公司財(cái)務(wù)管理課件講義

《公司財(cái)務(wù)》

CorporateFinance《公司財(cái)務(wù)》

CorporateFinance第三部分折現(xiàn)現(xiàn)金流量估價(jià)第5章貨幣的時(shí)間價(jià)值第6章貼現(xiàn)現(xiàn)金流量估價(jià)

第三部分折現(xiàn)現(xiàn)金流量估價(jià)第5章貨幣的時(shí)間價(jià)值第5章貨幣的時(shí)間價(jià)值5.1終值與復(fù)利5.2現(xiàn)值與貼現(xiàn)5.3現(xiàn)值與終值的進(jìn)一步講解第5章貨幣的時(shí)間價(jià)值5.1終值與復(fù)利快速閱讀現(xiàn)金流量的終值是如何計(jì)算的?現(xiàn)金流量的現(xiàn)值是如何計(jì)算的？如何計(jì)算投資回報(bào)率？如何計(jì)算一項(xiàng)投資的價(jià)值增長到期望值所需要的時(shí)間？復(fù)利和單利的含義快速閱讀現(xiàn)金流量的終值是如何計(jì)算的?TimeandMoneyToday1Year2YearsToday1Year2YearsABWhichwouldyouratherreceive:AorB?TimeandMoneyToday1Year2Yea5-6TimeandMoneyMoneyreceivedovertimeisnotequalinvalue.Today1Year2YearsSohowdowe“value”futuremoney?5-6TimeandMoneyMoneyreceive5.1終值和復(fù)利：單期投資的情形終值（FutureValue,FV）：指在一定的利率水平下，現(xiàn)在一定量的資金在未來某一時(shí)點(diǎn)上的價(jià)值。如果你投資$10,000，收益率為5%，一年后你的投資將增長為$10,500。其中，

$500是利息($10,000×0.05)

$10,000

是本金償還($10,000×1)$10,500是本息合計(jì)，可由下式計(jì)算得到：$10,500=$10,000×(1.05)該投資在期末的本息合計(jì)金額被稱為終值。5.1終值和復(fù)利：單期投資的情形終值（FutureVa5.1終值和復(fù)利：多期投資的情形終值和復(fù)利計(jì)算一項(xiàng)多期投資的終值的一般計(jì)算公式可以寫為：FV=C0×(1+r)T

其中：

C0

是時(shí)間0的現(xiàn)金流量

r是適用的利率

T是現(xiàn)金投資的時(shí)期數(shù)(1+r)T被叫做終值系數(shù)（FutureValueFactor），縮寫為FVIF(r,t)。5.1終值和復(fù)利：多期投資的情形終值和復(fù)利計(jì)算5.1終值和復(fù)利：多期投資的情形假定JayRitter投資Modiglianicompany首次公開發(fā)行的新股。Modigliani當(dāng)前支付了$1.10的股利，預(yù)期未來五年里股利將每年增長40%。在五年后股利將為多少？FV=C0×(1+r)T$5.92=$1.10×(1.40)5注意在第五年的股利$5.92大大高于初始的股利加上初始股利$1.10的五次40%的增長之和：$5.92>$1.10+5×[$1.10×0.40]=$3.30

這是由于復(fù)利（compounding）的緣故，即利息的再投資。5.1終值和復(fù)利：多期投資的情形假定JayRitte5.1終值和復(fù)利0123455.1終值和復(fù)利0123455.1終值和復(fù)利終值和復(fù)利計(jì)算如果資金按復(fù)利（compoundinterest）計(jì)算，利息將被進(jìn)行再投資；而在單利（simpleinterest）情況下，利息沒有進(jìn)行再投資，每期只賺取初始本金的利息。$1×(1+r)2=1+2r+r2>1+2r如果投資金額越大，期限越長，復(fù)利的威力就越大。$V×(1+r)n>>V+V×r×n附錄表A-1給出了“1元錢在T期末的復(fù)利值（終值系數(shù)）”。我們可以由最初的投資額、利率，計(jì)算終值，也可以由初始投資額、終值，求利率。5.1終值和復(fù)利終值和復(fù)利計(jì)算5-12QuickQuizSupposeyouhave$500toinvestandyoubelievethatyoucanearn8%peryearoverthenext15years.Howmuchwouldyouhaveattheendof15yearsusingcompoundinterest?Howmuchwouldyouhaveusingsimpleinterest?500×(1+8%)15=500+500×8%×15=5-12QuickQuizSupposeyouhave5.2現(xiàn)值和貼現(xiàn)：

單期現(xiàn)值現(xiàn)值（PresentValue,PV）：現(xiàn)值就是資金折算至基準(zhǔn)年的數(shù)值。我們經(jīng)常用現(xiàn)值來估算債券、股票等金融資產(chǎn)的價(jià)值，也用現(xiàn)值估算項(xiàng)目的價(jià)值。如果你想在一年后保證得到$10,000，假定利率為5%，你的投資在今天的價(jià)值是$9,523.81。

一位借款者今天需要預(yù)留以便在一年后能夠滿足承諾的$10,000支付的金額被稱作$10,000的現(xiàn)值(PV)。

注意，$10,000=$9,523.81×(1.05)5.2現(xiàn)值和貼現(xiàn)：單期現(xiàn)值現(xiàn)值（PresentValue5.2現(xiàn)值和貼現(xiàn)：現(xiàn)值和貼現(xiàn)計(jì)算未來現(xiàn)金流量的現(xiàn)值的過程叫做“貼現(xiàn)”。它是復(fù)利計(jì)算的相反過程。一項(xiàng)多期投資的現(xiàn)值的一般計(jì)算公式可以寫為：

