2022-2023學年江蘇高二上學期數(shù)學教材同步教學講義（蘇教版必修第一冊）1-002

1.3兩條直線的平行與垂直【知識點梳理】知識點一：兩條直線相交、平行與重合.代數(shù)方法判斷兩條直線4:A^+4y+C1=012：4%+用丁+。2=0的位置關系，可以用方程組'+幻,+￡=。的解進行判斷(如下表所示)[A)x+ +C2=0方程組的解位置關系交點個數(shù)代數(shù)條件無解平行無交點-A,Bt=0 而 8|G-C|82Ho 或-AG*0或4=旦片6(4鳥。2wo)242B、有唯一解相交有一個交點wo或今耳*0)有無數(shù)個解重合無數(shù)個交點A=丸4,B]= ,C)=AC2(A*0)或?=[= 2c2*0)^>2 ^^22.幾何方法判斷(1)若兩直線的斜率均不存在，則兩條直線平行.(2)若兩直線的斜率均存在，我們可以利用斜率和在y軸上的截距判斷兩直線的位置關系，其方法如下：設4:y=kxx+b，：y= +b2>4與4相交w&；=右且4Hb2；4與4重合=4=與且〃=打.簡記表：類型斜率存在斜率不存在

條件=。209。Of1—c(2=90對應關系/1///2Qk}=ko/,///2o兩直線斜率都不存在圖示fl:知識點二：兩條直線的垂直1.兩條直線垂直的幾何方法判斷對應關系《與4的斜率都存在，分別為k^k2,則/,J_，2=匕K=-16與。中的一條斜率不存在，另一條斜率為零，貝以與4的位置關系是4圖示二y\h c h~0 52.兩條直線垂直的代數(shù)方法判斷已知直線4，/2的方程分別是4：4》+與丫+4=0（4與不同時為0），/^Ax+與y+Gn。（4,g不同時為0)(1)若a&+46=o<=>/1-L(（2）f<>??//（2）AG-4GxoJ1 2【題型歸納目錄】題型一：由斜率可以判斷兩條直線是否平行題型二：兩條直線相交、平行、重合的判定題型三：兩條直線垂直的判定題型四：直線平行與垂直的綜合應用題型五：兩直線的夾角題型六：已知直線平行求參數(shù)題型七：已知直線垂直求參數(shù)【典型例題】題型一：由斜率可以判斷兩條直線是否平行例1.(2022.全國?高二課時練習)“直線4與4平行''是"直線4與4的斜率相等'’的()條件A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.既非充分又非必要【答案】B【解析】充分性：直線1與4平行，但是人和4都沒有斜率，即當4和4都垂直于*軸時，4與4仍然平行，但是，此時不滿足直線4與I的斜率相等，故充分性不成立；必要性：直線'與4的斜率相等，則必有直線乙與4平行，故必要性成立；綜上，“直線4與平行''是"直線4與的斜率相等”的必要非充分條件.故選：B例2.(2022?全國?高二課時練習)判斷下列各組直線是否平行，并說明理由：(1)/):y=3x+2,l2:y=3x+];4：x+2y—1=0,/2:x+2,y=0；/1:x+2=0,/2:lx=1.【解析】(1)解：設兩條直線4、4的斜率分別為尤、k2,在y軸上的截距分別為耳、b2,則由4、，2的方程可知尢=他=3,且4工打，所以I川2.(2)解：設兩條直線《、4的斜率分別為占、右，在y軸上的截距分別為4、%.因為4、4的方程分別可化為4：y=-gx+g，4：y=-1x,所以&=&=-；,且6尸打，所以4〃4.Q)解：由4、4的方程可知，4，》軸，/2，工軸，且兩條宜線A、4在x軸上的截距不相同，所以“/兒例3.(2022?江蘇?高二課時練習)判斷下列各組直線是否平行，并說明理由：(l)/j:y=-x+l,l2:y=-x+3；(2)4?3x—2y-1=0,/2：6x—4y—1==0；(3)(:2x—5y-7=0,l2:5x-2y-l=0；(4)/,:y-2=0,/2:y+1=0.【解析】(1)由題意得，兩直線斜率用=&=-1,所以兩直線平行，又兩直線在y軸上截距分別為1和3,所以兩宜線不重合，所以直線4,4平行.3 1一一 3 1(2)直線4變形可得y=：x-7，直線4變形可得丫=色-卜3所以兩直線斜率占=&=5,所以兩直線平行，又兩直線在y軸上截距分別為和所以兩直線不看合，所以直線《4平行.(3)直線4變形可得y=：x-(,宜線4變形可得丫='!'-]，兩直線斜率1w],所以兩直線不平行.(4)直線乙變形可得y=2,為橫線，斜率4=0,直線4變形可得y=T,為橫線，斜率左2=0,所以兩直線平行，因為2X-1,所以不重合，所以直線/”4平行.例4.(2022?江蘇?