經濟應用數(shù)學-24二元函數(shù)的偏導數(shù)課件

第2章導數(shù)與微分

2.4二元函數(shù)的偏導數(shù)偏導數(shù)的定義高階導數(shù)全微分

基本要求第2章導數(shù)與微分2.4二元函數(shù)的偏導數(shù)偏導數(shù)2.4.1偏導數(shù)的定義在點設函數(shù)的某一領域內有定義，當y固定在而x在處有增量時，相應的函數(shù)有增量，如果有極限存在，則稱函數(shù)在點處對x可導，并稱此極限為函數(shù)在點處對x的偏導數(shù).2.4.1偏導數(shù)的定義在點設函數(shù)的某一領域內有定義，當y即定義為記作類似的，函數(shù)在點處對y的偏導數(shù)即定義為記作類似的，函數(shù)在點處對y的偏導數(shù)稱為二元函數(shù)對于x的偏導函數(shù)記作即對于二元函數(shù)如果只有自變量x變化，自變量y固定，這時它就是x的一元函數(shù)，函數(shù)對x的導數(shù)，就對y的偏導數(shù)，記為類似的，可定義函數(shù)稱為二元函數(shù)對于x的偏導函數(shù)記作即由定義可以看出：求時，只要把y看作常量而對x求求時，只要把x看做常量而對一求導數(shù)即可.導數(shù)，偏導數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù)。例如三元函數(shù)在點處對x的偏導數(shù)定義為()()()Δxzy,x,fzy,Δx,xflimzy,x,f0Δxx-+=￠?即由定義可以看出：求時，只要把y看作常量而對x求求時，只要例4.1

求在點（1，2）處的偏導數(shù)解例4.2

求的偏導數(shù)解例4.1求在點（1，2）處的偏導數(shù)解例4.2求的例4.3

求的偏導數(shù)解等式兩端求導：解出例4.3求的偏導數(shù)解等式兩端求導：解出是一個整體記號，不能看作分子與分母之商

與一元函數(shù)不同，偏導數(shù)的記號說明2.4.2.高階導數(shù)與一元函數(shù)類似，二元函數(shù)的偏導函數(shù)仍然是x與y的二元函數(shù)，如果這兩階偏導數(shù)。個函數(shù)的偏導數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù)的二是一個整體記號，不能看作分子與分母之商與一元

四個二階導數(shù)按照對變量求導次序的不同，函數(shù)

有下列其中混合偏導數(shù)稱為四個二階導數(shù)按照對變量求導次的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)例4.4

設解同樣可得三階、四階以及n階偏導數(shù)。二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)例4.4設解同樣可得三階、2.4.3全微分形式的不變性可得因此：顯然例4.5

設，有一元復合函數(shù)微分2.4.3全微分形式的不變性可得因此：顯然例4.5定義2.6

如果函數(shù)的全增量可表示為可微分，而稱為函數(shù)的全微分，記作dz其中A、B不依賴于而僅與x、y有關，則稱函數(shù)定義2.6如果函數(shù)的全增量可表示為可微分，而稱為函于是全微分公式又可以寫成與一元函數(shù)一樣，當x，y是自變量時，定理2.5（必要條件）如果函數(shù)在點（x,y）可微分，則函數(shù)在該點的偏導數(shù)必定存在，且函數(shù)在點（x，y）的全微分為于是全微分公式又可以寫成與一元函數(shù)一樣，當x，y是自變量時，例4.6

計算函數(shù)的全微分解

因為所以例4.6計算函數(shù)的全微分解因為所以第2章導數(shù)與微分

2.4二元函數(shù)的偏導數(shù)偏導數(shù)的定義高階導數(shù)全微分

基本要求第2章導數(shù)與微分2.4二元函數(shù)的偏導數(shù)偏導數(shù)2.4.1偏導數(shù)的定義在點設函數(shù)的某一領域內有定義，當y固定在而x在處有增量時，相應的函數(shù)有增量，如果有極限存在，則稱函數(shù)在點處對x可導，并稱此極限為函數(shù)在點處對x的偏導數(shù).2.4.1偏導數(shù)的定義在點設函數(shù)的某一領域內有定義，當y即定義為記作類似的，函數(shù)在點處對y的偏導數(shù)即定義為記作類似的，函數(shù)在點處對y的偏導數(shù)稱為二元函數(shù)對于x的偏導函數(shù)記作即對于二元函數(shù)如果只有自變量x變化，自變量y固定，這時它就是x的一元函數(shù)，函數(shù)對x的導數(shù)，就對y的偏導數(shù)，記為類似的，可定義函數(shù)稱為二元函數(shù)對于x的偏導函數(shù)記作即由定義可以看出：求時，只要把y看作常量而對x求求時，只要把x看做常量而對一求導數(shù)即可.導數(shù)，偏導數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù)。例如三元函數(shù)在點處對x的偏導數(shù)定義為()()()Δxzy,x,fzy,Δx,xflimzy,x,f0Δxx-+=￠?即由定義可以看出：求時，只要把y看作常量而對x求求時，只要例4.1

求在點（1，2）處的偏導數(shù)解例4.2

求的偏導數(shù)解例4.1求在點（1，2）處的偏導數(shù)解例4.2求的例4.3

求的偏導數(shù)解等式兩端求導：解出例4.3求的偏導數(shù)解等式兩端求導：解出是一個整體記號，不能看作分子與分母之商

與一元函數(shù)不同，偏導數(shù)的記號說明2.4.2.高階導數(shù)與一元函數(shù)類似，二元函數(shù)的偏導函數(shù)仍然是x與y的二元函數(shù)，如果這兩階偏導數(shù)。個函數(shù)的偏導數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù)的二是一個整體記號，不能看作分子與分母之商與一元

四個二階導數(shù)按照對變量求導次序的不同，函數(shù)

有下列其中混合偏導數(shù)稱為四個二階導數(shù)按照對變量求導次的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)例4.4

設解同樣可得三階、四階以及n階偏導數(shù)。二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)例4.4設解同樣可得三階、2.4.3全微分形式的不變性可得因此：顯然例4.5

設，有一元復合函數(shù)微分2.4.3全微分形式的不變性可得因此：顯然例4.5定義2.6

如果函數(shù)的全增量可表示為可微分，而稱為函數(shù)的全微分，記作dz其中A、B不依賴于而僅與x、y有關，則稱函數(shù)定義2.6如果函數(shù)的全增量可表示為可微分，而稱為函于是全微分公式又可以寫成與一元函數(shù)一樣，當x，y是自變量時，定理2.5（必要條件）如果函數(shù)