其中：CT是在T期的現(xiàn)金流量

r是適用的利率1/(1+r)T被叫做現(xiàn)值系數(shù)（PresentValueFactor），縮寫為PVIF(r,t)。附錄表A-2給出了“T期后得到的1元錢的現(xiàn)值（現(xiàn)值系數(shù)）”。5.2現(xiàn)值和貼現(xiàn)：現(xiàn)值和貼現(xiàn)5.2現(xiàn)值和貼現(xiàn)：如果當(dāng)前利率為15%，一個(gè)投資者為了在五年后能獲得$20,000，現(xiàn)在必須投資多少？012345$20,000PV5.2現(xiàn)值和貼現(xiàn)：如果當(dāng)前利率為15%，一個(gè)投資者為了在5.3現(xiàn)值和終值的關(guān)系在利率和期數(shù)相同時(shí)，現(xiàn)值系數(shù)恰好是終值系數(shù)的倒數(shù)。FV=PV(1+r)tPV=FV/(1+r)tPV,FV,r,t四個(gè)變量，只要知道其中3個(gè)，就可以求出另外一個(gè)。復(fù)利與終值對應(yīng)貼現(xiàn)與現(xiàn)值對應(yīng)5.3現(xiàn)值和終值的關(guān)系在利率和期數(shù)相同時(shí)，現(xiàn)值系數(shù)恰好是5.3確定貼現(xiàn)率假設(shè)在12年后當(dāng)你的孩子進(jìn)入大學(xué)時(shí)大學(xué)的學(xué)費(fèi)總額將達(dá)$50,000。你現(xiàn)在有$5,000作投資。為了夠支付你孩子大學(xué)教育的費(fèi)用，你在投資上必須掙得多少利率？大約21.15%.計(jì)算公式：r=(FV/PV)1/t–15.3確定貼現(xiàn)率假設(shè)在12年后當(dāng)你的孩子進(jìn)入大學(xué)時(shí)大學(xué)的學(xué)5.3求解期數(shù)如果我們今天將$5,000存在一個(gè)支付10%利率的賬戶里，它需要經(jīng)過多長時(shí)間能增值到$10,000？計(jì)算公式：t=ln(FV/PV)/ln(1+r)5.3求解期數(shù)如果我們今天將$5,000存在一個(gè)支付5-19QuickQuiz

Youarelookingataninvestmentthatwillpay$1,200in5yearsifyouinvest$1,000today.Whatistheimpliedrateofinterest?r=(1,200/1,000)1/5–1=.03714=3.714%Youwanttopurchaseanewcar,andyouarewillingtopay$20,000.Ifyoucaninvestat10%peryearandyoucurrentlyhave$15,000,howlongwillitbebeforeyouhaveenoughmoneytopaycashforthecar?r=10;PV=-15,000;FV=20,000T=3.02years5-19QuickQuiz Youarelooking5-20FinanceFormulas5-20FinanceFormulas關(guān)鍵概念與技能概念終值FutureValue；現(xiàn)值PresentValue；復(fù)利CompoundInterest；單利SimpleInterest貼現(xiàn)Discounting；貼現(xiàn)率DiscountRate知道如何計(jì)算現(xiàn)值、終值、貼現(xiàn)率、期數(shù)FV=PV(1+r)tPV=FV/(1+r)tr=(FV/PV)1/t–1t=ln(FV/PV)/ln(1+r)關(guān)鍵概念與技能概念第6章貼現(xiàn)現(xiàn)金流量估值6.1多期現(xiàn)金流量的現(xiàn)值和終值6.2評(píng)估均衡現(xiàn)金流量：年金和永續(xù)年金6.3比較利率：復(fù)利的影響6.4貸款種類與分期償還貸款

第6章貼現(xiàn)現(xiàn)金流量估值6.1多期現(xiàn)金流量的現(xiàn)值和終值快速閱讀多期現(xiàn)金流量的現(xiàn)值和終值是如何計(jì)算的？

什么是實(shí)際利率（EAR）？年利率（APR）和實(shí)際年利率（EAR）之間的關(guān)系？

什么是永續(xù)年金？什么是年金？如何計(jì)算其現(xiàn)值和終值。如何計(jì)算貸款的支付額以及貸款的利率?？焖匍喿x多期現(xiàn)金流量的現(xiàn)值和終值是如何計(jì)算的？6-24單期現(xiàn)金流量Today1

2

345FVPVToday1

2

345FVPV復(fù)利(Compounding)貼現(xiàn)(Discounting)在前面的章節(jié)中，我們介紹了單期現(xiàn)金流量的現(xiàn)值和終值。但現(xiàn)實(shí)生活中，大多數(shù)投資都涉及多期現(xiàn)金流的問題。6-24單期現(xiàn)金流量Today12345FVPVToda6.1多期現(xiàn)金流的終值假定你今天在一個(gè)利率為6%的賬戶中存入了$1,000。1年后你將再存入$500，2年后你將再次存入$700。

2年后你的賬戶中將有多少錢（在你存入$700后）？Today1Year2Years$1,000$500$700?6-256.1多期現(xiàn)金流的終值假定你今天在一個(gè)利率為6%的賬戶中方法一：分別計(jì)算每筆現(xiàn)金流的終值，再匯總。

Today1Year2Years$1,000$500$700$1,124$530$2,3546.1多期現(xiàn)金流的終值6-26方法一：分別計(jì)算每筆現(xiàn)金流的終值，再匯總。Today1Ye6-27Today1Year2Years$1,000$500$700$1,060$1,654$2,354$1,560方法二：將每期累計(jì)現(xiàn)金流每次向前復(fù)利一年，直至期末。6.1多期現(xiàn)金流的終值6-27Today1Year2Years$1,000$6-28在不增加存款的情況下，這個(gè)賬戶在第5年末將有多少資金?Today1

2

345$1,000?5007006.1多期現(xiàn)金流的終值6-28在不增加存款的情況下，這個(gè)賬戶在第5年末將有多少資金6-29直接將第2年末的資金復(fù)利到第5年末Today1

2

345$2,803$1,000500700$2,3546.1多期現(xiàn)金流的終值6-29直接將第2年末的資金復(fù)利到第5年末Today126-30計(jì)算每筆現(xiàn)金流在第5年末的終值，再匯總。Today1

2

345$2,803$1,000500700$1,338$631$8336.1多期現(xiàn)金流的終值6-30計(jì)算每筆現(xiàn)金流在第5年末的終值，再匯總。Today16.1多期現(xiàn)金流的現(xiàn)值和計(jì)算終值一樣，有兩種方法可以計(jì)算現(xiàn)值：可以每次貼現(xiàn)一期，或者將每筆現(xiàn)金流單獨(dú)貼現(xiàn)并且最后匯總。

6-31Today1

2

34200?4006008006.1多期現(xiàn)金流的現(xiàn)值和計(jì)算終值一樣，有兩種方法可以計(jì)算現(xiàn)6-32將每筆現(xiàn)金流單獨(dú)貼現(xiàn)，并進(jìn)行匯總。請用另外一種方法計(jì)算現(xiàn)值，并比較哪種方法更便捷。Today1

