一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)-知識講解（提高）

PAGE一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)—知識講解（提高）責編：杜少波【學習目標】1.理解函數(shù)圖象及一次函數(shù)的概念，理解一次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象之間的關系；2.能正確畫出一次函數(shù)的圖象．掌握一次函數(shù)的性質(zhì)．利用函數(shù)的圖象解決與一次函數(shù)有關的問題，還能運用所學的函數(shù)知識解決簡單的實際問題．3.對分段函數(shù)有初步認識，能運用所學的函數(shù)知識解決實際問題．【要點梳理】要點一、函數(shù)圖象及一次函數(shù)的定義1.函數(shù)圖象的概念把一個函數(shù)自變量的每一個值與對應的函數(shù)值分別作為點的橫坐標和縱坐標，在直角坐標系內(nèi)描出相應的點，所有這些點組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象.2.一次函數(shù)的定義一般地，形如（，是常數(shù)，≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù).要點詮釋：當＝0時，即，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).一次函數(shù)的定義是根據(jù)它的解析式的形式特征給出的，要注意其中對常數(shù)，的要求，一次函數(shù)也被稱為線性函數(shù).3.畫函數(shù)圖象的一般步驟總結歸納一下描點法畫函數(shù)圖象的一般步驟第一步：列表．在自變量取值范圍內(nèi)選定一些值．通過函數(shù)關系式求出對應函數(shù)值列成表格．第二步：描點．在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應函數(shù)值為縱坐標，描出表中對應各點．第三步：連線．按照自變量由小到大的順序把所有點用平滑曲線連結起來．要點二、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.函數(shù)（、為常數(shù)，且≠0）的圖象是一條直線；當＞0時，直線是由直線向上平移個單位長度得到的；當＜0時，直線是由直線向下平移||個單位長度得到的.2.一次函數(shù)（、為常數(shù)，且≠0）的圖象與性質(zhì)：3.、對一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的影響：決定直線從左向右的趨勢，決定它與軸交點的位置，、一起決定直線經(jīng)過的象限．4.兩條直線：和：的位置關系可由其系數(shù)確定：（1）與相交；（2），且與平行；要點三、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式一次函數(shù)（，是常數(shù)，≠0）中有兩個待定系數(shù)，，需要兩個獨立條件確定兩個關于，的方程，這兩個條件通常為兩個點或兩對，的值.要點詮釋：先設出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知數(shù)的系數(shù)，從而具體寫出這個式子的方法，叫做待定系數(shù)法.由于一次函數(shù)中有和兩個待定系數(shù)，所以用待定系數(shù)法時需要根據(jù)兩個條件列二元一次方程組（以和為未知數(shù)），解方程組后就能具體寫出一次函數(shù)的解析式.要點四、分段函數(shù)對于某些量不能用一個解析式表示，而需要分情況（自變量的不同取值范圍）用不同的解析式表示，因此得到的函數(shù)是形式比較復雜的分段函數(shù).解題中要注意解析式對應的自變量的取值范圍，分段考慮問題.要點詮釋：對于分段函數(shù)的問題，特別要注意相應的自變量變化范圍.在解析式和圖象上都要反映出自變量的相應取值范圍.【典型例題】類型一、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式1、（2015春?東平縣校級期末）如圖，過A點的一次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象相交于點B．（1）求該一次函數(shù)的解析式；（2）判定點C（4，﹣2）是否在該函數(shù)圖象上？說明理由；（3）若該一次函數(shù)的圖象與x軸交于D點，求△BOD的面積．【思路點撥】（1）首先求得B的坐標，然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；（2）把C的坐標代入一次函數(shù)的解析式進行檢驗即可；（3）首先求得D的坐標，然后利用三角形的面積公式求解．