應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)-總體和樣本

在一個(gè)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中，把研究的對(duì)象全體稱為總體.構(gòu)成總體的每個(gè)成員稱為個(gè)體.1.總體總體和樣本

然而在實(shí)際問(wèn)題中，人們關(guān)心的僅僅是總體中個(gè)體的某一項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)X，或某幾項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)(Y,Z).

因而將個(gè)體所具有的數(shù)量指標(biāo)的全體作為總體。

而將構(gòu)成總體的每個(gè)成員的指標(biāo)作為一個(gè)個(gè)體。

由于每個(gè)個(gè)體的出現(xiàn)是隨機(jī)的，所以相應(yīng)的數(shù)量指標(biāo)的出現(xiàn)也帶有隨機(jī)性.從而可以把這種數(shù)量指標(biāo)看作一個(gè)隨機(jī)變量，該隨機(jī)變量的分布就是該數(shù)量指標(biāo)在總體中的分布.

這樣，總體就可以用一個(gè)隨機(jī)變量X（或(Y,Z)）及其分布來(lái)描述.

為推斷總體分布及其各種特征，按一定規(guī)則從總體中抽取若干個(gè)體進(jìn)行觀察試驗(yàn)，以獲得有關(guān)總體的信息，這一抽取過(guò)程稱為“抽樣”，所抽取的部分個(gè)體稱為樣本.樣本中所包含的個(gè)體數(shù)目稱為樣本容量.2.樣本從國(guó)產(chǎn)轎車中抽5輛進(jìn)行耗油量試驗(yàn)樣本容量為5試驗(yàn)后隨機(jī)抽5輛：用X1,…,X5表示要抽的第1到第5輛汽車的耗油量。此時(shí)，(X1,X2,…,X5)是5

維隨機(jī)變量耗油量x2得到的是5個(gè)具體的數(shù)(x1,x2,…,x5)耗油量x1耗油量x3耗油量x4耗油量x5一旦經(jīng)過(guò)試驗(yàn)或觀測(cè)后，得到的是n個(gè)具體的數(shù)(x1,x2,…,xn)，稱為樣本的觀察值，簡(jiǎn)稱樣本值

.容量為n的樣本可以看作n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn).

再如，我們從某班大學(xué)生中欲抽取10人測(cè)量身高，用X1,X2,…,X10分別表示欲抽取的10個(gè)人的身高。此時(shí)，樣本為（X1,X2,…,X10）。進(jìn)行試驗(yàn)后，得到10個(gè)數(shù)，(x1,x2,…,x10)，它們是樣本取到的值，即樣本值.

由于抽樣的目的是為了研究總體的分布特性，因而要求抽取的樣本能夠較好地反映總體的有關(guān)信息，這就必須對(duì)抽樣方法提出一定的要求。2.獨(dú)立性：X1,X2,…,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.理想的要求有兩個(gè)方面:1.代表性：X1,X2,…,Xn中每一個(gè)都與總體X有相同的分布.

滿足上述兩點(diǎn)要求的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。當(dāng)說(shuō)到“X1,X2,…,Xn是取自某總體的樣本”時(shí)，若不特別說(shuō)明，就指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.

若總體X的分布函數(shù)為F(x)，則其簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x1,x2,…,xn)=

若總體X的概率密度為f(x)，則其簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布密度為=f(x1)f(x2)…f(xn)

f(x1,x2,…,xn)=

=F(x1)F(x2)…F(xn)

若總體X為離散型隨機(jī)變量，其分布律（也稱為概率函數(shù)）為f(x)，即則其簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X1,X2,…,Xn的聯(lián)合概率函數(shù)為

樣本的向量形式(X1,...

,Xn)是多維隨機(jī)變量。它的聯(lián)合分布也稱為樣本分布。例1

設(shè)總體X具有概率密度解：X1,X2,…,Xn的聯(lián)合概率密度為其中>0,X1,X2,…,Xn為取自該總體的樣本，求X1,X2,…,Xn的聯(lián)合概率密度例2

設(shè)總體X服從參數(shù)為p的二點(diǎn)分布，X1,X2,…,Xn為取自該總體的樣本，求X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布律解：

由于X的概率函數(shù)為所以X1,X2,…,Xn的聯(lián)合概率函數(shù)為

在例1中,總體分布中的

是確定分布的常數(shù)，即這些常數(shù)的不同值對(duì)應(yīng)于不同的總體分布，只要知道了它們的值，就可以把相應(yīng)的總體分布確定下來(lái)。稱其為總體分布中的參數(shù)。若參數(shù)的值未知，則把它所有可能的取值構(gòu)成的集合稱為參數(shù)空間，常用表示，該例中的參數(shù)空間為

={：

>0}。例1

設(shè)總體X具有概率密度其中>0,X1,X2,…,Xn為取自該總體的樣本。

由于不同的參數(shù)值一般對(duì)應(yīng)于不同的總體分布，參數(shù)空間中的所有可能的參數(shù)取值對(duì)應(yīng)于一族總體分布，稱該分布族為總體分布族。同樣，不同的參數(shù)值也對(duì)應(yīng)不同的樣本分布，這些分布構(gòu)成樣本分布族。例1的總體分布族為樣本分布族為

一般地，設(shè)總體概率密度函數(shù)(或概率函數(shù))為f(x,

)，其中含有未知參數(shù)

(可能是由多個(gè)參數(shù)構(gòu)成的向量)，參數(shù)空間為，則總體分布族為{f(x,):}，簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的樣本分布族為

樣本分布族及其參數(shù)空間給出了所考慮的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的總范圍，稱樣本分布族為統(tǒng)計(jì)模型。在例1中，總體分布中的參數(shù)未知，所以統(tǒng)計(jì)模型的建立歸結(jié)為對(duì)

的推斷。類似這種總體