2

34200400600800178.57318.88427.07508.411,432.936.1多期現(xiàn)金流的現(xiàn)值6-32將每筆現(xiàn)金流單獨(dú)貼現(xiàn)，并進(jìn)行匯總。Today126-33QuickQuizSupposeyouarelookingatthefollowingpossiblecashflows:Year1CF=$100;Years2and3CFs=$200;Years4and5CFs=$300.Therequireddiscountrateis7%.Whatisthevalueofthecashflowsatyear5?Whatisthevalueofthecashflowstoday?Whatisthevalueofthecashflowsatyear3?Today12345$?100200$3002003006-33QuickQuizSupposeyouare6.2年金和永續(xù)年金年金（Annuity）是一系列固定、有規(guī)律、持續(xù)一段時(shí)期的現(xiàn)金流量。普通年金（OrdinaryAnnuity）是指從第一期起，在一定時(shí)期內(nèi)每期期末等額收付的系列款項(xiàng)，又稱為后付年金。即付年金（AnnuityDue）是指從第一期起，在一定時(shí)期內(nèi)每期期初等額收付的系列款項(xiàng)，又稱先付年金。

永續(xù)年金（Perpetuity）是指無限期等額收付的特種年金。它是普通年金的特殊形式，即期限趨于無窮的普通年金。6.2年金和永續(xù)年金年金（Annuity）是一系列固定、有6.2年金和永續(xù)年金年金現(xiàn)值和終值的計(jì)算公式：01C2C3C普通年金現(xiàn)值的計(jì)算公式：TC普通年金終值的計(jì)算公式：6.2年金和永續(xù)年金年金現(xiàn)值和終值的計(jì)算公式：01C2C36.2年金和永續(xù)年金永續(xù)年金是一系列沒有止境的固定的現(xiàn)金流量。0…1C2C3C

永續(xù)年金現(xiàn)值的計(jì)算公式：6.2年金和永續(xù)年金永續(xù)年金是一系列沒有止境的固定的現(xiàn)金流6.2年金：計(jì)算公式一個(gè)年金可以看作是兩個(gè)永久年金之差：一個(gè)自時(shí)間1開始的永久年金減去一個(gè)自時(shí)間T+1開始的永久年金。01C2C3CTC年金系數(shù)：附錄表A-3給出了“T期內(nèi)均勻收付1元錢現(xiàn)金流量的現(xiàn)值（年金系數(shù)）”。6.2年金：計(jì)算公式一個(gè)年金可以看作是兩個(gè)永久年金之差：6.2年金：例子如果你可以負(fù)擔(dān)每月$400的汽車分期付款，如果36個(gè)月的貸款的利率是7%，你可以買得起多少價(jià)格的汽車？01$4002$4003$40036$4006.2年金：例子如果你可以負(fù)擔(dān)每月$400的汽車分期付款6.2永續(xù)年金：例子一張英國永久公債（consol）承諾每年支付￡15直到永遠(yuǎn)，它的價(jià)值是多少？利率是10%。0…1￡152￡153￡156.2永續(xù)年金：例子一張英國永久公債（consol）承諾6-406.2年金和永續(xù)年金：求解付款額

假定你想借$20,000來買新車。你的借款利率為8%，按月復(fù)利計(jì)息。

(8/12=.66667%permonth).

Ifyoutakea4-yearloan,whatisyourmonthlypayment?4(12)=48T;20,000PV;0.66667r;C=$488.266-406.2年金和永續(xù)年金：求解付款額 假定你想借$26-41

假定你可以以5%的借款利率借入$2,000，同時(shí)你打算每年償還$734.42。

Howlongbeforeyoupayofftheloan?5r2,000PV-734.42CT=3years6.2年金和永續(xù)年金：求解支付期數(shù)6-41 假定你可以以5%的借款利率借入$2,000，同時(shí)你6-42

Supposeyouborrow$25,000fromyourparentstobuyacar.Youagreetopay$207.58permonthfor60months.

Whatisthemonthlyinterestrate?60T25,000PV-207.58Cr=2.05%6.2年金和永續(xù)年金：求貼現(xiàn)率求解的方法只有查表或是試錯(cuò)法。6-42 Supposeyouborrow$25,006-43QuickQuizYouwanttoreceive$5,000permonthforthenext5years.Howmuchwouldyouneedtodeposittodayifyoucanearn0.75%permonth?Whatmonthlyratewouldyouneedtoearnifyouonlyhave$200,000todeposit?Supposeyouhave$200,000todepositandcanearn0.75%permonth.Howmanymonthscouldyoureceivethe$5,000payment?Howmuchcouldyoureceiveeverymonthfor5years?6-43QuickQuizYouwanttorec6-44

假定你每年在你的退休基金中存入$2,000?；鸬氖找媛蕿?.5%，那么40年后你的退休基金中將有多少錢？40N7.5r-2,000CFV=$454,513.046.2年金的終值6-44 假定你每年在你的退休基金中存入$2,000。基金的6-45