【答案與解析】解：（1）在y=2x中，令x=1，解得y=2，則B的坐標是（1，2），設一次函數(shù)的解析式是y=kx+b，則，解得：．則一次函數(shù)的解析式是y=﹣x+3；（2）當a=4時，y=﹣1，則C（4，﹣2）不在函數(shù)的圖象上；（3）一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=﹣x+3中令y=0，解得：x=3，則D的坐標是（3，0）．則S△BOD=OD×2=×3×2=3．【總結升華】本題主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．先根據(jù)條件列出關于字母系數(shù)的方程，解方程求解即可得到函數(shù)解析式．當已知函數(shù)解析式時，求函數(shù)中字母的值就是求關于字母系數(shù)的方程的解．舉一反三：【變式1】一次函數(shù)交軸于點A（0，3），與兩軸圍成的三角形面積等于6，求一次函數(shù)解析式.【答案】解：設一次函數(shù)的解析式為.當過時，；當過時，；所以，一次函數(shù)的解析式為或.【變式2】在平面直角坐標系中，已知兩點，，在軸上求作一點P，使AP＋BP最短，并求出點P的坐標.【答案】解：作點A關于軸的對稱點為，連接，與軸交于點P，點P即為所求.設直線的解析式為，直線過，的解析式為：，它與軸交于P（0，1）.類型二、一次函數(shù)圖象的應用2、李明騎自行車去上學途中，經(jīng)過先上坡后下坡的一條路段，在這段路上所走的路程(米)與時間(分鐘)之間的函數(shù)關系如圖所示．根據(jù)圖象，解答下列問題：(1)求李明上坡時所走的路程(米)與時間(分鐘)之間的函數(shù)關系式和下坡時所走的路程(米)與時間(分鐘)之間的函數(shù)關系式；(2)若李明放學后按原路返回，且往返過程中，上坡的速度相同，下坡的速度也相同，問李明返回時走這段路所用的時間為多少分鐘?【思路點撥】由圖象可知，上坡時，路程是時間的正比例函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過點(6，900)，可以確定函數(shù)解析式；下坡時，路程是時間的一次函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過點(6，900)，(10，2100)，可以求出函數(shù)解析式.【答案與解析】解：(1)設，由已知圖象經(jīng)過點(6，900)，得900＝6．解得＝150．所以＝150(0≤≤6)．設，由已知圖象經(jīng)過點(6，900)，(10，2100)，得解得所以＝300－900(6<t≤10)．(2)李明返回時所用的時間為(2100－900)÷(900÷6)＋900÷[(2100－900)÷(10－6)]＝8＋3＝11(分鐘)．因此，李明返回時所用的時間為11分鐘．【總結升華】從圖象中獲得點的坐標，再用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關鍵．注意放學途中上坡路程和下坡路程分別是上學時下坡路程和上坡路程．類型三、一次函數(shù)的性質(zhì)3、已知自變量為的一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則（）A．＞0，＜0B．＜0，＞0C．＜0，＜0D．＞0，＞0【答案】C；【解析】原函數(shù)為，因為圖象經(jīng)過二、三、四象限，則＜0，＜0，解得＜0，＜0.【總結升華】一次函數(shù)的圖象有四種情況：

①當＞0，＞0，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，的值隨的值增大而增大；

②當＞0，＜0，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，的值隨的值增大而增大；

③當＜0，＞0時，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，的值隨的值增大而減??；④當＜0，＜0時，函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，的值隨的值增大而減小．舉一反三：【變式1】直線：與直線：在同一坐標系中的大致位置是（）．A．B．C．D．【答案】C；提示：對于A，從看＜0，＜0，從看＜0，＞0，所以，的取值自相矛盾，排除掉A.對于B，從看＞0，＜0，從看＞0，＞0，所以，的取值自相矛盾，排除掉B.D答案同樣是矛盾的，只有C答案才符合要求.【變式2】（2014?杭州模擬）已知直線y1=x，，的圖象如圖，若無論x取何值，y總取y1、y2、y3中的最小值，則y的最大值為．【答案】2.解：根據(jù)題意，y的最大值為直線y2與y3的交點的縱坐標，聯(lián)立，解得，所以，當x=3時，y的值最大，為2．故答案為：2．類型四、一次函數(shù)綜合4、已知一次函數(shù)的圖象過點，與軸交于點，與軸