高二課時練習)分別根據(jù)下列各點的坐標，判斷各組中直線AB與CO是否平行：⑴A(3,-l),3(-1』)，C(-3,5),D(5,l)；⑵A(2,T),fi(-73,-4),C(0,l),￡>(4,1)；(3)4(23),8(2,-1),C(-l,4),(4)A(-l,-2),8(2,1),C(3,4), (1)^B = ,%=?=-：=L，^c=-5~1-=-2,A,8,C不共線，因此AB與CD平行?-J-(-I)(2)3"=0,kCD=0,又兩直線不重合，直線AB與CO平行，(3)直線A8,CD的斜率都不存在，且不重合，因此平行：-2-1 -1-45(4)怎"=[r=',kcD=[a=：#kAB，直線A8與CD不平行，—1-L -1—34【技巧總結(jié)】判斷兩條不重合直線是否平行的步驟

題型二：兩條直線相交、平行、重合的判定題型二：兩條直線相交、平行、重合的判定例5.（2022?全國?高二課時練習）直線公-2y-l=0和直線2y-3x+0=0平行，則直線y=or+b和直線y=3x+l的位置關系是（ ）A.重合 B.平行 C.平行或重合 D.相交【答案】B【解析】因為直線ar-2y-l=O和直線2y-3x+b=O平行，所以。=3,匕工1,故宜線丫=以+人為，=3x+b,與直線y=3x+l平行故選：B例6.（2022?湖北?監(jiān)利市教學研究室高二期末）直線/的斜率是方程/_工-2=0的兩根，貝也與4的位置關系是（）A.平行 B.重合C.相交但不垂直 D.垂直【答案】C【解析】設方程x2-x-2=O的兩根為4、x2,則xr=-2..?.直線4、4的斜率40=-2,故4與4相交但不垂直.故選：C.例7.（2022?全國?高二課時練習）下列各組直線中，兩直線相交的為（ ）y=x+2和y=lx-y+l=O和y=x+5x+/ny-l=0和x+2y-l=02x+3y+1=0和4x+6y—1=0【答案】A【解析】對于A中，直線y=x+2和y=l,顯然兩直線相交，所以A正確；對于B中，H線和y=x+5,可存兩H線的斜率都為《=1,所以兩此線平行，所以B錯誤；對于C中，直線x+/ny-l=O和x+2y-l=0,當他=2時，兩直線重合；當機工2時，兩直線相交，所以C錯誤；對于D中，直線2x+3y+l=0和4x+6y-l=0,可得兩直線的斜率都是&=-；,所以兩直線平行，所以D錯誤.故選：A.例8.（2022?全國?高二專題練習）已知直線4：（機+2）x+（機+3）y-5=0和《：6x+（2m-l）y-5=0,問實數(shù)根為何值時，分別有：（1）乙與4相交？（2）“4?（3）4與6重合？【解析】（D直線4：（m+2）x+（m+3）y-5=0和小6x+（2m-l）y-5=0,當傾斜角相等時:（/n+2）（2m-l）-6（m+3）=0,整理得：（2w+5）（w-4）=0,解得m-j或m=4,所以當md-8,-￡|u（-|,4）U（4,+8M，兩條直線相交；（2）由（1）當機=4時，直線乙：6x+7y-5=0和46x+7y-5=0重合，（舍去），機=-之時，宜線R_；x+gy-5=0和4：6x_6y_5=O平行，所以“=-3；（3）由（2）得m=4時，直線4：6x+7y-5=0和4：6x+7y-5=0重合，所以"7=4.【技巧總結(jié)】設《：y=&x+412：y=&工+年，4與4相交oK工總；4〃/2。勺=&且白工優(yōu)；

/1與4重合＜=＞匕=右且4=4.題型三：兩條直線垂直的判定例9.(2022?江蘇?高二)已知45,-1),8(1,1),(7(2,3)三點，則△ABC為三角形.【答案】直角【解析】如圖，猜想A8_L8C,aA8C是宜角三角形，由題可得邊AB所在直線的斜率=-g，邊8C所在也線的斜率即c=2,由心/bc=T，得A8J.8C,即NA8C=90,所以aABC是直角三角形.故答案為：直角.例10.(2022?吉林油田高級中學高二期中)下列方程所表示的直線中，一定相互垂直的一A.or+2y-l=0與2x+oyA.or+2y-l=0與2x+oy+2=0B.6x-4y—3=0與10x+15y+c=0C.2x+3y-7=0與4x—6y+5=0D.3x-4y+/?=0-^3x+4y=0【答案】B【解析】A：a=0時，兩H線分別為：y=[x=-l,此時它們垂直；當回時，它們斜率之積為一?(二]=i,則它們不垂直；故兩條直線不一定垂直；b：兩直線斜率之積為：= 故兩直線垂直；TOC\o"1-5"\h\z24 4C:兩直線斜率之積為：乂二=-入，-1，故兩直線不垂直；36 93/3、 9D：兩直線斜率之積為：卜-/工-1,故兩條宜線不垂宜；4I4J16故選：B.