假定你每年年初在一個(gè)年利率為8%的賬戶存入$10,000。請計(jì)算這筆年金的現(xiàn)值和在第3年末的終值。

FV=$35,061.12

PV=$27,832.656.2.3預(yù)付年金0123100001000010000計(jì)算方法：計(jì)算每筆現(xiàn)金流的現(xiàn)值或終值，再匯總。當(dāng)現(xiàn)金流大小（C）相同時(shí)：預(yù)付年金現(xiàn)值=普通年金現(xiàn)值*（1+r）預(yù)付年金終值=普通年金終值*（1+r）6-45 假定你每年年初在一個(gè)年利率為8%的賬戶存入$10,6-46永續(xù)年金現(xiàn)值的計(jì)算公式：PV=C/rYouareconsideringpreferredstockthatpaysaquarterlydividendof$1.50.Ifyourdesiredreturnis3%perquarter,howmuchwouldyoubewillingtopay?Youwanttohave$1milliontouseforretirementin35years.Ifyoucanearn1%permonth,howmuchdoyouneedtodepositonamonthlybasisifthefirstpaymentismadeinonemonth?Whatifthefirstpaymentismadetoday?6.2.3永續(xù)年金6-46永續(xù)年金現(xiàn)值的計(jì)算公式：PV=C/r6.2.6-47TermsandFormulas6-47TermsandFormulas6.3增長年金(GrowingAnnuity)增長年金是一種在有限時(shí)期內(nèi)增長的現(xiàn)金流量。01C增長年金現(xiàn)值的計(jì)算公式：2C×(1+g)3C×(1+g)2TC×(1+g)T-16.3增長年金(GrowingAnnuity)增長年6.2增長年金(GrowingAnnuity)增長年金的計(jì)算不能查表，我們必須直接計(jì)算公式中的每一項(xiàng)。一項(xiàng)40年期的定額給付養(yǎng)老金計(jì)劃第一年支付$20,000，以后每年增長3%。如果貼現(xiàn)率是10%，該養(yǎng)老金的現(xiàn)值是多少？01$20,0002$20,000×(1.03)40$20,000×(1.03)396.2增長年金(GrowingAnnuity)增長年金6.2永續(xù)增長年金(GrowingPerpetuity)永續(xù)增長年金是一系列沒有止境的且具有永續(xù)增長趨勢的現(xiàn)金流量。0…1C2C×(1+g)3C×(1+g)2永續(xù)增長年金現(xiàn)值的計(jì)算公式：6.2永續(xù)增長年金(GrowingPerpetuity6.2永續(xù)增長年金：例子預(yù)期下一年的股利是$1.30，并預(yù)期以5%永久增長。如果貼現(xiàn)率是10%，該股利流量的現(xiàn)值是多少？0…1$1.302$1.30×(1.05)3$1.30×(1.05)26.2永續(xù)增長年金：例子預(yù)期下一年的股利是$1.30，并6.2永續(xù)增長年金(GrowingPerpetuity)關(guān)于永續(xù)增長年金現(xiàn)值的計(jì)算公式需注意三個(gè)問題：1）公式的分子C是現(xiàn)在開始起一期后收到的現(xiàn)金流量，而不是現(xiàn)在的現(xiàn)金流量。2）利率r一定要高于增長率g。3）假定現(xiàn)金流量是有規(guī)律而且是確定的。一般假定現(xiàn)金流量的收付時(shí)間是在某一確定的時(shí)期或年末（期末）。6.2永續(xù)增長年金(GrowingPerpetuity6.3復(fù)利計(jì)息期數(shù)如果在T年中每年對一項(xiàng)投資復(fù)利m次，則在T期末的財(cái)富終值將為：

年利率(AnnualPercentageRate)又稱報(bào)價(jià)利率：r實(shí)際年利率(EffectiveAnnualRate)：[1+r/m]m–1年利率只有在給出計(jì)息間隔期的情況下才有意義。如果沒有給出計(jì)息間隔期，就不能計(jì)算終值。實(shí)際利率本身就有很明確的意義，它不需要給出復(fù)利計(jì)息的間隔期。6.3復(fù)利計(jì)息期數(shù)如果在T年中每年對一項(xiàng)投資復(fù)利m次6.3復(fù)利計(jì)息期數(shù)：實(shí)際年利率假定你將$50投資三年，每半年復(fù)利一次，投資報(bào)酬率為12%，則3年后你的投資將增長為：我們不由會(huì)問，“這項(xiàng)投資的實(shí)際年利率究竟是多少？”所謂實(shí)際年利率（TheeffectiveAnnualRate,EAR)，就是能在3年后為我們帶來同樣終值的投資的年報(bào)酬率因此，按12.36%的利率每年復(fù)利一次的投資與按12%的利率半年復(fù)利一次的投資是等效的。6.3復(fù)利計(jì)息期數(shù)：實(shí)際年利率假定你將$50投資三年，每6.3復(fù)利計(jì)息期數(shù)：實(shí)際年利率對年百分比利率（APR）為18%但每月復(fù)利一次的貸款，其實(shí)際利率是多少？現(xiàn)在我們的貸款的月利率為1?%.這同年利率為19.56%的貸款是等價(jià)的：6.3復(fù)利計(jì)息期數(shù)：實(shí)際年利率對年百分比利率（APR）為6.3復(fù)利計(jì)息期數(shù)：連續(xù)復(fù)利連續(xù)復(fù)利計(jì)息：在無限短的時(shí)間間隔按復(fù)利計(jì)息。用r表示報(bào)價(jià)利率或年利率，在連續(xù)復(fù)利下：

EAR=er

–1連續(xù)復(fù)利計(jì)息T年后的終值：FV=C0×erT

其中：

C0

是時(shí)間0的現(xiàn)金流量

r是年度利率

T

是現(xiàn)金投資的時(shí)期數(shù)

e

是一個(gè)常數(shù)，大約等于2.718。附錄表A-5給出了“1元錢連續(xù)復(fù)利計(jì)息在T期后的終值”。附錄表A-6給出了“連續(xù)復(fù)利計(jì)息在T期后的1元錢的現(xiàn)值”。6.3復(fù)利計(jì)息期數(shù)：連續(xù)復(fù)利連續(xù)復(fù)利計(jì)息：在無限短的時(shí)間6.4分期攤還貸款貸款的最簡單形式是純貼現(xiàn)貸款（PureDiscountLoans）。借款人今天得到貸款金額，然后在未來某個(gè)時(shí)間償還一整筆錢（包含本金和利息）給貸款人。純利息貸款（Interest-OnlyLoans），即分期付息到期還本貸款。要求借款人每期支付利息，然后在貸款到期時(shí)一次性支付本金。分期償還貸款（AmortizedLoans）要求借款人分期償還本金和未還本金部分的應(yīng)付利息。分期等本攤還貸款，每期償還利息加上一個(gè)固定金額的本金（等額本金）分期等額攤還貸款，每期償還固定金額的本金和利息（等額本息）6.4分期攤還貸款貸款的最簡單形式是純貼現(xiàn)貸款（Pure6.4純貼現(xiàn)貸款短期國庫券就是非常典型的純貼現(xiàn)貸款。本金和利息都在將來某個(gè)日期一起支付，其間不付任何利息。如果某短期國庫券承諾在12個(gè)月付你$10,000，市場利率為7%，則這種國庫券在市場中可以被賣到什么價(jià)格？PV=10,000/1.07=9,345.796.4純貼現(xiàn)貸款短期國庫券就是非常典型的純貼現(xiàn)貸款。本金和6.4純利息貸款考慮一項(xiàng)5年期，分期付息到期還本的貸款，假定利率為7%，本金$10,000，利息按年支付。借入這筆貸款后的現(xiàn)金流特點(diǎn)是什么？第1-4年:每年末支付利息7%*(10,000)=700第5年末：利息+本金=10,700這種現(xiàn)金流特點(diǎn)與公司債券類似，我們在后續(xù)章節(jié)中還會(huì)詳細(xì)予以討論。6.4純利息貸款考慮一項(xiàng)5年期，分期付息到期還本的貸款，假6.4分期等本攤還貸款分期等本攤還貸款，即等額本金貸款。借款人每期償還利息加上一個(gè)固定金額的本金考慮一筆$50,000，利率為8%，10年期的貸款。貸款協(xié)議要求公司每年償還$5,000本金和當(dāng)年應(yīng)計(jì)的利息。

