求數(shù)列通項公式課件

求數(shù)列的通項公式求數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列｛an｝的前n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示,即注意：1.通項公式通常不是唯一的，一般取其最簡單的形式；

2.通項公式以數(shù)列的項數(shù)n為唯一變量；

3.并非每個數(shù)列都存在通項公式.通項公式：例1、寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前幾項分別是下列各數(shù)。

已知數(shù)列的前幾項，觀察數(shù)列特征，通常先將各項分解成幾部分（如符號、分子、分母、底數(shù)、指數(shù)等），然后觀察各部分與項數(shù)的關(guān)系，寫出通項。一、觀察法例1、寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前幾項分別是下列各數(shù)1、寫出下列數(shù)列的一個通項公式:(1)

9,99,999,9999,……解：an=10n－1(2)1,11,111,1111,……分析：注意觀察各項與它的序號的關(guān)系有10－1，102－1，103－1，104－1解：an=(10n－1)

這是特殊到一般的思想，也是數(shù)學上重要的思想方法，但欠嚴謹！分析:注意與熟悉數(shù)列9,99,999,9999,···聯(lián)系練習：1、寫出下列數(shù)列的一個通項公式:解：an=10n－1(2)求數(shù)列通項公式課件二、

公式法：

(1)等差數(shù)列通項公式：(2)等比數(shù)列通項公式：例如：(1)

(2)二、公式法：三、

定義法：運用三、定義法：運用例2.｛an｝的前項和Sn=2n2－1，求通項an解：當n≥2時，an=Sn－Sn－1

=(2n2－1)－[2(n－1)2－1]=4n－2不要遺漏n=1的情形哦！當n=1時,a1=1不滿足上式

因此an=1

(n=1)4n

－2(n≥2,)例2.｛an｝的前項和Sn=2n2－1，求通項an解：當n≥變式.已知{an}中，a1+2a2+3a3+???+nan=3n+1,求通項an解:∵a1+2a2+3a3+···+nan=3n+1(n≥1)注意n的范圍∴a1+2a2+3a3+···+(n－1)an－1=3n（n≥2）

nan=3n+1－3n=2·3n2·3nn∴an=而n=1時,a1=9（n≥2）兩式相減得：∴an=9(n=1)2·3nn（n≥2,）變式.已知{an}中，a1+2a2+3a3+???+nan例3.例3.例4.例4.例5.已知{an}中,an+1=an+n(n∈N*),a1=1,求通項an解:由an+1=an+n(n∈N*)得a2

－a1=1a3

－a2=2a4

－a3=3???an－an－1=n

－1an=(an－an－1)+(an－1－an－2)+???+(a2

－a1)+

a1

=(n－

1)+(n

－2)+???+2+1+1四、累加法(遞推公式形如an+1=an+f(n)型的數(shù)列)n個等式相加得a1=1an+1－

an=n(n∈N*)（1）注意討論首項;(2)適用于an+1=an+f(n)型遞推公式例5.已知{an}中,an+1=an+n(n∈N*)求法：累加法練習：求法：累加法練習：五、累乘法

(形如an+1=f(n)?an型)例6.已知{an}是首項為1的正項數(shù)列,且(n+1)an+12+an+1an－nan2=0,

求{an}的通項公式解:∵(n+1)an+12+an+1an－nan2=0∴(an+1+an)[(n+1)an+1－

nan]=0∵an+1+an>0∴(n≥1)∴an=...

注意：累乘法與累加法有些相似，但它是n個等式相乘所得∴(n+1)an+1=

nan五、累乘法(形如an+1=f(n)?an型)例6.已練習1：五、累乘法

(形如an+1=f(n)?an型)練習1：五、累乘法(形如an+1=f(n)?an型)練習2五、累乘法

(形如an+1=f(n)?an型)練習2五、累乘法(形如an+1=f(n)?an型)六、構(gòu)造法題型1.已知數(shù)列{an}的首項,以及滿足條件an+1=pan+q（p、q為常數(shù)）時，求該數(shù)列的通項公式.例7.已知，根據(jù)條件,確定數(shù)列的通項公式.