例IL(2022?全國?高二課時練習)判斷下列各組直線是否垂直，并說明理由:⑴4⑴4：y=3x+2,l2:y=——x+1；3(2)4：x+2y—1=0,/2-2K—y=0；(3)4：x+2=0,/2:2y=1.【解析】⑴解：設兩條直線4，，2的斜率分別為占，k”則用=3,&=-；，因為"2=3x，j=T，所以/J4；(2)設兩條直線4，4的斜率分別為《，k2,則匕=-g,k2=2,因為匕玲=(-g)x2=-l,所以/1_L4；(3)解：由兩個方程，可知/"/y軸，，2〃x軸，所以《J./2.例12.(2022?江蘇?高二課時練習)判斷下列各組直線是否垂直，并說明理由：(1)/,:y=-2x+\,l2：y=-x+3；(2)4?3x-y-1=0,/):2x+6y—1—0；(3)/]:2x-5y-7=0,l2:5x-2y-l=0；(4)Z,：y-2=0,/2:x+l=0.【解析】(l)-2xg=-l,兩直線垂直.(2)3x2+(-1)x6=0,兩直線垂直；(3)2x5+(-5)x(-2)=20h0,不垂直；(4乂斜率為0,4斜率不存在，兩直線垂直.例13.(2022?江蘇?高二專題練習)三條直線3*+2丫+6=0,2*—31112丫+18=0和20?—3丫+12=0圍成直角三角形，求實數(shù)m的值.【解析】(1)當直線3x+2y+6=0與直線2x-3m2y+18=0垂直時，有6-6m2=0,，m=1或m=-l.若m=l,直線2mx-3y+12=O也與直線3x+2y+6=0垂直，因而不能構(gòu)成三角形，故m=l應舍去.m=-1.⑵當直線3x+2y+6=0與直線2mx—3y+12=0垂直時，有6m—6=0,m=l(舍).(3)當直線2x-3m?y+18=0與直線2mx-3y+12=0垂直時，有4m+9m2=0.. 4.??m=0或m=—,9

經(jīng)檢驗，這兩種情形均滿足題意.一 . 4綜上所述，m=—1或m=0或m=一§.【技巧總結(jié)】使用斜率公式判定兩直線垂直的步驟(1)一看，就是看所給兩點的橫坐標是否相等，若相等，則直線的斜率不存在，若不相等，則進行第一步.(2)二用：就是將點的坐標代入斜率公式.(3)求值：計算斜率的值，進行判斷.尤其是點的坐標中含有參數(shù)時，應用斜率公式要對參數(shù)進行討論.總之，4與4一個斜率為0,另一個斜率不存在時，(，4；4與4斜率都存在時，滿足勺右=-1?題型四：直線平行與垂直的綜合應用例14.(2022?浙江?臺州市書生中學高二階段練習)已知直線4的斜率分別為4K，%,其中“4,且K，6是方程2/-3x-2=0的兩根.(1)試判斷44的位置關系;【解析】(1):占，&是方程2x2-3x-2=0的兩根，又(2x+l)(x-2)=0L-1的=2解方程得'2或，1,|片=2...k，3=—],A/,上％.又“也，4.即44的位置關系為4h=2h=2公=2%,2由(I)由(I)知卜=--,或＜7?，?+&+&=1或K+&2+&=5

例15.（2022.全國?高二課前預習）已知A（T,3）,8（2,5）,C（6,3）,0（—3,0）四點，若順次連接ABC。四點，試判斷圖形A5C。的形狀., 5-3【解析】由斜率公式，得, 5-3【解析】由斜率公式，得斷=2_（_4）1 , 0-3 1o，k,D~~~ ~=二，3 8一3-633-5_16^2="23-3所以心尸心’又因為繪=式育=。/配,說明"與。不重合,所以AB〃C3.因為3。工心一所以與BC不平行.乂因為原屋號0=3（-3）=-1,所以故四邊形ABC。為直角梯形.例16.（2022?全國?高二課時練習）（拓廣探索）在平面直角坐標系中，四邊形OPQR的頂點坐標按逆時針順序依次為5。，0）,P（U）,C（l-2r,2+r）,R（-2t,2）,其中f>0.則四邊形OPQR的形狀為.【答案】矩形【答案】矩形［解析】由斜率公式得心小口一1-0,_2+t-t_2_1廿匚口=4=72-(2+r)-t 2-0 1-2r-(l-2r)-^-'Oft=-2r-0=-7所以％8=&相，kQR=kpQ,從而OP//RQ,OR//PQ.所以四邊形OPQR為平行四邊形.又—"-1,所以OP_LQR，故四邊形OPQR為矩形.故答案為：矩形.例17.（多選題）（2022?全國?高三專題練習）（多選）設點P（-4,TOC\o"1-5"\h\z2),0(6.