2022-2023學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)專題《旋轉(zhuǎn)》旋轉(zhuǎn)綜合題《其他問題》含答案解析

專題旋轉(zhuǎn)優(yōu)選提升題二：旋轉(zhuǎn)綜合題題型四：其他問題一、單選題1．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·九年級期末）如圖，矩形ABCD中，，BC＝3，P為矩形內(nèi)一點，連接PA，PB，PC，則PA＋PB＋PC的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將△BPC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△EFC，連接PF、AE、AC，則AE的長即為所求．【詳解】解：將△BPC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△EFC，連接PF、AE、AC，則AE的長即為所求．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：△PFC是等邊三角形，∴PC=PF，∵PB=EF，∴PA+PB+PC=PA+PF+EF，∴當(dāng)A、P、F、E共線時，PA+PB+PC的值最小，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴，∴AC=2AB，∴∠ACB=30°，，∵∠BCE=60°，∴∠ACE=90°，∴，故選：D．【點睛】本題考查利用旋轉(zhuǎn)變換解決最短路徑問題，兩點之間線段最短、矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．二、解答題2．（2022·河南信陽·九年級期末）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，點D，E分別為AC，BC的中點．△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°），記直線AD與直線BE的交點為點P．(1)如圖1，當(dāng)α＝0°時，AD與BE的數(shù)量關(guān)系為______，AD與BE的位置關(guān)系為______；(2)當(dāng)0°＜α≤360°時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請僅就圖2的情形進行證明；若不成立，請說明理由；(3)△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出運動過程中P點運動軌跡的長度和P點到直線BC距離的最大值．【答案】(1)AD＝BE，AD⊥BE(2)結(jié)論仍然成立，證明見解析(3)P點運動軌跡的長度是π；P點到直線BC距離的最大值是【分析】（1）分別求出AD、BE的長即可解答；（2）先證明△BCE∽△ACD，可得＝，∠CBO＝∠CAD即可解答；（3）利用銳角三角函數(shù)可求∠EBC=30°，由弧長公式可求P點運動軌跡的長度，由直角三角形的性質(zhì)可求P點到直線BC距離的最大值即可．（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AC=BC=，AB=2BC=2，AD⊥BE∵點D，E分別為AC，BC的中點∴AD=CD=AC=，BE=EC=BC=∴AD＝BE．故答案為：AD＝BE，AD⊥BE．（2）解：結(jié)論仍然成立，理由如下：∵AC＝，BC＝1，CD＝，EC＝，∴，＝，∴，∵△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，∴∠BCE＝∠ACD，∴△BCE∽△ACD，∴＝，∠CBO＝∠CAD，∴AD＝BE，∵∠CBO+∠BOC＝90°，∴∠CAD+∠AOP＝90°，∴∠APO＝90°，∴BE⊥AD．（3）解：∵∠APB＝90°，

∴點P在以AB為直徑的圓上，如圖3，取AB的中點G，作⊙G，以點C為圓心，CE為半徑作⊙C，當(dāng)BE是⊙C切線時，點P到BC的距離最大，過點P作PH⊥BC，交BC的延長線于H，連接GP，∵BE是⊙C切線，∴CE⊥BE，∵＝，∴∠EBC＝30°，

∴∠GBP＝30°，

∵GB＝GP，∴∠GBP＝∠GPB＝30°，

∴∠BGP＝120°，∵點P的運動軌跡為點C→點P→點C→點B→點C，∴P點運動軌跡的長度＝×2＝π，∵∠ABP＝30°，BP⊥AP，∴AP＝AB＝1，BP＝AP＝，∵∠CBP＝30°，PH⊥BH，∴PH＝BP＝．