方法①：猜想證明：由及,

計算出,,,,

歸納猜想：;

然后用數(shù)學歸納法證明猜想正確(略).六、構(gòu)造法題型1.已知數(shù)列{an}的首項,以及滿足條件an六、構(gòu)造法題型1.已知數(shù)列{an}的首項,以及滿足條件an+1=pan+q（p、q為常數(shù)）時，求該數(shù)列的通項公式.例7.已知，根據(jù)條件,確定數(shù)列的通項公式.方法②迭代法：。六、構(gòu)造法題型1.已知數(shù)列{an}的首項,以及滿足條件an六、構(gòu)造法題型1.已知數(shù)列{an}的首項,以及滿足條件an+1=pan+q（p、q為常數(shù)）時，求該數(shù)列的通項公式.例7.已知，根據(jù)條件,確定數(shù)列的通項公式.方法③構(gòu)造法：根據(jù)構(gòu)造一個新數(shù)列設(shè)，則，∴，∴，即，∴為等比數(shù)列，首項為，公比為3.∴，∴.六、構(gòu)造法題型1.已知數(shù)列{an}的首項,以及滿足條件an六、構(gòu)造法題型1.已知數(shù)列{an}的首項,以及滿足條件an+1=pan+q（p、q為常數(shù)）時，求該數(shù)列的通項公式.方法總結(jié)：利用待定系數(shù)法令

an+=p(an-1+),

得到從而構(gòu)造出等比數(shù)列{},輔助求出{an}的通項公式六、構(gòu)造法題型1.已知數(shù)列{an}的首項,以及滿足條件an六、構(gòu)造法例8.已知數(shù)列中，34，六、構(gòu)造法例8.已知數(shù)列中，六、構(gòu)造法例8.已知數(shù)列中，34，六、構(gòu)造法例8.已知數(shù)列中，六、構(gòu)造法六、構(gòu)造法【變式遷移】已知數(shù)列｛an｝中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1（n≥2且n∈N*）.（1）求證數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列｛an｝的通項公式.

解：（1）方法1：（構(gòu)造法）因為a1＝5且an＝2an－1＋2n－1，所以當n≥2時，an－1＝2（an－1－1）＋2n，所以

，所以

，【變式遷移】已知數(shù)列｛an｝中，a1＝5且an＝2an－1所以是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知,所以an＝（n＋1）2n＋1.已知數(shù)列｛an｝中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1（n≥2且n∈N*）.（1）求證數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列｛an｝的通項公式.【變式遷移】所以是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列.已例10：題型4形如的遞推式，可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成為例10：題型4形如形如的遞推式例11：題型5形如題型6

取對數(shù)法：例12若數(shù)列{}中=3且（n是正整數(shù)），則它的通項公式是

（2012年上海高考題）.題型6取對數(shù)法：求數(shù)列的通項公式求數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列｛an｝的前n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示,即注意：1.通項公式通常不是唯一的，一般取其最簡單的形式；

2.通項公式以數(shù)列的項數(shù)n為唯一變量；

3.并非每個數(shù)列都存在通項公式.通項公式：例1、寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前幾項分別是下列各數(shù)。

已知數(shù)列的前幾項，觀察數(shù)列特征，通常先將各項分解成幾部分（如符號、分子、分母、底數(shù)、指數(shù)等），然后觀察各部分與項數(shù)的關(guān)系，寫出通項。一、觀察法例1、寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前幾項分別是下列各數(shù)1、寫出下列數(shù)列的一個通項公式:(1)

9,99,999,9999,……解：an=10n－1(2)1,11,111,1111,……分析：注意觀察各項與它的序號的關(guān)系有10－1，102－1，103－1，104－1解：an=(10n－1)

這是特殊到一般的思想，也是數(shù)學上重要的思想方法，但欠嚴謹！分析:注意與熟悉數(shù)列9,99,999,9999,···聯(lián)系練習：1、寫出下列數(shù)列的一個通項公式:解：an=10n－1(2)求數(shù)列通項公式課件二、

公式法：

(1)等差數(shù)列通項公式：(2)等比數(shù)列通項公式：例如：(1)