-4),R(12,6),5(2,12),則有( )B.PQYPSA.B.PQYPSC.PS//QSD.C.PS//QS【答案】ABD-4-2 3 12-6 3【解析】依題意，直線PQ,SR,PS,QS,尸犬的斜率分別為：Xpq=F^=—=，ksR=^=~o+4 5 2-12 d, 12-2 5 , 12+4 彳, 6-2 1Kpc= =—,kg；= =-4,kPH= =—,K 2+4 3 0 2-6 12+4 4由即0= 得PQ〃SR,由得PQLPS,由%%=-1得PRLQS,而改尸s*如得&與QS不平行，即選項ABD正確，選項C不正確.故選：ABD例18.(2022?全國?高二課時練習)判斷下列各對直線平行還是垂直：(1)經(jīng)過兩點A(2,3),8(-1,0)的直線//,與經(jīng)過點P(1,0)且斜率為1的直線A;(2)經(jīng)過兩點C(3,1),0(-2,0)的直線也與經(jīng)過點M(l,-4)且斜率為-5的直線【解析】(1)由題意和斜率公式可得。的斜率人/=1^=1，/2斜率心=1,為=心，又直線不重合，所以兩直線平行；1-0 1(2)由題意和斜率公式可得//的斜率公=1石?=§,/2斜率公=-5,krk2=-1,故兩直線垂直.例19.(2022?全國?高二課時練習)已知在辦BCO中，A(l,2),5(5,0),C(3,4).(1)求點。的坐標；(2)試判定oABCO是否為菱形？【解析】(1)解：設點。坐標為(a,b),因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以乂B=&CO,kAD=kBC,'0-26-4r-1-K? 5—1a—3所以Lc4八b-2_4-0.u—\3-5\a=--1,解得入NI8=6,所以D(—1,6).TOC\o"1-5"\h\z4-2 6-0(2)因為 =1,kBD= =—1,3—1 —1—5所以公Ck8￡>=-1,所以ACL5。，所以MBCD為菱形.例20.(2022?全國?高二專題練習)已知41,3),僅5,1),。(3,7),4B,C,。四點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，求點。的坐標.

【解析】由題，A(1,3),B(5,1),C(3,7),所以MC=2,k.B=一一，kBC=T,2設。的坐標為(-y),分以下三種情況：x—5 x—3得x=7,y=5,即。(7,5)②當x—5 x—3得x=7,y=5,即。(7,5)②當AC為對角線時，有kCAkAB,1所以，%= -=-3?kCD- r=--x-1 x-3 2得戶一1,產(chǎn)9,即5-1,9)③當A3為對角線時，有kBD=kAC,kAD=kBC所以28。=2~==2，kAD=^-^=-3tx-5 x-\得x=3,y=-3,即53,-3)所以。的坐標為(7,5)或(-1,9)或(3,-3).例21.(2022?全國?高二課時練習)在平面直角坐標系中，四邊形OPQR的頂點按逆時針順序依次是0(0,0),P(l,r),e(l-2/,2+r),R(—〃,2),其中re(o,y),試判斷四邊形OPQR的形狀，并給出證明.【解析】四邊形OPQR是矩形.證明如下：OP邊所在直線的斜率kop=t,, 2+r—2QR邊所在直線的斜率kQR=口一⑼=t,OR邊所在直線的斜率=-1，2+t—t 1也邊所在直線的斜率&世=咎三=」，1—Zf—1 t所以a=kQR,kOR=kPQ,所以OP//QR,OR//PQ,所以四邊形OPQR是平行四邊形.又5%=,所以QR，OR,所以四邊形OPQR是矩形.義％=E'MG'即Cj無解’所以52勺Q？小故四邊形。尸0R是矩形.例22.(2022?安徽宣城?高二期中)已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三點，求點D,使直線CD_LAB,且CB〃AD.【解析】設%y),則3言，%=3,%=-2,3小xx=0{ 0(0,1)y=i【技巧總結(jié)】已知直線44的方程分別是4：Ax+qy+G=0(A，用不同時為0),Z,:A,x+B2y+C2=0 不同時為0),i _AB-,—A-)=01(1)若AA+與8=0o/1_L4(2)若"~'2 '2AG-AGwo112題型五：兩直線的夾角例23.(2022?全國?高二課時練習)已知等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線方程為3x-5y+4=0,則斜邊A8所在直線的斜率為()A.-g或2B.-g或3C.或4D.-g或5【答案】C【解析】解：因為等腰直角二角形A8C的直角邊AC所在直線方程為3x-5)，+4=0,所以AC所在直線的斜3 3率為g,即勺=：,3設直線AC的傾斜角為a,則tana=g,因為斜邊與直角邊的傾斜角相差45。，則斜邊的傾斜角為a+45。或a-45。，3+1所以tan(01+45。)=四色里=4,1-tana131—52_]tan(a_45o)=^￡zl=5_^=_l,1+tana-3 4i+-5

