平面及其方程課件

第五節(jié)平面及其方程平面的點(diǎn)法式方程平面的一般方程兩平面的夾角小結(jié)思考題作業(yè)(plane)點(diǎn)到平面的距離第七章空間解析幾何與向量代數(shù)1第五節(jié)平面及其方程平面的點(diǎn)法式方程平面的一般方程兩平面的

在空間內(nèi),確定一個(gè)平面的幾何條件是多種多樣的.如:點(diǎn)法確定、相交兩直線確定等.不共線的三點(diǎn)確定、平面及其方程2在空間內(nèi),確定一個(gè)平面的幾何如果一非零向量垂直于法線向量的特征：垂直于平面內(nèi)的任一向量.已知設(shè)平面上的任一點(diǎn)為必有一、平面的點(diǎn)法式方程一塊平面可以有許多法向量.一平面,這向量就叫做該平面的法線向量(法向量).平面及其方程3如果一非零向量垂直于法線向量的特征：垂直于平平面的點(diǎn)法式方程平面稱為方程的圖形.平面上的點(diǎn)都滿足上方程,不在平面上的點(diǎn)都不滿足上方程,上方程稱為平面的方程,平面及其方程4平面的點(diǎn)法式方程平面稱為方程的圖形.平面上的點(diǎn)都滿足上方程,解取平面方程為化簡得平面的點(diǎn)法式方程例平面方程.法一平面及其方程5解取平面方程為化簡得平面的點(diǎn)法式方程例平面方程.解所求方程的三點(diǎn)式為平面方程為法二平面及其方程6平面方程.解所求方程的三點(diǎn)式為平面方程為法二平面及其方程6平面的點(diǎn)法式方程

平面的一般方程法向量二、平面的一般方程

任意一個(gè)形如上式的x、y、z的三元一次方程都是平面方程.平面及其方程7平面的點(diǎn)法式方程平面的一般方程法向量二、平面的一般方程平面一般方程的幾種特殊情況平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過軸；平面平行于軸；平面平行于xOy坐標(biāo)面；類似地可討論類似地可討論軸軸xOz面yOz面(由柱面可知)平面的一般方程平面及其方程8平面一般方程的幾種特殊情況平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過軸設(shè)平面為將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得解平面及其方程例設(shè)平面與x,y,z三軸分別交于求此平面方程.平面的截距式方程9設(shè)平面為將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得解平面及其方程例今后,由截距式方程作平面的圖形特別方便!當(dāng)平面不與任何坐標(biāo)面平行,且不過原點(diǎn)時(shí),才有截距式方程.并作圖.?化為截距式方程,平面及其方程平面的截距式方程10今后,由截距式方程作平面的圖形特別方便!設(shè)平面過點(diǎn)及x軸,求其方程.用平面的點(diǎn)法式方程.由點(diǎn)法式方程得平面方程:求法向量練習(xí)解法一即平面及其方程11設(shè)平面過點(diǎn)及x軸,求用待定常數(shù)法.設(shè)平面過點(diǎn)

及x軸,求其方程.即法二設(shè)平面方程是從而平面方程是即從而平面方程是得平面及其方程點(diǎn)(0,0,0)及(1,0,0)在平面上,練習(xí)12用待定常數(shù)法.設(shè)平面過點(diǎn)易知平面上三點(diǎn)O(0,0,0),P(1,0,0),設(shè)M(x,y,z)為平面上的任意一點(diǎn),可得其方程

想一想還有別的方法嗎??答:有!

法三平面及其方程設(shè)平面過點(diǎn)

及x軸,求其方程.練習(xí)根據(jù)三向量OM,

共面的充要條件,有OM0,OP

即13易知平面上三點(diǎn)O(0,0,0),P(1,0,0),

求平面方程常用兩種方法:

利用條件定出其中的待定的常數(shù),此方法也稱待定常數(shù)法.