(2)二、公式法：三、

定義法：運用三、定義法：運用例2.｛an｝的前項和Sn=2n2－1，求通項an解：當n≥2時，an=Sn－Sn－1

=(2n2－1)－[2(n－1)2－1]=4n－2不要遺漏n=1的情形哦！當n=1時,a1=1不滿足上式

因此an=1

(n=1)4n

－2(n≥2,)例2.｛an｝的前項和Sn=2n2－1，求通項an解：當n≥變式.已知{an}中，a1+2a2+3a3+???+nan=3n+1,求通項an解:∵a1+2a2+3a3+···+nan=3n+1(n≥1)注意n的范圍∴a1+2a2+3a3+···+(n－1)an－1=3n（n≥2）

nan=3n+1－3n=2·3n2·3nn∴an=而n=1時,a1=9（n≥2）兩式相減得：∴an=9(n=1)2·3nn（n≥2,）變式.已知{an}中，a1+2a2+3a3+???+nan例3.例3.例4.例4.例5.已知{an}中,an+1=an+n(n∈N*),a1=1,求通項an解:由an+1=an+n(n∈N*)得a2

－a1=1a3

－a2=2a4

－a3=3???an－an－1=n

－1an=(an－an－1)+(an－1－an－2)+???+(a2

－a1)+

a1

=(n－

1)+(n

－2)+???+2+1+1四、累加法(遞推公式形如an+1=an+f(n)型的數(shù)列)n個等式相加得a1=1an+1－

an=n(n∈N*)（1）注意討論首項;(2)適用于an+1=an+f(n)型遞推公式例5.已知{an}中,an+1=an+n(n∈N*)求法：累加法練習：求法：累加法練習：五、累乘法

(形如an+1=f(n)?an型)例6.已知{an}是首項為1的正項數(shù)列,且(n+1)an+12+an+1an－nan2=0,

求{an}的通項公式解:∵(n+1)an+12+an+1an－nan2=0∴(an+1+an)[(n+1)an+1－

nan]=0∵an+1+an>0∴(n≥1)∴an=...

注意：累乘法與累加法有些相似，但它是n個等式相乘所得∴(n+1)an+1=

nan五、累乘法(形如an+1=f(n)?an型)例6.已練習1：五、累乘法

(形如an+1=f(n)?an型)練習1：五、累乘法(形如an+1=f(n)?an型)練習2五、累乘法

(形如an+1=f(n)?an型)練習2五、累乘法(形如an+1=f(n)?an型)六、構(gòu)造法題型1.已知數(shù)列{an}的首項,以及滿足條件an+1=pan+q（p、q為常數(shù)）時，求該數(shù)列的通項公式.例7.已知，根據(jù)條件,確定數(shù)列的通項公式.

方法①：猜想證明：由及,

計算出,,,,

歸納猜想：;

然后用數(shù)學歸納法證明猜想正確(略).六、構(gòu)造法題型1.已知數(shù)列{an}的首項,以及滿足條件an六、構(gòu)造法題型1.已知數(shù)列{an}的首項,以及滿足條件an+1=pan+q（p、q為常數(shù)）時，求該數(shù)列的通項公式.例7.已知，根據(jù)條件,確定數(shù)列的通項公式.方法②迭代法：。六、構(gòu)造法題型1.已知數(shù)列{an}的首項,以及滿足條件an六、構(gòu)造法題型1.已知數(shù)列{an}的首項,以及滿足條件an+1=pan+q（p、q為常數(shù)）時，求該數(shù)列的通項公式.例7.已知，根據(jù)條件,確定數(shù)列的通項公式.方法③構(gòu)造法：根據(jù)構(gòu)造一個新數(shù)列設(shè)，則，∴，∴，即，∴為等比數(shù)列，首項為，公比為3.∴，∴.六、構(gòu)造法題型1.已知數(shù)列{an}的首項,以及滿足條件an六、構(gòu)造法題型1.已知數(shù)列{an}的首項,以及滿足條件an+1=pan+q（p、q為常數(shù)）時，求該數(shù)列的通項公式.方法總結(jié)：利用待定系數(shù)法令

an+=p(an-1+),

得到從而構(gòu)造出等比數(shù)列{},輔助求出{an}的通項公式六、