所以斜邊所在直線的斜率為或4.4故選：C.例24.（2022?上海虹口?高二期末）直線2x-3y+l=o與x+5y—10=0的夾角為.TOC\o"1-5"\h\z乃 2 2【答案】￡【解析】直線2x-3y+l=0的斜率用=；,即傾斜角a滿足tana=；,4 3 3直線x+5y-10=0的斜率&=-,即傾斜角夕滿足tan/=-2,_1_2所以tan3a）=闞…a= ,川以口）l+tan/?tanai+f_11x|. 3所以/7—a=—4,47T IT乂兩直線夾角的范圍為0,-,所以兩直線夾角為:，_2J 4故答案為：4例25.（2022?上海市控江中學高二期中）直線4：2x+y+6=0與Cx-y+JO夾角的余弦值是.【答案】叵10【解析】設《，4的傾斜角為a/，44的夾角為。，則tana=?2,tan/?=l,故tan0=|tan（a—^）1=-~~-~-r~~-=3,故夾角的余弦值cosd=- =/=1 1l+（-2）xl Vl2+32V10 10故答案為：叵10例26.（2022?上海?華東師范大學附屬東昌中學高二期中）直線4：3x+y-l=O與，2：2x-y+7=0的夾角的大小.【答案】v4【解析】直線4：3x+y-l=O與4：2x-y+7=O的斜率分別為：用=-3,&=2設宜線4：3x+y_l=O與4：2x_y+7=0的夾角為0則tan0=k則tan0=k「k21+Z/2-3-21-3x2=1,TT乂％o,5故答案為：-例27.（2022?全國?高二課時練習）若直線y=x-l與直線x-my+2=0的夾角為工，求實數(shù)機的值.4TT【解析】直線y=x-i的斜率為1,則直線y=x-i的傾斜角為:47T TT直線x-my+2=0與直線y=x-l的夾角為一，所以直線+2=0的傾斜角為0或一4 2當直線x-叼+2=0的傾斜角為。時，實數(shù)”不存在，當直線x-/ny+2=0的傾斜角為/時，實數(shù)加=0故〃7=0.【技巧總結(jié)】夾角公式tan（a-0=tana-tan41+tana-tanp題型六：已知直線平行求參數(shù)例28.（2022?湖南?炎陵縣第一中學高二階段練習）已知直線//：x+my—2m—2=0,直線〃：mx+y—\—m=0,當4〃4時，m=【答案】1【解析】因為《〃/,,且4斜率一定存在，所以占=&，即-工=-機，m=±\m又因為4，4為兩條不同的直線，所以mx-1，所以m=l故答案為：1例29.（多選題）（2022?廣東?佛山市南海區(qū)里水高級中學（待刪除學校不要競拍）高二階段練習）（多選）若三條直線2x+y-4=0,x—y+l=0與or-y+2=0共有兩個交點，則實數(shù)a的值為（ ）.A.1 B.2 C.—2 D.-1【答案】AC【解析】由題意可得三條直線中，有兩條直線互相平行.???直線x-y+l=O和直線2x+y-4=0不平行，二直線x-y+l=0和直線ax_y+2=0平行或直線2x+y-4=0和直線ar_y+2=0平行.；x-y+1=0的斜率為1,2x+y-4=0的斜率為-2,ax-y+2=0的斜率為a,.?“=1或。=_2時，兩直線分別平行且不重合，符合題意故選：AC例30.（2022?全國?高三專題練習）已知4：3x+2ay-5=O,/2:（3a-l）x-ay-2=0,則滿足乙〃4的。的值A.— B.0 C.—或0 D.一或06 6 6【答案】C［解析］由《〃（可得3?（一a）_（3々_1）?2々=0,得a=0或〃=_，，6當°=0時，/,:3x-5=0,/2:-x-2=0,符合題意；當a=」時，Z（:3x--y-5=0,/2:3x--y+4=0,符合題意；6 3 3故滿足的。的值為0或故選：C.6例31.（2022?天津紅橋?高二學業(yè)考試）若直線4：%->+1=。與直線4：工+〃。=0互相平行，則加的值為（）A.-1 B.1 C.-2 D.2【答案】A【解析】解：若直線4：x-y+i=o與直線，2：x+my=o互相平行.1w0??-=—H—,1-11解得,"=-1故選：A.例32.（2022?江蘇?高二）設。為實數(shù)，若直線x+ay+2a=0與直線ar+y+a+l=0平行，則。值為（ ）A.—1 B.1 C.