，因此也難以得到界|^"對(duì)|。在實(shí)際計(jì)算中，可對(duì)誤差運(yùn)用下面的事后估計(jì)方法。給出E個(gè)插值節(jié)點(diǎn)％5廣'，％+1，任選其中的根+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，不妨取氣”=0」,…/，構(gòu)造一個(gè)m次插值多項(xiàng)式，記為s。在q個(gè)插值節(jié)點(diǎn)中另選招t個(gè)插值點(diǎn)，不妨取互件…/十1,構(gòu)造一個(gè)活次插值多項(xiàng)式，記為&"）。由定理2可得到/（a）-4（^）=—―（工一苴）（工一道）---（&一化）（拎+i）il評(píng)+i）廣產(chǎn)、/W-4W=一M互）"沔）…Ms）（）（招+1）!（）設(shè)/I/在插值區(qū)間內(nèi)連續(xù)而且變化不大，有'同73",則了⑴一夕⑴,"氣J⑴一匕0）*-5從而可得到/w.zz^l4W+^^4w氣-ai&+1一而（）/w-^3）冗己W（4⑴-4⑴）沔Fi（）拉格朗日插值多項(xiàng)式的算法下面