主要是利用條件用向量代數(shù)的方法找出平面的一個(gè)法向量.(1)用平面的點(diǎn)法式方程.(2)用平面的一般方程.平面及其方程14求平面方程常用兩種方法:利用條件定定義（通常取銳角）兩平面法向量的夾角稱為三、兩平面的夾角平面及其方程兩平面的夾角.15定義（通常取銳角）兩平面法向量的夾角稱為三、兩平面的夾角平面按照兩向量夾角余弦公式有兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：//兩平面垂直、平行的充要條件平面及其方程取銳角16按照兩向量夾角余弦公式有兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：/例研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系:解兩平面相交,夾角平面及其方程17例研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系:解兩平面相交,夾角平兩平面平行但不重合.兩平面平行兩平面重合解解兩平面平行平面及其方程18兩平面平行但不重合.兩平面平行兩平面重合解解兩平面平行平面及例

解所求方程的三點(diǎn)式為三點(diǎn)的平面方程為設(shè)兩平面的交角為則平面及其方程19例解所求方程的三點(diǎn)式為三點(diǎn)的平面方程為設(shè)兩平面的交角為設(shè)平面為所求平面方程為解平面及其方程例1996考研數(shù)學(xué)(一),3分與平面垂直且過原點(diǎn)及點(diǎn)的平面方程為().20設(shè)平面為所求平面方程為解平面及其方程例平面及其方程與平面垂直且過原點(diǎn)及點(diǎn)的平面方程為().解∥平面的點(diǎn)法式方程1996考研數(shù)學(xué)(一),3分21平面及其方程與平面垂直且過原點(diǎn)及點(diǎn)設(shè)所求平面為由所求平面與已知平面平行得(向量平行的充要條件)解平面及其方程例所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程.求平行于平面而與三個(gè)坐標(biāo)面22設(shè)所求平面為由所求平面與已知平面平行得(向量平行的充要條件)代入體積式所求平面方程為平面及其方程所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程.求平行于平面而與三個(gè)坐標(biāo)面23代入體積式所求平面方程為平面及其方程所圍成的四面體體積為一個(gè)取法向量化簡得平面方程為解∥.平面及其方程例求過點(diǎn)(1,1,1)且與平面和平面都垂直的平面方程.24取法向量化簡得平面方程為解∥.平面及其方程例點(diǎn)到平面的垂直距離外一點(diǎn),平面及其方程四、點(diǎn)到平面的距離并作向量即由于25點(diǎn)到平面的垂直距離外一點(diǎn),平面及其方程四、點(diǎn)到平面的距離并作平面及其方程的距離公式為26平面及其方程的距離公式為26點(diǎn)到平面距離公式

填空解平面及其方程27點(diǎn)到平面距離公式填空解平面及其方程27解例求這平面方程.設(shè)所求平面為在已知平面上任取一點(diǎn)或故所求平面為或平面及其方程28解例求這平面方程.設(shè)所求平面為在已知平面上任取一點(diǎn)或故所求平1.

兩平行平面與間距離為(),其的方程分別為:(A)1(B)(C)2(D)21A

選擇題提示∥平面及其方程291.兩平行平面與2.已知平面通過點(diǎn)(k,k,0)與(2k,2k,0),其中k≠0,且垂直于xOy平面,則該平面的一般式方程Ax+By+Cz+D=0的系數(shù)必滿足().a解答分別得平面及其方程302.已知平面通過點(diǎn)(k,k,0)與(2k,2(熟記平面的幾種特殊位置兩平面的夾角點(diǎn)到平面的距離公式平面的點(diǎn)法式方程(兩平面垂直、平行的充要條件)四、小結(jié)平面及其方程(關(guān)鍵確定平面的法向量)平面的一般方程的方程)平面的截距式方程(研究幾何圖形)31(熟記平面的幾種特殊位置兩平面的夾角點(diǎn)到平面的距離公式平面的思考題1平面及其方程如何確定平面的法向量?解答確定平面的法向量是建立平面方程的關(guān)鍵所在,平面法向量的確定要根據(jù)不同的條件采用不同的方法:(1)如果已知點(diǎn)M0(x0,y0,z0)在平面Π上的垂足為M1(x1,y1,z1),則(2)如果平面Π與已知平面平行,則(3)如果平面Π過三點(diǎn)A,B,C,則32思考題1平面及其方程如何確定平面的法向量?解答確定平面的法向思考題2(是非題)平面及其方程非平面在x、y、z軸的截距分別是a、b、c.因?yàn)檫@是一過原點(diǎn)的平面.33思考題2(是非題)平面及其方程非平面在x、y、z軸的截距作業(yè)習(xí)題7-5(329頁)