±1 D.2【答案】A【解析】由題意1-由=0,a=±1,4=1時，2a=a+1=2,兩宜線重合，舍去，a=—1時，2a=-2,a+1=0.滿足兩宜線平行.所以a=-l.故選：A.例33.（2022?江蘇?高二）設awR,若直線ar+y-l=。與直線x+ay+l=。平行，則a的值是（ ）A.1 B.1,-1 C.0 D.0,1【答案】A【解析】a=o時，兩直線為y—1=0、直線x+i=o,顯然不平行；所以a*0,兩直線為y=-〃+l,y=--（x+l）,a所以一。=--,且一aa解得a=l.故選：A.例34.（2022?重慶巴蜀中學高三階段練習）已知直線6+2y+6=。與直線x+（a-l）y+/7=0互相平行，則實數(shù)。的值為（）A.-2B.2或-1C.2D.-1【答案】D【解析】直線分+2y+6=0斜率必存在，故兩直線平行，則-g=—、，即a-2=0,解得a=2或一1,當a=2時，兩直線重合，a=-l.故選：D.題型七：已知直線垂直求參數(shù)例35.（2022?上海中學東校高二期末）若直線4：3x-/ny+l=O與4：y=2x+l互相垂直，則實數(shù)機=【答案】-6【解析】由4：y=2x+l,Bp2x-y+l=0,又直線乙與宜線4互相垂直，故3x2+（-/n）x（-1）=0,解得〃?=-6,故答案為：-6.例36.（2022?湖北十堰?高二階段練習）關于直線色e+2y-5=0,/2：x+（/n+l）y+2=0,若川,則m=.2【答案】--【解析】若4，/2,則帆+2（帆+1）=0,解得切=-；.2故答案為：例37.（2022?全國?高二課時練習）若直線4：辦-（。+1）＞+1=0與直線/2：2》-毆-1=0垂直，則實數(shù)。=【答案】0或-3【解析】因為直線4：ar-（a+l）y+l=0與直線4：2x-ay-l=o垂直,

所以有2a-(a+l)(—。)=0=＞。=0或。=一3,故答案為：。或-3例38.(2022?江蘇?高二)“機=-2”是“直線(2-m)x+磔+3=0與直線x-my-3=0垂直”的( )A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若直線(2-m)x+磔+3=0與直線x-陽-3=0垂直，則2-小一加=0，即加+zn-2=0,解得，"=一2或1,因為{-2} {-2,1},所以，“機=-2”是“直線(2-m)x+my+3=O與直線x-my-3=0垂直”的充分非必要條件.故選：A.例39.(2022?江蘇?高二)已知直線/：x+(a-l)y+2=0,%忑bx+y=Q,S.I,1/2,則4+〃的最小值為()TOC\o"1-5"\h\zA.- B.1 C.正 D.-4 2 2 16【答案】A【解析】解：/,-J-A,則回+a-l=0,，a=l-聞＞,所以合+從=(1-&『+6=4從-2回+1,二次函數(shù)的拋物線的對稱軸為8=-0叵=3，2x4 4當6=立時，1+戶取最小值;4 4故選：A.【同步練習】一、單選題(2022?江蘇?高二)已知aABC的三個頂點43,0),B(-l,2),C(l,-3),貝ljaABC的高CO所在的直線方程是B.x+2B.x+2y+〉=uD.2x-y-5=0則%)=一『=2,故CD所在的直線方程為y+3=2(x-1),即A.x+5y—5=0C.2x+y-5=0【答案】D【解析】由題意知：kAB=2x-y—5=0.故選：D.（2022?遼寧?二模）己知直線/：ar+y+a=0,直線m:x+ay+a=0,則/〃m的充要條件是（ ）A.a=—l B.a=1C.a=±l D.a=0【答案】A【解析】因為直線/：如+卜+4=。，直線機:x+ay+a=0,易知a=0時，兩立線垂宜，所以/〃機的充要條件是烏=工/且，即a=-l.1aa故選：A.（2022?河南?靈寶市第一高級中學模擬預測（文））已知直線/|：（。一2卜+0+2=0,/2：》+（4-2）丫+。=0,則FU?”是“°=一1”的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B［解析］當a=_］時，4：y=-3x+2,4：y=gx—g,k}-^2=-3x1=-l,所以（Uz；當/1J./?時，可得（a-2）xl+a（a-2）=（a-2）（a+1）=0,解得a=-1或a=2,所以“/J6”是“a=T”的必要不充分條件.故選：B.（2022?浙江浙江?高一期中）已知直線4：x+ay-2=O與直線/2：ar+y-a-l=0平行，則”的值為（ ）A.—1 B.1 C.