6.4分期等本攤還貸款分期等本攤還貸款，即等額本金貸款。借6.4分期等本攤還貸款（總還款額=72000）YearBeginningBalanceInterestPaymentPrincipalPaymentTotalPaymentEndingBalance150,0004,0005,0009,00045,000245,0003,6005,0008,60040,000340,0003,2005,0008,20035,000435,0002,8005,0007,80030,000530,0002,4005,0007,40025,000625,0002,0005,0007,00020,000720,0001,6005,0006,60015,000815,0001,2005,0006,20010,000910,0008005,0005,8005,000105,0004005,0005,40006.4分期等本攤還貸款（總還款額=72000）YearBe6.4分期等額償還貸款分期等額償還貸款，即等額本息貸款。借款人每期償還一個(gè)固定金額的本金和利息費(fèi)用。

考慮一筆$50,000，利率為8%，10年期的貸款。貸款協(xié)議要求每年償還固定金額的本金和利息費(fèi)用。(與普通年金類似）每年支付的金額應(yīng)為多少?期數(shù)N=10貼現(xiàn)率=8%50,000為現(xiàn)值PV計(jì)算年金額C=-7,451.476.4分期等額償還貸款分期等額償還貸款，即等額本息貸款。借6.4分期等額償還貸款（總還款額=74515）YearBeginningBalanceInterestPaymentPrincipalPaymentTotalPaymentEndingBalance150,0004,0003,4517,45146,549246,5493,7243,7287,45142,821342,8213,4264,0267,45138,795438,7953,1044,3487,45134,447534,4472,7564,6967,45129,752629,7522,3805,0717,45124,680724,6801,9745,4777,45119,203819,2031,5365,9157,45113,288913,2881,0636,3887,4516,900106,9005526,9007,45106.4分期等額償還貸款（總還款額=74515）YearBe關(guān)鍵概念與技能會(huì)計(jì)算多期現(xiàn)金流的現(xiàn)值和終值

會(huì)根據(jù)已知變量計(jì)算各類年金的現(xiàn)值和終值、付款額、支付期數(shù)和貼現(xiàn)率

理解普通年金和預(yù)付年金的差別理解年利率APR和實(shí)際年利率EAR的區(qū)別概念：普通年金；預(yù)付年金；永續(xù)年金；永續(xù)增長年金連續(xù)復(fù)利純貼現(xiàn)貸款；純利息貸款；分期等本攤還貸款；分期等額償還貸款關(guān)鍵概念與技能會(huì)計(jì)算多期現(xiàn)金流的現(xiàn)值和終值6-65公式Perpetuity:PV=C/rAnnuity:連續(xù)復(fù)利：EAR=er–16-65公式Perpetuity:PV=C6-66公式6-66公式《公司財(cái)務(wù)》

CorporateFinance《公司財(cái)務(wù)》

CorporateFinance第三部分折現(xiàn)現(xiàn)金流量估價(jià)第5章貨幣的時(shí)間價(jià)值第6章貼現(xiàn)現(xiàn)金流量估價(jià)

第三部分折現(xiàn)現(xiàn)金流量估價(jià)第5章貨幣的時(shí)間價(jià)值第5章貨幣的時(shí)間價(jià)值5.1終值與復(fù)利5.2現(xiàn)值與貼現(xiàn)5.3現(xiàn)值與終值的進(jìn)一步講解第5章貨幣的時(shí)間價(jià)值5.1終值與復(fù)利快速閱讀現(xiàn)金流量的終值是如何計(jì)算的?現(xiàn)金流量的現(xiàn)值是如何計(jì)算的？如何計(jì)算投資回報(bào)率？如何計(jì)算一項(xiàng)投資的價(jià)值增長到期望值所需要的時(shí)間？復(fù)利和單利的含義快速閱讀現(xiàn)金流量的終值是如何計(jì)算的?TimeandMoneyToday1Year2YearsToday1Year2YearsABWhichwouldyouratherreceive:AorB?TimeandMoneyToday1Year2Yea5-72TimeandMoneyMoneyreceivedovertimeisnotequalinvalue.Today1Year2YearsSohowdowe“value”futuremoney?5-6TimeandMoneyMoneyreceive5.1終值和復(fù)利：單期投資的情形終值（FutureValue,FV）：指在一定的利率水平下，現(xiàn)在一定量的資金在未來某一時(shí)點(diǎn)上的價(jià)值。如果你投資$10,000，收益率為5%，一年后你的投資將增長為$10,500。其中，

$500是利息($10,000×0.05)

$10,000

是本金償還($10,000×1)$10,500是本息合計(jì)，可由下式計(jì)算得到：$10,500=$10,000×(1.05)該投資在期末的本息合計(jì)金額被稱為終值。5.1終值和復(fù)利：單期投資的情形終值（FutureVa5.1終值和復(fù)利：多期投資的情形終值和復(fù)利計(jì)算一項(xiàng)多期投資的終值的一般計(jì)算公式可以寫為：FV=C0×(1+r)T

其中：

C0

是時(shí)間0的現(xiàn)金流量

r是適用的利率

T是現(xiàn)金投資的時(shí)期數(shù)(1+r)T被叫做終值系數(shù)（FutureValueFactor），縮寫為FVIF(r,t)。5.1終值和復(fù)利：多期投資的情形終值和復(fù)利計(jì)算5.1終值和復(fù)利：多期投資的情形假定JayRitter投資Modiglianicompany首次公開發(fā)行的新股。Modigliani當(dāng)前支付了$1.10的股利，預(yù)期未來五年里股利將每年增長40%。在五年后股利將為多少？FV=C0×(1+r)T$5.92=$1.10×(1.40)5注意在第五年的股利$5.92大大高于初始的股利加上初始股利$1.10的五次40%的增長之和：$5.92>$1.10+5×[$1.10×0.40]=$3.30

