工科數(shù)學(xué)分析-36泰勒公式課件

1幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式小結(jié)思考題作業(yè)

泰勒(Taylor)（英）1685-1731近似計(jì)算與誤差估計(jì)其它應(yīng)用第六節(jié)泰勒(Taylor)公式第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用泰勒公式的建立1幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式小結(jié)思考題作業(yè)泰勒(2簡(jiǎn)單的,多項(xiàng)式函數(shù)特點(diǎn)(1)易計(jì)算函數(shù)值;(2)導(dǎo)數(shù)與積分仍為多項(xiàng)式;(3)多項(xiàng)式由它的系數(shù)完全確定,又由它在一點(diǎn)的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值確定.而其系數(shù)?用怎樣的多項(xiàng)式去逼近給定的函數(shù)誤差又如何呢?一、泰勒公式的建立熟悉的函數(shù)來(lái)近似代替復(fù)雜函數(shù).—

應(yīng)用用多項(xiàng)式近似表示函數(shù)理論分析近似計(jì)算泰勒公式2簡(jiǎn)單的,多項(xiàng)式函數(shù)特點(diǎn)(1)易計(jì)算函數(shù)值;(2)導(dǎo)數(shù)與積分3回想微分一次多項(xiàng)式泰勒公式3回想微分一次多項(xiàng)式泰勒公式4（如下圖）如

以直代曲泰勒公式4（如下圖）如以直代曲泰勒公式5需要解決的問(wèn)題如何提高精度?如何估計(jì)誤差?不足1.精確度不高；2.誤差不能定量的估計(jì).希望一次多項(xiàng)式用適當(dāng)?shù)母叽味囗?xiàng)式泰勒公式誤差是的高階無(wú)窮小問(wèn)題(1)

系數(shù)怎么定?(2)

誤差(如何估計(jì))表達(dá)式是什么?5需要解決的問(wèn)題如何提高精度?如何估計(jì)誤差?不足1.精6猜想2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來(lái)越好1.若在點(diǎn)相交1.n次多項(xiàng)式系數(shù)的確定泰勒公式6猜想2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來(lái)越好17假設(shè)泰勒公式7假設(shè)泰勒公式8同理可得即泰勒公式8同理可得即泰勒公式9從而泰勒公式9從而泰勒公式10說(shuō)明:有直到n階導(dǎo)數(shù)時(shí),多項(xiàng)式泰勒公式有相同的函數(shù)值及直到n階導(dǎo)數(shù)值.從而稱為n階泰勒多項(xiàng)式.稱為泰勒系數(shù).10說(shuō)明:有直到n階導(dǎo)數(shù)時(shí),多項(xiàng)式泰勒公式有相同的函數(shù)值及直11公式稱為n階泰勒公式.稱為n階余項(xiàng).注意:泰勒公式11公式稱為n階泰勒公式.稱為n階余項(xiàng).注意:泰勒公式12下面給出帶皮亞諾(Peano)余項(xiàng)的泰勒公式.定理1(帶皮亞諾(Peano)余項(xiàng)的泰勒公式)設(shè)則帶有皮亞諾型余項(xiàng)n階泰勒公式泰勒公式12下面給出帶皮亞諾(Peano)余項(xiàng)的泰勒公式.定理113證明:對(duì)于連續(xù)地用n-1次落必達(dá)法則,最后一次用定義即可證明.泰勒公式13證明:對(duì)于連續(xù)地用n-1次落必達(dá)法則,最后一次用定14下面的定理將指明:可以用它的泰勒多項(xiàng)式逼近函數(shù)并估計(jì)它的誤差.泰勒公式14下面的定理將指明:可以用它的泰勒多項(xiàng)式逼近函數(shù)并估計(jì)它的15定理2(帶拉格朗日(Largrange)余項(xiàng)的泰勒公式)設(shè)則泰勒(Taylor)中值定理泰勒公式15定理2(帶拉格朗日(Largrange)余項(xiàng)的泰勒公16分析即證也即證其中泰勒公式16分析即證也即證其中泰勒公式17證令由要求泰勒公式17證令由要求泰勒公式18