±1 D.0【答案】AIxl—axa=0【解析】因為“％，所以?no\_c，解得a=-L11x（—a—1）—（—2aJ00故選：A.TOC\o"1-5"\h\z（2022?江蘇?高二）將直線3x-&y=0繞著原點順時針旋轉(zhuǎn)90,得到新直線的斜率是（ ）A.-- B.— C.— D.--3 3 2 2【答案】A【解析】直線3x-6y=0的斜率為G由題意可知新宜線9直線3x-s/3y=0相垂直，則新直線的斜率為-且故選：A（2022?安徽滁州?高二階段練習）已知直角三角形48c的頂點B（-2,T）,C（2,-6）,且N84C=90,點A在直線2x+y+5=0上，則點A的坐標為（ ）.A.（1,-7） B.（-1,-3）或（1,一7）C.（2,-9） D.（-2,-1）或（2,-9）【答案】B【解析】設A（x,-2x-5）,則通=（—2-x,2x+l）,*=（2-x,2x—1）,?.?NBAC=90，即AB_LAC,..AB-AC=（-2-x）（2-x）+（2x+l）（2x-l）=0,解得：x=±l；.?.4（1,-7）或4（-1,-3）.故選：B.（2022?湖南?長沙一中高三階段練習）已知a>0,h>0,直線（a-l）x+2y+3=0與直線x+by-1=0垂直，則L+1的最小值是（）abA.2+5/2 B.4 C.3+20 D.6【答案】C【解析】因為宜線（a-l）x+2y+3=O與直線工+刀-1=。垂宜，所以（a-l）xl+2b=0,即。+力=1,所以，+:=（，+1］（a+2b）=3+”+f23+2、E^"^=3+20（當且僅當a=&-1，b=-~~也時，等號ab\ab） ab\ab 2成立）.故選：c.二、多選題8.（2022?重慶?高二期末）下列說法中，正確的是（ ）A.直線2x+y+3=0在y軸上的截距是3B.直線x+y+l=O的傾斜角為135。C.41,4),8(2,7)。(-3,-8)三點共線口.直線3x+4y+1=0與4x+3y+2=0垂直【答案】BC【解析】A.直線2x+y+3=0在y軸上的截距是-3,A錯；直線x+y+l=0的斜率為T,傾斜角為135。，B正確；TOC\o"1-5"\h\z7-4 -R-4C.由A(l,4),B(2,7),C(-3,-8)得kAC=——=3=kAH,所以A,B,C三點共線，C正確;2—1 —3—13 4D.H線3x+4y+l=o與4x+3y+2=0的斜率分別為乘積為1,不垂直，D錯誤.故選：BC.(2022?福建泉州?高二期中)下列說法正確的是( )A.直線產(chǎn)依-24+4(4€/?)必過定點(2,4)B.直線y+i=3x在y軸上的截距為1C.直線x+6y+l=0的傾斜角為120。D.過點(-2,3)且垂直于直線x-2y+3=。的直線方程為2x+y+l=。【答案】AD【解析】對于A,直線y=or—2a+4(ae/?),即y=a(x—2)+4,恒過點(2,4),A正確；對于B,直線y+l=3x,即y=3x-l,在y軸上的截距為-1,B不正確；對于C,直線x+指y+l=0的斜率％ ，其傾斜角為150、C不正確；3對于D,直線x-2y+3=0的斜率為則垂直于直線x-2y+3=0的直線斜率為—2,直線方程為：y-3=-2(x+2),即2x+y+l=0,D正確.故選：AD(2022?江蘇?高二)已知直線《：x+ay-a=0和直線小ar-(2fl-3)y+a-2=O,則( )12 —A.4始終過定點(}]) B.若在x軸和)，軸上的截距相等，則。=1C.若 則a=0或2 D.若“〃2，貝lja=l或一3【答案】AC【解析】《3-(2"3)丫+a-2=0化為a(x-2y+l)+3y-2=0,1 2 12由x-2y+l=0且3y-2=O解得x=/y=；,即直線4恒過定點(3今，故A正確；

若，2在X軸和y軸上截距相等，則4過原點或其斜率為T，則a=2或__（2：_3）=_1=。=1，故B錯誤；若…，則lxa+ax（3-2a）=O解得°=0或2,故C正確；若“〃2,則先由lx（3-2a）=axa解得°=1或一3,再檢驗當。=1時4,4用合，故D錯誤.故選：AC（2022?江蘇?高二）已知直線《：x-y-l=0,動直線/?：（k+l）x+ky+k^0（keR）,則下列結(jié)論正確的是（）A.存在k,使得4的傾斜角為90 B.對任意的3乙與〃都有公共點C.對任意的34與〃都不重合 D.對任意的左，4與4都不垂直【答案】ABD【解析】對于A：當&=0時，直線—x=0,此時宜線4的傾斜角為90，故選項A正確：對于B,直線（與4均過點（。