1.5.8.9.平面及其方程34作業(yè)習(xí)題7-5(329頁)1.5.8.第五節(jié)平面及其方程平面的點(diǎn)法式方程平面的一般方程兩平面的夾角小結(jié)思考題作業(yè)(plane)點(diǎn)到平面的距離第七章空間解析幾何與向量代數(shù)35第五節(jié)平面及其方程平面的點(diǎn)法式方程平面的一般方程兩平面的

在空間內(nèi),確定一個(gè)平面的幾何條件是多種多樣的.如:點(diǎn)法確定、相交兩直線確定等.不共線的三點(diǎn)確定、平面及其方程36在空間內(nèi),確定一個(gè)平面的幾何如果一非零向量垂直于法線向量的特征：垂直于平面內(nèi)的任一向量.已知設(shè)平面上的任一點(diǎn)為必有一、平面的點(diǎn)法式方程一塊平面可以有許多法向量.一平面,這向量就叫做該平面的法線向量(法向量).平面及其方程37如果一非零向量垂直于法線向量的特征：垂直于平平面的點(diǎn)法式方程平面稱為方程的圖形.平面上的點(diǎn)都滿足上方程,不在平面上的點(diǎn)都不滿足上方程,上方程稱為平面的方程,平面及其方程38平面的點(diǎn)法式方程平面稱為方程的圖形.平面上的點(diǎn)都滿足上方程,解取平面方程為化簡得平面的點(diǎn)法式方程例平面方程.法一平面及其方程39解取平面方程為化簡得平面的點(diǎn)法式方程例平面方程.解所求方程的三點(diǎn)式為平面方程為法二平面及其方程40平面方程.解所求方程的三點(diǎn)式為平面方程為法二平面及其方程6平面的點(diǎn)法式方程

平面的一般方程法向量二、平面的一般方程

任意一個(gè)形如上式的x、y、z的三元一次方程都是平面方程.平面及其方程41平面的點(diǎn)法式方程平面的一般方程法向量二、平面的一般方程平面一般方程的幾種特殊情況平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過軸；平面平行于軸；平面平行于xOy坐標(biāo)面；類似地可討論類似地可討論軸軸xOz面yOz面(由柱面可知)平面的一般方程平面及其方程42平面一般方程的幾種特殊情況平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過軸設(shè)平面為將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得解平面及其方程例設(shè)平面與x,y,z三軸分別交于求此平面方程.平面的截距式方程43設(shè)平面為將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得解平面及其方程例今后,由截距式方程作平面的圖形特別方便!當(dāng)平面不與任何坐標(biāo)面平行,且不過原點(diǎn)時(shí),才有截距式方程.并作圖.?化為截距式方程,平面及其方程平面的截距式方程44今后,由截距式方程作平面的圖形特別方便!設(shè)平面過點(diǎn)及x軸,求其方程.用平面的點(diǎn)法式方程.由點(diǎn)法式方程得平面方程:求法向量練習(xí)解法一即平面及其方程45設(shè)平面過點(diǎn)及x軸,求用待定常數(shù)法.設(shè)平面過點(diǎn)

及x軸,求其方程.即法二設(shè)平面方程是從而平面方程是即從而平面方程是得平面及其方程點(diǎn)(0,0,0)及(1,0,0)在平面上,練習(xí)46用待定常數(shù)法.設(shè)平面過點(diǎn)易知平面上三點(diǎn)O(0,0,0),P(1,0,0),設(shè)M(x,y,z)為平面上的任意一點(diǎn),可得其方程

想一想還有別的方法嗎??答:有!