柯西定理

柯西定理用1次用2次泰勒公式18柯西定理柯西定理用1次用2次泰勒公式19如此下去,得用n+1次柯西定理,注意到即可得泰勒公式19如此下去,得用n+1次柯西定理,注意到即可得泰勒公式20拉格朗日型余項(xiàng)帶有拉格朗日型余項(xiàng)泰勒公式20拉格朗日型余項(xiàng)帶有拉格朗日型余項(xiàng)泰勒公式21注意:Taylor公式為即為L(zhǎng)agrange中值公式.則泰勒公式21注意:Taylor公式為即為L(zhǎng)agrange中值公式.則22泰勒公式特別,若則說(shuō)明:隨n的增大可任意小,因此可選取適當(dāng)?shù)膎,使近似代替達(dá)到要求的任意精度.22泰勒公式特別,若則說(shuō)明:隨n的增大可任意小,因此可選取適23皮亞諾型余項(xiàng)1858-1932)皮亞諾(Peano,G.(意)當(dāng)對(duì)余項(xiàng)要求不高時(shí),可用皮亞諾型余項(xiàng)帶有皮亞諾型余項(xiàng)(4)展開(kāi)式是唯一的泰勒公式23皮亞諾型余項(xiàng)1858-1932)皮亞諾(Peano,G.24(5)在泰勒公式中,這時(shí)的泰勒公式,即按x的冪(在零點(diǎn))展開(kāi)的泰勒公式稱為:n階泰勒公式麥克勞林(Maclaurin,C.(英)1698-1746)公式泰勒公式24(5)在泰勒公式中,這時(shí)的泰勒公式,即按x的冪(在零點(diǎn))25麥克勞林(Maclaurin)公式近似公式誤差估計(jì)式為帶有拉格朗日型余項(xiàng)帶有皮亞諾型余項(xiàng)泰勒公式25麥克勞林(Maclaurin)公式近似公式誤差估計(jì)式為帶26解代入上公式,得二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式例1麥克勞林公式.麥克勞林(Maclaurin)公式于是有的近似表達(dá)公式泰勒公式26解代入上公式,得二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式例1麥克勞27有誤差估計(jì)式得到其誤差其誤差泰勒公式27有誤差估計(jì)式得到其誤差其誤差泰勒公式28解例2因?yàn)樘├展剿?8解例2因?yàn)樘├展剿?9誤差為泰勒公式29誤差為泰勒公式30泰勒公式泰勒多項(xiàng)式逼近30泰勒公式泰勒多項(xiàng)式逼近31類似地,有泰勒公式31類似地,有泰勒公式32解練習(xí)泰勒公式一階和三階泰勒公式及相應(yīng)的拉格朗日型余項(xiàng).的一階泰勒公式是其中三階泰勒公式是32解練習(xí)泰勒公式一階和三階泰勒公式及相應(yīng)的拉格朗日型余項(xiàng).33

常用函數(shù)的麥克勞林公式泰勒公式要熟記!33常用函數(shù)的麥克勞林公式泰勒公式要熟記!34泰勒公式34泰勒公式35泰勒公式35泰勒公式36例3

解用間接展開(kāi)的方法較簡(jiǎn)便.兩端同乘x,得

帶拉格朗日型余項(xiàng)的公式展開(kāi)問(wèn)題注一般不能用這種方法.泰勒公式36例3解用間接展開(kāi)的方法較簡(jiǎn)便.兩端同乘x,得37須解決問(wèn)題的類型:(1)已知x和誤差界,要求確定項(xiàng)數(shù)n;(2)

已知項(xiàng)數(shù)n和x,計(jì)算近似值并估計(jì)誤差;(3)已知項(xiàng)數(shù)

n和誤差界,確定公式中

x

的三、近似計(jì)算與誤差估計(jì)適用范圍.泰勒公式37須解決問(wèn)題的類型:(1)已知x和誤差界,要求確定項(xiàng)38例4

解

已知x和誤差界,要求確定項(xiàng)數(shù)n泰勒公式38例4解已知x和誤差界,要求確定項(xiàng)數(shù)n泰勒公式39滿足要求.泰勒公式39滿足要求.泰勒公式40四、其它應(yīng)用常用函數(shù)的泰勒展開(kāi)求例5

型未定式泰勒公式

解

因?yàn)榉帜甘?階無(wú)窮小,所以只要將函數(shù)展開(kāi)到4階無(wú)窮小的項(xiàng)就足以定出所給的極限了.40四、其它應(yīng)用常用函數(shù)的泰勒展開(kāi)求例5型未定式泰勒公式41求極限練習(xí)41求極限練習(xí)42

利用泰勒公式可以證明不等式(多個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值的關(guān)系).例6證明:提示:泰勒公式凸函數(shù)的定義42利用泰勒公式可以證明不等式(多個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值的關(guān)43例7設(shè)上的最小值.求證:提示:

利用泰勒公式可以證明不等式(有關(guān)高階導(dǎo)與函數(shù)值的關(guān)系).泰勒公式43例7設(shè)上的最小值.求證:提示:利用泰勒公式44例8.設(shè)求證:提示:泰勒公式44例8.設(shè)求證:提示:泰勒公式45

利用泰勒公式可以證明不等式(有關(guān)高階導(dǎo)與函數(shù)值的關(guān)系).例9證明:提示:泰勒公式45利用泰勒公式可以證明不等式(有關(guān)高階導(dǎo)與函數(shù)值46五、小結(jié)

多項(xiàng)式局部逼近.