，-1），所以對任意的心4與4都有公共點，故選項B止的;對于C,=時，直線〃為9-9，彳=0,即x-y-l=0與4重合，故選項C錯誤;對于D,直線對于D,直線［的斜率為1,若？的斜率存在，則斜率為--H-1，所以4與，2不可能垂直，所以對任意的3乙與，2都不垂直，故選項D不正確;故選：ABD.三、填空題（2022?全國?高二課時練習）直線4：y=-2x+3與4：x+2=0的夾角的大小為.【答案】--arctan22TT【解析】由《方程知其傾斜角為乃-arctan2；由4方程知其傾斜角為彳，?M與，2的夾角為萬-arctan2.故答案為：y-arctan2.（2022?上海市虹口高級中學高二期末）過點P（L0）且與直線x-2y+6=0平行的直線方程是.【答案】x-2y-l=0【解析】因為所求直線與宜線x-2y+6=0平行，所以設所求直線方程為x-2y+m=0G〃H6)由題可得l-O+m=O,BPm=-\,所以所求直線方程為x-2y-1=0.故答案為：x-2y-l=014.(2022?江蘇?高二)若直線//與/2的斜率匕、的是關于上的方程-2公-4?=。的兩根,若/7_1_/2,則6= .【答案】-2【解析】因為斜率k/、內(nèi)是關于火的方程-2公-4k=b的兩根，所以因為/山2,所以/玲=,=T,即b=-2,故答案為：-2(2022?全國?高二單元測試)過點(3,5)的所有直線中，與原點距離最大的直線方程為.【答案】3x+5y-34=0【解析】設43,5),由幾何關系知,當直線與。4垂匐標原點到直線的踉離最大，心“=：,故直線斜率為-直線方程為y-5=-：(x-3),D D J整理得：3x+5y-34=0故答案為:3x+5y-34=0(2022.全國?高二課時練習)已知集合4={(兌刈2*-(。+1)k1=0},8={(x,y)|or-y+l=0},且AQB=0,則實數(shù)。的值為.【答案】1【解析】??,集合A={(x,y)|2x-(a+l)y-l=0},B={(x,y)|ar-y+l=。},且408=0,直線2x-(a+l)y-l=0與直線ar-y+l=0平行，即-2=—a(a+l),且2w—a,解得a=1.故答案為：1.四、解答題(2022?北京市十一學校高一階段練習)已知直線4：ar+by+6=O和直線4：(a—l)x+y+2=O,求分別滿

足下列條件的。，人的值.⑴直線4過點(-3,0),且直線乙和4垂直；(2)若直線4和，2平行，且直線4在y軸上的截距為-3；(3)若直線4和重合.【解析】⑴由于直線4和4垂直，故a,(a-l)+b4=0.又直線乙過點(一3,0),故—3a+6=0,聯(lián)立兩式，解得a=2,6=-2.故有a=2,6=-2.,al=(a-l]b(2)由于直線4和4平行，故Lc>J，b?2w6xl人工0直線4在y軸上的截距為一3,則6 」—=—3b聯(lián)立解得。=2功=2.故有。=2,〃=2.(3)若直線4和4重合，故解得。=1力=3.p-2=ox] 23故有a=3，b=3.18.(18.(2022?全國?高二課時練習)已知集合4=y-3x-2=6/+1?,8= -l)x+(tz—l)y—15=()1是否存在實數(shù)m使Ar)8=0?若存在，求出。的值；若不存在，請說明理由.【解析】當。=1時，B=0,AQB=0,集合A為去掉點(2,3)的直線4：m+l)x-y-2o+l=0("2)上的點;當awl時，集合8為直線/2：(〃2—1口+(。-1)j一15=0上的點.0當4〃/2，(〃+1)(。-1)=一(。2-1)=〃=±1,經(jīng)檢驗。=一1成立.②當(2,3)e8,解得：a=|,a=T,滿足=/.a=-4?-1?1,—.2

(2022?江蘇.高二)已知一平行四邊形的三個頂點坐標分別為(-L-2)、(3,0)、(5,6),求該平行四邊形的第四個頂點坐標.【解析】設A、8、C三點坐標為(T-2)、(3,0)、(5,6),D(x,y),丁一亍4=1,-丁一亍4=1,-2+6_0+y[y=4,2F—1+35+x2 二卜.-2+0_6+y [y=-8、2-亍5+3—1+x2~2Jx=96+0-2+y=jy=8.當足平行四邊形時，有＜當ABC。是平行四邊形時，有＜當足平行四邊形時，有＜當ACD8是平行四邊形時，有＜I2-2該平行四邊形的第四個頂點的坐標是(1,4)或(-3,-8)或(9,8).(2022?江蘇?高二)已知直線4：6x+3y+l=O,l2;x+(a-2)y+a=0.請從以下三個條件中選出兩個求實數(shù)。，b的值.(])b=3a；(2)/,±/2；⑶《〃伍【解析】(1)若選條件⑴和