法三平面及其方程設(shè)平面過點(diǎn)

及x軸,求其方程.練習(xí)根據(jù)三向量OM,

共面的充要條件,有OM0,OP

即47易知平面上三點(diǎn)O(0,0,0),P(1,0,0),

求平面方程常用兩種方法:

利用條件定出其中的待定的常數(shù),此方法也稱待定常數(shù)法.

主要是利用條件用向量代數(shù)的方法找出平面的一個(gè)法向量.(1)用平面的點(diǎn)法式方程.(2)用平面的一般方程.平面及其方程48求平面方程常用兩種方法:利用條件定定義（通常取銳角）兩平面法向量的夾角稱為三、兩平面的夾角平面及其方程兩平面的夾角.49定義（通常取銳角）兩平面法向量的夾角稱為三、兩平面的夾角平面按照兩向量夾角余弦公式有兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：//兩平面垂直、平行的充要條件平面及其方程取銳角50按照兩向量夾角余弦公式有兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：/例研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系:解兩平面相交,夾角平面及其方程51例研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系:解兩平面相交,夾角平兩平面平行但不重合.兩平面平行兩平面重合解解兩平面平行平面及其方程52兩平面平行但不重合.兩平面平行兩平面重合解解兩平面平行平面及例

解所求方程的三點(diǎn)式為三點(diǎn)的平面方程為設(shè)兩平面的交角為則平面及其方程53例解所求方程的三點(diǎn)式為三點(diǎn)的平面方程為設(shè)兩平面的交角為設(shè)平面為所求平面方程為解平面及其方程例1996考研數(shù)學(xué)(一),3分與平面垂直且過原點(diǎn)及點(diǎn)的平面方程為().54設(shè)平面為所求平面方程為解平面及其方程例平面及其方程與平面垂直且過原點(diǎn)及點(diǎn)的平面方程為().解∥平面的點(diǎn)法式方程1996考研數(shù)學(xué)(一),3分55平面及其方程與平面垂直且過原點(diǎn)及點(diǎn)設(shè)所求平面為由所求平面與已知平面平行得(向量平行的充要條件)解平面及其方程例所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程.求平行于平面而與三個(gè)坐標(biāo)面56設(shè)所求平面為由所求平面與已知平面平行得(向量平行的充要條件)代入體積式所求平面方程為平面及其方程所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程.求平行于平面而與三個(gè)坐標(biāo)面57代入體積式所求平面方程為平面及其方程所圍成的四面體體積為一個(gè)取法向量化簡得平面方程為解∥.平面及其方程例求過點(diǎn)(1,1,1)且與平面和平面都垂直的平面方程.58取法向量化簡得平面方程為解∥.平面及其方程例點(diǎn)到平面的垂直距離外一點(diǎn),平面及其方程四、點(diǎn)到平面的距離并作向量即由于59點(diǎn)到平面的垂直距離外一點(diǎn),平面及其方程四、點(diǎn)到平面的距離并作平面及其方程的距離公式為60平面及其方程的距離公式為26點(diǎn)到平面距離公式

填空解平面及其方程61點(diǎn)到平面距離公式填空解平面及其方程27解例求這平面方程.設(shè)所求平面為在已知平面上任取一點(diǎn)或故所求平面為或平面及其方程62解例求這平面方程.設(shè)所求平面為在已知平面上任取一點(diǎn)或故所求平1.

兩平行平面與間距離為(),其的方程分別為:(A)1(B)(C)2