了解泰勒(Taylor)公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用.

泰勒(Taylor)公式的數(shù)學(xué)思想熟記常用函數(shù)的麥克勞林公式;掌握泰勒(Taylor)公式的其他應(yīng)用.泰勒公式46五、小結(jié)多項(xiàng)式局部逼近.了解泰勒(Taylor)公式47解故由于有因顯然,泰勒公式思考題47解故由于有因顯然,泰勒公式思考題48作業(yè)習(xí)題3.6(148頁(yè))5.6.(5)泰勒公式48作業(yè)習(xí)題3.6(148頁(yè))5.6.(5)泰勒公49幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式小結(jié)思考題作業(yè)

泰勒(Taylor)（英）1685-1731近似計(jì)算與誤差估計(jì)其它應(yīng)用第六節(jié)泰勒(Taylor)公式第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用泰勒公式的建立1幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式小結(jié)思考題作業(yè)泰勒(50簡(jiǎn)單的,多項(xiàng)式函數(shù)特點(diǎn)(1)易計(jì)算函數(shù)值;(2)導(dǎo)數(shù)與積分仍為多項(xiàng)式;(3)多項(xiàng)式由它的系數(shù)完全確定,又由它在一點(diǎn)的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值確定.而其系數(shù)?用怎樣的多項(xiàng)式去逼近給定的函數(shù)誤差又如何呢?一、泰勒公式的建立熟悉的函數(shù)來(lái)近似代替復(fù)雜函數(shù).—

應(yīng)用用多項(xiàng)式近似表示函數(shù)理論分析近似計(jì)算泰勒公式2簡(jiǎn)單的,多項(xiàng)式函數(shù)特點(diǎn)(1)易計(jì)算函數(shù)值;(2)導(dǎo)數(shù)與積分51回想微分一次多項(xiàng)式泰勒公式3回想微分一次多項(xiàng)式泰勒公式52（如下圖）如

以直代曲泰勒公式4（如下圖）如以直代曲泰勒公式53需要解決的問(wèn)題如何提高精度?如何估計(jì)誤差?不足1.精確度不高；2.誤差不能定量的估計(jì).希望一次多項(xiàng)式用適當(dāng)?shù)母叽味囗?xiàng)式泰勒公式誤差是的高階無(wú)窮小問(wèn)題(1)

系數(shù)怎么定?(2)

誤差(如何估計(jì))表達(dá)式是什么?5需要解決的問(wèn)題如何提高精度?如何估計(jì)誤差?不足1.精54猜想2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來(lái)越好1.若在點(diǎn)相交1.n次多項(xiàng)式系數(shù)的確定泰勒公式6猜想2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來(lái)越好155假設(shè)泰勒公式7假設(shè)泰勒公式56同理可得即泰勒公式8同理可得即泰勒公式57從而泰勒公式9從而泰勒公式58說(shuō)明:有直到n階導(dǎo)數(shù)時(shí),多項(xiàng)式泰勒公式有相同的函數(shù)值及直到n階導(dǎo)數(shù)值.從而稱為n階泰勒多項(xiàng)式.稱為泰勒系數(shù).10說(shuō)明:有直到n階導(dǎo)數(shù)時(shí),多項(xiàng)式泰勒公式有相同的函數(shù)值及直59公式稱為n階泰勒公式.稱為n階余項(xiàng).注意:泰勒公式11公式稱為n階泰勒公式.稱為n階余項(xiàng).注意:泰勒公式60下面給出帶皮亞諾(Peano)余項(xiàng)的泰勒公式.定理1(帶皮亞諾(Peano)余項(xiàng)的泰勒公式)設(shè)則帶有皮亞諾型余項(xiàng)n階泰勒公式泰勒公式12下面給出帶皮亞諾(Peano)余項(xiàng)的泰勒公式.定理161證明:對(duì)于連續(xù)地用n-1次落必達(dá)法則,最后一次用定義即可證明.泰勒公式13證明:對(duì)于連續(xù)地用n-1次落必達(dá)法則,最后一次用定62下面的定理將指明:可以用它的泰勒多項(xiàng)式逼近函數(shù)并估計(jì)它的誤差.泰勒公式14下面的定理將指明:可以用它的泰勒多項(xiàng)式逼近函數(shù)并估計(jì)它的63定理2(帶拉格朗日(Largrange)余項(xiàng)的泰勒公式)設(shè)則泰勒(Taylor)中值定理泰勒公式15定理2(帶拉格朗日(Largrange)余項(xiàng)的泰勒公64分析即證也即證其中泰勒公式16分析即證也即證其中泰勒公式65證令由要求泰勒公式17證令由要求泰勒公式66