這是由于復(fù)利（compounding）的緣故，即利息的再投資。5.1終值和復(fù)利：多期投資的情形假定JayRitte5.1終值和復(fù)利0123455.1終值和復(fù)利0123455.1終值和復(fù)利終值和復(fù)利計(jì)算如果資金按復(fù)利（compoundinterest）計(jì)算，利息將被進(jìn)行再投資；而在單利（simpleinterest）情況下，利息沒有進(jìn)行再投資，每期只賺取初始本金的利息。$1×(1+r)2=1+2r+r2>1+2r如果投資金額越大，期限越長，復(fù)利的威力就越大。$V×(1+r)n>>V+V×r×n附錄表A-1給出了“1元錢在T期末的復(fù)利值（終值系數(shù)）”。我們可以由最初的投資額、利率，計(jì)算終值，也可以由初始投資額、終值，求利率。5.1終值和復(fù)利終值和復(fù)利計(jì)算5-78QuickQuizSupposeyouhave$500toinvestandyoubelievethatyoucanearn8%peryearoverthenext15years.Howmuchwouldyouhaveattheendof15yearsusingcompoundinterest?Howmuchwouldyouhaveusingsimpleinterest?500×(1+8%)15=500+500×8%×15=5-12QuickQuizSupposeyouhave5.2現(xiàn)值和貼現(xiàn)：

單期現(xiàn)值現(xiàn)值（PresentValue,PV）：現(xiàn)值就是資金折算至基準(zhǔn)年的數(shù)值。我們經(jīng)常用現(xiàn)值來估算債券、股票等金融資產(chǎn)的價(jià)值，也用現(xiàn)值估算項(xiàng)目的價(jià)值。如果你想在一年后保證得到$10,000，假定利率為5%，你的投資在今天的價(jià)值是$9,523.81。

一位借款者今天需要預(yù)留以便在一年后能夠滿足承諾的$10,000支付的金額被稱作$10,000的現(xiàn)值(PV)。

注意，$10,000=$9,523.81×(1.05)5.2現(xiàn)值和貼現(xiàn)：單期現(xiàn)值現(xiàn)值（PresentValue5.2現(xiàn)值和貼現(xiàn)：現(xiàn)值和貼現(xiàn)計(jì)算未來現(xiàn)金流量的現(xiàn)值的過程叫做“貼現(xiàn)”。它是復(fù)利計(jì)算的相反過程。一項(xiàng)多期投資的現(xiàn)值的一般計(jì)算公式可以寫為：

其中：CT是在T期的現(xiàn)金流量

r是適用的利率1/(1+r)T被叫做現(xiàn)值系數(shù)（PresentValueFactor），縮寫為PVIF(r,t)。附錄表A-2給出了“T期后得到的1元錢的現(xiàn)值（現(xiàn)值系數(shù)）”。5.2現(xiàn)值和貼現(xiàn)：現(xiàn)值和貼現(xiàn)5.2現(xiàn)值和貼現(xiàn)：如果當(dāng)前利率為15%，一個(gè)投資者為了在五年后能獲得$20,000，現(xiàn)在必須投資多少？012345$20,000PV5.2現(xiàn)值和貼現(xiàn)：如果當(dāng)前利率為15%，一個(gè)投資者為了在5.3現(xiàn)值和終值的關(guān)系在利率和期數(shù)相同時(shí)，現(xiàn)值系數(shù)恰好是終值系數(shù)的倒數(shù)。FV=PV(1+r)tPV=FV/(1+r)tPV,FV,r,t四個(gè)變量，只要知道其中3個(gè)，就可以求出另外一個(gè)。復(fù)利與終值對應(yīng)貼現(xiàn)與現(xiàn)值對應(yīng)5.3現(xiàn)值和終值的關(guān)系在利率和期數(shù)相同時(shí)，現(xiàn)值系數(shù)恰好是5.3確定貼現(xiàn)率假設(shè)在12年后當(dāng)你的孩子進(jìn)入大學(xué)時(shí)大學(xué)的學(xué)費(fèi)總額將達(dá)$50,000。你現(xiàn)在有$5,000作投資。為了夠支付你孩子大學(xué)教育的費(fèi)用，你在投資上必須掙得多少利率？大約21.15%.計(jì)算公式：r=(FV/PV)1/t–15.3確定貼現(xiàn)率假設(shè)在12年后當(dāng)你的孩子進(jìn)入大學(xué)時(shí)大學(xué)的學(xué)5.3求解期數(shù)如果我們今天將$5,000存在一個(gè)支付10%利率的賬戶里，它需要經(jīng)過多長時(shí)間能增值到$10,000？計(jì)算公式：t=ln(FV/PV)/ln(1+r)5.3求解期數(shù)如果我們今天將$5,000存在一個(gè)支付5-85QuickQuiz

Youarelookingataninvestmentthatwillpay$1,200in5yearsifyouinvest$1,000today.Whatistheimpliedrateofinterest?r=(1,200/1,000)1/5–1=.03714=3.714%Youwanttopurchaseanewcar,andyouarewillingtopay$20,000.Ifyoucaninvestat10%peryearandyoucurrentlyhave$15,000,howlongwillitbebeforeyouhaveenoughmoneytopaycashforthecar?r=10;PV=-15,000;FV=20,000T=3.02years5-19QuickQuiz Youarelooking5-86FinanceFormulas5-20FinanceFormulas關(guān)鍵概念與技能概念終值FutureValue；現(xiàn)值PresentValue；復(fù)利CompoundInterest；單利SimpleInterest貼現(xiàn)Discounting；貼現(xiàn)率DiscountRate知道如何計(jì)算現(xiàn)值、終值、貼現(xiàn)率、期數(shù)FV=PV(1+r)tPV=FV/(1+r)tr=(FV/PV)1/t–1t=ln(FV/PV)/ln(1+r)關(guān)鍵概念與技能概念第6章貼現(xiàn)現(xiàn)金流量估值6.1多期現(xiàn)金流量的現(xiàn)值和終值6.2評(píng)估均衡現(xiàn)金流量：年金和永續(xù)年金6.3比較利率：復(fù)利的影響6.4貸款種類與分期償還貸款

第6章貼現(xiàn)現(xiàn)金流量估值6.1多期現(xiàn)金流量的現(xiàn)值和終值快速閱讀多期現(xiàn)金流量的現(xiàn)值和終值是如何計(jì)算的？

什么是實(shí)際利率（EAR）？年利率（APR）和實(shí)際年利率（EAR）之間的關(guān)系？

什么是永續(xù)年金？什么是年金？如何計(jì)算其現(xiàn)值和終值。如何計(jì)算貸款的支付額以及貸款的利率?？焖匍喿x多期現(xiàn)金流量的現(xiàn)值和終值是如何計(jì)算的？6-90單期現(xiàn)金流量Today1

