圓錐曲線的統(tǒng)一焦半徑公式在解題中的應(yīng)用

圓錐曲線的統(tǒng)一焦半徑公式在解題中的應(yīng)用圓錐曲線的統(tǒng)一焦半徑公式在解題中的應(yīng)用圓錐曲線的統(tǒng)一焦半徑公式在解題中的應(yīng)用圓錐曲線的統(tǒng)一焦半徑公式在解題中的應(yīng)用編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:圓錐曲線的統(tǒng)一焦半徑公式在解題中的應(yīng)用宜昌二中黃群星我們在解決有關(guān)直線與圓錐曲線的關(guān)系問題時，經(jīng)常會用到焦半徑公式。解決這類問題，我們可以用到的公式有：平面上兩點(diǎn)之間的距離公式，弦長公式，三種圓錐曲線的焦半徑公式，和圓錐曲線的統(tǒng)一焦半徑公式。最后一個公式往往被大家忽視，現(xiàn)在我想專門談?wù)勥@個公式的使用。一．在橢圓中的運(yùn)用：例1：已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)F且斜率為k（>0）的直線與C相交與A,B兩點(diǎn)，若,求k的值。解法一：∵∴設(shè)橢圓的方程為右焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，設(shè)∵①②③將①帶入②得∴k>0,∴m>0,∴解法二;由題意得∴∴評述：解法二應(yīng)用了圓錐曲線的統(tǒng)一焦半徑公式，從而大大簡化了解題的過程。那么，在什么情況下可以用這個公式呢先看這個公式的結(jié)構(gòu)：，其中，e是離心率，P為焦準(zhǔn)距，是過焦點(diǎn)的直線的傾斜角，正是由于傾斜角的存在，使得這個公式在解決有關(guān)過焦點(diǎn)的直線的斜率和傾斜角的問題時相當(dāng)便捷，而且，公式是根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義推導(dǎo)出來，對橢圓，雙曲線和拋物線都適用，這是它的一大優(yōu)越之處。二．在雙曲線中的運(yùn)用：例2：雙曲線的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線分別為，經(jīng)過右焦點(diǎn)F垂直于的直線分別交于A,B兩點(diǎn)，已知成等差數(shù)列，且同向求雙曲線的離心率設(shè)直線AB被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程。解：①如圖∵FA=b,OF=c,∴OA=,∵OF平分角∠AOB∴設(shè)FB=mb,OB=m,則有即②設(shè)直線AB的傾斜角為,∴L1L2L1L2BAFOxy有∵∴雙曲線的方程為評述：雙曲線的焦半徑公式=，由于正負(fù)號和絕對值符號的存在，使得這個公式在運(yùn)用起來又很多不方便，而統(tǒng)一焦半徑公式正好巧妙的解決了這一問題。三．在拋物線中的使用：例3：平面上一點(diǎn)P到點(diǎn)F（1,0）的距離與它到直線x=3的距離之和為4，①求點(diǎn)P的軌跡方程②過A的直線與軌跡C交與MN兩點(diǎn)，求得最大值解：①設(shè)P（x,y）,由題意得當(dāng)時，當(dāng)時，點(diǎn)P的軌跡方程為（P=2）(P=6)②當(dāng)時， 當(dāng)時，當(dāng)時，NMNMFOyx當(dāng)時當(dāng)時當(dāng)時綜上，當(dāng)時，評述：這個題目涉及到兩條拋物線，而要求的弦長不一定是來自于直線和同一條拋物線的交點(diǎn)，另外，開口向右的那條拋物線又不是標(biāo)準(zhǔn)方程，所以要用坐標(biāo)形式的焦半徑公式可謂困難重重，而統(tǒng)一焦半徑公式用的參變量與位置無關(guān)，所以這個問題它同樣迎刃而解。有時候，一個問題能否解決，解決的速度，解決的水平往往取決于我們選擇的工具