柯西定理

柯西定理用1次用2次泰勒公式18柯西定理柯西定理用1次用2次泰勒公式67如此下去,得用n+1次柯西定理,注意到即可得泰勒公式19如此下去,得用n+1次柯西定理,注意到即可得泰勒公式68拉格朗日型余項(xiàng)帶有拉格朗日型余項(xiàng)泰勒公式20拉格朗日型余項(xiàng)帶有拉格朗日型余項(xiàng)泰勒公式69注意:Taylor公式為即為L(zhǎng)agrange中值公式.則泰勒公式21注意:Taylor公式為即為L(zhǎng)agrange中值公式.則70泰勒公式特別,若則說(shuō)明:隨n的增大可任意小,因此可選取適當(dāng)?shù)膎,使近似代替達(dá)到要求的任意精度.22泰勒公式特別,若則說(shuō)明:隨n的增大可任意小,因此可選取適71皮亞諾型余項(xiàng)1858-1932)皮亞諾(Peano,G.(意)當(dāng)對(duì)余項(xiàng)要求不高時(shí),可用皮亞諾型余項(xiàng)帶有皮亞諾型余項(xiàng)(4)展開(kāi)式是唯一的泰勒公式23皮亞諾型余項(xiàng)1858-1932)皮亞諾(Peano,G.72(5)在泰勒公式中,這時(shí)的泰勒公式,即按x的冪(在零點(diǎn))展開(kāi)的泰勒公式稱為:n階泰勒公式麥克勞林(Maclaurin,C.(英)1698-1746)公式泰勒公式24(5)在泰勒公式中,這時(shí)的泰勒公式,即按x的冪(在零點(diǎn))73麥克勞林(Maclaurin)公式近似公式誤差估計(jì)式為帶有拉格朗日型余項(xiàng)帶有皮亞諾型余項(xiàng)泰勒公式25麥克勞林(Maclaurin)公式近似公式誤差估計(jì)式為帶74解代入上公式,得二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式例1麥克勞林公式.麥克勞林(Maclaurin)公式于是有的近似表達(dá)公式泰勒公式26解代入上公式,得二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式例1麥克勞75有誤差估計(jì)式得到其誤差其誤差泰勒公式27有誤差估計(jì)式得到其誤差其誤差泰勒公式76解例2因?yàn)樘├展剿?8解例2因?yàn)樘├展剿?7誤差為泰勒公式29誤差為泰勒公式78泰勒公式泰勒多項(xiàng)式逼近30泰勒公式泰勒多項(xiàng)式逼近79類似地,有泰勒公式31類似地,有泰勒公式80解練習(xí)泰勒公式一階和三階泰勒公式及相應(yīng)的拉格朗日型余項(xiàng).的一階泰勒公式是其中三階泰勒公式是32解練習(xí)泰勒公式一階和三階泰勒公式及相應(yīng)的拉格朗日型余項(xiàng).81

常用函數(shù)的麥克勞林公式泰勒公式要熟記!33常用函數(shù)的麥克勞林公式泰勒公式要熟記!82泰勒公式34泰勒公式83泰勒公式35泰勒公式84例3

解用間接展開(kāi)的方法較簡(jiǎn)便.兩端同乘x,得

帶拉格朗日型余項(xiàng)的公式展開(kāi)問(wèn)題注一般不能用這種方法.泰勒公式36例3解用間接展開(kāi)的方法較簡(jiǎn)便.兩端同乘x,得85須解決問(wèn)題的類型:(1)已知x和誤差界,要求確定項(xiàng)數(shù)n;(2)

已知項(xiàng)數(shù)n和x,計(jì)算近似值并估計(jì)誤差;(3)已知項(xiàng)數(shù)

n和誤差界,確定公式中

x

的三、近似計(jì)算與誤差估計(jì)適用范圍.泰勒公式37須解決問(wèn)題的類型:(1)已知x和誤差界,要求確定項(xiàng)86例4

解

已知x和誤差界,要求確定項(xiàng)數(shù)n泰勒公式38例4解已知x和誤差界,要求確定項(xiàng)數(shù)n泰勒公式87滿足要求.泰勒公式39滿足要求.泰勒公式88四、其它應(yīng)用常用函數(shù)的泰勒