2

345FVPVToday1

2

345FVPV復(fù)利(Compounding)貼現(xiàn)(Discounting)在前面的章節(jié)中，我們介紹了單期現(xiàn)金流量的現(xiàn)值和終值。但現(xiàn)實(shí)生活中，大多數(shù)投資都涉及多期現(xiàn)金流的問題。6-24單期現(xiàn)金流量Today12345FVPVToda6.1多期現(xiàn)金流的終值假定你今天在一個(gè)利率為6%的賬戶中存入了$1,000。1年后你將再存入$500，2年后你將再次存入$700。

2年后你的賬戶中將有多少錢（在你存入$700后）？Today1Year2Years$1,000$500$700?6-916.1多期現(xiàn)金流的終值假定你今天在一個(gè)利率為6%的賬戶中方法一：分別計(jì)算每筆現(xiàn)金流的終值，再匯總。

Today1Year2Years$1,000$500$700$1,124$530$2,3546.1多期現(xiàn)金流的終值6-92方法一：分別計(jì)算每筆現(xiàn)金流的終值，再匯總。Today1Ye6-93Today1Year2Years$1,000$500$700$1,060$1,654$2,354$1,560方法二：將每期累計(jì)現(xiàn)金流每次向前復(fù)利一年，直至期末。6.1多期現(xiàn)金流的終值6-27Today1Year2Years$1,000$6-94在不增加存款的情況下，這個(gè)賬戶在第5年末將有多少資金?Today1

2

345$1,000?5007006.1多期現(xiàn)金流的終值6-28在不增加存款的情況下，這個(gè)賬戶在第5年末將有多少資金6-95直接將第2年末的資金復(fù)利到第5年末Today1

2

345$2,803$1,000500700$2,3546.1多期現(xiàn)金流的終值6-29直接將第2年末的資金復(fù)利到第5年末Today126-96計(jì)算每筆現(xiàn)金流在第5年末的終值，再匯總。Today1

2

345$2,803$1,000500700$1,338$631$8336.1多期現(xiàn)金流的終值6-30計(jì)算每筆現(xiàn)金流在第5年末的終值，再匯總。Today16.1多期現(xiàn)金流的現(xiàn)值和計(jì)算終值一樣，有兩種方法可以計(jì)算現(xiàn)值：可以每次貼現(xiàn)一期，或者將每筆現(xiàn)金流單獨(dú)貼現(xiàn)并且最后匯總。

6-97Today1

2

34200?4006008006.1多期現(xiàn)金流的現(xiàn)值和計(jì)算終值一樣，有兩種方法可以計(jì)算現(xiàn)6-98將每筆現(xiàn)金流單獨(dú)貼現(xiàn)，并進(jìn)行匯總。請用另外一種方法計(jì)算現(xiàn)值，并比較哪種方法更便捷。Today1

2

34200400600800178.57318.88427.07508.411,432.936.1多期現(xiàn)金流的現(xiàn)值6-32將每筆現(xiàn)金流單獨(dú)貼現(xiàn)，并進(jìn)行匯總。Today126-99QuickQuizSupposeyouarelookingatthefollowingpossiblecashflows:Year1CF=$100;Years2and3CFs=$200;Years4and5CFs=$300.Therequireddiscountrateis7%.Whatisthevalueofthecashflowsatyear5?Whatisthevalueofthecashflowstoday?Whatisthevalueofthecashflowsatyear3?Today12345$?100200$3002003006-33QuickQuizSupposeyouare6.2年金和永續(xù)年金年金（Annuity）是一系列固定、有規(guī)律、持續(xù)一段時(shí)期的現(xiàn)金流量。普通年金（OrdinaryAnnuity）是指從第一期起，在一定時(shí)期內(nèi)每期期末等額收付的系列款項(xiàng)，又稱為后付年金。即付年金（AnnuityDue）是指從第一期起，在一定時(shí)期內(nèi)每期期初等額收付的系列款項(xiàng)，又稱先付年金。

永續(xù)年金（Perpetuity）是指無限期等額收付的特種年金。它是普通年金的特殊形式，即期限趨于無窮的普通年金。6.2年金和永續(xù)年金年金（Annuity）是一系列固定、有6.2年金和永續(xù)年金年金現(xiàn)值和終值的計(jì)算公式：01C2C3C普通年金現(xiàn)值的計(jì)算公式：TC普通年金終值的計(jì)算公式：6.2年金和永續(xù)年金年金現(xiàn)值和終值的計(jì)算公式：01C2C36.2年金和永續(xù)年金永續(xù)年金是一系列沒有止境的固定的現(xiàn)金流量。0…1C2C3C

永續(xù)年金現(xiàn)值的計(jì)算公式：6.2年金和永續(xù)年金永續(xù)年金是一系列沒有止境的固定的現(xiàn)金流6.2年金：計(jì)算公式一個(gè)年金可以看作是兩個(gè)永久年金之差：一個(gè)自時(shí)間1開始的永久年金減去一個(gè)自時(shí)間T+1開始的永久年金。01C2C3CTC年金系數(shù)：附錄表A-3給出了“T期內(nèi)均勻收付1元錢現(xiàn)金流量的現(xiàn)值（年金系數(shù)）”。6.2年金：計(jì)算公式一個(gè)年金可以看作是兩個(gè)永久年金之差：6.2年金：例子如果你可以負(fù)擔(dān)每月$400的汽車分期付款，如果36個(gè)月的貸款的利率是7%，你可以買得起多少價(jià)格的汽車？01$4002$4003$40036$4006.2年金：例子如果你可以負(fù)擔(dān)每月$400的汽車分期付款6.2永續(xù)年金：例子一張英國永久公債（consol）承諾每年支付￡15直到永遠(yuǎn)，它的價(jià)值是多少？利率是10%。0…1￡152￡153￡156.2永續(xù)年金：例子一張英國永久公債（consol）承諾6-1066.2年金和永續(xù)年金：求解付款額

假定你想借$20,000來買新車。你的借款利率為8%，按月復(fù)利計(jì)息。

(8/12=.66667%permonth).

Ifyoutakea4-yearloan,whatisyourmonthlypayment?4(12)=48T;20,000PV;0.66667r;C=$488.266-406.2年金和永續(xù)年金：求解付款額 假定你想借$26-107

假定你可以以5%的借款利率借入$2,000，同時(shí)你打算每年償還$734.42。

Howlongbeforeyoupayofftheloan?5r2,000PV-734.42CT=3years6.2年金和永續(xù)年金：求解支付期數(shù)6-41 假定你可以以5%的借款利率借入$2,000，同時(shí)你6-108

Supposeyouborrow$25,000fromyourparentstobuyacar.Youagreetopay$207.58permonthfor60months.