∴P點到直線BC距離的最大值．【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識點，靈活應(yīng)用相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022·天津西青·九年級期末）在等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC．點D，E分別為AB，AC中點，F(xiàn)線段DE上一動點（不與點D，E重合），將線段AF繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AG，連接GC，F(xiàn)B．(1)如圖①，證明：．(2)如圖②，連接GF，GE，GF交AE于點H．①證明：在點F的運動過程中，總有∠FEG＝90°．②若AB＝AC＝8，當(dāng)DF的長度為多少時，△AHG等腰三角形？請直接寫出DF的長度．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②或或【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，根據(jù)等角的余角相等，可得，進而即可證明，（2）①根據(jù)題意可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，進而即可證明∠FEG＝90°，②分三種情況討論，根據(jù)勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)求解即可．(1)證明：如圖1由旋轉(zhuǎn)可得∠BAC＝90°，在與中(2)①點D，E分別為AB，AC中點，∠BAC＝90°，，即②當(dāng)時，如圖，又四邊形是矩形四邊形是正方形AB＝AC＝8，點D，E分別為AB，AC中點，如圖，當(dāng)時，如圖，當(dāng)時，三點重合，則綜上所述，的長為或或時，△AHG是等腰三角形．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．4．（2022·黑龍江齊齊哈爾·九年級期末）綜合與實踐問題：如圖1，已知點G在正方形ABCD的對角線AC上，GE⊥BC，GF⊥CD，垂足為F．證明與推斷(1)①四邊形CEGF的形狀是；②的值為；【探究與證明】(2)在圖1的基礎(chǔ)上，將正方形CEGF繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜45°），如圖2所示，試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【拓展與運用】(3)如圖3，在（2）的條件下，正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過程中，AG和GE的位置關(guān)系是．【答案】(1)①正方形；②．(2)AG＝BE，理由見解析(3)AG⊥GE【分析】（1）根據(jù)正方形的判定和性質(zhì)解決問題即可；（2）結(jié)論：AG＝BE．證明△ACG∽△BCE，可得＝；（3）結(jié)論：AG⊥GE，證明∠AGE＝∠AGF﹣∠EGF＝180°﹣90°＝90°，可得結(jié)論．(1)①正方形；②．理由：如圖1中，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四邊形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，∴EG＝EC，∴四邊形CEGF是正方形，∵AC＝BC,CG=EC，∴AG＝AC﹣CG＝（BC﹣EC）＝，∴＝．故答案為：正方形，；(2)結(jié)論：AG＝BE，理由：如圖2中，連接CC，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴△ABC為等腰直角三角形，∴，由①得四邊形GECF是正方形，∴∠GEC＝∠ECF＝90°，GE＝EC，∴△EGC為等腰直角三角形．∴＝，∴＝，∴△ACG∽△BCE，∴＝，∴線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG＝BE；(3)如圖3中，連接CG，∵∠CEF＝45°，點B、E，∴∠BEC＝135°．∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC＝∠BEC＝135°．∴∠AGF＝∠AGC+∠CGF＝135°+45°＝180°，∴點A，G，F(xiàn)三點共線，∴∠AGE＝∠AGF﹣∠EGF＝180°﹣90°＝90°，∴AG⊥GE，故答案為：AG⊥GE．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的判定與性質(zhì)、正確尋找相似三角形解決問題．5．（2021·四川達(dá)州·九年級期末）如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)物上，點B坐標(biāo)為．將正方形ABCO繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角度，得到正方形ADEF，ED交線段OC于點G，ED的延長線交線段BC于點P．連AP、AG．（1）求證：≌；（2）求的度數(shù)；并判斷線段OG、PG、BP之間的數(shù)量關(guān)系，說明理由；（3）當(dāng)時，求直線PE的解析式（可能用到的數(shù)據(jù)：在中，30°內(nèi)角對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半）．（4）在（3）的條件下，直線PE上是否存在點M，使以M、A、G為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出M點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2），；（3）；（4）或，【分析】（1）由，，根據(jù)斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，判斷出即可．（2）首先根據(jù)三角形全等的判定方法，判斷出，再結(jié)合，可得，；然后根據(jù)，求出的度數(shù)；最后判斷出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系即可．（3）首先根據(jù)，判斷出；然后根據(jù)，，判斷出當(dāng)時，，而，求出；最后確定出、兩點坐標(biāo)，即可判斷出直線的解析式．（4）根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)點在軸的負(fù)半軸上時；②當(dāng)點在的延長線上時；根據(jù)以、、為頂點的三角形是等腰三角形，求出點坐標(biāo)是多少即可．【詳解】（1）證明：在Rt△AOG和Rt△ADG中，∴≌（HL）．（2）在Rt△ADP和Rt△ABP中，（HL），則；，；又，，，，；，，，，．（3）解：，，又，，，，又，，又，，；∴在中，，∴解得點坐標(biāo)為，，，在中，，∴，∴，點坐標(biāo)為：，，設(shè)直線的解析式為：，則，解得，直線的解析式為．（4）①如圖1，當(dāng)點在軸的負(fù)半軸上時，，點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為．②如圖2，當(dāng)點在的延長線上時，由（3），可得，與的交點，滿足，點的橫坐標(biāo)是0，點橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是3，點坐標(biāo)為，．綜上，可得點坐標(biāo)為或，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、余角、解含30度角的直角三角形、等腰三角形的判定以及等邊三角形判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）通過解含30度角的直角三角形求出OG、PC的長度；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)確定點M的位置．6．（2020·湖北荊州·九年級期末）把函數(shù)的圖象繞點旋轉(zhuǎn)，得到新函數(shù)的圖象，我們稱是關(guān)于點的相關(guān)函數(shù)．的圖象的對稱軸與軸交點坐標(biāo)為．（1）填空：的值為（用含的代數(shù)式表示）（2）若，當(dāng)時，函數(shù)的最大值為，最小值為，且，求的解析式；（3）當(dāng)時，的圖象與軸相交于兩點（點在點的右側(cè)）．與軸相交于點．把線段原點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到它的對應(yīng)線段，若線與的圖象有公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）或或【分析】（1）C1：y=ax2-2ax-3a=a（x-1）2-4a，頂點（1，-4a）圍繞點P（m，0）旋轉(zhuǎn)180°的對稱點為（2m-1，4a），即可求解；（2）分為：≤t＜1、1≤t≤、t＞三種情況，分別求解；（3）分a＞0、a＜0兩種情況，分別求解．【詳解】解：（1）頂點圍繞點旋轉(zhuǎn)180°的對稱點為，，函數(shù)的對稱軸