Whatisthemonthlyinterestrate?60T25,000PV-207.58Cr=2.05%6.2年金和永續(xù)年金：求貼現(xiàn)率求解的方法只有查表或是試錯(cuò)法。6-42 Supposeyouborrow$25,006-109QuickQuizYouwanttoreceive$5,000permonthforthenext5years.Howmuchwouldyouneedtodeposittodayifyoucanearn0.75%permonth?Whatmonthlyratewouldyouneedtoearnifyouonlyhave$200,000todeposit?Supposeyouhave$200,000todepositandcanearn0.75%permonth.Howmanymonthscouldyoureceivethe$5,000payment?Howmuchcouldyoureceiveeverymonthfor5years?6-43QuickQuizYouwanttorec6-110

假定你每年在你的退休基金中存入$2,000?；鸬氖找媛蕿?.5%，那么40年后你的退休基金中將有多少錢？40N7.5r-2,000CFV=$454,513.046.2年金的終值6-44 假定你每年在你的退休基金中存入$2,000?；鸬?-111

假定你每年年初在一個(gè)年利率為8%的賬戶存入$10,000。請計(jì)算這筆年金的現(xiàn)值和在第3年末的終值。

FV=$35,061.12

PV=$27,832.656.2.3預(yù)付年金0123100001000010000計(jì)算方法：計(jì)算每筆現(xiàn)金流的現(xiàn)值或終值，再匯總。當(dāng)現(xiàn)金流大?。–）相同時(shí)：預(yù)付年金現(xiàn)值=普通年金現(xiàn)值*（1+r）預(yù)付年金終值=普通年金終值*（1+r）6-45 假定你每年年初在一個(gè)年利率為8%的賬戶存入$10,6-112永續(xù)年金現(xiàn)值的計(jì)算公式：PV=C/rYouareconsideringpreferredstockthatpaysaquarterlydividendof$1.50.Ifyourdesiredreturnis3%perquarter,howmuchwouldyoubewillingtopay?Youwanttohave$1milliontouseforretirementin35years.Ifyoucanearn1%permonth,howmuchdoyouneedtodepositonamonthlybasisifthefirstpaymentismadeinonemonth?Whatifthefirstpaymentismadetoday?6.2.3永續(xù)年金6-46永續(xù)年金現(xiàn)值的計(jì)算公式：PV=C/r6.2.6-113TermsandFormulas6-47TermsandFormulas6.3增長年金(GrowingAnnuity)增長年金是一種在有限時(shí)期內(nèi)增長的現(xiàn)金流量。01C增長年金現(xiàn)值的計(jì)算公式：2C×(1+g)3C×(1+g)2TC×(1+g)T-16.3增長年金(GrowingAnnuity)增長年6.2增長年金(GrowingAnnuity)增長年金的計(jì)算不能查表，我們必須直接計(jì)算公式中的每一項(xiàng)。一項(xiàng)40年期的定額給付養(yǎng)老金計(jì)劃第一年支付$20,000，以后每年增長3%。如果貼現(xiàn)率是10%，該養(yǎng)老金的現(xiàn)值是多少？01$20,0002$20,000×(1.03)40$20,000×(1.03)396.2增長年金(GrowingAnnuity)增長年金6.2永續(xù)增長年金(GrowingPerpetuity)永續(xù)增長年金是一系列沒有止境的且具有永續(xù)增長趨勢的現(xiàn)金流量。0…1C2C×(1+g)3C×(1+g)2永續(xù)增長年金現(xiàn)值的計(jì)算公式：6.2永續(xù)增長年金(GrowingPerpetuity6.2永續(xù)增長年金：例子預(yù)期下一年的股利是$1.30，并預(yù)期以5%永久增長。如果貼現(xiàn)率是10%，該股利流量的現(xiàn)值是多少？0…1$1.302$1.30×(1.05)3$1.30×(1.05)26.2永續(xù)增長年金：例子預(yù)期下一年的股利是$1.30，并6.2永續(xù)增長年金(GrowingPerpetuity)關(guān)于永續(xù)增長年金現(xiàn)值的計(jì)算公式需注意三個(gè)問題：1）公式的分子C是現(xiàn)在開始起一期后收到的現(xiàn)金流量，而不是現(xiàn)在的現(xiàn)金流量。2）利率r一定要高于增長率g。3）假定現(xiàn)金流量是有規(guī)律而且是確定的。一般假定現(xiàn)金流量的收付時(shí)間是在某一確定的時(shí)期或年末（期末）。6.2永續(xù)增長年金(GrowingPerpetuity6.3復(fù)利計(jì)息期數(shù)如果在T年中每年對一項(xiàng)投資復(fù)利m次，則在T期末的財(cái)富終值將為：

年利率(AnnualPercentageRate)又稱報(bào)價(jià)利率：r實(shí)際年利率(EffectiveAnnualRate)：[1+r/m]m–1年利率只有在給出計(jì)息間隔期的情況下才有意義。如果沒有給出計(jì)息間隔期，就不能計(jì)算終值。實(shí)際利率本身就有很明確的意義，它不需要給出復(fù)利計(jì)息的間隔期。6.3復(fù)利計(jì)息期數(shù)如果在T年中每年對一項(xiàng)投資復(fù)利m次6.3復(fù)利計(jì)息期數(shù)：實(shí)際年利率假定你將$50投資三年，每半年復(fù)利一次，投資報(bào)酬率為12%，則3年后你的投資將增長為：我們不由會(huì)問，“這項(xiàng)投資的實(shí)際年利率究竟是多少？”所謂實(shí)際年利率（TheeffectiveAnnualRate,EAR)，就是能在3年后為我們帶來同樣終值的投資的年報(bào)酬率因此，按12.36%的利率每年復(fù)利一次的投資與按12%的利率半年復(fù)利一次的投資是等效的。6.3復(fù)利計(jì)息期數(shù)：實(shí)際年利率假定你將$50投資三年，每6.3復(fù)利計(jì)息期數(shù)：實(shí)際年利率對年百分比利率（APR）為18%但每月復(fù)利一次的貸款，其實(shí)際利率是多少？現(xiàn)在我們的貸款的月利率為1?%.這同年利率為19.56%的貸款是等價(jià)的：6.3復(fù)利計(jì)息期數(shù)：實(shí)際年利率對年百分比利率（APR）為6.3復(fù)利計(jì)息期數(shù)：連續(xù)復(fù)利連續(xù)復(fù)利計(jì)息：在無限短的時(shí)間間隔按復(fù)利計(jì)息。用r